Модель натурального ряда чисел и отдельного числа. Контуры




В комментариях к опубликованным ранее работам автора было высказано много замечаний и пожеланий. Я благодарю всех читателей — хабровчан и прочих за внимание к работам и тем более за комментарии. Многих читателей не устраивал стиль изложения, подача материала, нечеткость определений и др. Главное, что автор желал бы поправить — это обеспечить доступность понимания идей публикаций, математического инструментария и техники его применения. Работа в интересующем автора направлении — дело и для него новое, но чем дальше «в лес», тем больше и непонятного, и сложного, и, конечно, интересного.


Введение.

В работах посвященных моделированию натурального ряда чисел (НРЧ) встречаются весьма любопытные и достаточно просто устроенные модели. Обычно НРЧ представляют в форме числовой оси — линейной модели. Более полезной и удобной моделью является плоскостная модель, в пределах которой наглядными становятся понятия предлагаемого нового языка и теоретического подхода. Этими понятиями являются число, интервал, контур, полуконтур и их характеристики. Главной характеристикой этих понятий является то, что границами объектов, обозначаемых новыми или известными понятиями, всегда являются числовые квадраты. Любое нечетное число как бы собирается из таких объектов, образуя интервал N, с сохранением квадратов на его границах.

Линейная модель НРЧ

Будем представлять точку как элемент, порождающий процесс создания или поиска элемента и назовем ее порождающей или поисковой точкой. Такая точка движется по траектории поиска, задерживаясь в некоторых позициях (клетках), где производятся вычисления. Например, такими разыскиваемыми точками (позициями) являются центры ромбов, идентифицирующие числа-клетки в ромбах Г – модели НРЧ. см.здесь и здесь

Поясним небольшим примером.

Пусть дана последовательность a, b, c, d, е, f, g, …. Тогда посредством последовательного процесса (как операции порождения) можно создать новую последовательность а, а + b, a + b + c, a + b + c + d, …. Результатом является последовательность частичных сумм ряда, порожденного последовательностью a, b, c, d, …. Таким образом, из постоянной последовательности 1, 1, 1, 1, … получается натуральный ряд чисел 1, 2, 3, 4, ….

Ограниченность доступных научных результатов и знаний в области моделирования Натурального ряда чисел и отдельного числа вынуждает автора заниматься встречающимися проблемами самостоятельно. Прекрасная традиция «Хабра» сопровождать публикации ссылками на аналогичные статьи и комментариями способствует поиску необходимых сведений, но тем не менее, движение вперед по ряду причин происходит медленнее чем хотелось бы.

Перечитал комментарии к прошлым статьям. Действительно, интерес имеется (52 комментария), но практически никто не понял, о чем работа. О новом ф-инварианте числа никто даже не упомянул. Наверное, в этом и моя недоработка, хотя я всегда ожидаю определенных усилий (пишу ведь не для развлечений) со стороны читателя, так как сам всегда напрягаюсь, читая о новом в науке.

Плоскостная модель НРЧ

Автором в своих работах используются две плоскостных модели:

  • контурная модель НРЧ
  • гиперболо-круговая модель НРЧ

Основные претензии читателей к понятиям НРЧ «контур», «полуконтур», «интервал» и другим с ними связанных. Думаю, все согласятся, что Спираль Улама – это плоская модель НРЧ. Клетки с числами закручиваются в спираль вокруг начальной клетки. Я предложил в начальную клетку поместить нуль, а дальше по спирали: над клеткой с нулем ставим 1 и движемся по клеткам против часовой стрелки. Начну с качественных пояснений основных понятий.

Первые восемь последовательных чисел в клетках (рис.1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 оконтуривают по периметру клетку с нулем. В линейной модели они лежат в промежутке между клетками с последовательными нечетными квадратами 3 · 3 — 1 · 1 = 8 · k, k = 1, множество из 8-ми клеток от 1 до 9-й названы контуром с номером k = 1, далее следующие 16 клеток с числами 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 оконтуривают по периметру первый контур и они лежат между квадратами следующих последовательных нечетных чисел 5 · 5 – 3 · 3 = 8 · k = 16; k = 2. Эти клетки с числами образуют контур с номером k = 2; так спираль можно продолжать до бесконечности.

Граничные клетки контуров содержат полные квадраты нечетных чисел, а в пределах контура среди его клеток, в одной из них содержится квадрат четного числа между нечетными квадратами в клетках границы контура. В первом контуре – 2 · 2 = 4, во 2-м 4 · 4 = 16, в 3-ем 6 · 6 = 36, в 4-ом 8 · 8 = 64 и так по всему НРЧ. Число клеток k-го контура обозначено L(k) и названо его длиной, она всегда кратна числу 8. Получить длину любого контура, номер которого задан, можно простым умножением восьмерки на номер контура 8k = L(k).

Четный квадрат k-го контура лежит не в произвольной клетке, а разделяет клетки контура на два неравных множества с нечетным числом клеток в каждом. Мощности множеств — последовательные нечетные числа. В первом контуре это три клетки с числами 1, 2, 3 и 5 клеток с числами 4, 5, 6, 7, 8; во втором контуре – это 7 клеток и 9 клеток; в 3-ем контуре – это 11 клеток и 13 клеток. Каждая из 2-х частей, при разбиении k-го контура обозначена m(k) и M(k) и названа полуконтуром. Клетка с четным квадратом (2k) · ( 2k) принадлежит большему множеству (полуконтуру M) и оно на 2 клетки превышает меньшее из двух.

Число клеток полуконтура – его длина, а сумма длин полуконтуров одного k-го контура равна длине этого контура L(k) = m(k) + M(k), где m, M – обозначения полуконтуров и их длины. Нечетные числа между квадратами последовательных чисел НРЧ (разной четности) – это все последовательные нечетные числа. Поскольку в НРЧ квадраты последовательных чисел размещаются в фиксированных позициях, а между ними количества клеток постоянны и равны последовательным нечетным числам, то такое представление НРЧ можно назвать его моделью. Из этой модели вытекает модель отдельного нечетного числа N = y · y — x · x, y >x.

Другими словами, любое нечетное число представимо разностью квадратов разной четности. Этот закон справедлив и для простых нечетных чисел. К сожалению, при этом необходимо
ограничиваться отождествлением нечетного числа с полуконтуром некоторого контура. Известно, что разность квадратов преобразуется в произведение, а именно,
N = y · y — x · x = (у — х)( у + х) = 1 · N, где х = ½ (N — 1); и у = ½ (N + 1), которое называется тривиальным разложением на сомножители. Это удобно, но этого мало.

Но оказывается можно выйти из этого порочного круга, если найти другую (альтернативную) пару квадратов разной четности, удаление которых друг от друга окажется равным N. В этом случае квадраты сохраняют свойство иметь разную четность. Но мы знаем, что все квадраты нечетных чисел связаны с контурами, а четных чисел с полуконтурами. Ясно и то, что, располагая альтернативной парой квадратов для числа N, множество клеток, расположенное между клетками с этими квадратами, не имеет разрывов, т. е. каких-либо не учитываемых клеток. В перечне нечетных чисел, каждое из них имеет порядковый номер k, например, число 7 имеет 4-й номер в перечне (7 =2k+1, k = 4). Сумма от 1 до k нечетных чисел равна k^2.
Это как раз и означает, что множество клеток, моделирующее число первых N, чисел представляет собой последовательность полуконтуров или последовательных нечетных чисел, где некоторые последовательные пары образуют контуры. Ясность в изложение помогает внести числовой пример.

Пример 1. (Предельный контур и альтернативные пары квадратов). Пусть задано число N = 105 = 3 · 5 · 7. Если рассматривать нечетное число 105 как длину одного полуконтура M(k) = 105, то квадраты разной четности х · х и у·у легко вычисляются формулами для смежных чисел ряда х = ½ (N -1) = 52; и у = ½ (N + 1) = 53. Для N в этой ситуации получается тривиальное разложение N = (53 — 52)(53 + 52) = 1·105. Квадраты являются границами предельного полуконтура, большего в k-м предельном контуре, так как 105 ≡ 1 (mod 4).

Определим номер k и длину L(k) предельного контура. Парный к полуконтуру M =105 полуконтур m(k) на 2 клетки (единицы) меньше, т. е. m(k) = 105 – 2 = 103, а их сумма (длина) контура L(k) = 103 + 105 = 208 = 8k, откуда номер предельного контура k = 26. Номер числа N, как полуконтура M(26) = 105 равен половине номера предельного контура kп/2 = 26 / 2 = 13.. Это значение названо в работе Ф-инвариантом числа N = 105. Это характеристика (свойство) нечетного числа обеспечивает поиск и вычисление альтернативных пар квадратов.

Укажем еще целых три пары квадратов (альтернативных), между каждой из которых лежит наше число N = 105: это 1-я пара 4 · 4 и 11 · 11; 2-я пара 8 · 8 и 13 · 13; 3-я пара 16·16 и 19 · 19. Убедимся, что это действительно альтернативные пары квадратов: 121 – 16 = 169 – 64 = 361 – 256 = 105.

Рассмотрим подробнее последнюю из указанных пару квадратов. Она легко преобразуется в произведение N = 361 – 256 = (19 — 16)(19 +16) = 3 · 35 = 105, из которого получили нетривиальное разложение на множители. Квадрат числа 16 это 256, за ним следуют квадраты чисел 17 · 17 = 289; 18 · 18 = 324 и, наконец, 19 · 19 = 361. Число клеток между квадратами разной четности: 289 — 256 = 33, между 324 — 289 = 35, и между 361 — 324 = 37 — это длины полуконтуров в k-х контурах.

