Pull to refresh

Comments 49

UFO landed and left these words here

Если заданы начальное и конечное положения системы, то для нахождения стационарных траектория, т. е. возможных траекторий движения системы, начальную скорость задавать не нужно.


Законы сохранения энергии не обязаны сохраняться при варьировании (т. е. при небольшом изменении траектории).


Давайте проверим на эксперименте. Но нужно для этого сначала задать Лагранжиан для шарика. На шарик не действуют никакие силы, т. е. его Лагранжиан равен кинетической энергии?

Какую задачу динамики — прямую или обратную, решаете Вы в рассмотренных Вами примерах?
По смыслу ПНД ближе к обратной задаче, т.е. нахождению траектории при известном потенциале, но она не является обратной задачей в чистом виде, поскольку по другому задаются граничные условия.
По смыслу ПНД ближе к обратной задаче, т.е. нахождению траектории при известном потенциале

Вы не знаете что такое обратная задача динамики, хотя решаете именно её, работая с заранее известными траекториями

Нахождение траектории при известном потенциале (при известных силах) — это прямая задача динамики
Послушайте, мы сейчас опять будем обсуждать кто чего знает и не знает? Кому нужно изучить учебник? Мне такая дискуссия не интересна.

Если есть что-то конкретное обсудить по теме, давайте обсуждать это, а не друг друга.

По поводу прямой и обратной задачи, по вашей ссылке написано, что используется и прямо обратная терминологиия. Я встречал именно обратную. Хотите использовать ту, к которой привыкли вы, я не возражаю, главное, чтобы мы имели в виду одно и то же. Пускай прямая задача — это задача нахождения траектории по известным силам.

Тогда, на мой взгляд, ПНД ближе к прямой задаче. В ПНД потенциальная энергия, т.е. фактически силы известны (Лагранжиан задан), на выходе определяется семейство возможных траекторий.
Тогда, на мой взгляд, ПНД ближе к прямой задаче.

Хорошо, но тогда позвольте как это соотносится с Вашим текстом? Вы, за исключением одного примера, оперируете уже с готовыми траекториями движения шарика, проходящими через заданные Вами точки. Какое отношение это имеет к прямой задаче, в которой траектория движения заранее неизвестна?
Почему оперирую с готовыми траекториями? В ПНД на вход подаются граничные условия. Это ведь ещё не готовые траектории? ПНД как раз их и готовит, т. е. из всех траекторий оставляет только стационарные.
В ПНД на вход подаются граничные условия.

В ПНД — да. У Вас же в задаче об отскоке от стены анализируются две действительные траектории. Готовые траектории
А что вы имеете ввиду под анализом готовых траекторий? Сравнение действия у этих траекторий?
Сравнение действия у этих траекторий?

Разумеется
Ну, если говорить про такой анализ, то он мало похож как на прямую, так и на обратную задачи динамики.
если говорить про такой анализ, то он мало похож как на прямую, так и на обратную задачи динамики


Очень хорошо, то есть ПНД, можно рассматривать как способ нахождения траектории по заданному потенциалу, то есть как прямую задачу динамики. Вы же решаете другую задачу, так?
ПНД можно рассматривать как способ нахождения семейства траекторий, (их может оказаться несколько) по заданному потенциалу и граничные условиям.
Про какую именно задачу вы спрашиваете?

Вы их можете вывести из уравнений Э.Л. Хотя какой именно формы там потенциальный барер не так важно. Главное чтобы точка отскочила.

  1. Уравнения движения это дифур с второй производной по времени. Значит либо задаём начальные положение и скорость либо началтное и конечное положение.
  2. Закон сохранения импульса работает только если потенциальная энергия не зависит от соответствующей координаты. И он имеет смысл только для траекторий удовлетворяющих уравнениям движения.
  3. Не знаю будет ли автор писать про квантовую механику в следующих сериях, но там при поаытке ответить на вопрос по какой траектории двигалась частица из точки А в точку Б вас ждёт сюрприз. Хотя концепция действия присутствует.
UFO landed and left these words here

Я про экспериментальную сторону вопроса.

