Введение
Допустим, я спрошу вас, сколько человек должно быть в комнате, чтобы у двух из них день рождения с вероятностью 50% приходился на один день. Каким будет ответ? Именно это и называется парадоксом дней рождения.
Парадокс гласит:
Если в комнате есть 23 человека, то с вероятностью 50% двое из них родились в один день.
В некоторых версиях парадокса делаются ещё более сильные заявления:
Если в комнате 70 человек, то с вероятностью 99% двое из них родились в один день.
Поначалу это казалось мне удивительным и контринтуитивным. Давайте выясним, почему же это правда. Чтобы упростить задачу, мы сделаем следующие допущения:
- Будем считать, что все люди в комнате родились не в високосный год. Мы делаем это допущение, чтобы нам не пришлось анализировать два разных случая.
- В комнате нет близнецов. При наличии пары близнецов решение будет тривиальным.
- Мы предполагаем, что люди рождаются равномерно и случайно. Что это значит? Люди с равной вероятностью могут рождаться в любой день года. Если немного это формализовать, то вероятность рождения в любой выбранный день равна .
- Люди рождаются независимо друг от друга. Это значит, что дата рождения любого человека не влияет на дату рождения другого.
Стоит заметить, что эти условия необязательно соблюдаются в реальном мире. В частности, в реальном мире люди не рождаются с равномерной случайностью. По этой ссылке есть статистика по дням, в которые рождаются люди. Хотя наша модель не является точным отражением реального мира, её простота позволяет значительно облегчить анализ задачи.