Зачем

Читая монографию, учебник или статью, иногда наткнешься на текст, который почему-то вызывает недоумение, он чем-то непонятен, подозрителен. После некоторого более-менее длительного размышления или приходит понимание, или начинаешь подозревать текст в каком-либо ляпе, недоразумении, «загогулине». Я и приведу несколько таких текстов.

А вообще, мне кажется, что неплохо бы иметь обновляющийся сборник “Загогулины и ляпы”, размещаемый в свободном доступе в интернете. На мой взгляд это сильно помогло бы педагогичности учебников.

А вот и определения:

Ляп – явная или завуалированная ошибка, не носящая, впрочем, фундаментального характера.

Загогулина – фраза, тема, изложенная так, что для ее понимания требуется поломать голову(обычную, не гения и не таланта).

А еще, хорошо бы иметь рубрику Курьезы учебы. Наверняка среди хабровцев большинство бывших или просто студентов. И у многих есть что рассказать об учебе и смешного и грустного. Я приведу пример из своей учебы.

А теперь приступим к ляпам и загогулинам.

Сечение рассеяния

Мне очень нравится книга «Субатомная физика» авторов Фрауэнфельдер и Хенли, Мир, Москва, 1979. Но, однако, возьмем стр. 151-152. Речь идет об определении понятия сечения. Это понятие, обобщающее зрительное восприятие контура и площади предмета. Рассматривается падающий на мишень пучок частиц.

Пусть частицы, рассеиваемые мишенью, регистрируются счетчиком, в который попадают все частицы, рассеиваемые на угол θ в пределах некоторого телесного угла dΩ.Число регистраций частиц dR в таком счетчике в единицу времени пропорционально величине потока F падающих частиц, телесному углу dΩ и числу N независимых рассеивающих центров, имеющихся в мишени и находящихся на пути падающего пучка:

dR=FNσ(θ)dΩ

Коэффициент пропорциональности обозначается через σ(θ); он называется дифференциальным эффективным сечением рассеяния; мы можем написать
σ(θ)dΩ=dσ(θ), т.е. σ(θ)=(dσ(θ))/dΩ

Тут я пришел в недоумение. В чем фишка? Рассмотрим последнюю формулу. Следуя этой же логике можно написать для координаты x(t) материальной точки: x(t)dt=dx. Но мы знаем, что dx=v(t)dt = x'(t)dt – скорость, умноженная на dt.

Мне, кажется, нужно что-то вроде этого:

dR=FNσ'(θ)dΩ

Коэффициент пропорциональности обозначается через σ'(θ); он называется дифференциальным эффективным сечением рассеяния; мы можем написать

σ'(θ)dΩ=dσ(θ), т.е. σ'(θ)=dσ(θ)/dΩ

Где σ(θ) — интегральное сечение. σ(2π) – полное сечение.

Вот такой ляп, на мой взгляд.

P.S. Жив курилка.

Прошло немало времени. Оно подкинуло еще материал. Беру книгу “Введение в физику ядра и частиц. Автор — Капитонов. На титульной станице написано “Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебноrо пособия для студентов физических факультетов классических университетов, о также для студентов друrих вузов, обучающихся по специальности «Ядерная физика» и направлению «Физика». Беру стр.16 и что я вижу? А вот, что: σ(θ)=dσ(θ)/dΩ. Опять пресловутая формула.

Да, передрали некритично.

Бедные студенты!

Ляп Ландау и Лифшица

На приводимый ниже ляп обратил внимание во время моей учебы в БГУ, преподаватель семинара по общей теории относительности. Возьмем “Теория поля” Ландау и Лифшица за 1967 год. Речи идет о ковариантной производной. Она опирается на понятие параллельного переноса скаляра, вектора, тензора. В обычной производной:

1. вычисляется разница между значениями функции в x и в x+dx
2. эта разница делится на dx
3. совершаем предел dx->0

В локальной теории поля указанного вычитания делать нельзя, потому что разница значений, например, скаляра в разных точках уже не скалярное поле, а хотелось бы иметь скалярное. Для этого скаляр параллельно переносим из x+dx в x и производим вычитание значения перенесенного скаляра из значения сидящего в x. Это уже будет скаляр. Итак, нужно знать правило параллельного переноса. Обычно оно не задано природой, а определяется физиком. Будем считать, что правило параллельного переноса задано. Тогда можно определить ковариантную производную подобно обычной, только с учетом параллельного переноса. Пусть DA — указанная выше разность значений вектора A, параллельно перенесенного из x+dx в точку x и вектора A в точке x. И вот что пишет Ландау с Лифшицем:



Ну и в чем здесь ляп?