Эти разности образуют непрерывный фрагмент последовательности нечетных чисел 33, 35, 37 – или три полуконтура, так как в граничных клетках для каждого из них лежат квадраты разной четности. Какие два из трех чисел (полуконтуров) образуют контур? По определению контура его границы – в клетках, содержащих нечетные квадраты: 289 и 361. Сумма соответствующих клеток образует длину контура, которая должна быть кратна числу 8; 35 + 37 = 72 = 8k = 8 · 9, номер этого контура k = 9. Проверим другую пару 33 + 35 = 68, результат на 8 не делится. Других вариантов нет.

Сделаем вывод: число N = 105 представлено в НРЧ одним полным контуром (k = 9), содержащим 72 клетки, к которому примыкает слева ещё один полуконтур из 33 клеток. Номер полного контура k = 9, а полуконтур принадлежит контуру с меньшим на 1 номером, следовательно, это больший (правый) полуконтур 33 ≡ 1 (mod 4) контура с номером k = 9 — 1 = 8.

Контуры в НРЧ следуют один за другим по возрастанию длины и нумеруются по порядку. Номер меньшего из трех полуконтуров равен половине номера его контура, т. е. 8 / 2 = 4. Полная сумма номеров контура и полуконтура равна kп/2 = 8 / 2 + 9 = 13. Случайно ли это? Ответ получим после анализа оставшихся альтернативных пар квадратов.

Теперь рассмотрим вторую пару квадратов 64 и 169. Между этими квадратами лежат квадраты 9 · 9, 10 · 10, 11 · 11, 12 · 12 и 13 · 13 завершает список. Между квадратами последовательных чисел 9,10,11,12,13 лежат подряд следующие возрастающие нечетные числа 17,19,21,23,25 (81 — 64 = 17, 100 — 81 = 19, 121 – 100 = 21, 144 – 121 = 23, 169 – 144 = 25). Какие-то пары нечетных чисел–полуконтуров образуют контуры: 25 +23 = 48 = 8k = 8 · 6, k = 6; 21 + 19 = 40 = 8k = 8 · 5, k = 5; для числа 17 нет пары. Этот полуконтур принадлежит предшествующему контуру с номером k = 4, и его номер равен половине номера контура, 4 / 2 = 2.

Для числа N = 105 имеем два полных контура 5-й и 6-й и большую половину контура с меньшим номером k = 4. Полная сумма номеров номеров контуров и полуконтура равна kп / 2 =4 / 2 + 5 + 6 = 2 + 5 + 6 = 13. Опять получили такое же значение суммы уже для третьей пары квадратов. Можно подозревать, что это не случайно.

Осталась ещё одна последняя альтернативная пара квадратов 16 и 121. Между этими квадратами лежат квадраты 5 · 5, 6 · 6, 7 · 7, 8 · 8, 9 · 9, 10 · 10 и 11 · 11 завершает список. Между квадратами последовательных чисел 5,6,7,8,9,10,11 лежат нечетные числа 9,11,13,15,17,19, 21 (25 -16 = 9, 36 – 25 = 11, 49 – 36 = 13, 64 – 49 = 15, 81 — 64 = 17, 100 — 81 = 19, 121 – 100 = 21). Какие-то пары нечетных чисел–полуконтуров образуют полные контуры: 21 + 19 = 40 = 8k = 8 · 5, k = 5; 17 + 15 = 32 = 8k = 8 · 4, k = 4; 13 + 11 = 24 = 8k = 8 · 3, k = 3; для полуконтура 9 нет пары. Этот полуконтур принадлежит предшествующему контуру с номером k = 2, и его номер равен половине номера контура, 2 / 2 =1.

Таким образом, имеем три полных контура с номерами 3, 4, 5 и большую половину контура с меньшим номером k = 3 — 1 = 2. Полная сумма номеров контуров и полуконтура равна kп/2 = 2 /2 + 3 + 4 +5 = 13. Снова получили число 13, это вселяет уверенность, в том, что так будет всегда и для других чисел N. Именно так, но на другом числовом примере был открыт ф-инвариант числа N.
здесь и здесь

Пары альтернативных квадратов для составного нечетного натурального числа N = 105 приводят к разным ситуациям, в которых много общего. Между квадратами в граничных клетках промежутков (интервалов) и предельного контура одинаковое число клеток 105, которое будем называть интервалом. Эти интервалы разбиваются промежуточными квадратами по-разному, что порождает разное количество (число) различных нечетных чисел (слагаемых), а именно, 3, 5 и 7. Это число слагаемых в суммах из 105 клеток. В каждой ситуации число слагаемых нечетное. Значит среди них имеется среднее слагаемое – это числа 35, 21 и 15. Возникает теорема. Для составного нечетного числа N, представляемого специальной аддитивной моделью, произведение среднего слагаемого на количество слагаемых дает одинаковый результат 3 · 35 = 5 · 21 = 7 · 15 = 105. Относительно слагаемых заметим, что это последовательные нечетные числа и каждое из них в НРЧ ограничено слева и справа квадратами разной четности.

Интервал отличается от контура тем, что содержит не менее трех полуконтуров (в контуре их только два); ограничивается квадратами разной четности (для контура оба граничных квадрата нечетные); и длина интервала (число клеток в нем) не обязана быть кратной числу 8 как в контуре. Интервалы для составных чисел могут возникать в разных областях НРЧ, как нечетные числа, образуемые из суммы последовательных нечетных чисел. Из нашего примера видим, что интервалы могут даже пересекаться, т.е. иметь одинаковые слагаемые в образующих их длину суммах.

Теперь обратим внимание на то, что во всех 4-х рассмотренных ситуациях подсчитывалась сумма номеров контуров, которая оказывалась для N = 105 постоянной и равной числу 13, т.е. равна половине номера предельного контура k = 26. Этот номер для произвольного N легко вычисляется, и его половина называется ф-инвариантом числа N. Оказывается, альтернативные пары квадратов можно находить, если определены номера контуров, образующих число N. Главное свойство ф-инварианта — его независимость от разрядности числа. Для чисел больших и огромных чисел формулы остаются без изменения и концепция контуров остается работоспособной и эффективной.

В свою очередь эта задача (определение номеров образующих число N контуров) решается путем получения специальных комбинаторных разбиений числа (для примера) kп / 2 =13 на части (слагаемые), отличающиеся от предыдущих на единицу: 5 + 4 + 3 + 2 / 2 = 6 + 5 + 4 / 2 = 9 + 8 / 2 = 13. Таким образом, задача факторизации числа N может быть сведена к комбинаторной задаче о специальных разбиениях чисел.
На этом качественное рассмотрение концепции завершим и перейдем к формализмам моделей.

Контурная модель НРЧ.

В предлагаемом подходе к моделированию натурального ряда чисел, этот ряд и его элементы получает другую не совсем обычную интерпретацию. Представим НРЧ как бесконечное множество пронумерованных ячеек, образующих линейный регистр, в каждую из которых подряд, начиная с первой, вписано число из натурального ряда чисел равное ее номеру.

Слева к регистру можно добавить ячейку с нулевым значением, которое отсутствует в НРЧ. Структура числовых квадратов на числовой оси закрепляется в их позициях (ячейках) и не меняется при вычислениях, а для всех других чисел на оси в модели учитываются только их позиции, а не значения. Множества этих позиций представляют собой промежутки между закрепленными на числовой оси НРЧ квадратами, а мощности множеств соответствуют рассматриваемым и обрабатываемым множествам и числам N.

Основная роль в контурной модели отводится нечетным числам (Осн.теорема факторизации). В терминах контурной модели всегда все нечетные числа представляются непрерывной последовательностью позиций (контентом), формируемой из целых полуконтуров (определения даются ниже).

В крайних позициях всех полуконтуров и соответственно контуров, и интервалов при этом всегда размещаются квадраты чисел и тогда N = y2 — x2, где Гл(N) = х2 = [(N — 1)/2]2 и Гп(N) = у2 = [(N + 1) / 2]2. Пара чисел (х, у) не единственная, между квадратами которых лежит заданное число N (рис. 2, 3). Определить другие (альтернативные) пары очень непросто, но для составных N они всегда существуют. Именно они обеспечивают быструю факторизацию числа.

Преимущества такого рассмотрения чисел и НРЧ состоит в том, что границы левая и правая (Гi) промежутков (интервалов), соответствующих произвольным нечетным числам, всегда полные квадраты, а значение нечетного числа N равно разности Гп(N) правой (большей) и Гл(N) левой (меньшей) границ промежутков N = Гп(N) — Гл(N).

Таким образом, на фоне структуры закрепленных в НРЧ числовых квадратов нечетные числа рассматриваются не точками, а последовательностями ячеек (множеством точечных позиций), размещаемых между ячейками с закрепленными в НРЧ квадратами последовательных натуральных чисел, т. е. чисел переменной (чередующейся) четности. Особенностью такого представления нечетных чисел N в контурной модели является то, что все контуры, полуконтуры, интервалы для N — это промежутки, образованные ячейками регистра и в крайних ячейках промежутков всегда лежат квадраты натуральных чисел.

Такое положение обеспечивает представление любого N разностью границ представляющего число N промежутка (интервала), т. е. разностью квадратов, которая в свою очередь легко преобразуется в произведение чисел, обеспечивая факторизацию числа N.


