Математика на пальцах: методы наименьших квадратов

  • Tutorial

Введение




Я математик-программист. Самый большой скачок в своей карьере я совершил, когда научился говорить:«Я ничего не понимаю!» Сейчас мне не стыдно сказать светилу науки, что мне читает лекцию, что я не понимаю, о чём оно, светило, мне говорит. И это очень сложно. Да, признаться в своём неведении сложно и стыдно. Кому понравится признаваться в том, что он не знает азов чего-то-там. В силу своей профессии я должен присутствовать на большом количестве презентаций и лекций, где, признаюсь, в подавляющем большинстве случаев мне хочется спать, потому что я ничего не понимаю. А не понимаю я потому, что огромная проблема текущей ситуации в науке кроется в математике. Она предполагает, что все слушатели знакомы с абсолютно всеми областями математики (что абсурдно). Признаться в том, что вы не знаете, что такое производная (о том, что это — чуть позже) — стыдно.

Но я научился говорить, что я не знаю, что такое умножение. Да, я не знаю, что такое подалгебра над алгеброй Ли. Да, я не знаю, зачем нужны в жизни квадратные уравнения. К слову, если вы уверены, что вы знаете, то нам есть над чем поговорить! Математика — это серия фокусов. Математики стараются запутать и запугать публику; там, где нет замешательства, нет репутации, нет авторитета. Да, это престижно говорить как можно более абстрактным языком, что есть по себе полная чушь.

Знаете ли вы, что такое производная? Вероятнее всего вы мне скажете про предел разностного отношения. На первом курсе матмеха СПбГУ Виктор Петрович Хавин мне определил производную как коэффициент первого члена ряда Тейлора функции в точке (это была отдельная гимнастика, чтобы определить ряд Тейлора без производных). Я долго смеялся над таким определением, покуда в итоге не понял, о чём оно. Производная не что иное, как просто мера того, насколько функция, которую мы дифференцируем, похожа на функцию y=x, y=x^2, y=x^3.

Я сейчас имею честь читать лекции студентам, которые боятся математики. Если вы боитесь математики — нам с вами по пути. Как только вы пытаетесь прочитать какой-то текст, и вам кажется, что он чрезмерно сложен, то знайте, что он хреново написан. Я утверждаю, что нет ни одной области математики, о которой нельзя говорить «на пальцах», не теряя при этом точности.

Задача на ближайшее время: я поручил своим студентам понять, что такое линейно-квадратичный регулятор. Не постесняйтесь, потратьте три минуты своей жизни, сходите по ссылке. Если вы ничего не поняли, то нам с вами по пути. Я (профессиональный математик-программист) тоже ничего не понял. И я уверяю, в этом можно разобраться «на пальцах». На данный момент я не знаю, что это такое, но я уверяю, что мы сумеем разобраться.

Итак, первая лекция, которую я собираюсь прочитать своим студентам после того, как они в ужасе прибегут ко мне со словами, что линейно-квадратичный регулятор — это страшная бяка, которую никогда в жизни не осилить, это методы наименьших квадратов. Умеете ли вы решать линейные уравнения? Если вы читаете этот текст, то скорее всего нет.

Итак, даны две точки (x0, y0), (x1, y1), например, (1,1) и (3,2), задача найти уравнение прямой, проходящей через эти две точки:

иллюстрация


Эта прямая должна иметь уравнение типа следующего:



Здесь альфа и бета нам неизвестны, но известны две точки этой прямой:



Можно записать это уравнение в матричном виде:



Тут следует сделать лирическое отступление: что такое матрица? Матрица это не что иное, как двумерный массив. Это способ хранения данных, более никаких значений ему придавать не стоит. Это зависит от нас, как именно интерпретировать некую матрицу. Периодически я буду её интерпретировать как линейное отображение, периодически как квадратичную форму, а ещё иногда просто как набор векторов. Это всё будет уточнено в контексте.

Давайте заменим конкретные матрицы на их символьное представление:



Тогда (alpha, beta) может быть легко найдено:



Более конкретно для наших предыдущих данных:





Что ведёт к следующему уравнению прямой, проходящей через точки (1,1) и (3,2):



Окей, тут всё понятно. А давайте найдём уравнение прямой, проходящей через три точки: (x0,y0), (x1,y1) и (x2,y2):



Ой-ой-ой, а ведь у нас три уравнения на две неизвестных! Стандартный математик скажет, что решения не существует. А что скажет программист? А он для начала перепишет предыдующую систему уравнений в следующем виде:



И дальше постарается найти решение, которое меньше всего отклонится от заданных равенств. Давайте назовём вектор (x0,x1,x2) вектором i, (1,1,1) вектором j, а (y0,y1,y2) вектором b:



В нашем случае векторы i,j,b трёхмерны, следовательно, (в общем случае) решения этой системы не существует. Любой вектор (alpha\*i + beta\*j) лежит в плоскости, натянутой на векторы (i, j). Если b не принадлежит этой плоскости, то решения не существует (равенства в уравнении не достичь). Что делать? Давайте искать компромисс. Давайте обозначим через e(alpha, beta) насколько именно мы не достигли равенства:



И будем стараться минимизировать эту ошибку:



Почему квадрат?
Мы ищем не просто минимум нормы, а минимум квадрата нормы. Почему? Сама точка минимума совпадает, а квадрат даёт гладкую функцию (квадратичную функцию от агрументов (alpha,beta)), в то время как просто длина даёт функцию в виде конуса, недифференцируемую в точке минимума. Брр. Квадрат удобнее.


Очевидно, что ошибка минимизируется, когда вектор e ортогонален плоскости, натянутой на векторы i и j.

Иллюстрация


Иными словами: мы ищем такую прямую, что сумма квадратов длин расстояний от всех точек до этой прямой минимальна:

UPDATE: тут у меня косяк, расстояние до прямой должно измеряться по вертикали, а не ортогональной проекцией. Вот этот комментатор прав.
Иллюстрация


Совсеми иными словами (осторожно, плохо формализовано, но на пальцах должно быть ясно): мы берём все возможные прямые между всеми парами точек и ищем среднюю прямую между всеми:

Иллюстрация


Иное объяснение на пальцах: мы прикрепляем пружинку между всеми точками данных (тут у нас три) и прямой, что мы ищем, и прямая равновесного состояния есть именно то, что мы ищем.

Минимум квадратичной формы


Итак, имея данный вектор b и плоскость, натянутую на столбцы-векторы матрицы A (в данном случае (x0,x1,x2) и (1,1,1)), мы ищем вектор e с минимум квадрата длины. Очевидно, что минимум достижим только для вектора e, ортогонального плоскости, натянутой на столбцы-векторы матрицы A:



Иначе говоря, мы ищем такой вектор x=(alpha, beta), что:



Напоминаю, что этот вектор x=(alpha, beta) является минимумом квадратичной функции ||e(alpha, beta)||^2:


Тут нелишним будет вспомнить, что матрицу можно интерпретирвать в том числе как и квадратичную форму, например, единичная матрица ((1,0),(0,1)) может быть интерпретирована как функция x^2 + y^2:



квадратичная форма


Вся эта гимнастика известна под именем линейной регрессии.

Уравнение Лапласа с граничным условием Дирихле


Теперь простейшая реальная задача: имеется некая триангулированная поверхность, необходимо её сгладить. Например, давайте загрузим модель моего лица:



Изначальный коммит доступен здесь. Для минимизации внешних зависимостей я взял код своего софтверного рендерера, уже подробно описанного на хабре. Для решения линейной системы я пользуюсь OpenNL, это отличный солвер, который, правда, очень сложно установить: нужно скопировать два файла (.h+.c) в папку с вашим проектом. Всё сглаживание делается следующим кодом:

    for (int d=0; d<3; d++) {
        nlNewContext();
        nlSolverParameteri(NL_NB_VARIABLES, verts.size());
        nlSolverParameteri(NL_LEAST_SQUARES, NL_TRUE);
        nlBegin(NL_SYSTEM);
        nlBegin(NL_MATRIX);

        for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) {
            nlBegin(NL_ROW);
            nlCoefficient(i, 1);
            nlRightHandSide(verts[i][d]);
            nlEnd(NL_ROW);
        }

        for (unsigned int i=0; i<faces.size(); i++) {
            std::vector<int> &face = faces[i];
            for (int j=0; j<3; j++) {
                nlBegin(NL_ROW);
                nlCoefficient(face[ j     ],  1);
                nlCoefficient(face[(j+1)%3], -1);
                nlEnd(NL_ROW);
            }
        }

        nlEnd(NL_MATRIX);
        nlEnd(NL_SYSTEM);
        nlSolve();

        for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) {
            verts[i][d] = nlGetVariable(i);
        }
    }


X, Y и Z координаты отделимы, я их сглаживаю по отдельности. То есть, я решаю три системы линейных уравнений, каждое имеет количество переменных равным количеству вершин в моей модели. Первые n строк матрицы A имеют только одну единицу на строку, а первые n строк вектора b имеют оригинальные координаты модели. То есть, я привязываю по пружинке между новым положением вершины и старым положением вершины — новые не должны слишком далеко уходить от старых.

Все последующие строки матрицы A (faces.size()*3 = количеству рёбер всех треугольников в сетке) имеют одно вхождение 1 и одно вхождение -1, причём вектор b имеет нулевые компоненты напротив. Это значит, я вешаю пружинку на каждое ребро нашей треугольной сетки: все рёбра стараются получить одну и ту же вершину в качестве отправной и финальной точки.

Ещё раз: переменными являются все вершины, причём они не могут далеко отходить от изначального положения, но при этом стараются стать похожими друг на друга.