Вернемся к . Это можно понимать двояко:
или или
Мы определили , а не , значит правильно первое понимание. Значит, имеем
но отсюда не следует
Тогда запись совершенно не следует ниоткуда. D определено действием над A, а не действием на его компоненты.

Может быть, еще доходчивее будет так:

Да, есть свойство линейности

где — i-ый вектор, но не i-компонента
По определению

где — k-ая компонента вектора A
Но это не значит, что

Первое равенство следует из определения, второе и четвертое равенство — это правило Эйнштейна, а вот третье равенство неверно: здесь нельзя использовать свойство аддитивности, так как мы имеем дело с компонентами, а не с векторами. Это дефект системы обозначений, когда мы не разбираем где k-ый вектор, а где k-ая компонента одного вектора. В бескомпонентной записи, такой ляп не прошел бы.

И какое же правильное доказательство? А такого нет. Математического, по крайней мере. Это вопрос определения.

• Возьмем учебник Мищенко и Фоменко «Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии”. Параграф “Связность и ковариантное дифференцирование”. Свойство Dg=0 там постулируется.
• В прекрасной книге ”Геометрические методы в физике” Шутца Dg=0 выводится как следствие дополнительных условий – согласованности метрики и объема.
• В курсе «Гравитация»(Мизнер, Торн, Уилер) равенство Dg=0 мотивируется физическими соображениями. Это делается примерно так. Локально пространство время максимально приближено к плоскому пространству Минковского. В нем производные метрического тензора равны 0. А в плоском пространстве компонентами ковариантной производной служат обычные производные метрического тензора. Значит, ковариантная производная в локальном плоском пространстве равна нулю. Но это равенство носит тензорный характер. Значит это равенство справедливо и в любой другой системе координат.

Смотрю последнее издание «Теории поля», а там все по-старому.

Большая загогулина массы

Механика Ньютона

У Ньютона масса определялась как аддитивная мера количества вещества: система из трех атомов водорода имеет массу в три раза большую, чем один атом водорода. Поэтому, взяв за единицу массы массу атома водорода, получаем возможность измерять массы всех тел. Далее, второй закон Ньютона говорит о том, что масса служит мерой инертности тела.

И, далее, закон всемирного тяготения и равенство гравитационной и инертной массы говорит о том, что масса служит гравитационным зарядом.

Итак, в механике Ньютона масса служит как:

1. Мера количества вещества
2. Мера инертности
3. Мера гравитационного взаимодействия, гравитационный заряд

Масса – скаляр. В какой бы системе ее не измерять получим одинаковое значение. Масса и энергия измеряются по-разному. Но есть и связь между ними:

• кинетическая энергия частицы выражается через массу:
• потенциальная энергия частицы в гравитационном поле выражается через массу:

Итак, свойства массы в классической механике:

• Масса скаляр
• Масса аддитивна
• Масса — мера инертности
• Масса — мера количества вещества
• Масса — гравитационный заряд, источник гравитационного поля

Релятивистская механика

Теория относительности внесла свои осложнения. Появилось понятие дефекта массы – проявление неаддитивности массы, когда при образовании системы, выделяется энергия. Это проявится как уменьшение массы системы по сравнению с суммой масс подсистем. Так позитрон и электрон при столкновении могут превратиться в фотоны и, значит, вещество вообще исчезнет. Значит, масса не годится как мера количества вещества.

Теперь о мере инертности. Рассмотрим движущуюся материальную точку. Если попробовать измерять массу как меру инертности(приложив силу к точке смотрим на ускорение точки), то обнаружим, что в зависимости от направления силы масса как мера инертности будет разной. Можно говорить о продольной массе(сила параллельна скорости), о поперечной массе(сила перпендикулярна скорости). Итак, масса как мера инертности, также не годится.
Теперь о массе как о гравитационном заряде. Общая теория относительности построена на том, что источником гравитационного поля служит не скаляр(масса покоя, например), а тензор — тензор энергии-импульса. Значит, масса теряет роль меры гравитационного взаимодействия. Так фотон с энергией притягивается гравитационным полем отнюдь не с мерой . Иначе бы общая теория относительности не нужна была бы для объяснения эффекта отклонения светового луча в поле тяготения.

И только когда тело покоится, то его масса покоя служит мерой инертности.