Рисунок 1 Регистр с НРЧ закрученный вокруг клетки с нулем подобно спирали Улама

Каждое нечетное число, и такие объекты как множество непрерывных позиций чисел, образующих контуры, полуконтуры и интервалы, жестко привязаны к их положению (позиции) в НРЧ. Структура этой модели постоянная, положение ее элементов в НРЧ не меняется.

Имеется теорема о представимости любого нечетного числа N разностью двух квадратов чисел разной четности. В случае, когда числа смежные, они (квадраты) легко устанавливаются как границы полуконтура N через номер контура.

Положение любого нечетного числа N в НРЧ, представляемого как разность квадратов двух смежных чисел разной четности и измеряемого количеством позиций (ячеек) между позициями (ячейками) с квадратами, определено его границами — квадратами смежных чисел, имеющих разную четность, зависящими от N и определяемыми формулами:

Гл(N) = х2 = [(N — 1) / 2]2 и Гп(N) = у2 = [(N + 1) / 2]2.

Это справедливо для положения числа N в предельном контуре. Такая привязка нечетного числа N к НРЧ используется при вычислениях. Границы (ячейки начала и конца объектов) контуров, полуконтуров и интервалов — всегда квадраты чисел, для которых четность и положение (начало, конец) в НРЧ определяется однозначно. Если число N простое, то представление его разностью квадратов N = y2 — x2 единственно; для составных чисел N, кроме такого представления существуют и другие представления интервалами, у которых в граничных ячейках размещаются другие (альтернативные) пары квадратов.

Для удобства манипулирования с числами N вводится разделение нечетных натуральных чисел на два класса (класс левых и класс правых в зависимости от их положения в предельном контуре), а более формально в зависимости от объективного их свойства сравнимости по модулю 4:

  • для левых нечетных чисел выполняется сравнение N ≡ 3( mod4) и
  • для правых нечетных чисел — сравнение N ≡ 1( mod4).


Теперь введем несколько понятий и определений, которые потребуются в дальнейшем.

Структура контурной модели НРЧ

Контуры и их границы образуют структуру (скелет) модели НРЧ.
Выберем пару (х, у) последовательных (смежных) нечетных чисел х = (2k — 1), у = (2k + 1); у > x в соответствующих ячейках НРЧ, где k — произвольное натуральное число. Между этими ячейками (с числами) имеется единственная ячейка с четным числом z = (2k).

Возведем числа х, у, z в квадрат. Квадрат х2 = (2k -1)2, квадрат у2 = (2k +1)2, квадрат z2 = (2k)2. Относительное положение ячеек с квадратами чисел останется таким же как и прежде (для первых степеней чисел) но ячейки с квадратами будут уже более удалены друг от друга. Ячейка с четным квадратом будет лежать между ячейками с нечетными квадратами, определяющими один k-й контур. Между ячейками с квадратами чисел появятся ячейки с новым содержанием.

Модуль разности чисел (квадратов чисел) в крайних ячейках объектов назовем расстоянием между ячейками их содержащими, и обозначим символом L(k) = y2 — х2 = (2k+1)2 — (2k-1)2 = 8k, которое будем измерять числом ячеек между y2 и х2. Такое определение расстояния удовлетворяет всем аксиомам расстояния.

Известно, что любое нечетное число представимо разностью квадратов разной четности:
  • так — для правых нечетных чисел Nп(k) = (2k+1)2 — (2k)2 или
  • так — для левых нечетных чисел Nл(k) = (2k)2 — (2k — 1)2.


Более того, для составного нечетного натурального числа (СННЧ) такое представление не единственно.

Именно нечетные квадраты НРЧ формируют структуру его контурной модели.
Среди ячеек НРЧ встречаются ячейки, содержащие квадраты натуральных чисел с чередующейся четностью 12, 22, 32, 42,…

Между ячейками, содержащими квадраты последовательных нечетных чисел 12, 32, 52, 72, 92, 112, 132, 152, ...и так до ∞, всегда располагаются промежутки из ячеек, количество которых всегда кратно числу 8.

Действительно, 32 — 12 = 1 ∙ 8, 52 — 32 = 16 = 2 ∙ 8, 72 — 52 = 24 = 3 ∙ 8, 92 — 72 = 32 = 4 ∙ 8, ...,
(2k + 1)2 — (2k — 1)2 = 8k ,...
и так до ∞. Промежутки длиной L(k), образованные этими ячейками (L(k) количество ячеек в промежутке между квадратами последовательных нечетных чисел), будем называть контурами. Все контуры получают порядковые номера k, пробегающие значения от 1 через 1 и до бесконечности, что нам удобно будет обозначать так
k = 1(1)∞.

Удобство символа k = 1(1)∞ состоит в том, что в скобках можно указывать другие значения шага перечисления, например, для задания последовательности положительных нечетных чисел пишем
НЧ = 1(2)∞, что соответствует 1,3,5,7,...; а для задания последовательности четных чисел пишем ЧЧ = 0(2)∞, что соответствует 0,2,4,6,.... Номера всех контуров определяются выражением k = L(k)/8. Отсюда длина контура определяется через его номер формулой L(k) = 8k. Крайняя левая ячейка каждого контура всегда содержит квадрат нечетного числа и ее положение в НРЧ соответствует позиции (точке) НРЧ с этим числом.

Основные понятия и определения в контурной модели НРЧ.

Каждый контур НРЧ характеризуется именем, номером k, значениями границ: левой
Гл(N) =(2k — 1)2 и правой Гп(N) =(2k + 1)2, длиной (числом позиций-ячеек)
L(k) = 8k = Гп(N) — Гл(N) = (2k + 1)2 — (2k — 1)2.

Контур — множество ячеек регистра с числами между ячейками с квадратами последовательных (смежных) нечетных чисел. Мощность множества ячеек k-го контура обозначим символом L(k) = y2 — х2 = (2k+1)2 — (2k-1)2 = 8k и назовем длиной контура. Длина контура определяется разностью квадратов последовательных нечетных чисел, его границ, и равна восьмикратному значению натурального числа k.

Границы контура. Все границы — полные квадраты.
Таким образом, k-й контур образован ячейками и имеет начальную ячейку, содержащую квадрат меньшего ( х ) из двух нечетных чисел, называемую в модели НРЧ левой границей Гл(k) = (2k — 1)2 контура, и конечную ячейку, называемую правой границей Гп(k) = (2k + 1)2 контура. В одной из промежуточных ячеек k-го контура содержится квадрат z2 = (2k)2 четного числа, называемый средней (центральной) границей Гц(k) = (2k)2 контура.

Весь НРЧ разбивается квадратами нечетных натуральных чисел на промежутки, представляющие собой последовательные контуры, длины которых можно рассматривать как элементы арифметической прогрессии с начальным элементом а = 8 и разностью d = 8, причем так, что номера контуров следуют подряд один за другим, как и сами контуры без перекрытий, и образуют сам НРЧ. Длины двух последовательных контуров с номерами k и k+1 различаются на 8 единиц, а длина каждого контура в отдельности с номером k пропорциональна числу 8, т.е. L(k) = 8k.
Поясним контурную структуру НРЧ числовыми примерами.

Пример 2. (Вычисление границ контуров и полуконтуров) Рассмотрим пару смежных контуров 9-й и 10-й с номерами k = 9 и k =10.
Определим длину каждого контура как функцию номера контура L(9) = 9 ∙ 8 = 72 и L(10) = 10 ∙ 8 = 80. Разность длин смежных контуров L(10) — L(9) = 80 — 72 = 8 составляет 8 единиц.

Найдем границы контуров и через них вычислим их длину:
Девятый контур: левая граница Гл(k) =(2k — 1)2 = (2 ∙ 9 — 1)2 = 289 и правая граница Гп(k) =(2k + 1)2 =(2∙9 + 1)2 = 361.

Десятый контур: левая граница Гл(k) =(2k — 1)2 = (2∙10 — 1)2 = 361 и правая граница Гп(k) = (2 ∙ k + 1)2 = (2 ∙ 10 + 1)2 = 441.

Вычисляем длины контуров как разность их границ:

L(9) = Гп(9) — Гл(9) = 361 — 289 = 72;
L(10) = Гп (10) — Гл(10) = 441 — 361 = 80.


Заметим, что у контура с меньшим номером правая граница (361) совпадает с левой границей большего.

Среди ячеек каждого k-го контура имеется ячейка с квадратом четного числа (2k)2. Четный квадрат (2k)2 во внутренней ячейке (контура с номером k) разбивает множество ячеек контура на два подмножества (полуконтура, блока): слева от (2k)2 и справа от (2k)2, которые обозначаются как m(k) — левый полуконтур и M(k) — правый полуконтур.

Эта ячейка делит множество ячеек контура на две части левую с длиной L(m(k)) = 4k-1 и правую с длиной L(M(k)) = 4k +1. Количество ячеек, попадающее в левый полуконтур (слева от ячейки с четным квадратом), всегда на две меньше чем в правом полуконтуре L(M(k))- L(m(k)) = 2. Длины полуконтуров это всегда два смежных нечетных числа. Суммарная длина полуконтуров L(M(k))+ L(m(k)) =L(k) равна длине k-го контура.

Границы полуконтуров в k-ом контуре правая граница левого полуконтура и левая граница правого полуконтура совпадают и равны четному квадрату в контуре. Эта граница обозначается как центральная граница k-го контура Гц(k) = (2k)2. Внешние границы обоих полуконтуров левая левого полуконтура Гл(k) = (2k — 1)2 и правая правого полуконтура
Гп(k) = (2k + 1)2 совпадают с соответствующими границами самого k -го контура.

