Пользователь
Красивая формула Бине для чисел Фибоначчи содержит иррациональность - квадратный корень из пяти, что делает ее непригодной для точного вычисления больших чисел Фибоначчи. Это кажется вполне очевидным. Предлагаю способ, как избавиться от зловредного корня и сделать формулу Бине пригодной для точных вычислений.
В заметке подробно рассматривается суть понятия "мемоизация" и разбирается работоспособная версия мемоизации произвольных функций Лиспа. Предполагается, что читатель знаком с Лиспом. Тем не менее, "тонкие места" разбираются достаточно подробно.
Старая-старая школьно-студенческая задача... Дан массив целых чисел. Требуется найти m его максимальных (или минимальных) элементов. Когда я задаю эту задачу учащимся, то почти в каждой группе находятся "умельцы", решающие ее с помощью сортировки. В самом деле, это ведь так просто: сортируем массив по убыванию (вручную или подходящей библиотечной функцией) и просто берем m первых элементов. Конечно, иначе как алгоритмическим варварством такой подход не назовешь - найти m максимумов достаточно просто за один проход массива; сортировка существенно сложнее. И однажды я решил исследовать сей вопрос вычислительными экспериментами. Результаты этих экспериментов я и предлагаю вашему вниманию. Не исключено, что кому-то результаты помогут и в практической работе.
Без сортировки задача может быть решена, например, так. Создаем рабочий массив длины m и заполняем его начальными значениями. В общем случае можно в качестве такого значения выбрать минимальное значение int/integer для соответствующей среды программирования. А если известна нижняя граница значений исходного массива, то можно взять любое число, меньшее этой границы.
Итак рабочий массив заполнен одинаковыми значениями. Теперь берем элемент за элементом исходного массива и вставляем его в нужное место рабочего массива. При этом длину рабочего массива сохраняем равной m. Если очередной элемент меньше последнего значения рабочего массива, то он просто пропускается. Этот процесс имеет вычислительную сложность O(n*m).
Давайте попробуем написать на Лиспе… транслятор простого императивного языка. Нет-нет, я не ошибся – именно транслятор. Транслировать он будет в Лисп-код. А дальше этот код может быть выполнен Лисп-системой.
Здесь бесценную услугу нам окажет то обстоятельство, что в Лиспе нет барьера между кодом и данными (это редкое свойство некоторых языков программирования называется “гомоиконность”). Но и изобразительные возможности Лиспа тоже сыграют не последнюю роль.
В качестве реализации я буду использовать HomeLisp. Желающие смогут адаптировать этот проект под Common Lisp. Скажу сразу – применительно к рассматриваемой задаче существенная разница между Common Lisp и HomeLisp состоит только в обработке строк и файлов.
Скачать портабельную версию HomeLisp можно по ссылке. На этом же сайте расположена и документация. Желающие могут копировать код из статьи и сразу проверять работоспособность.
Предлагаемая вашему вниманию тема послужила основой для моей мастерской на знаменитой Новосибирской ЛШЮП-2018. С результатами мастерской можно ознакомиться здесь. А далее я излагаю свой подход. Предполагаю, что читатель знаком с языком Лисп.
Начнем с “простого императивного языка”, который мы будем транслировать в Лисп.
Язык будет обрабатывать только числовые данные. Код на этом языке состоит из функций (процедур, возвращающих значения). Среди этих функций одна должна называться main. Именно с этой функции начинается выполнение кода. Хотя зачем так себя связывать? Пишем функции на императивном языке, они транслируются в Лисп и могут использоваться вместе с лисповскими функциями. Но не будем забегать вперед...