Масса – не скаляр, и, вообще, не самостоятельная физическая величина. Имеет смысл только масса покоя. Так называемая релятивистская масса не имеет специфического измерения, а выражается через энергию, а это значит что понятие релятивистской массы избыточно.

В связи с этим современная физика избегает понятия релятивистской массы, определенной как . Эта величина не есть мера инертности и не есть мера гравитации. Тогда мера чего? Мера энергии? Так для этого есть сама энергия и не нужно вводить еще одну эквивалентную меру. Бритва Оккама отрезает лишние понятия.

Масса покоя входит в релятивистское соотношение для частицы:
где — масса покоя.

(E,pc) — релятивистский 4-вектор. Отсюда видно, что – только другая мера E. Ее можно трактовать в терминах массы покоя так: если бы система в покое имела запас энергии E, то ее масса покоя равнялась бы . Но она не в покое. Значит ее масса покоя будет меньше, вплоть до нуля(фотон, например).

Резюмируем. В отношении массы есть только понятие массы покоя. Понятие релятивистской массы не нужно, оно концептуально излишне и только путает. И в современном изложении под m всегда понимается масса покоя(которая раньше обозначалась как ), а понятием релятивистской массы не пользуются и пишут релятивистский инвариант для энергии-импульса в виде

Известный физик Окунь написал ряд убедительных статей по этому поводу.

Однако

А теперь, внимание, вопросы. Применим логику Окуня к таким 4-е векторам:

1. 4-е вектор событие: (ct,x). Имеем инвариант . Все аналогично 4-е вектору энергии-импульсу. Есть собственное время , аналогичное массе покоя и есть t — релятивистское время, аналогичное релятивистской массе. Так что нужно отказаться от понятия релятивистского времени t между событиями, сохраняя только собственное : ведь это релятивистское время аналогично релятивистской массе. Но от понятия замедления времени вроде никто не отказывается. А вот от релятивистского увеличения массы нужно отказаться. В чем разница?
2. Волновой 4-е вектор (ω/с,k) плоской релятивистской волны. Имеем инвариант . Все аналогично 4-е вектору энергии-импульсу.Так что нельзя говорить о релятивистской частоте ω волны, и, значит, об эффекте Допплера для движения наблюдателя по отношению к источнику волны?

Так прав ли Окунь? И что значит здесь правота?

Маленькая загогулина скаляра

Возьмем математическую энциклопедию. Вот какое там определение скаляра.

Скаляр – величина, каждое значение которой может быть выражено одним(действительным) числом. В общем случае скаляр элемент некоторого поля

Следуя этому определению х-координата точки является скаляром. Однако в физике это не так. Числа там отличаются от скаляров. Скаляром физики называют величину, значение которой выражено одним числом и это значение не зависит от выбора системы отсчета.

Скалярами в этом смысле являются в Ньютоновой механике:

• число предметов
• температура
• расстояние
• электрический заряд
• масса
• объем
• длительность
• скалярное произведение двух векторов
• скалярная свертка любого тензора

В специальной теории относительности масса, объем, длительность, расстояние уже зависят от системы отсчета и не являются скалярами. Примеры скаляров в СТО:

• число предметов
• температура
• интервал между событиями
• электрический заряд
• скалярное произведение двух 4-е векторов
• скалярная свертка любого тензора

Координата зависит от системы отсчета и скаляром не является. Так отделяются зерна от плевел – существенное от несущественного, обусловленного выбором системы отсчета.

Конечно, определение дело вкуса. Но здесь разнобой досаден, так как математики часто ссылаются на физические законы, а понятие скаляра там разнится от математического. А ссылки на физику сейчас встречаются все чаще. Так в даже очень бурбакистской книге Кострикина и Манина «Линейная алгебра и геометрия» есть несколько ссылок на величины пространства квантовой механики. Современная теоретическая физика привлекает массу математиков и массу математики и разнобой физических и математических толкований досаден. Тем более, что для числа есть название – «число». Зачем ему еще второе название — скаляр?
Отношу эту ситуацию к разряду загогулин.

А теперь

Курьезы учебы.