Полуконтур — множество ячеек регистра между ячейками с квадратами последовательных (смежных) чисел НРЧ, имеющих разную четность. Каждый полуконтур имеет границы в крайних клетках своего множества ячеек. Имеем описание границ полуконтуров:
— для левого полуконтура левой границей является левая граница контура Гл (m(k)) = Гл (k), а правой границей — центральная граница контура Гп (m(k)) = Гц (k); — для правого полуконтура левой границей является центральная граница Гл (M(k)) = Гц (k) контура, а правой границей — правая граница контура Гп (M(k)) = Гп (k). Видим, что полуконтуры каждого контура лежат между квадратами разной четности, следовательно, они являются нечетными числами и, более того, последовательными нечетными числами с разностью в две единицы.

Весь НРЧ разбивается квадратами натуральных чисел на промежутки, представляющие собой (нечетные числа) последовательные полуконтуры, длины которых можно рассматривать элементами еще одной возрастающей арифметической прогрессии с начальным элементом а = 3 (наименьший полуконтур в НРЧ) и разностью d =2.

С другой стороны, не любые два последовательных нечетных числа (ячейки) при их конкатенации в ячейках регистра образуют контур. Одно из свойств контура — делимость его длины на 8. Так числа 11 и 13 образуют контур 11 +13 = 24 = 3•8 с номером k = 3, а числа 13 и 15 контур не образуют, сумма 13 + 15 = 28 ≢ 0(mod8) не кратна восьми.

Для последней суммы нарушено и другое свойство контура — его границы должны быть квадратами только нечетных чисел. Для числа 13 (правый полуконтур из третьего контура) имеем: левая граница Гл(M(k =3)) = Гц(k = 3) = (2•3)2= 36 — число четное и эта граница не может быть крайней границей контура.

Пример 3. (Вычисление длины контура). Располагая значениями границ полуконтуров k-го контура, возможно определить длину полуконтура, как разность его границ:
левый полуконтур k-го контура имеет длину L(m(k)) = Гп (m(k)) — Гл (m(k)) = Гц (k) — Гл (k) = (2k)2 — (2k — 1)2 = 4k — 1. Правый полуконтур k-го контура имеет длину
L(M(k)) = Гп (M(k)) — Гл (M(k)) = Гп (k) — Гц (k) = (2k + 1)2 — (2k)2 = 4k + 1.

Поскольку левый и правый полуконтуры образуют k-й контур, то сумма их длин равна длине k-го контура L(k) = L(m(k)) + L(M(k)) = 4k — 1 + 4k +1 = 8k.
Эти характеристики иллюстрируются рисунком 2, на котором n = k. Полуконтуры не получают собственных номеров (хотя это легко ввести), для их характеризации используется половина номера, того контура, которому они принадлежат.


Рисунок 2 — Представление контура с номером k = n и его полуконтуров на числовой оси

Выражения 4k — 1, 4k + 1 описывают длину левого и правого полуконтуров, а выражения (2k — 1)2, (2k)2, (2k + 1)2 описывают границы левую, среднюю и правую этого контура.

Пример 4.( Выполним расчеты характеристик полуконтуров для исходных данных примера 3).
Длина полуконтуров через номер контура k:

k = 9.
левый полуконтур L(m(k)) = 4k — 1 = 4 ∙ 9 — 1 = 35 и правый полуконтур L(M(k)) = 4k +1 = 4 ∙ 9 + 1 = 37, разность длин полуконтуров 37 — 35 = 2.

k = 10.
левый полуконтур L(m(k)) = 4 ∙ k — 1 = 4 ∙ 10 — 1 = 39 и правый полуконтур L(M(k)) = 4k +1 =4 ∙ 10 + 1 = 41, разность длин полуконтуров 41 — 39 = 2.

Длина полуконтуров через вычисление их границ. Определим границы полуконтуров и через них вычислим их длину:

для m(9): левая граница Гл(k) = (2k — 1)2 = (2 ∙ 9 — 1)2 = 289 и правая граница Гп(k) = Гц(k) =(2k)2 = (2 ∙ 9)2 = 324, M(9): левая граница Гл(k) = Гц(k) = (2k)2 = (2 ∙ 9)2 = 324 и правая граница Гп(k) = (2k + 1)2 = (2 ∙ 9 + 1)2 = 361,

для m(10): левая граница Гл(k) = (2k — 1)2 = (2 ∙ 10 -1)2 = 361 и правая граница Гп(k) = Гц(k) = (2k + 1)2 = (2 ∙ 10)2 = 400, M(10): левая граница Гл(k) = Гц(k) = (2k)2 = (2 ∙ 10)2 = 400 и правая граница Гп(k) = (2k + 1)2 =(2 ∙ 10 + 1)2 = 441.

Вычисляем длины полуконтуров через найденные границы:

для k = 9: L(m(9)) = Гц(9) — Гл(9) = 324 — 289 = 35; L(M(9)) = Гп(9) — Гц(9) = 361 — 324 = 37.

для k = 10: L(m(10)) = Гц(10)-Гл(10) = 400 — 361 = 39; L(M(10)) = Гп(10) — Гц(10) = 441 — 400 = 41.

Длины контуров как суммы длин полуконтуров:
для k = 9: L(k) = L(M(k)) + L(m(k)) = L(9) =37 + 35 = 72;
для k = 10: L(k) = L(M(k)) + L(m(k)) = L(10) = 41 + 39 = 80.

Каждое составное или простое нечетное число N, рассматриваемое как полуконтур, принадлежит единственному контуру, называемому предельным контуром.

Пример 5. Выполним расчеты характеристик контурной структуры двух нечетных чисел N = 983 и N = 987. Первое число нечетное простое. Оно представлено в НРЧ полуконтуром, т. е. множеством позиций-ячеек. Вначале установим принадлежность N к левому или к правому классу нечетных чисел; 983 ≡ 3( mod4), число N=983 левое. В своем контуре оно находится слева от центральной границы. Смежное справа нечетное число равно 985 и их сумма равна длине контура L(k) = 983 + 985 = 1968 c номером k =1968/8 = 246.

Итак, имеем m(k = 246) = 4k — 1 = 983.

Этот полуконтур имеет границами квадраты смежных чисел: Гл(m(246)) = (2k — 1)2 = 4912 = 241081 и
Гп(m(246)) = Гц (m(246)) = (2k )2 = 4922 = 242064.

Простое число N = 983 лежит между границами-квадратами смежных чисел и может быть разложено на множители (факторизовано).

N = 983 = Гц — Гл = 242064 — 241081 = (492 — 491)(492 + 491) =1 ∙ 983. Получили тривиальное разложение на множители.

Приступим к обработке составного числа N = 987. Число 987 ≡ 3( mod4) лежит в классе левых чисел и принадлежит контуру с номером k = (987 + 989) / 8 = 247. Этот контур является смежным с контуром для числа 983 (предшествующим), его длина на 8 единиц больше предыдущего. Структура смежных контуров НРЧ определяется их границами: 4912/ 4922/ 4932/ 4942/ 4952. Общей для обоих контуров является граница 4932.

Для числа N = 987 определим номер его предельного контура k = (987 + 989) / 8 = 247, границы контура квадраты смежных нечетных чисел:
Гл(m(247)) = (2k — 1)2 = 4932 = 243049 и
Гц(m(247)) = (2k )2 = 4942 = 244036 и
Гп(m(247)) = (2k + 1)2 = 4952 = 245025,

разложение на множители его левого полуконтура:
N = 987 = Гц — Гл = Гц(m(247)) = (2k )2 — Гл(m(247)) = (2k — 1)2 = (494 — 493)(494 + 493) =1 ∙ 987
получили тривиальное разложение, так как рассматривался предельный контур, в котором число N = 987 — полуконтур.

Но так как число N = 987 составное, то на основе анализа контурной структуры числа можно указать альтернативную пару квадратов, в интервале между которыми лежит это число и интервал содержит более одного полуконтура.
Число N = 987 = 327 + 329 + 331 представимо суммой трех смежных нечетных чисел, образующих интервал из 987 позиций. Каждое из этих чисел является полуконтуром в своих предельных контурах.
Определим номера контуров: k = (327 +329) / 8 = 656 / 6 = 82, следующий контур как смежный должен иметь номер на единицу больше k = 83.

Теперь можно определить границы всех полуконтуров, но нам потребуются только две границы — крайние для интервала длиной 987:
Гл(987) = Гл(m(82)) = (2k — 1)2 = 1632 = 26569 и
Гп(987) = Гц(m(83)) = (2k )2 = 1662 = 27556.
Разность этих границ-квадратов интервала равна числу N = 987 и обеспечивает его нетривиальную факторизацию

N = 987 =(166 -163)(166 + 163) = 3 ∙ 329.
Делитель d = 329 числа N = 987 — составное число и может быть подвергнут дальнейшей аналогичной обработке для завершения факторизации числа N = 987 =3 ∙ 329 = 3 ∙ 7 ∙ 47.

Интервалы и их границы образуют основу модели отдельного натурального числа
Основное отличие интервалов от контуров и полуконтуров в том, что положение контура и, следовательно, его полуконтуров в НРЧ постоянное (закрепленное), а интервал может формироваться из таких закрепленных промежутков в разных частях НРЧ. Контур — это интервал из двух полуконтуров, сумма которых кратна числу 8. Границы контура всегда квадраты смежных нечетных чисел. Важно понимать и помнить, что любое СННЧ N образуется нечетным количеством последовательных нечетных чисел, т.е. полуконтуров, сумма длин которых как раз и равна значению N.