UFO landed and left these words here

Зачем мучать бедного кота если есть електроны.

И все таки, используя только условие равенства нулю вариации действия, то есть математическую формулировку пнд, объясните, почему, покоящаяся в пустом пространстве точка именно покоится?
Покоящаяся в пустом пространстве точка покоится, потому что она покоящаяся. Вы же сами в вопросе задали ее состояние.

Если серьезно, то видимо, правильнее сформулировать вопрос: почему в пустом пространстве (без каких-либо действующих на нее сил) точка может покоиться? Этот вопрос вполне имеет смысл, поскольку, например, в поле тяжести, точка постоянно покоиться не может.

Ответ простой: потому-что в пустом пространстве покой точки — это одна из стационарных траекторий. В поле тяжести такой стационарной траектории не существует. В поле тяжести стационарные траектории — параболы.

Как из ПНД при Гамильаниане равном кинетической энергии, при помощи уравнений Эйлера-Лагранжа получить результат, что в пустом пространстве все стационарные траектории для точки — это траектории с постоянной скоростью, вы и сами, наверняка, знаете.

Частный случай постоянной скорости — нулевая скорость. Поэтому покоящаяся точка в пустом пространстве — это стационарная траектория.
вы и сами, наверняка, знаете

Конечно знаю, хоть я и неуч книг не читавший
x(t) = C1 * t + C2 (1)
Ну хорошо, а как же тогда последнее выражение в вашем тексте отвечает на вопрос, почему при законе движения (1) точка таки покоится?
Я, видимо, не очень понимаю, в чем именно вопрос. При законе движения 1) точка может покоится, может равномерно двигаться. Всё зависит от граничных условий.

Я не очень понимаю, какие данные заданы и какой вывод должен получиться?
Хорошо, поставлю вопрос по другому. Является ли (1) следствием из ПНД, примененного к задаче о точке в пустом пространстве (для простоты — пространство одномерно)?
Хорошо, то есть Вы утверждаете, что множество траекторий, задаваемое законом (1), включая и состояние покоя (при С1 = 0), непосредственным образом вытекает из ПНД?
Здорово. То есть для механической системы мы имеем цепочку: Построение функции Лагранжа -> Применение ПНД -> Уравнения Эйлера-Лагранжа -> Интегрирование полученных ОДУ с ответом в виде выражения (1). Верно я рассуждаю, с Вашей точки зрения?
Идем дальше. Во всех известных на эту тему литературных источниках (Л&Л, Гантмахер и т.п.) показан общий вывод, реализующий первые три этапа этой цепочки, приводящих к общим уравнениям движения для механических систем, движущихся под действием потенциальных сил, именуемым уравнениями Лагранжа 2-го рода. Общность рассуждений в источниках, дает основание более не применять ПНД, а от этапа построения функции Лагранжа сразу перейти к составлению дифференциальных уравнений движения на основе уравнения Лагранжа 2-го рода. Так?
То есть, начиная решать задачу о движении механической системы и взяв в качестве метода её решения формализм Лагранжа, получая в итоге семейство траекторий подобное (1) мы заведомо идем путем, в котором выполнение означенного выше принципа стационарности действия уже доказано общими рассуждениями.

Применяя к решению вида (1) краевые ли, начальные ли, условия мы получаем конкретную траекторию из этого семейства, имеющую конкретное численное значение действия. Правильно?
Мы это все говорим про шарик в пустом пространстве? Если да, то пока все верно.
Теперь уже неважно, о чем мы говорим. Мы рассматриваем механическую систему, для которой, с применением ПНД в общем виде, в литературе, получено общее же решение. И если, как Вы признаете выше, этот общий вывод теряет свою актуальность после того, как получены уравнения движения для механической системы, возникает следующий вопрос:

Для чего требуется повторно вычислять действие для траектории при конкретных (краевых или начальных) условиях?
Если мы говорим про общий случай, то нужно сделать уточнение. При начальных условиях, т. е. задании начального положения и скорости мы получаем строго одну траекторию, а при граничных, т. е. начальном и конечном положении можем получить несколько возможных траекторий.

