Задачка: найти треугольник с меньшим периметром

    Наткнулась на эту задачу совершенно случайно. У меня знакомая через год после окончания магистратуры снова решила учиться и начала готовиться к поступлению. А значит что-то нужно просто повторить и вспомнить, ну и разобраться с чем-то новым. Вот сидела она над какой-то задачей, я проходила мимо. Задача показалась весьма простой (школьного уровня), но надо немного подумать.

    Итак, рассматриваемая здесь задача звучит так: даны угол и точка внутри него. Через эту точку провести отрезки, имеющие концы на сторонах угла, так, чтобы полученный треугольник имел наименьший периметр.

    Задачка является частью доказательства задачи Фаньяно.

    Сама задача Фаньяно звучит следующим образом:
    Рассматриваются всевозможные треугольники $DEF$, вершины $D$, $E$ и $F$ которых лежат на сторонах $BC$, $AC$ и $AB$ остроугольного треугольника $ABC$ соответственно. Доказать, что из всех треугольников DEF наименьшим периметром обладает ортоцентрический треугольник треугольника $ABC$.


    Ортоцентрический треугольник
    Ортоцентрическим треугольником (ортотреугольником) называют треугольник, вершинами которого служат основания высот исходного треугольника.

    Первые мысли, которые приходят в голову, это, наверное, построить перпендикуляры (как кратчайшее расстояние до сторон). Отображаем точку $D$ симметрично относительно $AC$ и $AB$ (получаем точки $D_1$ и $D_2$).

    У некоторых сразу же может возникнуть искушение соединить точки пересечения перпендикуляров и сторон угла $BAC$. После чего появляется ложное впечатления «я сделяль», и кажется, что $KDL$ — это тот самый треугольник.

    Всё не так. Тот факт, что две стороны треугольника — кратчайшие (перпендикуляры до прямой), еще не делает периметр треугольника минимальным.

    На самом деле поиск треугольника с наименьшим периметром использует утверждение: кратчайшее расстояние между двумя точками – прямая. Дополнительные построения должны привести к тому, чтобы все длины сторон искомого треугольника оказались на прямой. Соединяем точки $D_1$ и $D_2$. Точки пересечения прямой $D_1D_2$ со сторонами угла и есть оставшиеся искомые вершины треугольника.



    $FK$ и $EL$ являются медианами и высотами(точка $D$ симметрично отображена относительно сторон угла) треугольников $D_2DF$ и $DD_1E$ соответственно, значит треугольники $D_2DF$ и $DD_1E$ — равнобедренные. Видно, что периметр треугольника $DEF$ равен длине отрезка $D_1D_2$. Треугольник с меньшим периметром найден.

    Возьмем какие-нибудь другие точки($F$ и $E$) на сторонах угла.


    Периметр этого треугольника $DEF$ оказывается больше, чем длина отрезка $D_1D_2$.

    Вот и все. Удачи всем поступающим!
    Ads
    AdBlock has stolen the banner, but banners are not teeth — they will be back

    More

    Comments 28

      +6
      Что-то не совсем понял доказательство минимальности использованного решения.

      UPD. Понял.
        0
        Что-то не совсем понял, когда задачи для 9 класса стали появляться на Хабре.

        UPD. Я шучу, конечно, сам когда-то сидел ломал над ней голову.
          0
          В принципе, это оптический метод: зная, что из всех альтернативных путей свет выбирает кратчайший, мы можем представить, что AB и АС — это отражающие поверхности, и искомый треугольник будет образован лучом света, испускаемым из D и попадающим обратно в D. Решением будет путь, при котором угол падения луча DF (или DL) равен углу отражения луча FE (или LF). D1 и D2 — это изображения D в зеркалах.
          +2
          Блин, я подумал у меня экран грязный :)
            0
            Краткость — сестра таланта, а не кроткость.
              +4
              Решал я такую задачку в Euclidea. Под номером 8.1

                0

                На мой взгляд это наиболее решение, чем то что описывалось в статье.

                  0
                  Интереснее подробнее узнать какие преимущества это решение обладает по сравнению с доказательством из статьи
                  • UFO just landed and posted this here
                  +4
                  даже условие не понял…
                    +3
                    Пардон за оффтоп, но у меня первой мыслью было вывести функцию периметра треугольника от его стороны, лежащей на одной из сторон данного угла, и минимизировать её.

                    Спасибо за решение, прочитал с интересом. На досуге повторю, чтобы врубиться в доказательство.
                      0

                      Условие можно трактовать двояко. Было бы лучше уточнить, что искомый треугольник это DD1D2, а не AD1D2, например.

                        0
                        Сначала так и подумал. Мол будет бесконечно малый периметр. Всю статью не понял, что автор пытался сделать.
                        0

                        Что-то я не понял, так как были найдены точки D1 и D2?

                          0
                          D1 и D2 строятся симметрично относительно AC и AB: проводятся перпендикуляры к прямым, на продолжении перпендикуляров с другой стороны от прямых откладываются равные отрезки. В данном случае DL = LD1 и DK= KD2.
                            0
                            А, теперь понял, спасибо! Без Вашего разъяснения не понял, что DL = LD1 и DK= KD2
                          0
                          Эту задачу мне задали на вступительных экзаменах на Физтех в 1984 году — дали 5 минут на решение.
                            0
                            Спасибо, это была очень важная и полезная информация.
                            0
                            Классная задачка

                            Задачка из той же оперы, но в 3D
                            Внутри прямоугольной комнаты, имеющей 30 футов в длину и по 12 футов в ширину и высоту, на середине одной из торцовых стен в 1 футе от потолка сидит паук (точка А). Муха сидит на середине противоположной стены в 1 футе от пола (точка В). Каково кратчайшее расстояние, каким паук может добраться до неподвижной мухи? Разумеется, паук никогда не падает и не использует для передвижения паутины.



                              0
                              А почему задачка из той же оперы? Там есть какой-то скрытый подвох и неочевидное решение? Она-то как раз в лоб легко решается через построение перпендикуляров.
                                0
                                Если у вас получилось «42», то это ответ к совсем другой задаче :) У этой правильный ответ — «40»
                                  0
                                  Так в чём же подвох тогда?
                                    0
                                    Сделайте разные развертки параллелепипеда, поищите возможные «кратчайшие» (т.е. прямолинейные) пути на развёртке (их там больше одного) и сравните их длины.
                                      0
                                      Всего возможны две принципиально разные развёртки (другие зеркальны первым двум). По одной из них кратчайшее расстояние — путь от паука до пола вниз по стене, потом до стены, потом до мухи вверх по стене. Это 42.
                                      По другой — гипотенуза треугольника с катетами 42 и 10. Но гипотенуза будет уже больше 42, так что этот вариант отметаем.
                                      Я опять не понимаю, что упускаю из вида и как у Вас получается 40.
                                        +3

                                          0
                                          Мой мозг сломался так же, как эта прямая линия. Теперь вижу, что развёрток больше двух :)
                            • UFO just landed and posted this here
                              • UFO just landed and posted this here

                                Only users with full accounts can post comments. Log in, please.