Вот результат:



Всё бы было хорошо, модель действительно сглажена, но она отошла от своего изначального края. Давайте чуть-чуть изменим код:

        for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) {
            float scale = border[i] ? 1000 : 1;
            nlBegin(NL_ROW);
            nlCoefficient(i, scale);
            nlRightHandSide(scale*verts[i][d]);
            nlEnd(NL_ROW);
        }


В нашей матрице A я для вершин, что находятся на краю, добавляю не строку из разряда v_i = verts[i][d], а 1000*v_i = 1000*verts[i][d]. Что это меняет? А меняет это нашу квадратичную форму ошибки. Теперь единичное отклонение от вершины на краю будет стоить не одну единицу, как раньше, а 1000*1000 единиц. То есть, мы повесили более сильную пружинку на крайние вершины, решение предпочтёт сильнее растянуть другие. Вот результат:



Давайте вдвое усилим пружинки между вершинами:
                nlCoefficient(face[ j     ],  2);
                nlCoefficient(face[(j+1)%3], -2);


Логично, что поверхность стала более гладкой:



А теперь ещё в сто раз сильнее:



Что это? Представьте, что мы обмакнули проволочное кольцо в мыльную воду. В итоге образовавшаяся мыльная плёнка будет стараться иметь наименьшую кривизну, насколько это возможно, касаясь-таки границы — нашего проволочного кольца. Именно это мы и получили, зафиксировав границу и попросив получить гладкую поверхность внутри. Поздравляю вас, мы только что решили уравнение Лапласа с граничными условиями Дирихле. Круто звучит? А на деле всего-навсего одну систему линейных уравнений решить.

Уравнение Пуассона


Давайте ещё крутое имя вспомним.

Предположим, что у меня есть такая картинка:



Всем хороша, только стул мне не нравится.

Разрежу картинку пополам:



И выделю руками стул:


Затем всё, что белое в маске, притяну к левой части картинки, а заодно по всей картинке скажу, что разница между двумя соседними пикселями должна равняться разнице между двумя соседними пикселями правой картинки:

    for (int i=0; i<w*h; i++) {
        if (m.get(i%w, i/w)[0]<128) continue;
        nlBegin(NL_ROW);
        nlCoefficient(i, 1);
        nlRightHandSide(a.get(i%w, i/w)[0]);
        nlScaleRow(100);
        nlEnd(NL_ROW);
    }

    for (int i=0; i<w-1; i++) {
        for (int j=0; j<h-1; j++) {
            for (int d=0; d<2; d++) {
                nlBegin(NL_ROW);
                int v1 = b.get(i,   j    )[0];
                int v2 = b.get(i+d, j+1-d)[0];
                nlCoefficient( i   + j     *w,  1);
                nlCoefficient((i+d)+(j+1-d)*w, -1);
                nlRightHandSide(v1-v2);
                nlScaleRow(10);
                nlEnd(NL_ROW);
            }
        }
    }


Вот результат:



Код и картинки доступны здесь.

Пример из жизни


Я специально не стал делать вылизанные результаты, т.к. мне хотелось всего-навсего показать, как именно можно применять методы наименьших квадратов, это обучающий код. Давайте я теперь дам пример из жизни:

У меня есть некоторое количество фотографий образцов ткани типа вот такой:



Моя задача сделать бесшовные текстуры из фотографий вот такого качества. Для начала я (автоматически) ищу повторяющийся паттерн:



Если я вырежу прямо вот этот четырёхугольник, то из-за искажений у меня края не сойдутся, вот пример четыре раза повторённого паттерна:

Скрытый текст


Вот фрагмент, где чётко видно шов:



Поэтому я вырезать буду не по ровной линии, вот линия разреза:

Скрытый текст


А вот повторённый четыре раза паттерн:

Скрытый текст


И его фрагмент, чтобы было виднее:



Уже лучше, рез шёл не по прямой линии, обойдя всякие завитушки, но всё же шов виден из-за неравномерности освещения на оригинальной фотографии. Вот тут-то и приходит на помощь метод наименьших квадратов для уравнения Пуассона. Вот конечный результат после выравнивания освещения:



Текстура получилась отлично бесшовной, и всё это автоматически из фотографии весьма посредственного качества. Не бойтесь математики, ищите простые объяснения, и будет вам инженерное счастье.
Support the author
Share post

Similar posts

Comments 398

    +2
    Стандартный математик скажет, что решения не существует.

    Даже если три точки лежат на одной прямой?

    А что скажет программист?

    И дальше постарается найти решение, которое меньше всего отклонится от заданных равенств.

    Но это уже другая задача из немного другой области математики.
    ТЗ нужно утверждать предварительно, чтобы не было такого.
      +7
      следовательно, (в общем случае) решения этой системы не существует
        +1
        Не знаю ничего про "стандартных" математиков, но настоящий математик никогда не пропустил уточнения "в общем случае".
        0
        Математик скажет, что у переопределенных систем (СЛАУ) нет точного решения в общем случае.
        Автор в статье привел приближенное решение, причем одно из...

        Мне вот к примеру нравится другое:
        [A^T · A] · x = A^T · b

        безо всяких разложений в ряды преобразуется домножением на [A^T · A]^(-1)

        [A^T · A]^(-1) · [A^T * A] · x = [A^T · A]^(-1) · A^T · b
        получаем

        x = [A^T · A]^(-1) · A^T · b

        А еще можно ввести ковариационную матрицу, если статистики по разным искомым переменным отличаются друг от друга.
          0
          Про ковариации мы поговорим в следующих эпизодах, когда будем через МНК определять что такое фильтрация Калмана.
        +14
        Офигенно!
        Я долго был уверен, что панический ужас, возникающий при взгляде на любые формулы, и необходимость разжевывать все самому себе на пальцах, хомячках и попугаях — это свидетельство исключительной такой персональной тупости, а остальным, мол, достаточно бросить взгляд и все понять. Почитав Фейнмана, немного успокоился, но ваш пример еще покруче (где Фейнман, а где мы, конечно).
          0
          Возможно общеизвестно и прошу простить, но что именно Вы прочли у Фейнмана?
            0
            "Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман") Не то чтобы он признавался там в том же самом, но я нашел для себя какие-то похожие ощущения — необходимость иметь перед глазами наглядный пример и т.д.
              +1
              Actually, there was a certain amount of genuine quality to my guesses.
              I had a scheme, which I still use today when somebody is explaining
              something that I'm trying to understand: I keep making up examples. For
              instance, the mathematicians would come in with a terrific theorem, and
              they're all excited. As they're telling me the conditions of the theorem, I
              construct something which fits all the conditions. You know, you have a set
              (one ball) — disjoint (two balls). Then the balls turn colors, grow hairs,
              or whatever, in my head as they put more conditions on. Finally they state
              the theorem, which is some dumb thing about the ball which isn't true for my
              hairy green ball thing, so I say, "False!"
              +2
              Гораздо лучше, чем в "Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман", увидеть силу таланта Фейнмана в объяснении сверхсложных вещей на пальцах можно в книге "КЭД — странная теория света и вещества (Библиотечка ''Квант'' 66)".
              Попробуйте, и не пожалеете.
              Там, не побоюсь этого слова, настолько элегантные модели и аналогии, что чтение сравнимо с ощущениями от "Balvenie Doublewood".
              И хоть квантовая электродинамика нам в большинстве случаев в практике не пригодится, всё-таки оцените и восхититесь мощью разума этого Учёного.
          0
          Вопросы о последнем примере, который из жизни.
          1. Как вы вычисляете границу?
          2. А причём тут метод наименьших квадратов? Тот же принцип, что со стулом на пляже?
            +1
            Границу я вычисляю через graph cut. Наименьшие квадраты для решения уравнения Пуассона, да, принцип тот же, что и со стулом: я фиксирую границу текстуры быть равной по краям, чтобы она нормально склеилась, а центр текстуры заливается, стараясь быть как можно ближе к вариации исходной текстуры.
            0
            Да, я не знаю, зачем нужны в жизни квадратные уравнения.

            Вот, кстати, да — тоже мучаюсь этим вопросом со школы. А в целом — большое спасибо за статью. Нужно вообще направление такое в психотерапии организовать — снятие математических комплексов :).
              +8
              — Здравствуйте, меня зовут %username%, и втайне раскрываю суммы из сигма-нотации на листочке, чтобы понять, что там происходит.
              — Привет, %username%!
                +5
                Прочитав "сигма-нотация", почувствовал себя дебилом и полез в интернет, чтобы узнать, что это такое. Оказалось — это значок суммы...
                  +1
                  Вот! Заумность уже начинает работать и запугивать аудиторию!

                  На самой деле виноват, на русском, по-моему, так не говорят вообще.
                    +1
                    Можно «соглашение Эйнштейна» использовать. Немного обратная вещь, но звучит не менее солидно =)
                0
                На вскидку:
                Строй. механика — эпюры моментов.
                Строй. физика — акустика
                  0
                  Не подскажете, где об этом можно почитать — в более-менее популярной форме (а-ля библиотечка "квант"), чтобы вот прям с дискриминантами.
                    0
                    В инженерных науках не вопрос, я могу найти применение. А вот для чего оно широким слоям населения — ума не приложу. Ни одного применения нет.
                      0
                      А как же иначе колебательные процессы в физике изучать? Там же характеристическое уравнение квадратное!

                      Тут, конечно, меня спросят зачем широким слоям населения колебательные процессы...
                        0
                        … Там же характеристическое уравнение квадратное

                        О да, вот оно — теперь можно спать спокойно.
                          0
                          Ещё раз, я не оспариваю ни разу полезность умения решать квадратные уравнения для профессионалов. Я хочу понять, зачем они могут быть нужны обычным людям. Понятно, что тот, кто только сидит на диване и смотрит телек, ему и складывать не надо. Давайте примем разумный уровень активности. Вот я строить дом хочу — вполне жизненная ситуация, где мне нужно уметь решать квадратное уравнение? Я с трудом нашёл одно убедительное применение теореме Пифагора, теперь хотелось бы найти такое же для квадратного уравнения. Один пример. Года два уже ищу, ещё не нашёл.
                            +1
                            1. «Математику уже затем изучать нужно, что она ум в порядок приводит». М. В. Ломоносов
                            2. Как отделить будущих "профессионалов" от обывателя на уровне 10-15 лет?
                              А потому дают всем одинаковый шанс стать профессионалом.
                              А по поводу Вашей жизненной ситуации со строительством дома, то я уже приводил выше необходимость проверять прочность и прогибы строительных конструкций, в том числе и обратные проверки, при заданных параметрах материалов и заданной нагрузке надо найти пролеты которыми этим материалом можно перекрыть.
                              image
                              0
                              Не пойдёт. В реальной жизни, люди, которые хотят построить дом, и выбирают балку, просто смотрят на справочную таблицу, сколько эта конкретная балка выдерживает на такой-то пролёт. Ещё раз, я не про строителя мостов, у которого четверть жизни уйдёт на строительство одного моста, я про реальных людей в реальной жизни, не про инженеров за работой.
                                0
                                Уважаемый haqreu, я отвечал не Вам, я отвечал на вопрос, зачем в жизни нужны квадратные уравнения (ссылка). Был дан пример повседневного использования этих уравнений. Зачем Вы пытаетесь ввести дополнительные условия для меня загадка.

