Comments 49
Если заданы начальное и конечное положения системы, то для нахождения стационарных траектория, т. е. возможных траекторий движения системы, начальную скорость задавать не нужно.
Законы сохранения энергии не обязаны сохраняться при варьировании (т. е. при небольшом изменении траектории).
Давайте проверим на эксперименте. Но нужно для этого сначала задать Лагранжиан для шарика. На шарик не действуют никакие силы, т. е. его Лагранжиан равен кинетической энергии?
По смыслу ПНД ближе к обратной задаче, т.е. нахождению траектории при известном потенциале
Вы не знаете что такое обратная задача динамики, хотя решаете именно её, работая с заранее известными траекториями
Нахождение траектории при известном потенциале (при известных силах) — это прямая задача динамики
Если есть что-то конкретное обсудить по теме, давайте обсуждать это, а не друг друга.
По поводу прямой и обратной задачи, по вашей ссылке написано, что используется и прямо обратная терминологиия. Я встречал именно обратную. Хотите использовать ту, к которой привыкли вы, я не возражаю, главное, чтобы мы имели в виду одно и то же. Пускай прямая задача — это задача нахождения траектории по известным силам.
Тогда, на мой взгляд, ПНД ближе к прямой задаче. В ПНД потенциальная энергия, т.е. фактически силы известны (Лагранжиан задан), на выходе определяется семейство возможных траекторий.
Тогда, на мой взгляд, ПНД ближе к прямой задаче.
Хорошо, но тогда позвольте как это соотносится с Вашим текстом? Вы, за исключением одного примера, оперируете уже с готовыми траекториями движения шарика, проходящими через заданные Вами точки. Какое отношение это имеет к прямой задаче, в которой траектория движения заранее неизвестна?
В ПНД на вход подаются граничные условия.
В ПНД — да. У Вас же в задаче об отскоке от стены анализируются две действительные траектории. Готовые траектории
Сравнение действия у этих траекторий?
Разумеется
Вы их можете вывести из уравнений Э.Л. Хотя какой именно формы там потенциальный барер не так важно. Главное чтобы точка отскочила.
- Уравнения движения это дифур с второй производной по времени. Значит либо задаём начальные положение и скорость либо началтное и конечное положение.
- Закон сохранения импульса работает только если потенциальная энергия не зависит от соответствующей координаты. И он имеет смысл только для траекторий удовлетворяющих уравнениям движения.
- Не знаю будет ли автор писать про квантовую механику в следующих сериях, но там при поаытке ответить на вопрос по какой траектории двигалась частица из точки А в точку Б вас ждёт сюрприз. Хотя концепция действия присутствует.
Если серьезно, то видимо, правильнее сформулировать вопрос: почему в пустом пространстве (без каких-либо действующих на нее сил) точка может покоиться? Этот вопрос вполне имеет смысл, поскольку, например, в поле тяжести, точка постоянно покоиться не может.
Ответ простой: потому-что в пустом пространстве покой точки — это одна из стационарных траекторий. В поле тяжести такой стационарной траектории не существует. В поле тяжести стационарные траектории — параболы.
Как из ПНД при Гамильаниане равном кинетической энергии, при помощи уравнений Эйлера-Лагранжа получить результат, что в пустом пространстве все стационарные траектории для точки — это траектории с постоянной скоростью, вы и сами, наверняка, знаете.
Частный случай постоянной скорости — нулевая скорость. Поэтому покоящаяся точка в пустом пространстве — это стационарная траектория.
вы и сами, наверняка, знаете
Конечно знаю, хоть я и неуч книг не читавший
x(t) = C1 * t + C2 (1)
Ну хорошо, а как же тогда последнее выражение в вашем тексте отвечает на вопрос, почему при законе движения (1) точка таки покоится?
Я не очень понимаю, какие данные заданы и какой вывод должен получиться?
Применяя к решению вида (1) краевые ли, начальные ли, условия мы получаем конкретную траекторию из этого семейства, имеющую конкретное численное значение действия. Правильно?
Для чего требуется повторно вычислять действие для траектории при конкретных (краевых или начальных) условиях?
А что значит повторно вычислять действие? Для определения стационарных траекторий можно вообще не вычислять конкретные значения действий для них. Достаточно, чтобы траектории удовлетворяли уравнение ЭЛ, и они будут стационарными.
Я сравнивал значения действия на разных действительных траекториях только с одной целью — показать, что у действительной траектории действие не всегда минимально.
Я сравнивал значения действия на разных действительных траекториях только с одной целью — показать, что у действительной траектории действие не всегда минимально
Так это очевидная вещь, раз речь идет о локальном минимуме. Это никак не влияет на справедливость ПНД
А в общем случае для действительно траектории может быть не только локальный минимум, но и аналог седловой точки, т. е. сколь угодно близко могут быть траектории как с меньшим, так и с большим действием.
В пустом пространстве как раз вообще вопросов нет, если точка в момент t1 и t2 находится в одном и том же месте то единственная траектория это x(t) = const. т.е. точка покоится (О том как это получается из ПНД как раз написано в статье). А вот если вы добавите стенку то как раз всё становится интересно, посколько у действия теперь есть две стационарные траектории.
В данном случае существует две стационарные траектории, одна когда шарик покоится, другая — когда отскакивает от стенки.
Я понимаю, что вы хотите сказать. Что для выбора из этих двух вариантов нужно задать начальную скорость. Точнее, нужно сначала вычислить начальную скорость во втором варианте, поскольку она должна иметь строго определённое значение, иначе шарик не вернётся в нужное время. А потом выбрать из двух вариантов начальных скоростей.
Действительно, можно поступить так. Но для выбора из этих двух вариантов траекторий не обязательно задавать именно начальную скорость. Можно, например, указать, сталкивался ли шарик со стенкой.
Т. е. для определения возможных траекторий шарика знание начальной скорости не нужно. Для выбора конкретной траекторий, действительно, можно использовать начальную скорость, но не обязательно именно её.
Да, все так и есть, как вы написали. В случае шарика в центре пружинящей сферы получается бесконечное количество стационарных траекторий.
Для выбора, или указания конкретной траектории нужна дополнительная информация. Можно указывать начальную скорость, можно указывать конечную скорость, можно указывать направление движение шара, можно указать точку соударения со сферой и т. д. Вариантов множество.
Отличная статья, все правильно и доступно написано. Все опровергатели прежде чем опровергать пусть сначала откроют учебник.
Хотелось бы понять.
Принцип наименьшего действия. Часть 2