Часть 1: скалярное произведение и метрика
Часть 2: сфера
Часть 3: стереографическая проекция
Часть 4: псевдосфера
Часть 5: модель Пуанкаре в круге

Перед подведением итогов рассмотрим ещё две модели геометрии, имеющие разные свойства. Первая модель по построению очень похожа на модель Пуанкаре в круге, по этому в основном будут визуализации, без вывода формул. Вторая модель получена другим способом, по этому формулы будут, но в минимальном количестве.

Часть 1: скалярное произведение и метрика
Часть 2: сфера
Часть 3: стереографическая проекция
Часть 4: псевдосфера

Часть 6: финал

Анализ прямых на сфере очень прост, потому что нагляден - сферу мы часто видим в жизни. Понять и проанализировать прямые на псевдосфере тоже легко, для этого нужно воспользоваться проекциями. Есть несколько различных и равноправных проекций, у каждой из них разные свойства и каждая из них наглядно показывает один из аспектов геометрии постоянной отрицательной кривизны - гиперболической геометрии. В этой части речь пойдет о стереографической проекции гиперболоида, наверное самой популярной модели геометрии Лобачевского.

Часть 1: скалярное произведение и метрика
Часть 2: сфера
Часть 3: стереографическая проекция

Часть 5: модель Пуанкаре в круге

На этот момент мы уже понимаем различие между плоской геометрией Евклида и выпуклой геометрией сферы, и сфера для нас самостоятельный объект. Математики говорят, что это топологическое пространство с метрикой. На самом деле сфера даже нечто большее - это очень хорошее топологическое пространство, у которого всякая окрестность похожа на обычную плоскость, по этому её можно назвать многообразием. Сейчас наша задача представить себе другой - в некотором смысле противоположный - объект, который всюду “вогнутый”. На нем уже будут присутствовать параллельные прямые, но поведут они себя иначе по сравнению с евклидовой плоскостью. Для решения этой задачи нужен новый инструмент - псевдоевклидово пространство.

Приглашаю к прочтению!

Часть 1: скалярное произведение и метрика
Часть 2: сфера

Часть 4: псевдосфера

В прошлой части было показано, что на сфере нет параллельных прямых. Общество нам внушает, что сфера обязательно лежит в объемлющем пространстве. Однако, так называемые математики тщательно скрывают другой способ мышления, в котором сфера уже является самостоятельным объектом. Давайте же сбросим оковы, перестанем быть марионетками и сделаем финальный шаг в сторону построения плоскости, на которой нет параллельных прямых*.

*построенная конструкция НЕ является моделью плоскости Лобачевского, но используемые техники пригодятся в дальнейшем.

Приглашаю к прочтению!

Часть 1: скалярное произведение и метрика

Часть 3: стереографическая проекция

Существуют как минимум две конкурирующие теории о форме Земли, первая из которых утверждает, что земля плоская, а вторая, что поверхность земли напоминает сферу (не учитывая перепады высот из-за гор и т.п. географических объектов). Лично я не придерживаюсь никакой из этих теорий, хотя в этом посте будем считать что верна вторая, исключительно ради наглядности.

В этой части разберем сферу: введем параметризацию этой поверхности, индуцируем на ней метрику, поймем что такое прямые на поверхности и как они выглядят на сфере. Приглашаю к прочтению!

Часть 2: сфера

В конце 2023 года я провел семинар по геометрии и рассказал про различные её виды - евклидову, сферическую и гиперболическую, или геометрию Лобачевского. Сюжет оказался интересным, поэтому он был развит - я включил в него дополнительные темы, какие-то из них раскрыл подробнее, поменял акценты и самое главное - добавил трехмерные визуализации.

Семинар был разбит на цикл из шести частей, в которых постепенно, с некоторым количеством формул и выводов, написаных от руки, и большим количеством визуализаций, будет пройден путь от длин кривых в евклидовых пространствах до геометрии Лобачевского.

Главным преимуществом цикла являются визуализации и интуитивная подводка к тому, откуда появляются описываемые объекты. В цикле отсутствует постулирование, вроде "вот такую штуку мы назовем прямой", а объекты выводятся из первых принципов. Приглашаю к прочтению!

В школах и университетах при изучении математики определяют операцию дифференцирования функции и производную. Это фундаментальные понятия, на которых в дальнейшим строится весь аппарат математического анализа.

Обычную производную и её обобщения используют повсеместно, например в машинном обучении, при обучении нейронных сетей.

Если продифференцировать функцию - то получится её производная. Если сделать это дважды - получится вторая производная. Но если ли что “между”? Конечно же есть, и именно про такие объекты написана эта статья.