А что значит повторно вычислять действие? Для определения стационарных траекторий можно вообще не вычислять конкретные значения действий для них. Достаточно, чтобы траектории удовлетворяли уравнение ЭЛ, и они будут стационарными.

Я сравнивал значения действия на разных действительных траекториях только с одной целью — показать, что у действительной траектории действие не всегда минимально.
Я сравнивал значения действия на разных действительных траекториях только с одной целью — показать, что у действительной траектории действие не всегда минимально

Так это очевидная вещь, раз речь идет о локальном минимуме. Это никак не влияет на справедливость ПНД
Ну для кого-то очевидная, для кого-то нет. В примере с пружинящей стенкой, скорее всего действительно абсолютный и локальный минимум, хотя доказать это не берусь.

А в общем случае для действительно траектории может быть не только локальный минимум, но и аналог седловой точки, т. е. сколь угодно близко могут быть траектории как с меньшим, так и с большим действием.

В пустом пространстве как раз вообще вопросов нет, если точка в момент t1 и t2 находится в одном и том же месте то единственная траектория это x(t) = const. т.е. точка покоится (О том как это получается из ПНД как раз написано в статье). А вот если вы добавите стенку то как раз всё становится интересно, посколько у действия теперь есть две стационарные траектории.

UFO landed and left these words here

В данном случае существует две стационарные траектории, одна когда шарик покоится, другая — когда отскакивает от стенки.


Я понимаю, что вы хотите сказать. Что для выбора из этих двух вариантов нужно задать начальную скорость. Точнее, нужно сначала вычислить начальную скорость во втором варианте, поскольку она должна иметь строго определённое значение, иначе шарик не вернётся в нужное время. А потом выбрать из двух вариантов начальных скоростей.


Действительно, можно поступить так. Но для выбора из этих двух вариантов траекторий не обязательно задавать именно начальную скорость. Можно, например, указать, сталкивался ли шарик со стенкой.


Т. е. для определения возможных траекторий шарика знание начальной скорости не нужно. Для выбора конкретной траекторий, действительно, можно использовать начальную скорость, но не обязательно именно её.

UFO landed and left these words here

Да, все так и есть, как вы написали. В случае шарика в центре пружинящей сферы получается бесконечное количество стационарных траекторий.
Для выбора, или указания конкретной траектории нужна дополнительная информация. Можно указывать начальную скорость, можно указывать конечную скорость, можно указывать направление движение шара, можно указать точку соударения со сферой и т. д. Вариантов множество.

Кстати даже с двумя пружинами уже почти бесконечное число вариантов (шар мог успеть отразиться два, три или так далее число раз).

Отличная статья, все правильно и доступно написано. Все опровергатели прежде чем опровергать пусть сначала откроют учебник.

Не будет ли лагранжиан зависеть от наличия/отсутствия стенки? Если я правильно помню, то потенциальная энергия — лишь способ описать наличие внешних сил, зависящих от конфигурации системы точек/тел.
Конечно, будет. Если шарик находится в таком месте, что он сжимает пружину, то у него появляется потенциальная энергия.
Тогда следующий вопрос — если шарик изначально покоится или имеет такую скорость, что он пролетит мимо стенки, то у него лагранжиан будет состоять только из кинетической энергии, а если он летит в стенку, то лагранжиан должен учитывать потенциальную энергию (или её изменение), появляющуюся при взаимодействии со стенкой.

Хотелось бы понять.
Ну да, все так и есть. Что вас здесь смущает?
Only those users with full accounts are able to leave comments. Log in, please.