Pull to refresh

Простой алгоритм определения пересечения двух отрезков

C++ *Game development *Algorithms *CAD/CAM *Mathematics *
Введение

В былые времена я увлекался компьютерной графикой, как 2х так и 3х мерной, в том числе математическими визуализациями. Что называется just for fun, будучи студентом, написал программу визуализирующую N-мерные фигуры, вращающиеся в любых измерениях, хотя практически меня хватило только на определение точек для 4-D гиперкуба. Но это только присказка. Любовь к геометрии осталась у меня с тех пор и по сей день, и я до сих пор люблю решать интересные задачи интересными способами.
Одна из таких задач попалась мне в 2010 году. Сама задача достаточно тривиальна: необходимо найти, пересекаются ли два 2-D отрезка, и если пересекаются — найти точку их пересечения. Более интересно решение, которое, я считаю, получилось достаточно элегантным, и которое я хочу предложить на суд читателя. На оригинальность алгоритма не претендую (хотя и хотелось бы), но в сети подобных решений я найти не смог.

Задача

Даны два отрезка, каждый из которых задан двумя точками: (v11, v12), (v21, v22). Необходимо определить, пересекаются ли они, и если пересекаются, найти точку их пересечения.

Решение

Для начала необходимо определить, пересекаются ли отрезки. Необходимое и достаточное условие пересечения, которое должно быть соблюдено для обоих отрезков следующее: конечные точки одного из отрезков должны лежать в разных полуплоскостях, если разделить плоскость линией, на которой лежит второй из отрезков. Продемонстрируем это рисунком.
image
На левом рисунке (1) показаны два отрезка, для обоих из которых условие соблюдено, и отрезки пересекаются. На правом (2) рисунке условие соблюдено для отрезка b, но для отрезка a оно не соблюдается, соответственно отрезки не пересекаются.
Может показаться, что определить, с какой стороны от линии лежит точка — нетривиальная задача, но у страха глаза велики, и всё не так сложно. Мы знаем, что векторное умножение двух векторов даёт нам третий вектор, направление которого зависит от того, положительный или отрицательный угол между первым и вторым вектором, соответственно такая операция антикоммутативна. А так как все вектора лежат на плоскости X-Y, то их векторное произведение (которое обязано быть перпендикулярным перемножаемым векторам) будет иметь ненулевой только компоненту Z, соответственно и отличие произведений векторов будет только в этой компоненте. Причем при изменении порядка перемножения векторов (читай: угла между перемножаемыми векторами) состоять оно будет исключительно в изменении знака этой компоненты.
Поэтому мы можем умножить попарно-векторно вектор разделяющего отрезка на векторы направленные от начала разделяющего отрезка к обеим точкам проверяемого отрезка.
image
Если компоненты Z обоих произведений будет иметь различный знак, значит один из углов меньше 0 но больше -180, а второй больше 0 и меньше 180, соответственно точки лежат по разные стороны от прямой. Если компоненты Z обоих произведений имеют одинаковый знак, следовательно и лежат они по одну сторону от прямой.
Если один из компонент Z является нулём, значит мы имеем пограничный случай, когда точка лежит аккурат на проверяемой прямой. Оставим пользователю определять, хочет ли он считать это пересечением.
Затем нам необходимо повторить операцию для другого отрезка и прямой, и убедиться в том, что расположение его конечных точек также удовлетворяет условию.
Итак, если всё хорошо и оба отрезка удовлетворяют условию, значит пересечение существует. Давайте найдём его, и в этом нам также поможет векторное произведение.
Так как в векторном произведении мы имеем ненулевой лишь компоненту Z, то его модуль (длина вектора) будет численно равен именно этой компоненте. Давайте посмотрим, как найти точку пересечения.
image
Длина векторного произведения векторов a и b (как мы выяснили, численно равная его компоненте Z) равна произведению модулей этих векторов на синус угла между ними (|a| |b| sin(ab)). Соответственно, для конфигурации на рисунке мы имеем следующее: |AB x AC| = |AB||AC|sin(α), и |AB x AD| = |AB||AD| sin(β). |AC|sin(α) является перпендикуляром, опущенным из точки C на отрезок AB, а |AD|sin(β) является перпендикуляром, опущенным из точки D на отрезок AB (катетом ADD'). Так как углы γ и δ — вертикальные углы, то они равны, а значит треугольники PCC' и PDD' подобны, а соответственно и длины всех их сторон пропорциональны в равном отношении.
Имея Z1 (AB x AC, а значит |AB||AC|sin(α) ) и Z2 (AB x AD, а значит |AB||AD|sin(β) ), мы можем рассчитать CC'/DD' (которая будет равна Z1/Z2), а также зная что CC'/DD' = CP/DP легко можно высчитать местоположение точки P. Лично я делаю это следующим образом:

Px = Cx + (Dx-Cx)*|Z1|/|Z2-Z1|;
Py = Cy + (Dy-Cy)*|Z1|/|Z2-Z1|;

Вот и все. Мне кажется что это действительно очень просто, и элегантно. В заключение хочу привести код функции, реализующий данный алгоритм. В функции использован самодельный шаблон vector<typename, int>, который является шаблоном вектора размерностью int с компонентами типа typename. Желающие легко могут подогнать функцию к своим типам векторов.

 1 template<typename T>
 2 bool are_crossing(vector<T, 2> const &v11, vector<T, 2> const &v12, vector<T, 2> const &v21, vector<T, 2> const &v22, vector<T, 2> *crossing)
 3 {
 4   vector<T, 3> cut1(v12-v11), cut2(v22-v21);
 5   vector<T, 3> prod1, prod2;
 6 
 7   prod1 = cross(cut1 * (v21-v11));
 8   prod2 = cross(cut1 * (v22-v11));
 9 
10   if(sign(prod1[Z]) == sign(prod2[Z]) || (prod1[Z] == 0) || (prod2[Z] == 0)) // Отсекаем также и пограничные случаи
11     return false;
12 
13   prod1 = cross(cut2 * (v11-v21));
14   prod2 = cross(cut2 * (v12-v21));
15 
16   if(sign(prod1[Z]) == sign(prod2[Z]) || (prod1[Z] == 0) || (prod2[Z] == 0)) // Отсекаем также и пограничные случаи
17     return false;
18 
19   if(crossing) { // Проверяем, надо ли определять место пересечения
20     (*crossing)[X] = v11[X] + cut1[X]*fabs(prod1[Z])/fabs(prod2[Z]-prod1[Z]);
21     (*crossing)[Y] = v11[Y] + cut1[Y]*fabs(prod1[Z])/fabs(prod2[Z]-prod1[Z]);
22   }
23 
24   return true;
25 }
Tags:
Hubs:
Total votes 22: ↑15 and ↓7 +8
Views 182K
Comments Comments 34