                                В реальной жизни, люди, которые хотят построить дом, и выбирают балку, просто смотрят на справочную таблицу, сколько эта конкретная балка выдерживает на такой-то пролёт.
                                — Вы меня извините, но это мнение человека слабо знакомого со строительством. Поясню, такие таблицы есть только для сборных, серийных элементов (С оговоркой, что там так же нужно все перепроверять т.к. условия работы различны), а как быть при монолитном ЖБ или при строительстве жилого деревянного дома? Таблиц на монолитный ЖБ и деревянные конструкции не существует.
                                А если говорить про реальную жизнь, то люди которые хотят построить дом, делают проект этого дома и в проекте, в том числе, считают балки, перекрытия, стены, стропила, фундаменты. Кстати, эпюра напряжений в земле под подошвой фундамента, опять таки, представляет из себя кривую второго порядка.
                                В любом случае, отсутствие необходимости в решение кв. уравнений у Вас и в Вашем окружении всего навсего характеризует Вас и Ваше окружение и не является истиной или «статической достоверностью».
                                За сим, позвольте откланяться, дальнейшее обсуждение лишено смысла.
                                  +1
                                  Ну что вы мне рассказываете. Ну вот делал я стропила для черепичной крыши. Пошёл в руководство для дачного строителя и посмотрел, какую нагрузку в килограммах можно ставить на четырёхметровый пролёт сосновой балки такого-то сечения, прикинул вес черепицы и прочее, и выбрал сечение балки. Какие там квадратные уравнения. Ещё раз, я не ввожу никаких новых условий, я просто прошу привести пример не из профессиональной жизни строителя высоток, а просто из жизни человека, который спокойно себе ковыряется на дачном участке / в гараже. Решать уравнения приходится, когда вы хотите, чтобы дом не рухнул, но при этом не нужно потратить ни одной лишней копейки, так как домов вы возводите три десятка. Иначе достаточно оценки снизу, взятой из справочника.
                                    0
                                    Ну тогда «простым людям» вообще математика за пределами простой арифметики не нужна. Даже отрицательные числа и линейные уравнения избыточны.
                                      0
                                      Не согласен. Отрицательную температура за бортом я вижу часто, долги тоже бывают. И уж пропорцию составить даже на кухне нужно регулярно, зачем вы передёргиваете?
                                        +2
                                        Отрицательную температура за бортом я вижу часто, долги тоже бывают.

                                        Не «минус пять градусов», а «пять градусов холода». И нет никаких отрицательных чисел. С долгами ещё проще. Мало кто говорит, что у него есть «минус сто рублей».

                                        Пропорции, кстати, я допускаю. Правило из (какого там класса?) средней школы: рисуем квадратиком, перемножаем по диагонали и делим на оставшееся известное.

                                        А линейные уравнения простому человеку зачем?

                                        зачем вы передёргиваете?

                                        Чтобы продемонстрировать некорректность вашего утверждения о нужности квадратных уравнений в жизни простого человека. Вы не определили, кто такой простой человек и что такое нужно. :)
                                          0
                                          Я так чувствую, что вы мне ещё скажете, что умножать не умеете, а делаете магические упражнения, записывая числа в столбик. Пропорция — это линейное уравнение, решать его можете каким угодно способом :)

                                          Про минус сто рублей я вас уверяю, банки говорят регулярно. И я вам уже дал ссылки на определения.
                                            0
                                            Я так чувствую, что вы мне ещё скажете, что умножать не умеете, а делаете магические упражнения, записывая числа в столбик.

                                            Не в столбик, а квадратиком, как учительница учила. :) А дальше калькулятором. Мы люди простые. Дача, там… Гараж… :)

                                            Пропорция — это линейное уравнение, решать его можете каким угодно способом :)

                                            Пропорция — это частный случай. Вы там внизу что-то подобное писали про коэффициент b в квадратном уравнении. Или поиск стороны квадрата по площади я могу как пример квадратного уравнения привести?

                                            Про минус сто рублей я вас уверяю, банки говорят регулярно. И я вам уже дал ссылки на определения.

                                            Ну так мы ж про простых людей. Чёрточка перед числом — значит должен. Какие-такие отрицательные числа?

                                            Вы, конечно, возразите мне, что это отрицательные, но неявно. А я вам возражу, что когда мы смотрим на спидометр, мы неявно находим производную. А вы мне возразите… Впрочем, не буду лишать вас удовольствия. :)
                                              0
                                              На самом деле не, я уже утомился тут писать. Порезвились — и буде.
                                                0
                                                Ну, как хотите. Но вы всё равно подумайте о (переоценённой) роли линейных уравнений в вашей внепрофессиональной жизни. :)
                                                  0
                                                  Та не, тут я спокоен, линейные уравнения есть везде вокруг нас, и даже неоднородные.
                                                0
                                                Кстати, а ведь пропорция — это честное линейное уравнение, это я ночью спать хотел, поверил вам:
                                                ax + b = 0

                                                В рецепте b картошки для оливье на восемь человек, у меня гостей втрое больше, сколько картошки брать? Чистая пропорция, чистое линейное уравнение...
                                              • UFO just landed and posted this here
                              0
                              Есть нажитые непосильным трудом 4 метра сетки для забора. Надо огородить с трёх сторон прямоугольный кусок земли, прилегающий к стене дома, чтобы сделать там грядку для гладиолусов. Без забора мелкий рогатый скот быстро схарчит все гладиолусы.

                              Каковы должны быть размеры грядки, чтобы площадь получилась максимальной?
                                –3
                                Это известная задача, причём откуда там взялось ограничение на то, что кусок земли должен быть прямоугольным, неясно. Правильный ответ: полукруг максимизирует площадь.
                                  +1
                                  Ограничение на то, что кусок земли должен быть прямоугольным, взялось от заказчика. Полукруг потребует много стоек, которые будут поддерживать сетку.
                                    0
                                    Скажу по секрету, прямоугольник тоже. И ничуть не меньше. Блин, ну вот что стоит привести один-единственный пример, не притянутый за уши? :)
                                      +2
                                      Прямоугольнику нужно только две стойки, по углам.

                                      что стоит привести один-единственный пример, не притянутый за уши?

                                      А смысл? Про любой пример можно сказать, что он притянут за уши, что в жизни таких задач не бывает, что можно решить по-другому и вообще зачем знать про дискриминант, когда есть Wolfram Alpha и Solver в Excel.

                                      Вот почти такой же пример — есть лист формата А4. Надо из него вырезать четыре квадратика по углам и загнуть стороны вверх, чтобы получилась прямоугольная коробка без крышки. При какой высоте коробки получим максимальный объём?
                                        0
                                        Похоже, что тут без производной и квадратного уравнения не обойтись. Хотя можно просто построить табличку в Excel, это будет даже быстрее. И точнее: в решении квадратного уравнения проще допустить ошибку.
                                          0
                                          Табличка в экселе — это просто численный метод решения. Аналитически-численно — это тема для совсем другого разговора, мне просто нужны задачи из жизни. Вот про коробку красивая задача, интересно, можно ли таких набрать достаточно на школьный учебник алгебры, чтобы выкинуть те тексты, что там есть...
                                            0
                                            Дело в том, что табличка маскирует само наличие квадратного уравнения: выписывается не производная, а сам объём (и глазом ищется максимум). Квадратное уравнение возникает только при аналитическом решении.
                                              0
                                              Да, согласен. Но ещё раз, это другой разговор. Вполне можно объяснить, что аналитическое решение может быть полезно, и что это будем решать аналитически. (А также попробуем численно и сравним что получится)
                                              0
                                              Для школьного учебника алгебры не годится, потому что на момент изучения квадратных уравнений понятие производной ещё не введено. Именно поэтому я сначала предлагал более простой вариант той же задачи на плоскости (с грядкой у стенки), которая решается без производных.

                                              А потом конечно можно, и есть тому хорошие примеры: Sanjoy Mahajan: Street-Fighting Mathematics, Ivan Savov: No BS Guide to Math and Physics.

                                              Книжка по физике от Sanjoy Mahajan ещё круче, одно вычисление тротилового эквивалента по трём кадрам рассекреченного фильма чего стоит.
                                                0
                                                вычисление тротилового эквивалента по трём кадрам рассекреченного фильма чего стоит

                                                Интересно. А можно подробнее?
                                                  0
                                                  "Тут на полях мало места, чтобы объяснить это замечательное доказательство."

                                                  Там надо сначала метод анализа размерности ввести. Из него получается, что произведение энергии взрыва на время в квадрате примерно равно произведению плотности воздуха на радиус ударной волны в пятой степени. Радиус ударной волны видно на кадрах фильма, время тоже, плотность воздуха знаем. МНК тоже используется, кстати.

                                                  В книжке (доступной безвоздмездно, то есть даром) страница 150, глава 5.2.2.
                                                    0
                                                    Любопытно.
                                                    Кстати за наводку на книги No BS ... от Ivan Savov, спасибо. Интересное повествование.
                                                  0
                                                  во-первых, тут можно и без полного определения производных обойтись; а потом, почему производные должны быть введены после квадратных уравнений, а не до?
                                                    0
                                                    Потому что производные (с полным определением или без) предполагают какое-никакое умение работать с функциями. У изучающих алгебру школьников такого умения ещё нет. Оно в частности нарабатывается рисованием парабол.