Поскольку любое СННЧ N можно представить разностью квадратов чисел разной четности, то предположим, что ему (числу N) соответствуют в разных местах НРЧ множества из N ячеек регистра (интервалы) с квадратами чисел в крайних ячейках. Эти N ячеек группируются из полуконтуров и контуров по-разному, что и показано границами (числами-квадратами) рис. 3).

Интервал — множество ячеек регистра между крайними ячейками, содержащими квадраты не смежных чисел НРЧ, имеющих разную четность. Интервалы (более одного), представляющие одно СННЧ N, могут перекрываться (рис.3), что исключено для контуров и полуконтуров. В этом множестве между парами крайних ячеек (границами интервала) могут содержаться квадраты чисел разной четности (фрагменты контурной структуры).

Множество ячеек интервала всегда разбивается на целое число полуконтуров, количество которых должно быть нечетным и равным меньшему делителю N, так как длина любого полуконтура — нечетное число. Средний полуконтур из числа формирующих интервал, равен большему делителю N. Крайние ячейки множества с квадратами из определения играют роль границ интервала и могут отстоять одна от другой как угодно далеко.

Между граничными ячейками интервала может встречаться множество ячеек с другими квадратами, не превышающими значения правой границы интервала. Ранее было показано, что все квадраты НРЧ являются граничными значениями объектов (у контура оба квадрата нечетные, у полуконтуров четность квадратов на границах разная). Отсюда следует, что аддитивное строение интервала, соответствующего составному нечетному числу всегда может быть представлено последовательностью множества полуконтуров.

Пример 6. (Аддитивная модель числа, представляемого интервалом). Задано число N = 105 = 7 ∙ 15. N = 105 ≡ 1 (mod 4) — правое нечетное число. Его можно представить с одной стороны, разностью квадратов разной четности,
например 121 — 16 = 105, с другой стороны, интервалом составленным из 7 последовательных полуконтуров (из 7-ми нечетных чисел) со средним полуконтуром с длиной равной 15, т.е. 105 = 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 суммарной длиной равной 105. Все семь полуконтуров в НРЧ имеют границами полные квадраты, следовательно, и представляющий интервал в качестве своих границ имеет те же самые крайние ячейки (левую и правую) крайних полуконтуров (с длиной 9 и 21).

Четный квадрат — левая граница интервала (левая граница полуконтура с длиной 9) должен совпадать с четной (центральной) границей полуконтура. Этот полуконтур должен быть крайним (левым) в интервале. Однозначно это определяется после установления принадлежности N одному из двух классов (левое, правое число N) нечетных чисел.
Для левого СННЧ полуконтур должен быть крайним справа, для правого СННЧ — крайним слева. Остальные полуконтуры естественным образом попарно объединяются в контуры, номера которых образуют фрагмент НРЧ, т.е. номера смежных контуров различаются только на единицу.

Пример 7. На рисунке 3 на числовой оси изображены четыре интервала НРЧ, представляющих СННЧ N = 105. На числовой оси указаны границы каждого из четырех интервалов (это пары квадратов разной четности), а длины интервалов показаны фигурной скобкой с указанием значения длины — она одинакова (= 105) для всех интервалов.

Границы самого правого интервала являются парой квадратов смежных чисел. Это означает, что этот интервал не подпадает под определение интервала и является исключением. Заданное число N = 105 ≡ 1(mod 4) в НРЧ представляется правым полуконтуром предельного контура и вместе с левым полуконтуром, его длина по отношению к правому полуконтуру на 2 единицы меньше, они образуют предельный контур. Это контур с длиной 103 + 105 = 208 и с номером k = 208 / 8 = 26. Границы этого контура и полуконтура устанавливаются через найденный номер 26.

Само число N=105 характеризуется половиной номера контура, т.е. k(105) / 2 =26 / 2 = 13.
Для контура с номером k = 26 имеем:
— левая граница Гл(k) = (2k — 1)2 = (2 • 26 — 1)2 = 512;
— правая граница Гп(k) = (2k +1)2 = (2 • 26 + 1)2 = 532;
— средняя граница Гц(k) = (2k)2 = (2 • 26)2 = 522.
и правый полуконтур лежит между квадратами 532 и 522


Рисунок 3 — Представление 4-x интервалов для правого полуконтура N = 105 из контура с номером k = 26;
Для каждого интервала СННЧ N =105 указано его положение в НРЧ парой границ — квадратов (42 и 112); (82 и 132);(162 и 192); (522 и 532).

Так как N = 105 правое число, то во всех представляющих интервалах левый крайний полуконтур имеет левой границей четное число. Рассмотрим на рис. 3 левый интервал с границами 42 и 112. Решим обратную задачу: имеется левая граница полуконтура (четный квадрат 42) определить значение длины полуконтура.
Имеем для средней границы Гц(k) = (2k)2 = (2•2)2 = 42, т.е. k = 2 и
длина правого полуконтура L(M(2)) = 4k + 1 = 4 • 2 + 1= 9.

Следующим за контуром с k = 2, от которого в интервал включается лишь полуконтур с L(M(2)) = 9, будет контур с k = 3 (его длина L(3) = 3 • 8 = 24), за ним с k = 4 (его длина L(4) = 4 • 8 = 32), затем k =5 (L(5) = 40). Вычислим суммарную длину полуконтура и 4-х контуров, т.е. длину интервала L(105) = 9 + 24 + 32 + 40 = 105 и сумму номеров контуров
2/2 + 3 + 4 + 5 =13.

Выполним такие же действия для следующего представляющего число N интервала с границами 82 и 132. Левая граница полуконтура (четный квадрат 82 ) совпадает с левой границей интервала. Определим значение длины полуконтура.
Имеем для этой границы Гл(k) = (2k)2 = (2•4)2 = 82, т.е. k = 4 и
длина полуконтура L(M(4)) = 4k + 1 = 4 • 4 + 1 = 17.

Следующим за контуром с k = 4, от которого в интервал включается лишь полуконтур с L(M(4)) = 17, будет контур с k = 5 (его длина L(5) = 5 • 8 = 40), за ним с k = 6 (его длина L(6) = 6 • 8 = 48).

Вычислим суммарную длину полуконтура и 2-х контуров, т.е. длину интервала
L = 17 + 40 + 48 = 105 и сумму номеров контуров 4 / 2 + 5 + 6 = 13.
Для третьего интервала проделываются вычисления в том же порядке и получаем суммарную длину правого полуконтура из 8-го контура (k = 8) и полный k = 9 контур, т.е L(M(8)) = 4 • 8 +1 = 33, L(9) = 9 • 8 = 72 или L = 33 + 72 = 105. Сумма номеров контуров 8 / 2 + 9 = 13.

Для 4-го интервала, правому полуконтуру соответствует лишь половина номера контура, в котором он лежит, т.е.
k / 2 = 26 / 2 = 13.

Ф-инвариант. Видим, все 4 интервала характеризуются постоянным значением суммы номеров контуров и крайнего слева полуконтура, значением равным 13.

Ф-инвариантом СННЧ N называется половина номера предельного контура k(N)/2, в котором это число является полуконтуром. Именно эту величину рассматриваем как ф-инвариант СННЧ N. Все выполненные вычисления для интервалов можно проделать в обратном порядке до представления интервала СННЧ разностью квадратов чисел разной четности. Получив представление числа N = Гп (k) — Гл(k) в виде разности границ интервала, которые всегда полные квадраты, выполняем разложение N на множители.

Границы интервалов находятся при условии, что известны номера контуров, формирующих интервал. Этот вопрос решается при представлении ф-инварианта специальной суммой (разбиением числа) слагаемых, являющихся номерами контуров, т.е. числами следующими подряд через единицу.
AdBlock has stolen the banner, but banners are not teeth — they will be back

More
Ads

Comments 49

    +12
    Знаете, в чём разница между научной и популярной статьёй? Ну, вообще много в чём. Но я говорю о разнице в уровне базового доверия и заинтересованности.

    Научную статью читает мотивированный человек, который верит, что у статьи есть содержание, и оно ценно. Потому ей позволительны и сухость, и стена формул, и немотивированный ввод определений, и прочее.

    Вы пишете наукообразно, но вы находитесь не в той позиции. Вам здесь не доверяют, и научную статью от вас читать не будет никто или почти никто. Да и в принципе Хабр — не место для научных статей.

    Ваша первейшая задача — убедить читателя, что в том, что вы пишете, есть хоть какая-то ценность. И у вас для этого довольно мало времени, то есть текста. Пара абзацев — читатель до сих пор не видит сути — читатель уходит. Если вы не смогли в самом начале кратко, ёмко, понятно объяснить, о чём текст и какая от него польза — этот текст не будет прочитан никем или почти никем. Такие дела.
      0
      Спасибо, я это знаю
        +3
        Тогда в чём смысл данного поста?
        +4
        Хабр — не место для научных статей
        Да и эта статья — не научная, а, как вы верно подметили, «наукообразная». В ней нет ни цельности, ни структуры. Формы, которые автор усматривает в последовательности чисел, ничем не отличаются от посланий, которые в «Играх разума» Джон Неш вычленял из газетных статей. В наборе чисел можно увидеть всё, что угодно — и ромбы, и спирали, и собственный день рождения, и график логарифмической функции, закодированной количеством цифр в числе.

        Видение фигур в числах, специально упорядоченных для возникновения таких фигур, не имеет никакого смысла. Имеет смысл нахождение закономерностей в последовательностях и расположениях, которые уже сами по себе имеют смысл — например, коэффициенты разложения функции в ряд, или рекуррентно вычисляемых многочленов, или графов с конкретно определёнными свойствами и всё такое.
          0
          Это уже другой вопрос. Я надеялся, что он возникнет у автора самостоятельно при попытке выделить суть.
          0
          Вы все верно написали. И вообще от вас можно ожидать отдельной статьи с рекомендациями авторам, которая многим бы пригодилась ).

