Тут приведен пример для elliptic equation 2D. Мы генерируем $a(x)$, $b(x)$, как показано выше, а потом используем традиционный солвер, чтобы получить точные решения $u(x)$. Таким образом, набираем выборку.
Я правильно понимаю, что выборка решений - это множество (упорядоченное) функций с индексом, определяющим номер функции в выборке -- да. Если да, то являются ли все эти функции определенными во всех точках отрезка -- да, Может быть, даже непрерывными при достаточно гладких (даже непрерывных?) функциях-параметрах -- да, но мы также проверяем на достаточно интересных случаях(например, для эллиптического уравнения -- "ступенька").
Советую посмотреть статью про FNO (ссылка на статью есть в посте). Там есть пункт: Learning rate в котором написано про генерацию выборки, также внизу есть различные примеры применения.
Для примера из поста. Самый простой пример: генерируем набор {a(x), f(x)} из какого-нибудь распределения, а дальше, используя солвер, получаем решение u(x). Таким образом собираем выборку(набор наблюдений) и обучаем neural operator (FNO, SNO, ...). "Выборка параметров PDE" -- это {a_j(x), f_j(x)}, "выборка решений" -- это {u_j(x)}
Для того, чтобы обучить neural operator нужно иметь некоторую выборку (параметров PDEs, решений), полученную с использование традиционных солверов. Естественно получить (очень)большую выборку теме же традиционными солверами не всегда просто как с точки зрения вычислительных ресурсов, так и с точки зрения времени. Основное преимущество предлагаемого способа заключается в том, чтобы увеличить уже существующую исходную выборку так, чтобы ошибка на тестовой выборки была как можно меньше, причем не съедая большое количество ресурсов. В статье это показана на пример как для 1D, так и для 2D.
Не всегда известны фундаментальные решения PDEs(например, уравнения Навье-Стокса), а если говорить про применения к прикладным задачам, где нужно решать системы PDEs, то единственным решением есть использования традиционных солверов. Neural operator - это surrogate model, и предложенный способ увеличения datasets хорошо работает в рамках этого подхода.
Если речь идет про neural operators (FNO, SNO, DilResNet, ...), то они получают приближенное решение с достаточной степенью точности. Да, конечно, причем neural operators решают давольно большой спектр PDEs. Советую перейти по ссылкам в посте, чтобы более подробно ознакомиться.
Ничего. Интереса к ним у нас пока не было.
В этой статьи мы решали на![[0, 1]]()
для 1D и ![[0, 1] \times [0, 1]]()
для 2D.
Тут приведен пример для elliptic equation 2D. Мы генерируем $a(x)$, $b(x)$,![f(x)]()
как показано выше, а потом используем традиционный солвер, чтобы получить точные решения $u(x)$. Таким образом, набираем выборку.
Я правильно понимаю, что выборка решений - это множество (упорядоченное) функций
с индексом, определяющим номер функции в выборке -- да. Если да, то являются ли все эти функции определенными во всех точках отрезка ![[0, 1]](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/199/13a/e12/19913ae12cb73d2983080aa758d59ab7.svg)
-- да, Может быть, даже непрерывными при достаточно гладких (даже непрерывных?) функциях-параметрах -- да, но мы также проверяем на достаточно интересных случаях(например, для эллиптического уравнения 
-- "ступенька").
Советую посмотреть статью про FNO (ссылка на статью есть в посте). Там есть пункт: Learning rate в котором написано про генерацию выборки, также внизу есть различные примеры применения.
Для примера из поста. Самый простой пример: генерируем набор {a(x), f(x)} из какого-нибудь распределения, а дальше, используя солвер, получаем решение u(x). Таким образом собираем выборку(набор наблюдений) и обучаем neural operator (FNO, SNO, ...). "Выборка параметров PDE" -- это {a_j(x), f_j(x)}, "выборка решений" -- это {u_j(x)}
Для того, чтобы обучить neural operator нужно иметь некоторую выборку (параметров PDEs, решений), полученную с использование традиционных солверов. Естественно получить (очень)большую выборку теме же традиционными солверами не всегда просто как с точки зрения вычислительных ресурсов, так и с точки зрения времени. Основное преимущество предлагаемого способа заключается в том, чтобы увеличить уже существующую исходную выборку так, чтобы ошибка на тестовой выборки была как можно меньше, причем не съедая большое количество ресурсов. В статье это показана на пример как для 1D, так и для 2D.
Не всегда известны фундаментальные решения PDEs(например, уравнения Навье-Стокса), а если говорить про применения к прикладным задачам, где нужно решать системы PDEs, то единственным решением есть использования традиционных солверов. Neural operator - это surrogate model, и предложенный способ увеличения datasets хорошо работает в рамках этого подхода.
Если речь идет про neural operators (FNO, SNO, DilResNet, ...), то они получают приближенное решение с достаточной степенью точности. Да, конечно, причем neural operators решают давольно большой спектр PDEs. Советую перейти по ссылкам в посте, чтобы более подробно ознакомиться.