                                                    "Где парабола пересекает ось x" понять проще, чем "предел отношения приращения функции к приращению аргумента при последнем, стремящемся к нулю" или "коэффициент первого элемента в ряду Тейлора".
                                                      0
                                                      Безусловно, а можно и шарики катать по столу и рисовать графики. Не уверен я, что это так необходимо — изучать квадратные уравнения в восьмом (не помню точно) классе, а не в десятом.
                                                        0
                                                        Без квадратных уравнений как минимум в самом начале 9 класса, нереально изучать кинематику на физике, квадратные уравнения так же появляются в 9 классе в задачах по геометрии.
                                                        Надо или согласованно всё двигать(но зачем?) или признать, что квадратные уравнения изучать нужно не позже начала 9 класса.
                                                        В рамках школьной( да и в институте тоже) физики всё время приходится рассказывать мат. аппарат самому, только потому что он используется, а его еще не объясняли. Зачем усугублять то? Ну или просто не учить физику. Оставить нормальную математику и физику только в физмат классе, есть и такой вариант.
                                                          0
                                                          Да я не предлагаю отменять нормальную математику, ни в коем случае. Я предлагаю сделать её более наглядной, это очень непростая задача, но её нужно когда-то решать.
                                              –2
                                              Вы забор когда-нибудь ставили? Это к вопросу о двух стойках по углам...
                                                +1
                                                Два метра сетки между двумя столбами натягивал. Если столбы хорошо вкопать, а поверху натянуть трос, то держится.
                                                  0
                                                  Дык, четыре метра сетки — это не тот объём, где реально можно захотеть максимизировать площадь. На четырёхстах я ещё пойму. Кроме того, угловые столбы всегда дороже, т.к. на них приходится большая нагрузка, или их дополнительно нужно якорить тросами наружу...

                                                  В общем, эту задачу я считаю существенно менее элегантной, нежели про коробку.
                                                  0
                                                  Смотрим в табличку, там не меньше 8 футов, что заметно больше двух метров.
                                                  0
                                                  Кстати, а вы знаете, задача про объём коробки мне нравится, я вполне могу представить себе подобную ситуацию. Большое спасибо! Действительно, ограничение на площадь листа материала вполне правдоподобно, ну вот только такого размера у меня есть листы жести, и нужно мне хранить что-нибудь сыпучее. Да, правдоподобно! Пишу жирно, чтобы ваш текст был виден в этой простыне комментариев.
                                            +3
                                            Посоветоваться с женой. Она объяснит, какая грядка лучше всего вписывается в её идею прекрасного, а какая там будет площадь — дело десятое.
                                            Отразим грядку относительно стены дома, объединим грядку с её отражением. Получится прямоугольная грядка вдвое большей площади, которую надо оградить уже со всех сторон, но на это есть вдвое больше метров сетки. Прямоугольник максимальной площади при заданном периметре — квадрат. Значит, искомая грядка — 1х2 метра. Где здесь квадратное уравнение? (почему квадрат — а потому, что среднее арифметическое не меньше среднего геометрического).
                                            Аналогично получаем, что если форма может быть произвольной, то ответ — полукруг.
                                              0
                                              Осталось узнать, почему прямоугольник максимальной площади — квадрат.
                                                +2
                                                Потому, что среднее арифметическое не меньше среднего геометрического. Очевидно же!
                                                  0
                                                  Я видел, можно вообще посчитать три-четыре варианта наугад и выбрать наилучший, или сделать на глазок — на практике разницы не будет заметно.

                                                  Вообще вряд ли есть задача, которую можно решить исключительно использованием квадратного уравнения. При этом есть много прикладных задач, где надо находить максимум или минимум, что для параболы легко, если знать школьную программу. А параболы встречаются сплошь и рядом.
                                                    0
                                                    А вот тут вы ошибаетесь! Мы говорим про квадратное уравнение, а это есть пересечение параболы и прямой, а вовсе не минимум параболы. Минимум квадратичной функции легко находится, а мы говорим про нахождение экстремумов кубической функции.
                                                      –2
                                                      Нет тут кубической функции. Максимизируем площадь, она измеряется в квадратных метрах, поэтому функция квадратная.

                                                      Надо найти максимум параболы x(4-2x), где x — это длина стороны грядки, прилегающей к дому. Максимум там, где горизонтальная прямая касается параболы.

                                                      Берём формулу корней квадратного уравнения, подставляем в неё нулевой дискриминант, получаем искомый результат x = -b/2a = 1. Или усредняем два корня (x=0 и x=2), вспомнив, что квадратная парабола симметрична.

                                                      Разумеется, можно найти максимум ещё проще, если знать, что такое производная. Но для этого надо знать, что такое производная.
                                                        0
                                                        Как-то вы быстро к нулевому дискриминанту перешли… Особенно учитывая что для многочлена -2x2 + 4x он ненулевой.

                                                        То, о чем вы говорите, называется "формула вершины параболы". Она записывается как x0 = -b/2a без всяких дискриминантов и к квадратным уравнениям не имеет никакого отношения.
                                                          0
                                                          Разумеется ненулевой, потому что два корня. А нас интересует тот случай, когда он нулевой, то есть когда оба корня совпадают.

                                                          Если в формулу квадратного уравнения x1,2=(-b+-sqrt(D))/2a подставить D=0, получаем ту самую "формулу вершины параболы". И это не просто совпадение.
                                                            0
                                                            Искать минимум параболы — это линейная задача. Квадратичное уравнение — это экстремумы кубической функции или геометрическое пересечение окружности и прямой, чего в вашем примере нет.
                                                              0
                                                              Я привёл пример самой простой задачи, в которой есть квадратная функция и которая решается в лоб использованием формулы для корней квадратного уравнения в качестве контрпримера к следующему высказыванию:

                                                              я не знаю, зачем нужны в жизни квадратные уравнения
                                                                0
                                                                Вы привели пример линейного уравнения, да ещё и конкретно притянутого за уши. Квадратного я так и не видел пока.
                                                  +1
                                                  a^2 > (a+dx)*(a-dx)
                                                    0
                                                    Во, производные появились. И это проще, чем вспомнить про -b/2a из школьного курса про квадратные уравнения?
                                                      0
                                                      это не производные, хотя похоже
                                        +3
                                        Уравнение прямой на плоскости, строго говоря, выглядит так:

                                        ax + by = c

                                        то, что вы привели, не описывает прямые, параллельные оси ординат (x = c)

                                        Стандартный математик скажет, что решения не существует. А что скажет программист?

                                        Не знаю, что такое "стандартный", но настоящий математик заметит, что если система совместная (теорема Кронекера-Капелли в помощь), то третье уравнение выводится из двух остальных.

                                        Программист, опять же настоящий, вначале потребует точной постановки задачи, а потом уже будет затейливо проводить прямую.
                                          0
                                          Спасибо, но я достаточно видел математиков, писали код, отказывающийся строить триангуляцию Делоне для коциклических точек. Типа, не существует, валимся с ошибкой. А что дальше с ошибкой этой делать — конечному пользователю софта неясно. Поэтому ваш коммент мимо.
                                            +3
                                            Вывод — математиками те люди были только на словах.

                                            Раз уж вы начали оперировать мат.аппаратом, так делайте это корректно. Иначе в чём смысл всего поста? Сообщить, что бывают недобросовестные преподаватели мат.дисциплин? Да, бывают.
                                              +2
                                              Подскажите, пожалуйста, где мой матаппарат был некорректен, я с радостью исправлю.
                                                0
                                                См. мой первый комментарий. Там как бы всё указано. Уравнение прямой на плоскости в общем виде вы привели неверно (не включает прямые, параллельные оси ординат).
                                                  0
                                                  Это очевидно и сделано в угоду тому, что мне нужно было только две переменные, а то четырёхмерных рисунков я делать пока не научился.
                                                    +1
                                                    OK, т.е. цель поста — малость поглумиться над математикой. Тогда вопросов больше нет.
                                                      +1
                                                      Извините, не троллю, но реально пытался понять — зачем четырёхмерные рисунки для уравнений ax + by = c?
                                                        0
                                                        Размерность вектора ошибки (e) равна количеству уравнений в системе. При трёх неизвестных минимальное количество уравнений нетривиальной системы равно четырём.

                                                        Вот такую картинку уже не нарисовать, а она является одной из ключевых для понимания происходящего:

                                                        Скрытый текст

                                                          0
                                                          Подождите… а где три неизвестных?
                                                          ax + by = c — тоже два неизвестных, а третье выводится из ограничения.
                                                            0
                                                            Не забывайте, что точного решения этой системы в общем случае не существует (четыре уравнения, три неизвестных), поэтому нельзя просто взять и вывести третье из первых двух.
                                                              0
                                                              Да не, не надо уравнения выводить.
                                                              В этой задаче вы же хотите найти зависимость.
                                                              Так как три неизвестных, то фиксируется два из них, а третье ищется.
                                                              Вернее, ищется закон.
                                                              При совместной системе точный, при несовместной приближённый.
                                                              Чем больше уравнений (при независимости наблюдений), тем точнее приближение.
                                                              Опять же при адекватности модели.
                                                                0
                                                                Я не понимаю, о чём вы говорите. Можете привести полный способ решения? Ищем ax+by+c=0; имеется четыре точки данных. Дальше что?
                                                                  0
                                                                  Так же, три точки данных.
                                                                  ax+by+c=0 — это другой вид написания уравнения y = ax + b
                                                                  С точностью до коэффициентов и ограничения на решение вида x = c.
                                                                  Потому что мы подразумеваем, что y — функция однозначная.
                                                                  Можно выразить через
                                                                  x = ey + f
                                                                    0
                                                                    Только на ноль делить нельзя, вы упёрлись ровно в ту же проблему, с которой начали.
                                                                      0
                                                                      Вот спинным мозгом чувствую, но выразить не могу.
                                                                      По идее классическая постановка МНК выглядит как
                                                                      a11x1 + a12x2 +… + a1nxn = b1

                                                                      am1
                                                                      x1 + am2x2 +… + amnxn = bm

                                                                      и решение ищется как x=A+b,
                                                                      где A+ — псевдообратная матрица к A.