          Но я бы все-таки не был так категоричен в «первейшей задаче автора». Между строгой научной статьей и доступной популярной есть еще серая зона «чего-то непонятного». Публикация статей в этой зоне больше нужна самим авторам для того, чтобы разобраться в теме. Если хабр позволяет это делать, то почему бы это не использовать? Публичность заставляет вникать в тему. Это работает, и я этим пользовался. Вполне возможно, что впоследствии автор начнет выдавать более качественное содержание. Ради этого можно и потерпеть ).
          С другой стороны, я бы предложил отдельно тегировать такие статьи чем-то вроде «Вести из лабораторий» или «Мастерская», чтобы предупредить читателей.

          0
          О контуре. Посмотрите на рис.1. Клетка с нулем окружена другими клетками с числами 1,2,3,4, 5,6,7,8. Эти 8 клеток и образуют первый контур с k = 1, а второй контур образуют клетки с числами, окружающие (оконтуривающие) первый контур. Так возникают все контуры с номерами, идущими подряд k =1(1)00 до бесконечности. Изюминка в том, что клетки любого контура и полуконтуров ограничены клетками, содержащими квадраты. Далее, любое нечетное число можно получить как сумму полуконтуров: 105 =33+35+37. Так вот составленное таким образом (любое) нечетное число всегда будет равно разности чисел в граничных для него клетках, и там всегда будут квадраты целых чисел.105 = 19х19 -16х16. Наличие разности квадратов обеспечивает разложение числа на множители, т.е факторизацию
            +1
            Если записать числа от 1 до N2, наибольшее из них будет равно N2. Неожиданное открытие, думаю, вам следует соискать премию Филдса.
              0
              Посмотрите на рис.1. Клетка с нулем окружена другими клетками с числами
              Я уже писал в комментарии к прошлой статье: раз вы записываете числа в табличном виде — математически это значит каждому числу поставить в соответствие пару координат. Запишите формулу значения клетки от её координат явным образом — и вопросы, откуда там берутся квадраты, отпадут.
                +1

                Но разве все это не очевидно? То, что контур заканчивается квадратом — так это просто потому, что контур заканчивается на числе, которое является площадью квадрата, который этот контур окружает, минус один, так как площадь Вы начинаете считать с 0. Таким образом k-тый контур имеет длину стороны 2k+1 и площадь (2k+1)^2.


                По поводу того, что любое нечетное число можно представить в виде разности квадратов — так это тоже доказывается за минуту. Кстати, таким свойством обладают все нечетные числа и четные, кратные четырем.


                Что в разности квадраты имеют разную четность — тоже очевидно: нечетное число можно получить из суммы двух целых только тогда, когда оба числа разной четности. Иначе получается четное число. Даже несколько удивляет почему Вы все время делаете ударение на столь очевидной вещи.


                Дальше, чего тут очень не хватает — так это строгих доказательств. Вот Вы, например, говорите, будто любое нечетное число можно представить в виде суммы чисел из соответствующего (полу)контура. И приводите пару примеров. Но это всего лишь показывает, что это утверждение верно только для этих примеров и все. Нужны доказательства для любого нечетного числа!


                И еще Вы вспомнили, что открыли какой-то закон распределения натуральных чисел. Что это за закон? И какую проблему информационной безопасности Вы решаете?

                  0
                  |И еще Вы вспомнили, что открыли какой-то закон распределения натуральных чисел. Что это за закон?
                  Когда пропускаются слова (на самом деле «Закон распределения делителей натуральных чисел в натуральном ряде») искажается смысл чужой работы. Смею думать, что Вы это делаете без злого умысла. С Законом можно познакомиться, сделав запрос (погуглить). Кто понимает в законах, скопировали мою работу она распространяется без усилий с моей стороны.
                    0
                    Занимаюсь я проблемой ИБ, которую можно назвать — дешифрование сообщений
                0
                Выше уже обозначены основные проблемы, поэтому пока их игнорирую и добавлю по теме.

                Представление в виде спирали нечитаемое. Да, там видны диагонали, но найти какое-либо другое число — очень сложно. Измените представление. Например — вертикальная последовательность «контуров» (в вашей терминологии), то есть треугольник, каждая строка в котором — контур. Тогда наглядность не потеряется, но и оперировать содержимым будет много проще.

                Выделяйте главное. В бесконечной череде описаний случайных свойств нет ничего интересного. А вот в выводах, следующих из того, что вам кажется важным в этой бесконечной череде случайных свойств, может присутствовать что-то интересное. Вы же выводы прячете, размываете их бесконечной чередой случайных свойств. Зачем? Совершенно незачем. И вы сами это понимаете. Но просто повторяете стиль учебника по математике, что в данном случае совершенно неуместно. Даже в научных статьях используется подход на основе введения, где кратко освещаются полученные результаты, а уж в популярных блогах прятать суть где-то в середине сухого текста — это совершенно неприемлемо.

                Как выше указано — выделите основные формулы. Формулы для длины строки треугольника, для номера строки треугольника, для числа по индексу в строке треугольника. И забейте на остальные формулы. То есть не пускайтесь в их вывод и прочее использование, не имея главного — структуры закономерностей системы, которую вы пытаетесь изобразить. Основной вопрос (и, видимо, не только у меня) — где структура? Покажите её. Проанализируйте формулы, описывающие структуру системы (строки, длины, числа по индексу). Что дал анализ? Всё то же утверждение, что если разложить число на множители при помощи формулы для разности квадратов, то из этого «что-то может вырасти»? Так об этом вы писали ещё в 14-м году (судя по ссылкам в статье). Зачем повторять одно и то же? Или есть желание показать, что вы нашли ряд дополнительных несущественных формул? Но они же несущественные, ведь так? Или существенные? А в чём тогда их существенность? Вы этого не показали.

                По ходу чтения вспомнилось — есть такая последовательность Люка, вот она (похоже) хорошо ляжет на выбранное треугольное представление. Погуглите про неё, может её смысл станет яснее, если вы её серьёзно поизучаете. Но только именно в таком виде — вот главное, вот выводы, вот суть, а всё промежуточное — ну не место этому в блоге. Учебник по вашим математическим мыслям изучать никто не будет. Ведь есть более общепризнанные теории, трата времени на которые вполне окупается получением общепризнанных знаний, а вот трата времени на изучение тонкостей вашего подхода — ну вы сами понимаете, будет интересна лишь тогда, когда будет интересная суть.
                  0
                  Спирали в этих ваших простых числах. С визуализациями и классами вычетов

                  В хабах стоят ИБ и криптография, но связи вашей спирали с ней как-то не улавливаю. Можно этот момент пояснить? Кривых третьего порядка не видно, спиралить Улама хотя бы до 10e+100 смысла тоже не вижу, т.к. оптимизаций для разложения оно не дает.Так зачем тогда криптография в хабах.

                    –3
                    Автор предполагает, что читатели знакомы с его ранними работами по проблеме ИБ.
                    Для того, чтобы заниматься решением задач ИБ и Криптоанализа шифров, необходимо понимать несколько важных вещей:
                    1. Проблема ИБ насчитывает несколько тысячелетий, но до настоящего времени не решена. Почему? Проблема очень сложная, была бы простой её бы решили давно
                    2. Существует ли у человечества программа (проект) выстраивания системы безопасности в целом и информационной безопасности в частности? При любом ответе ДА или НЕТ важно уяснить
                    3. Что следует делать конкретно уже сегодня?
                    4. Кто эту конкретику должен и будет делать?
                    5. Спросите себя, хочу ли я принимать в этом участие? и ряд др. положений
                    Мой анализ ситуации и состояния предметной области привел к выводу, что по п.2 ответ скорее НЕТ, чем ДА, по п.5 мой Ответ ДА, так как занимаюсь подготовкой специалистов высшей квалификации по ИБ.
                    Среди моих учеников несколько ДТН, и еще больше КТН, а в основном это студенты.
                    Я пишу и публикую свои оригинальные материалы с тем, чтобы не пересказывать эти тексты многократно ученикам, а просто адресовать их сюда. Возникают у них вопросы — готов их обсудить. Язык текстов стараюсь не усложнять, хотя порой это сделать непросто.
                    Для себя разработал программу создания новой теории, включающую:
                    1. Объекты предметной области, шифры, ЭЦП, односторонние и хэш функции, протоколы…
                    2. Свойства этих объектов (для чисел не зависящие от разрядности), открыт ф-инвариант
                    3. Модели чисел и НРЧ, формулировки общих и частных задач, открыт Закон распределения делителей нечетного составного натурального числа
                    4. Алгоритмы реализации
                      +1
                      Для того, чтобы заниматься решением «задач ИБ и Криптоанализа шифров», необходимо понимать одну важную вещь: всё очевидное уже открыто. Если у вас возникла идея устроить прорыв в криптографии, пользуясь только школьной математикой — это примерно как надеяться найти чей-нибудь кошелёк с деньгами, ползая по хорошо освещённому тротуару, который только что подметал дворник.

                      Чисто по-человечески я вас понимаю. Каждому хочется совершить своё великое открытие. И каждому не хочется для этого изучать тысячи страниц трудов предшественников. Но искать надо не там, где светло, а там, где потеряли.