Экзамен по ядерной физике и теория вероятностей

4-й курс физфака БГУ. Я сдаю ядерную физику. Как сейчас помню, мне попала задача на формулу Брейта-Вигнера. Есть такая формула, описывающая(если я уже не забыл) энергетическую кривую нестационарного состояния. Или что-то в таком роде. Резонансная кривая вообще-то. Похожа на колокол. Все вроде сделал и жду, когда меня позовут. Принимал экзамен профессор П. Тут надо сказать, что он был заядлый теннисист и перед этим выиграл какой-то приз республиканского уровня. По сему случаю он, как это выразиться дипломатичнее, «принял на грудь». Пахнет коньяком и не Плиской(болгарскую Плиску мог позволить себе студент раз в месяц: 7 рублей бутылка, а стипендия 35 — обычная или 42 — повышенная.) И вот передо мной держит экзамен вьетнамский студент Хуанг. Вьетнамцев было много на курсе. Дело в том, что в то время американцы воевали во Вьетнаме на стороне юга, а на стороне севера воевали китайцы и наши ребята. И мы помогали Вьетнаму и оружием и образованием. Так вот, Хуанг отвечает. А профессор слушает и курит. И вдруг вижу: профессор вынимает сигарету изо рта и вместо пепельницы почему-то тычет в зачетку Хуанга. Потом произносит: «Чееепухааа!.. Хуанг! Я бы на твоем месте не ядерную физику учил, а сидел бы в джунглях и стрелял американцев. А ядерной физики ты не знаешь. Два балла. Придете переcдавать завтра. Кто следующий?». Хуанг оторопел, и с недоумением, и со слезами на глазах покидает аудиторию. Следующим был я. Начинаю говорить о формуле Брейта-Вигнера. Профессор: " Покажите задачу". Посмотрел, посмотрел и " Чееепууухааа! Два балла!". Я дрожащим голосом: «Когда переcдавать?». Он: «Завтра».
Пошел я в общагу. Готовлюсь к завтрашнему дню. Ломаю голову вопросом что же в моем решении не так? Думал, думал, но ничего другого не придумал. А потом обратился к теории вероятностей: билет этот завтра мне никак не попадет. Так что нечего ломать голову. И я положился на вероятность и успокоился.
Прихожу завтра. Профессор сидит слегка с помятым лицом. Но на удивление бодр, чисто выбрит и пахнет одеколоном… Впрочем, кажется, опохмелился. Предлагает тянуть билет. Тяну. Батюшки!!! Попадается вчерашний билет. Вот тебе и теория вероятностей. Я чуть в обморок не упал. Что делать? Никакого нового решения я не придумал и начинаю с еще большей чем вчера дрожью в голосе отвечать по-вчерашнему. Профессор слушал, слушал и говорит: " Ну, так отлично батенька. Что же вы вчера так оплошали?". Я опешил немного и отвечаю — мол, растерялся немного. — «Ну, ничего. Пять я уже поставить не могу, но четыре поставлю». Вот так у меня в зачетке появилась четверка по ядерной физике.

Надо сказать, тогда я не оценил юмора ситуации. Было не смешно. А теперь, по прошествии многих лет, я это с удовольствием вспоминаю. И уже смешно.

А теперь о женщинах

Вспоминаю как у того же профессора П. была на кафедре очень хорошенькая аспирантка. Точнее красивая, стройная блондинка. Она вела у нас практику по ядерной физике. Делаем мы лабы, а от аспирантки не оторвать глаз. А у неё в глазах грусть. До сих пор помню, как она сидела за столом, а перед нею толстенный, крупноформатный том Швебера «Введение в релятивистскую квантовую теорию поля». И она с такой тоской смотрела на этот томище, что невольно вызывала сочувствие. Только позже я, будучи уже стажером в НИИ, штудировал этот том и тогда, похоже, понял причину ее тоски. Нет, девушкам противопоказана квантовая теория поля. Особенно красивым.

У нас на третьем курсе одна студентка вздумала проштудировать от А до Я всю квантовую механику Ландау. Очень симпатичная девушка. Дело кончилось тем, что она не выдержала нагрузок и с нервным срывом попала в больницу. Через год она восстановилась, но уже была все время грустная какая-то. Мораль: Кванты и девушки несовместимы. А внутренний голос опыта программирования мне шепчет и такое: «Программирование и девушки несовместимы». Я вспомнил, что когда то я самонадеянно думал, что разберусь в любой программе разрабатываемого проекта. Но вот ушла программистка в декретный отпуск, а тут в ее программе сбой. Я беру программу и пытаюсь понять логику. А она напичкана операторами GO TO c динамически изменяемой меткой перехода. И эти метки меняются в разных частях по разному. Сколько я ни пытался установить контроль над переходами, но к своему стыду не справился с этим. Зато я переписал программу по всем правилам структурного программирования без одного GO TO и остался очень доволен собой. Далее я всегда с опаской относился к женской логике в программировании. По-моему, у этой логики простота не на первом месте.