                                                                      Тут n неизвестных и m уравнений.
                                                                      В Вашей постановке x — это x1, а y — это x2.
                                                                      Два неизвестных — три уравнения.
                                                                      Хотя возможно я уже просто запутался с обозначениями.
                                                                        0
                                                                        Нет, даже ещё проще.
                                                                        x — это x1, а y — это b.
                                                                        Да, похоже, что Вы правы.
                                                                        Но для меня было просто как-то непонятно почему МНК не может дать ответ в случае x = c.
                                                                          0
                                                                          Без проблем может, но только рисунок получиется четырёхмерным :)
                                                                            0
                                                                            Спасибо за диалог.
                                                                            Буду думать — как мне кажется, что-то здесь не то, и можно обойтись без четырёхмерия… :)
                                                                            0
                                                                            Проблема в том, как мы вычисляем штраф за взаимное расположение точки (x0,y0) и прямой. Если прямая задана как a x + b y = c, а штраф — (a x0 + b y0 — c)/sqrt(a^2+b^2), т.е. расстояние до прямой — картина одна. Если прямая y = a x + c, а штраф — a x0 + c — y0, то результат будет другим — повысится штраф в случае больших значений a, и метод будет занижать это значение по сравнению с первым представлением. И при переходе от y = a x + c к x=c будет разрыв непрерывности.
                                                                            Какой ответ для точек (-1,6), (0,0), (1,6)? y=4 или x=0?
                                                                              0
                                                                              А откуда взялся делитель sqrt(a^2+b^2)?
                                                                              Штрафы, как мне кажется, тут идентичные, с точностью до нормирующих коэффициентов, и разницы между случаями для полученной формулы прямой не будет.

                                                                              Что касается разрыва непрерывности, то он появляется в результате требования однозначности отображения.
                                                                              То есть, для функции y(x) запрещено принимать несколько значений, иначе смысл в минимизации отклика отсутствует, раз отклик может принимать множество значений (а в случае x = c бесконечное неограниченное в обе стороны множество).
                                                                                +1
                                                                                А откуда взялся делитель sqrt(a^2+b^2)?

                                                                                Если мы будем минимизировать сумму (ax+by-c)^2, то алгоритм выдаст a=b=c=0, и ничего с ним не сделать.

                                                                                Если взять точки (-2,0), (0,0), (3,0), то оптимальная прямая при штрафе (ax+by-c)/sqrt(a^2+b^2) будет y=x+4/3, а при штрафе ax+c-y — y=(6x+9)/7. Разница невелика, но она есть.
                                              +28
                                              дорисовал_сову.jpg

                                              > «Давайте заменим конкретные матрицы на их символьное представлени… бла-бла-бла… Окей, тут всё понятно»
                                              Вы сами только что написали что нихрена не понятно даже простые определения. Что очень много вещей нужно по настоящему разжевывать. и тут вдруг над буквой появляется непонятная стрелочка, у матриц появляются степени и вообще непонятно как и каким образом одно следует из другого… Но «Окей, тут всё понятно».
                                                –8
                                                Текст рассчитан на конкретно моих студентов с конкретно их бэкграундом. Что такое матрица — они знают. И стрелочка для обозначения вектора им знакома. А вот "задача Дирихле" им совсем неясна, хотя считать там чаще всего нечего совсем. Пересказать весь школьный курс я себе задачи не ставил.
                                                  +7
                                                  Думаю что надо было об этом намекнуть в начале статьи. Всё таки хабр — публичный ресурс и статьи для узкого/определённого круга лиц — всё равно что рецепт по выпечке на форуме радиолюбителей.
                                                  Думаю обычного упоминания того что вы в являетесь преподавателем на конкретном курсе в высшем учебном заведении было бы достаточно. Хоть это и может выглядеть как хвастовство, зато сразу морально готовишь себя к тому что вы называете «на пальцах».
                                                    0
                                                    Википедия — тоже публичный ресурс. Я считаю, что вот эту статью нужно запретить!
                                                      +1
                                                      Никто не говорит про запретить.
                                                      Замечание про сову совершенно справедливое, попробуйте воспринимать критику более конструктивно.
                                                      Переводить стрелки и сравнивать энциклопедию и блоговый сервис — не очень корректно, на мой взгляд.
                                                        –4
                                                        Ну так и отлично. Критика — вещь полезная, я всегда за. Но незнакомым людям императивы раздавать — дело неблагодарное.
                                                    +1
                                                    Ну раз так, то его и публиковать надо для ваших студентов на вашестудентском ресурсе.
                                                      –3
                                                      Спасибо за ваше мнение.
                                                    +14
                                                    Все гении такие. Пишут как-то Ландау и Лифшиц "Электродинамику сплошных сред", ну и в одной главе получают какую-то сумасшедшую формулу с использованием максвелловского тензора напряжений в анизотропной среде. А на след. день Лифшиц говорит: "Слушай, я вчера три листа выкладок в трамвае потерял. Что делать?" "А что, — говорит Ландау, — напишем, как обычно: "откуда очевидно..."
                                                      +7
                                                      Вспоминается одна реальная история про какого-то из известных математиков, (не помню какого). Преподавал он лекцию студентам, и на очередной фразе "… откуда очевидно, что..." запнулся, остановился, завис, потом схватил бумагу, начал что-то строчить, потом весь возбуждённый что-то бормоча выскочил за дверь и отсутствовал минут двадцать. После чего вернулся с сияющим видом, и как ни в чём не бывало, продолжил: "действительно, совершенно очевидно, что...".
                                                        +1
                                                        Я ее слышал про Харди, кажется)
                                                          0
                                                          Хм, интересно.
                                                          А нам преподаватель по матану подобную историю рассказывал про своего преподавателя. Типа студент на экзамене забыл часть доказательства и сказал "отсюда очевидно". Преподаватель ходил где-то 20 минут, думал, вернулся и сказал "действительно очевидно".

                                                          Значит байка:(
                                                      +27
                                                      Соотношение первой и второй частей статьи очень напомнило "как нарисовать сову".
                                                        0
                                                        Задачи показать конкретный софт не стояло; задача стояла показать, что такое наименьшие квадраты. Конечные картинки так, тизер. А решать мои студенты будут вообще задачу оптимального управления роботами, а не картинки рисовать.
                                                          0
                                                          Я не про софт. :) Первая часть — всё просто, известно и пережёвано. И потом бах и уравнения с граничными условиями, где вообще не ясно, что происходит и причём тут МНК.
                                                            0
                                                            Хм. Видно, плохо объяснил. Уравнения с граничными условями ничем не отличаются от самой первой микрозадачи. У нас есть некий набор линейных уравнений, например, для сглаживания поверхности:
                                                            1) (для всех пар соседних вершин) соседние вершины должны быть равны
                                                            2) (для всех вершин) отклонение вершины от изначальной позиции должно быть нулевым

                                                            Очевидно, что точно выполнить все условия никак, поэтому делается некий компромисс между всем и ищется решение, минимизирующее квадрат ошибки. Ровно как для самой первой задачи.
                                                              0
                                                              Правда ли, что если применить kernel trick (искать расстояние хотя бы не до плоскости, а до квадратичной поверхности), то получится еще более гладко (кажется, что даже настоящие сплайны получатся) ?
                                                                0
                                                                К сожалению, не могу сказать, никогда не залезал в классификацию.
                                                                  0
                                                                  Так, немножко напутал с терминами, но суть та же. Попробую объяснить на пальцах.
                                                                  Есть набор точек, которые "почти" лежат на гиперплоскости. МНК найдет эту гиперплоскость.
                                                                  Есть набор точек, которые "почти" лежат на гиперсфере радиуса r с центров в начале координат. МНК не найдет эту гиперсферу, потому что находит только плоскости.
                                                                  Как научить МНК находить гиперсферы?
                                                                  Придумаем преобразование, после которого все точки гиперсферы лягут на гиперплоскость (не обязательно той же размерности). Например, возведем каждую точку покоординатно в квадрат. Задача сведена к МНК.
                                                                  Основная идея: взять некое преобразование координат (удобнее всего полиномиальное) и надеяться, что в новом пространстве исходный набор точек хорошенько сплющит.

                                                                  Тут чуть подробнее.
                                                                  0
                                                                  Более гладко не получится. У алгоритма появятся лишние степени свободы, он сможет более точно аппроксимировать исходные точки, а значит, найденное решение будет ближе к исходным данным. И, скорее всего, будет менее гладким.
                                                                  Впрочем, в МНК легко засунуть и полиномиальные сплайны, и условия гладких (или более-менее гладких) стыковок, и разный вес разных условий.
                                                              0
                                                              Теорию алгоритмов они тоже на пальцах изучают? Или таки по-настоящему?

                                                              Кстати, было бы интересно посмотреть на объяснение "на пальцах" гиперреальных чисел и, скажем, доказательства Уайлса Великой Теоремы Ферма — в вашем исполнении. Ну или поручите студентам во всём этом разобраться.
                                                                0
                                                                Гиперреальные числа только на пальцах и можно объяснить — они очень близко к базовым понятиям. Система подмножеств, фильтры с примерами, главные и неглавные ультрафильтры — и всё. Проблема — понять зачем они нужны. Я так и не понял их преимущества над полем каких-нибудь хитрых обобщённых степенных рядов. Там и упорядоченность есть, и нужная мощность, и бесконечно малые на любой вкус. И построение гораздо более конструктивно.
                                                            +20
                                                            Статья неплохая, но наезды на математиков безосновательны. Так как статья, в общем, делает то же самое, что и они.

                                                            Вначале — забавные байки про то, что никто не знает что такое производная, а потом… трац-бах матричный вид, вектора, что-то там куда-то натянуто, какие-то ортогонали. Вы уверены, что потенциальный читатель вашей статьи точно про всё это знает?