                      Да, я правильно понимаю, что «ваши ученики» — это просто студенты, которые когда-то ходили на какие-то ваши пары?
                        –1
                        Ценю Ваш юмор!
                          +2
                          Спасибо, но именно в этом комментарии я нигде не шутил.
                            –1
                            П. ФЕРМА тоже не шел дальше «школьной математики»
                              +2
                              Ферма не шёл? Серьёзно? Да он вёл переписку со всеми передовыми математиками своего времени. И, соответственно, был знаком со всеми новейшими достижениями в этой области. А вы когда в последний раз открывали статью по математике… ну, хотя бы двадцатилетней давности?
                                –2
                                >> Ферма соответственно, был знаком со всеми новейшими достижениями в этой области. Это он сам вам сказал? Или вы питаетесь историческими анекдотами?
                                Вы, если сможете почитайте Ферма в оригинале, и тогда может быть в моей правоте убедитесь
                                  +1
                                  Ну, как бы вас сказать. Ферма был среди тех, кто заложил основы математического анализа и теории вероятностей. Дисциплин, которые тогда, в общем-то, ещё и не существовали. Я думаю, это достаточное свидетельство того, что он был на переднем крае. Можете разубедить меня, приведя конкретную цитату, демонстрирующую его невежество.
                                  0
                                  Да ладно вам придираться. Статьи двадцатилетней давности и вы не открывали, ведь этих статей — десятки тысяч.

                                  Пусть автор попробует систематизировать свои выводы, может тогда всё будет проще. А сразу своё фи показывать — ну зачем?
                                    +1
                                    Ну, не все десять тысяч, но пару-тройку актуальных статей я читал. При том, что моя профессия сейчас невероятно далека от математики. Если бы я собирался совершить прорыв в теории чисел, я бы определённо почитывал журнальчики со свежачком. Хотя бы чтобы выяснить, не совершили ли его без меня.
                                      0
                                      Если бы прорыв совершили без вас, то вы бы и без журнальчиков об этом узнали. RSA не каждый день вскрывают.

                                      Ну и помимо информации из журнальчиков есть ещё умение эту информацию использовать. В журнальчиках же в подавляющем большинстве идёт обсасывание очень узких частностей с ещё более узкими выводами. Чем узость темы поможет прорыву? И да, не прочитав все 10000 статей, вы не получите полного представления о популярных для попила грантов направлениях, но прочитав все 10000 статей вы тоже чаще всего не получите представления, как же сделать прорыв, хотя в попиле грантов, наверняка, сможете показать мастер класс, ибо есть большая база для «ссылок на авторитеты».

                                      Я не против глубокого погружения в темы современных исследований, но, во первых, это нереально (ибо 10000), а во вторых, качество прорывов от тех, кто всё же погрузился достаточно глубоко, пока оставляет желать лучшего. Почему? Очень просто — они убили всё своё время на глубину погружения. А что осталось на прорыв?

                                      Ну и помимо прочего, почему вы решили, что прорыв будет именно в тех областях, о которых пишут в журнальчиках? Здесь уже упоминали — искать нужно не там, где светло (порылись тысячи писателей статей), а там, где есть что-то особенное, чего тысячи писателей так и не заметили. Собственно суть прорыва проста — все бегут мимо, а кто-то обращает внимание. И вот тысячи статей — это как раз «мимо», потому что из них прорывных… Ну вы сами посчитайте, сколько там было прорывов за последние 20 лет.

                                      Отсюда вывод — традиционная для математиков привычка тыкать всех подряд мордочкой в унитаз, мол «да ты не прочитал всех статей!», скорее работает в минус для развития математики. Ну а вы этой привычкой тоже, похоже, заразились. Разве нет? И вас наверняка тыкали мордочкой, а вот теперь вы можете, по аналогии, потыкать других. Зато ощущение собственного величия расцветает. Нет?

                                      В общем — будьте скромнее. А лучше всего — сделайте свой прорыв, и тогда уже с более или менее заметным основанием сможете указывать другим, что им нужно делать.
                                        0

                                        А как Вы узнаете, что что-то было упущено, если не прочитаете те самые 10000 статей?


                                        По-вашему, в математике должны совершаться только прорывы? К сожалению, прорыв не совершить без хорошо подготовленной базы, без тех самых "непрорывных" 10000 статей. И пускай они изучают какие-нибудь очень узкоспециализированные темы. Это не так уж и важно, ведь каждая такая статья, каждая такая тема проливает свет на то, что такое есть математика. Ведь именно этим занимаются математики — они изучают математику как объект.


                                        Возможно, я беру на себя слишком много утверждая это, но большинство математиков сегодня — платонисты, хоть они могут даже этого и не осознавать. Редко какой математик скажет, что он изобретает математику. Большинство будут говорить, что они открывают математику. Для них математика — это отдельный мир со своими правилами и законами. И исследование этого мира даже по маленьким кусочкам — это невероятное благо для математиков.

                                          0
                                          >> А как Вы узнаете, что что-то было упущено, если не прочитаете те самые 10000 статей?

                                          Кем упущено? Мной? Но если это тот самый прорыв, то какое отношение к нему будут иметь статьи, в которых прорыва нет? Ну и ещё момент — после прорыва открывается большое новое поле для исследований (на то и прорыв), и там, безусловно, «упущено» почти всё, просто потому, что там ещё никто ничего не исследовал, а это означает, что «упускать» что-то при прорыве — абсолютно естественно.

                                          А если же я пишу статью на некую массовую тему, тогда да, тут надо быть в курсе, ведь в этой всей массе тысячи людей копают миллионы частностей. Но ведь речь-то шла о чём-то серьёзном.

                                          Хотя для автора обсуждаемой статьи, действительно, было бы совсем не лишним, если бы он сравнил свои результаты с тем, что хотя бы просто давно известно, ну а лучше — с тем, что пишут в статьях. Об этом ему уже было сказано, потому зачем повторять снова?

                                          И ещё есть особенность — статья в массовом блоге, а не в научном журнале, а это означает, что привлечение в неё почти никому из читателей непонятных результатов из научных статей сделает блог совершенно непонятным для подавляющего большинства. Разве это хорошо? Значит нужен некий компромисс. Например — просто осветить давно известные достижения простым языком, и на том успокоиться. Но автор даже такого освещения не произвёл, к сожалению.

                                          >> По-вашему, в математике должны совершаться только прорывы?

                                          Я был бы только за :)

                                          >> каждая такая статья, каждая такая тема проливает свет на то, что такое есть математика

                                          Математика — наука о закономерностях. Если статья указывает на новую закономерность — это хорошо для математики. Но есть другая сторона — мы живём в реальном мире. И в реальном мире есть понятие «ценность». В математике каждая закономерность ценна. А в реальном мире ценятся лишь те закономерности, которые позволяют делать наибольшее количество выводов о реальном мире. Именно поэтому в других науках математика используется выборочно — что ценно для данной области (даёт много выводов), то и берут от математики. И в этом свете «прорыв» в математике означает всего лишь нахождение закономерности, особо ценной для других областей. Хотя есть подмножество закономерностей, особо ценных и для самой математики, то есть позволяющих находить абстрактные закономерности в массовом масштабе. RSA — прикладной аспект, поэтому в данном контексте закономерности важны именно в прикладном плане. А «что такое математика» с точки зрения прикладного аспекта не столь важно.

                                          >> Для них математика — это отдельный мир со своими правилами и законами. И исследование этого мира даже по маленьким кусочкам — это невероятное благо для математиков.

                                          И даже для них «невероятность блага» определяется количеством выводов, которые становятся доступны после выявления закономерности. Поэтому большинство статей «невероятным благом» не являются, поскольку выявляют очень узко применимые закономерности. Ну и можно ещё указать на принадлежность математиков к реальному миру, что означает важность для них понятия «ценность», что в свою очередь ведёт нас к упорядочиванию закономерностей по их ценности для математики и математиков, ведь ценность более продуктивной закономерности очевидно выше, но только в том случае, если само понятие «ценность» присуще тем, кто творит математику. Вот для роботов, вполне возможно, ценности бы не было, а потому все закономерности были бы «на одно лицо», но мы же не роботы.
                                          +1
                                          Ммм, ложная дихотомия и аргумент «сперва добейся». Всё по учебнику демагога.
                                            +1
                                            На самом деле, не нужны все эти 10000 статей, достаточно 100 (и то, если накопится) по близким темам. На самом деле (к сожалению) большинство научных статей — мусор, не представляющий никакой ценности и отсекаются ещё на прочтении заголовка.
                                              0
                                              >>традиционная для математиков привычка тыкать всех подряд мордочкой
                                              У образованных математиков такой привычки нет, им в этом нет необходимости, это скорее всего невежественные невоспитанные люди.
                                              Все их высказывания всегда в повелительном наклонении. Они не могут существовать без ощущения власти, любой автор ягненок.
                                              Они испытывают комплекс неполноценности — это установленный факт, они сами не знают причин такого своего поведения, иначе боролись бы в себе с комплексами
                                                0
                                                Вот вы и скатились в оскорбления. Пожалуй, на этом беседу можно считать завершённой. Слив засчитан, как говорили древние обитатели интернета.
                                  0
                                  >>всё очевидное уже открыто
                                  Как же вы заблуждаетесь! До сих пор обратной операцией к произведению называют деление, а на самом деле? Ведь, очевидно, что не деление и, очевидно, что такая обратная операция существует…
                                  И далее, то что очевидно Вам для других может быть не очевидным.
                                    +3
                                    Я согласен. Многое, что очевидно мне, другим неочевидно. Как правило, это потому, что другие плохо учились.
                                    Обратная операция к произведению — это деление, потому что деление и определяется, как обратная операция к произведению. Если у вас не так, значит, у вас какая-то своя алгебраическая структура.
                                      0
                                      Обратная операция к произведению — это деление
                                      Смею Вас разочаровать (или хотя бы немного задуматься) обратной к произведению является операция факторизация числа. Она не требует дополнительных данных (без чего деление не осуществить). Мне это очевидно, а Вам? По разным учебникам мы обучались.