                                                            Собственно это проблема обучения вообще: нужно что-то знать про того, кому ты пытаешься что-то рассказать. Иначе любая простенькая теория превратится в талмуд на 10000 страниц. В это и вся проблема "рассказа на пальцах": то, что у одного человека "на пальцах" у другого не помещается в голове никак вообще. Какие-нибудь простейшие геометрические построения (или, наоборот, линейна алгебра) — и человек "умирает"...
                                                            • UFO just landed and posted this here
                                                                +4
                                                                Да! У меня лично есть графический ускоритель в голове, я всегда рисую картинки к любой неясной мне задаче, геометрический взгляд на вещи мне очень помогает в работе.
                                                                –6
                                                                Я учу не абстрактного коня в вакууме, а своих студентов. И что такое два перпендикулярных вектора — они знают. Абстрактному читателю текст написать невозможно. Один уснёт от скуки, потому что слишком просто, а второй от скуки, потому что сложно. Ну вот вам скучно по одной из этих причин, что ж поделать.
                                                                  +9
                                                                  Но стоит ли публиковать на Хабре статью, "заточенную" строго под ваших студентов — вот в чём вопрос.
                                                                    +3
                                                                    Безусловно, задаваться вопросом о полезности действий надо. Поделитесь вашим мнением по этому поводу.
                                                                      +7
                                                                      Думаю, критика связана с тем, что по ходу изложения пропущены некоторые важные шаги, отсутствие которых прерывает осознание материала на пути от простого к сложному, и перед читателем возникает тот самый классический пример рисования совы.
                                                                      Что до (ваших) студентов, как целевой аудитории, если они понимают заключительную (сложную) часть, наверное нет смысла им все так досконально разжёвывать с самого начала, но если уж разжёвывать перед широким кругом читателей, то шажки нужны помельче.
                                                                        –3
                                                                        На самом деле, просто не нужно пытаться заглотить текст целиком за три минуты. У моих студентов от первых объяснений с поиском линейной регрессии до решения уравнения Лапласа проходит минимум часа три.
                                                                          +4
                                                                          Так и получается, вот два овала, вот готовая сова и между ними спрятаны годы художественной школы, а про "на пальцах", это такая замануха на примере овалов, но не более.
                                                                            0
                                                                            Нет, всё, что я описал, разбирается за один день, а не за годы художественной школы.
                                                                +6
                                                                По причине некоторых запретов в правилах Хабра я не могу воспользоваться всеми словами русского языка, чтобы сказать, насколько хорошая статья получилась, и насколько правильное дело вы делаете; поэтому просто знайте, что статья получилась очень хорошая, и дело вы делаете очень правильное.
                                                                  +35
                                                                  Как только вы пытаетесь прочитать какой-то текст, и вам кажется, что он чрезмерно сложен, то знайте, что он хреново написан. Я утверждаю, что нет ни одной области математики, о которой нельзя говорить «на пальцах», не теряя при этом точности.


                                                                  Яснопонятно.

                                                                  P.S. Не то что бы в формулах что-то запредельное, но и объяснением "на пальцах" эту статью с трудом можно назвать.
                                                                  За саму статью спасибо.
                                                                    0
                                                                    del
                                                                      –5
                                                                      Это материал первого курса любого технического факультета. Для кого еще более подробно разжевывать?
                                                                        +18
                                                                        Для тех, кто не учился на технических факультетах. Для тех кто учился, но давно. Для тех, кто учился, но ничего не понял. Да много для кого. Иными словами, когда мы говорим "на пальцах", подразумевается — для любого неподготовленного человека. Надо ли это ему — другой вопрос. Я лишь обратил внимание, что такое изложение — это ни разу не "на пальцах".
                                                                      –1
                                                                      Задача на ближайшее время: я поручил своим студентам понять, что такое линейно-квадратичный регулятор.
                                                                      Скажите, а студенты уже знакомы с основами ТАУ? Они поймут контекст задачи?

                                                                      Производная ничто иное, как просто мера того, насколько функция, которую мы дифференцируем, похожа на функцию y=x, y=x^2, y=x^3
                                                                      Ну очень сомнительное для меня утверждение.
                                                                        +1
                                                                        1) Нет, студенты с теорией управления не знакомы, но обратный маятник и тому подобное им сделать придётся, для того и пишу текст, чтобы поняли
                                                                        2) Ну а с сомнительным утверждением можете спорить.
                                                                          0
                                                                          1) Это какой-то авторский курс? Просто я не очень понимаю, зачем кому-то знать теоретические основы расчёта ЛКР, не владея основами ТАУ как таковой. Мне кажется, что фрагментированное знание, не вписанное в правильный контекст и, как следствие, не связанное этим контекстом с другими знаниями, плохо усваивается и быстро выветривается. А обособленное знание вывода ЛКР мне кажется именно таким фрагментированным. Но я Ваш курс целиком не видел, так что это только поверхностное впечатление.

                                                                          Кстати, под обратным маятником Вы имеете ввиду стабилизацию верхнего неустойчивого положения равновесия?
                                                                            0
                                                                            Я вам больше скажу, я сам с теорией управления незнаком. А у студентов есть конкретные задачи, например, да, активная стабилизация в неустойчивом равновесии, типа сигвеев. Ну и я по мере сил даю им направления, куда копать. Так что, теоретических выводов не будет, исключительная практика.
                                                                              0
                                                                              А Вы консультировались с кем-то, кто знает ТАУ? Или самостоятельно прорешивали эту задачу? Точнее, даже, а Вы уверены, что тот маршрут, по которому Вы сейчас ведёте студентов, он вообще ведёт туда, куда надо?
                                                                              Подскажите, что за дисциплину Вы преподаете и какому курсу студентов? Я теряюсь в догадках.
                                                                                0
                                                                                Нет, не консультировался, мне для этого вики хватает. Если вы конкретно про лкр, то никаких лекций я по нему не читаю, я просто консультирую местный робототехнический кружок, когда они выбирают себе задачи не по зубам.
                                                                            +1
                                                                            2) Зачем и о чём спорить? Когда кто-то предлагает необычную трактовку устоявшихся понятий, то это от автора трактовки ждешь аргументов и пояснений, а пока их нет, то и спорить не с чем, мало ли кто как пошутил. Про саму же формулировку я уже высказался, на столько вежливо, как только смог. :)
                                                                              0
                                                                              Мне кажется, я ничего нового не выдвигал, всё уже сказал господин Тейлор :)
                                                                                0
                                                                                А Тейлор говорил про производную как "меру" похожести? Надо же, не знал. Поясните тогда, чем больше производная, тем что? тем похожее или тем не похожее?
                                                                                  0
                                                                                  Чем ближе к единице, тем похожее. Тейлор показал разложение в функциональном базисе, причём ещё и с убывающей "полезностью" компонент базиса.
                                                                                    +2
                                                                                    О, я понял Вашу мысль. Т.е. чем ближе производная к, например, 3, тем более функция похожа на 3x. Мда, своеобразно.
                                                                                      0
                                                                                      На самом деле, не своеобразно ни разу; достаточно посмотреть на определение, например, дробной производной, тогда подобная интуиция так и просится наружу.
                                                                                      0
                                                                                      Откуда берётся убывающая полезность из этого объяснения совершенно неочевидно. Например, при разложении в ряд Фурье никаких факториалов нет, при разложении на вейвлеты — тоже. Все гармоники одинаково полезны. А у Тейлора факториалы в знаменателе каждого коэффициента.

                                                                                      При обычном объяснении совершенно понятно, откуда они берутся — мы приравниваем i-ю производную многочлена i-й производной нашей функции, в производной многочлена появляется факториал, на который приходится делить.
                                                                            +5
                                                                            Для меня мир окончательно и бесповоротно изменился не тогда, когда я с третьей попытки сдал "вышку" на тройку на втором курсе, а когда я узнал, что существует решение уравнения cos(x) = -2
                                                                            После этого даже воспоминания о том, что когда-то я думал, что понимаю математику, растворились в тумане невежества.
                                                                              +3
                                                                              Срочно прошу написать чему же равен x в вашем примере.
                                                                                +4
                                                                                x примерно равен 6.2832 n — (3.1416-1.3170 i) или 6.2832 n + (3.1416-1.3170 i). https://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%5Bx%5D%3D-2
                                                                                  –5
                                                                                  лол… это как на энигме я задавал вопрос: «как из свинца получить золота?» ответ: «добавить золото и убрать свинец».
                                                                                  так и здесь есть какой то подвох…
                                                                                  wolframalpha говорит что x = 2 pi n-cos^(-1)(-2)
                                                                                  независимо от n: получится 2 куска для решений:
                                                                                  2 pi и cos^(-1)(-2)

                                                                                  cos^(-1)(-2) я разбил на cos (-2) = -0.416146…
                                                                                  и на -1 степень от полученного. = -2,402997962…

                                                                                  2pi = 6,283185307…

                                                                                  попробуем решить для простоты в качестве n возьмём 1.
                                                                                  получаем x = 6,2831 — (-2,40299) = 6,2831… + 2,40299… = 8,686183269… обычное такое число и косинус от него -0,739415412…
                                                                                  При выборе другого n ответ получается тот же.
                                                                                  Таким образом предложенный ответ не является решением уравнения.

                                                                                    +3
                                                                                    Таким образом предложенный ответ не является решением уравнения.
                                                                                    Ну если от «предложенного ответа» взять примерно так половину, то да, конечно. Как вы из комплексного числа «3.11416… — 1.3170 i» вдруг получили действительное -2,40299 — для меня загадка…
                                                                                      –5
                                                                                      А для меня загадка как из числа лежащего на оси ox в пределах от -1 до 1 (тригонометрическая окружность) вы умудрились вообще предположить что там может быть 2?
                                                                                      да там даже в графике в wolframalpha на рисуемом рисунке красная полоска не пересекается с графиком функции что явно намекает о том что решений нет…
                                                                                      wolframalpha говорит что «3.1416… — 1.3170 i» в другой форме можно представить как cos^(-1)(-2) которые ещё можно записать как 1/cos(2) который в свою очередь wolframalpha уже рассчитывает как -2.40299…

                                                                                      https://www.wolframalpha.com/input/?i=cos^%28-1%29%28-2%29

                                                                                      и вообще i это сколько? этот ваш «3.1416… — 1.3170 i» скорее всего как глюк «20,4*3212,5» в екселе.
                                                                                        0
                                                                                        Эммм… Дело в том, что под cos^(-1) тут следует понимать не 1/cos, а arccos, тогда не встает ли все на места?)
                                                                                          0
                                                                                          честно говоря вообще не встало… чтобы мы не получали итоговая функция всё равно cosинус который один хрен не может быть меньше -1 и больше 1. По определению там происходит деление катета на гипотенузу. Гипотенуза всегда больше катетов и поэтому мы никаким образом не получим число больше единицы.
                                                                                            +1
                                                                                            Тогда вам, вероятно, следует ознакомиться еще лишний раз с тем, что такое косинус.
                                                                                            Есть наивное определение cos — отношения катета к гипотенузе, по сути функция (R+, R+) -> R[-1, 1] (из двух положительных действительных чисел в действительное на отрезке [-1, 1])
                                                                                            Оперировать двумя числами неудобно — поэтому (R+, R+) была заменена на R — угол. итого мы имеем функцию
                                                                                            cos® -> R[-1, 1]
                                                                                            Но ведь согласитесь, где вы видели прямоугольный треугольник с одним из углов равным -1345 градусам? Уже в этот момент мы отошли от наивного определения.

                                                                                            После того, как в математике появились комплексные числа — все стандартные функции были расширены на комплексную плоскость. В том числе и тригонометрические — и оказалось, что cos© уже не попадает в R[-1, 1] и может принимать сколь угодно большие значения — в том числе и -2.
                                                                                              0
                                                                                              а есть картинка?
                                                                                                0
                                                                                                просто читайте соответствующие материалы, там все написано) http://mathworld.wolfram.com/Cosine.html
                                                                                                  0
                                                                                                  ну пожалуйста… ткните носом куда конкретно смотреть. В английском не бельмеса я.
                                                                                                    0
                                                                                                    Сперва неплохо изучить матанализ, например тут.
                                                                                                    Потом стоит взяться за ТФКП.
                                                                                                      0
                                                                                                      Я конечно сам русский язык знаю на троечку, но авторы учебника по первой ссылки видимо даже собственное предисловие не читали. «Развнтие», «не только, сообщенне известиого», «идейио», «готовнт» и т.д…

                                                                                                      Буду держать вас в курсе :)
                                                                                                        0
                                                                                                        Предисловие тоже не читал, а книжка очень хорошая. Хотя для ознакомительных целей слишком формализованная. Лучше наверное эту http://lib.mexmat.ru/books/13441
                                                                                            0
                                                                                            Это вы не видели ещё формулу Эйлера, там вообще показатели степени мнимые.
                                                                                            Собственно, эта формула и позволяет расширить тригонометрические функции на комплексную плоскость.

                                                                                            Но лучше всего прослушать лекции по матанализу и теории функции комплексного переменного в каком-нибудь ВУЗе.
                                                                                          +5
                                                                                          и вообще i это сколько?

                                                                                          Вообще, i это мнимая единица, квадратный корень из -1.
                                                                                          • UFO just landed and posted this here
                                                                                              0
                                                                                              Ну просто определение через квадратный корень неоднозначно, у image 2 значения: i и -i. Немного софистики и как раз получается такое.
                                                                                              • UFO just landed and posted this here
                                                                                                  0
                                                                                                  Это да. Вот поэтому определение "i — такое число, квадрат которого равен -1" правильное, а через корень — нет.

                                                                                                  А вообще, определение комплексных чисел через упорядоченную пару мне нравится больше. Тогда i = (0, 1), что вполне однозначно. А уж из этого определения можно вывести всякие арифметические свойства этого числа.
                                                                                                    0
                                                                                                    Что-то в вашей версии лучше не стало: "-i — тоже такое число, квадрат которого равен -1", и хоп, у нас два одинаковых определения для двух разных чисел.

                                                                                                    Вообще мне всегда казалось, что в определении корня пишут "неотрицательный", но быстренько повикипедив, похоже, что это только для случая, когда нам нужна функция f(x) = корень из x, а вообще определение корня как числа спокойно уживается с неоднозначностью. Поправьте, если я ошибаюсь, конечно.
                                                                                                      0
                                                                                                      На самом деле правильное определение выглядит так: i — это число, у которого действительная часть равна нулю, а мнимая — единице.

                                                                                                      Комплексные числа давно уже определяют конструктивно как пары действительных чисел, с дальнейшим прямым вводом арифметических операций.

                                                                                                      Про неконструктивные определения не слышал, но среди конструктивных такое определение получается самым корректным и простым.

                                                                                                      Даже в школе так их и учили.
                                                                                                        0
                                                                                                        Сейчас я, возможно, буду говорить глупые вещи, но разве не нужно сначала определить i, чтобы потом говорить о действительной и мнимой части? Т.е., ок, я беру ваше определение, только теперь задаю вопрос — "что такое мнимая часть"? И вам придется отвечать что-то типа "это слагаемое с коэффициентом при i", разве нет?
                                                                                                          +2
                                                                                                          Нет, сперва вводится определение упорядоченной пары и действия над ними: сложение и умножение.

                                                                                                          image
                                                                                                          image
                                                                                                          Ну и задаётся соответствие: вещественное число x равно паре (x, 0).
                                                                                                          А затем умножим по правилам пару (0, 1) на саму себя:
                                                                                                          (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 1 * 0 + 0 * 1) = (-1, 0) = -1

                                                                                                          Таким образом, некий объект (0, 1) в квадрате даёт нам -1. А чтобы не писать постоянно (0, 1) ему просто присвоили букву i.

                                                                                                          Таким образом, например (3, 0) + (2, 0) * (0, 1) = 3 + 2*i.
                                                                                                          С другой стороны, (3, 0) + (2, 0) * (0, 1) = (3, 0) + (2 * 0 - 0 * 1, 2 * 1 + 0 * 0) = (3, 0) + (0, 2) = (3, 2).
                                                                                                          Т.е. запись (3, 2) эквивалентна 3 + 2i
                                                                                                            0
                                                                                                            А, ну действительно, это же совершенно логично. Спасибо!)
                                                                                                        0
                                                                                                        Вообще мне всегда казалось, что в определении корня пишут «неотрицательный»
                                                                                                        К сожалению трюк с отбрасыванием одного из решений через неотрицательность не работает в комплексных числах ибо там числа на больше-меньше сравнивать нельзя.
                                                                                                        0
                                                                                                        Кстати, что-то вдруг вспомнилось, а мне в школе определяли комплексные числа как фактор-пространство кольца многочленов делённого на многочлен x^2+1!
                                                                                                          0
                                                                                                          Это ли не пример переусложнённого определения? Из серии «комплекс vs сетка».
                                                                                                            0
                                                                                                            А я разве говорил, что это хорошо? Просто привёл анекдот из жизни.
                                                                                                            0
                                                                                                            Мне вот это определение в своё время очень понравилось, где мнимая единица выводится через "зависание" прямой на полпути во время её переворота.
                                                                                                  +3
                                                                                                  Вы просто не знаете что такое комплексные числа. Ну и то, что арккосинусы обозначают как cos^(-1), но это мелочи. Или троллите.
                                                                                                  Что ж, сохраню ваш мир в целости, в действительных числах решений нет.
                                                                                                    0
                                                                                                    А что не так с 20,4*3212,5 в "екселе"?
                                                                                                      0
                                                                                                      2007 версия екселя говорит что получиться 100000 а калькулятор 65535. Разница достаточно большая…
                                                                                                        0
                                                                                                        Хм, в 2013 исправлено.
                                                                                                      +1
                                                                                                      Очевидно, что вы просто напросто не знакомы с комплексным числовым множеством и как следствие с основной теоремой алгебры, которая утверждает, что с комплексными числами у вас всегда будет хотя бы один ответ из множества комплексных чисел и это верно для любой функции с любыми значениями и аргументами.

                                                                                                      А для меня загадка как из числа лежащего на оси ox

                                                                                                      А тут ваша основная ошибка. Комплексные числа лежат уже не на числовой прямой, а на числовой плоскости.
                                                                                                        +1
                                                                                                        Не-а. Уравнение ex=0 даже в комплексных числах решения не имеет.
                                                                                                          +1
                                                                                                          А, ну да. Прошу прощения. Это ведь про многочлен идет речь, а я про все функции говорю. Косяк, согласен.
                                                                                                            0
                                                                                                            eπi + 1 = 0

                                                                                                            Разве нет? Известное уравнение, объединяющее пять популярных констант.
                                                                                                              0
                                                                                                              Это даёт (одно из) решений уравнения ex=-1. Не 0.
                                                                                                                0
                                                                                                                Да, невнимательно посмотрел — в случае конечного аргумента нуля не получить.
                                                                                                            +1
                                                                                                            Как-то вы очень хитро применили основную теорему алгебры к тригонометрическому уравнению...
                                                                                                              0
                                                                                                              Это теорема Пикара:

                                                                                                              Любая целая функция, отличная от постоянной, принимает все (конечные) комплексные значения, за исключением, быть может, одного
                                                                                                        0
                                                                                                        вообще странно если написать в этом вольфраме cos(2 π-cos^(-1)(-2))
                                                                                                        то он пишет ответ -2 радиана. т.е ответ мы получаем не число а угол что странно в принципе.
                                                                                                          0
                                                                                                          Вероятно, cos^(-1) у него это арккосинус.
                                                                                                            0
                                                                                                            Дык, эта. Так даже на каком-нибудь МК-52 писалось.
                                                                                                      0
                                                                                                      Какой такой Тейлор? Производная это угловой коэффициент, по-простонародному наклон графика исходной функции. По-моему, именно эта информация устаканивает в голове сие понятие.