                                        +2
                                        Я обучался по лекциям. Учебники остались в школе.

                                        Для функции f(x) обратной функцией называется такая функция f-1(x), что f-1(f(x)) тождественно равно x (на некоторой рассматриваемой обрасти определения). Соответственно, когда говорят, что деление — операция, обратная умножению, имеется в виду следующее: для функции fa(x) = a*x обратной будет функция f-1a(x) = x / a.

                                        Факторизация — это функция, превращающая число в набор его простых делителей. Тогда для соответствия областей определения и значения скажем, что произведение — это функция, превращающая набор чисел в их… ну, собственно, произведение. Но тогда получится, что это не обратные друг другу функции. Если перемножим числа набора (6, 5), получим 30. Но если факторизуем 30, получим набор (2, 3, 5). Наборы на входе и на выходе не совпадают.

                                        И что намного более важно, по большому счёту всем плевать, что к чему считать обратным. Никакой содержательный результат нельзя получить, жонглируя определениями. Наоборот, это определения подстраиваются под содержательные результаты. Допустим, определение натуральных чисел включает или не включает нуль в зависимости от того, как в конкретной области удобнее. В математической логике удобнее, когда нуль натуральный. В теории чисел — когда не натуральный. Это просто вопрос соглашения, а не какая-то святая корова.
                                          0
                                          >>Если перемножим числа набора (6, 5), получим 30. Но если факторизуем 30,…
                                          Просто Вы факторизацию не завершили, как это делается в норме. Я Ваши доводы не принимаю.
                                          Что касается функций, то это вовсе не операции.
                                            +1
                                            Просто Вы факторизацию не завершили, как это делается в норме.
                                            А как это делается в норме? Продемонстрируйте.

                                            Я Ваши доводы не принимаю.
                                            После прочтения этого предложения сердце моё наполнилось чёрной жёлчью. Я хотел уже в отместку сказать, что тем более не принимаю ваши доводы, но тут вспомнил, что вы-то никаких доводов и не приводили. Возможно, стоит это исправить?

                                            Что касается функций, то это вовсе не операции.
                                            И в чём же разница?
                                  0
                                  >> ИБ

                                  Это что такое?

                                  >> Существует ли у человечества программа (проект) выстраивания системы безопасности в целом и информационной безопасности в частности?

                                  Человечества нет, есть куча групп и группочек. Какая у них может быть программа? Вот разве что — поубивать всех не своих.

                                  >> Что следует делать конкретно уже сегодня?

                                  Начинать надо с понимания мира и своего места в мире.

                                  >> Кто эту конкретику должен и будет делать?

                                  Понимать за вас никто не будет, поэтому делать должны вы.

                                  >> Спросите себя, хочу ли я принимать в этом участие?

                                  Я участвую в улучшении, (скромно) надеюсь — мира. Остальные не хотят об это мараться.

                                  >> Для себя разработал программу создания новой теории, включающую

                                  По систематизации предметной области — это пожалуйста, здесь много чего можно добавить. А вот дальше — уже сложнее. Нужно понимать, какие закономерности и как могут помочь. А для такого понимания нужна та самая классификация, которая сводит разрозненные знания в стройную систему. Вы предложили классификацию? Нет. Но поспешили дальше. И что получилось? Набор непонятно для чего полезных слов и немного формул. В них нет системы. Той самой классификации.

                                  >> Закон распределения делителей нечетного составного натурального числа

                                  Если бы вы выделили именно эту часть во всей длинной статье, то на подобную закономерность наверняка обратили бы внимание. Но вы ведь не выделили. Вы спрятали закономерность в череде примитивов вроде «контур длиннее другого на 8». И кто будет фильтровать примитивы от важного? Вы это всё перекладываете на читателей?

                                  Попробуйте так — вот есть закономерность, которую я (то есть вы) считаю самой важной (ведь вы выделили её в плане будущих побед), она важна тем-то и тем-то. Далее можно сделать заголовок — доказательство. По завершению доказательства должен быть новый заголовок (что бы те, кому доказательство не интересно, могли его пропустить). И этот новый заголовок не должен уводить в сторону ещё каких-то мелочей, но либо вводить новое и важное, либо быть заголовком эпилога. Просто подать материал чуть более выпукло, подчёркивая важное — разве это сложно? Хотя есть одна сложность — что считать важным. На мой взгляд, пока не достигнут какой-то результат, который многие согласятся считать важным — писать о своих изобретениях вообще не стоит. А уж если написали — будьте готовы доказывать важность выделенного вами. Например — как конкретно закономерность помогает в разложении числа на множители? Как до вас решались подобные задачи? В чём новизна вашего подхода? Какие плюсы и какие минусы имеет ваш подход по сравнению с ранее предложенными? И естественно, плюсы (и минусы) нельзя прятать в размазанном по всему тексту материале, их, так же как и главное, нужно выделять. Например — после доказательства можно добавить заголовок «Почему это важно», после которого перечислить плюсы, не забыв и о минусах (это критерий честности автора, без которого автору доверия нет). А далее было бы чудесно предложить какое-нибудь практическое применение закономерности.

                                  Можно попробовать переписать ваши статьи с использованием такого подхода. Для этого не нужно что-то выдумывать, но нужно заняться именно задачей классификации, которая (в том числе) подскажет вам, как выделить главное. Но задачу классификации вы не решили, а сразу бросились изливать формулы. Это неправильно. И хотя так строятся учебники математики, но они-то описывают уже классифицированные области, то есть предполагают, что классификацию «знают, кому надо». И действительно, ряд математиков этой классификацией владеет. Но вы-то не для математиков статью пишете. И даже если ожидаете, что её прочтут математики, то почему вы думаете, что они отнесутся к статье как к ценному ресурсу, который нужно читать вдумчиво и долго? Ну а если вы здесь просто что бы застолбить некие свои небольшие находки, то тогда да — можете продолжать в том же духе, только было бы честно по отношению к читателям всё же уведомить их — это не для вас, это для других целей.
                                  –1
                                  del
                                    +1

                                    Вам же советовали почитать какой-нибудь учебник по математике. Желательно для вышей, а еще лучше для аспирантов или магистров. Хотя, судя по Вашему стилю, Вам все же стоило начать с учебников для бакалавров, если Вы интересуетесь математикой.


                                    Вас же совершенно невозможно читать. За мешаниной слов и каких-то странных примеров теряется суть Вашего повествования. Дальше, Вы сначала начинаете использовать термины "контур", "полуконтур" и прочие, но только к середине статьи даете их определение. Кто же так делает?


                                    Дальше, посмотрите на свои определения


                                    Контур — множество ячеек регистра с числами между ячейками с квадратами последовательных (смежных) нечетных чисел. Мощность множества ячеек k-го контура обозначим символом

                                    Из первого предложения совершенно не понятно, что такое k-тый контур. В вашем определении для контура нет никакого k! Так откуда же взялось это k?

                                      –2
                                      >>Вам же советовали почитать какой-нибудь учебник по математике. За совет спасибо!
                                      Сижу читаю, иногда сам пишу в учебниках для академий о том, чего вычитать в чужих учебниках не удалось так как там нужных мне вещей нет, пишу о том что удалось самому открыть найти.
                                        +2
                                        сам пишу в учебниках для академий

                                        Можно уточнить — для каких именно академий? И что это означает — вы пишете новый учебник? Что происходит дальше с этим учебником? Кто его издал и кто им пользуется?
                                          0
                                          Учебник не только написан, но и уже издан типографией академии. Им пользуются слушатели, курсанты, адъюнкты, докторанты и преподаватели. Так же список моих открытых работ можете посмотреть здесь.
                                            +1
                                            Ничего личного, но авторитетная ценность внутренних публикаций равна — нулю. Смысл рецензируемых научных публикаций в том и заключается — другие, непредвзятые и не менее умные люди могут её критически осмыслить и оценить степень её адекватности. Да даже и без этого можно обойтись — реальный работающий код, ответы на mathoverflow, правки формул в OEIS — доступны каждому.
                                            0
                                            Открытые труды автора
                                          0
                                          >>авторитетная ценность внутренних публикаций равна — нулю
                                          Однако?!!! Как много можно о себе думать.
                                          Все закрытые публикации — внутренние. Оружие создается на их основе…
                                          Все, кто ставит минусы Вам подобны, у всех в комментариях повелительное наклонение, все хотят учить, принудить делать как они думают, они уверены на 100 процентов в своей правоте, а кто не согласен, того нагнуть. Это целый слой людей в Интернете. Пишу и испытываю мерзкое ощущение от того, что поддался, проявил слабость.
                                          Тереза Мэй одним словом или Могерини или… Есть у кого учиться…
                                            0
                                            И много ли оружия было создано на основе ваших публикаций?)
                                              0
                                              >>И много ли оружия было создано на основе ваших публикаций?)
                                              Вам это Зачем? Вы часом не провокатор? Если нужно по делу, существует законный путь
                                                0
                                                Это был риторический вопрос. Ответ на него нам обоим известен, не так ли?

                                          Only users with full accounts can post comments. Log in, please.