                                                                                                      Что касается квадратов. Квадрат там нужен для того, чтобы минимизировать не только сумму, но и максимальное отклонение. Условно говоря, равномерные погрешности {1, 1, -1} есть намного лучшая ситуация, чем {0, 0, 3} — где-то точное равенство (возможно, случайное), а где-то аномальный всплеск (скорее всего, неслучайный). Для простого суммирования эти варианты равны, а с квадратами тройка сразу выпирает.
                                                                                                        0
                                                                                                        Не могу согласиться. Максимальное отклонение минимизируется через минимизацию Inf нормы. Сумма модулей — за счет минимизации 1-ой нормы. А минимизация второй нормы минимизирует именно что сумму квадратов и ничего другого. Самый неинформативный критерий с потребительской точки зрения, но единственный с аналитическим решением. Вот неплохой пример с картинкой.
                                                                                                          0
                                                                                                          Тейлор говорил ещё и про производные высшего порядка. Про сумму квадратов да, хорошее дополнение к интуиции. Но если мы говорим про норму вектора ошибки (без возведения в квадрат), то не будет простой суммы. Будет корень из суммы квадратов.
                                                                                                            0
                                                                                                            по-простонародному наклон графика исходной функции

                                                                                                            Касательной к графику исходной функции?
                                                                                                              0
                                                                                                              И касательной тоже.
                                                                                                            +2
                                                                                                            Хорошая статья. Я даже более-менее понял на визуальном уровне, что из себя представляет псевдоинверсия матрицы. Правда, именно до нее дело не дошло и повествование оборвалось на самом интересном. Не хватает более развёрнутого описания того, что делается с помощью OpenNL и как составляются системы уравнения для получения результата с изображений. А то и правда получилось как в картинке про сову.
                                                                                                              +5
                                                                                                              Я ничего не понял. Я знаю, что такое метод наименьших квадратов и как его использовать, я знаю, что такое линейные уравнения. Помню, что такое матрицы примерно… но:

                                                                                                              Эта прямая должна иметь уравнение типа следующего:
                                                                                                              /формула/
                                                                                                              Здесь альфа и бета нам неизвестны, но известны две точки этой прямой:
                                                                                                              /формула/
                                                                                                              Можно записать это уравнение в матричном виде:
                                                                                                              … а зачем? Почему вы не объяснили, зачем ее представлять в форме матрицы, если все это решается гораздо быстрее и без них? Откуда взялись единицы в матрице? Поэтому далее читать было уже совершенно не интересно, т.к. в самом начале вы задали слишком высокий уровень, пропустив базовые объяснения. Согласен с одним, все можно разжевать на пальцах, но вы это делать не стали.

                                                                                                              ax + b = y

                                                                                                              a*1 + b = 1
                                                                                                              a*3 + b = 2

                                                                                                              Вычитаем из второго первое:
                                                                                                              2a = 1, следовательно a = 1/2
                                                                                                              b = 1 — a = 1 — 1/2 = 1/2

                                                                                                              Функция y = 1/2 * x + 1/2, все, зачем нужна была матрица?
                                                                                                                0
                                                                                                                Матрица нужна затем, чтобы потом добавить других точек, где точного решения линейной системы не существует. Кроме того, оно даёт однотипную формулу для решения даже систем с двумя точками, можно подставить любые данные.
                                                                                                                  +7
                                                                                                                  Если читать дальше — да, но вы это не объяснили. Мне как читателю совершенно не понятен этот перескок. Представьте, я вам говорю, что объяснить устройство ДВС очень просто, на пальцах. Смотрите: когда подается ток на свечу, она производит искру. Поэтому в четырех цилиндрах свечи работают со смещением фазы в 90 градусов… откуда фазы? почему в четырех? стоп..!
                                                                                                                  Вот такие же чувства. Полистав статью дальше, я увижу схему двигателя с 4 цилиндрами, по анимашкам возможно пойму в чем дело, но чтобы реально эффективно понять суть, мне придется снова перечитывать статью полностью с необходимым контекстом. Если не наткнусь еще раз на такую же ловушку. Иначе еще и еще раз. А это скучно, не интересно, не эффективно.
                                                                                                                  P.S. Статья хорошая, идеи отличные. Критика исключительно из-за того, что вы не реализовали заявленное в аннотации.
                                                                                                                    0
                                                                                                                    Не знаю, как вы, а я читаю технические тексты в несколько проходов. И первые проходы никогда не делаю дотошными.
                                                                                                                    Грубо говоря, в первый проход я просто смотрю оглавление, во второй смотрю картинки не читая подписей к ним, затем возможно, что читаю даже подписи. И так далее. Если прекращать читать текст на первом же месте, где споткнулись, то далеко не уйти.
                                                                                                                      +5
                                                                                                                      Недавно изучил очень много литературы на английском по Symfony и Doctrine. Что удивительно, в большинстве случаев понятно все с первого прохода. Второй проход нужен выборочно только для практической реализации. С моей точки зрения «на пальцах» — это когда непосвященному слушателю все понятно и интересно по мере изложения. Если не понятно или не интересно, то докладчик плохо подготовился, либо он рассказывает не своей целевой аудитории. Как сказал Стив Джобс, если вы не можете объяснить свою идею 6-илетнему ребенку, это плохая/непонятная/плохо сформулированная идея.
                                                                                                                        0
                                                                                                                        Ну собственно, эта мысль принадлежит не Джобсу. Единственное, в чём надо убедиться, заговаривая с шестилетним ребёнком, так это то, что вы как минимум на одном языке с ним говорите. А то жестами долго будет.
                                                                                                                          +3
                                                                                                                          Вполне вероятно, не спорю. Слышал из его уст на презентации, он мог цитировать.
                                                                                                                          Естественно, должен быть один язык: понятная и не оспариваемая всеми участникам диалога некая базовая терминология. Если она не заявлена, то есть какая-то предполагаемая для аудитории. Например, на хабре никому не нужно разжевывать акроним IT или сленговый термин «хабр». Входит ли в этот базис математический термин «матрица»… я сомневаюсь. Поэтому чтобы получилось «на пальцах», придется его объяснить. Не только как поле 2х2 с ячейками для хранения данных (отличная вводная), но и откуда, когда вы заполняете 4 ячейки двумя значениями вылезают единицы. И почему ниже нет матриц 3х3, а появляются 3х1. И что вы там с ними вообще дальше творите.
                                                                                                                          Либо отдельно написать статью «матрицы на пальцах», а в этой предложить всем, кто с ними не знаком, предварительно с ними ознакомиться.
                                                                                                                            0
                                                                                                                            Что такое матрица гуглится в три секунды, на эту тему есть прекрасные и легкодоступные тексты, мне абсолютно ни к чему изобретать велосипед в этом случае. Моя цель пояснить тонкие моменты и не лежащую на поверхности взаимосвязь между объектами.
                                                                                                                0
                                                                                                                .
                                                                                                                  +8
                                                                                                                  Когда человек говорит, можно попросить его объяснить непонятную часть.
                                                                                                                  Когда читаешь статью и какой-то её фрагмент не укладывается в голове, то ищешь другую статью. Если статья на непопулярную и/или нетривиальную тему — бьешься головой об стену и перечитываешь фрагмент раз за разом...
                                                                                                                    0
                                                                                                                    Статью пишут люди и им тоже можно написать письмо, попросив разъяснить конкретный момент, чем я, к слову, часто пользуюсь.
                                                                                                                    0
                                                                                                                    Посыл поддерживаю, но местами перегибы налицо.

                                                                                                                    Если производную порядка n определять как меру похожести на x^n, то надо перед этим определить, что такое мера похожести и объяснить, почему она разная для разных степеней (или откуда в ряду Тейлора берутся факториалы).

                                                                                                                    Отсутствие производной у модуля в одной точке и "Брр. Квадрат удобнее." не слишком убедительно хотя бы потому что есть L1-регуляризация, LASSO, LARS и так далее. Гладких функций тоже много, на квадрате свет клином не сошёлся.

                                                                                                                    Если всю математику можно объяснить «на пальцах», то хотелось бы увидеть статью про то, почему уравнение вида x^n + y^n = z^n не имеет решений в целых числах, отличных от нуля, при n > 2.
                                                                                                                      0
                                                                                                                      Мне бы тоже хотелось увидеть такую статью. И я уверен, что это возможно. Напишете?
                                                                                                                        +1
                                                                                                                        Да, всю математику можно объяснить на пальцах. Я вот уверен, что можно объяснить, скажем, теорему Хана — Банаха шестилетнему ребёнку. Более того, её и объясняют ему на пальцах: начиная с чисел и арифметики. Просто за время объяснений ребёнок успевает вырасти, закончить школу и доучиться в вузе до курсе второго-третьего. Иногда нужно очень много пальцев.
                                                                                                                          +1
                                                                                                                          Да я и не утверждаю, что всё человеческое знание можно передать за одной чашкой кофе. На самом деле, у меня просто переполнилась чаша терпения читать слишком заумно написанные тексты. Ключевое слово — слишком.

                                                                                                                          Я читаю статьи других людей (очень часто в качестве рецензента) и меня просто трясёт мелкой дрожью, когда я вижу словосочетание "симплициальный комплекс" вместо "сетка треугольников".
                                                                                                                            0
                                                                                                                            Это потому, что не все одинаково хорошо умеют объяснять свои мысли. А уж педагогический талант (умение не только объяснить, но и научить) встречается ещё реже.

                                                                                                                            Одна из частых проблем — отсутствие связи с аудиторией. Человек, который говорит «симплициальный комплекс» может быть искренне убеждён, что это гораздо более понятный термин по сравнению с «сеткой треугольников». И с сожаленим должен заметить, что в русскоязычной литературе это очень распространено. Просто традиция такая — накидать побольше формул. Иначе несолидно. Дескать, кто хочет — сам пусть разбирается.

                                                                                                                            Вот и начинает казаться студентам, что математика — это набор фокусов. А ведь на самом деле в ней каждый фокус появился не просто так.