В первой части показано, как на основе матрицы расстояний между элементами получить матрицу Грина. Ее спектр образует собственную систему координат множества, центром которой является центроид набора. Во второй рассмотрены спектры простых геометрических наборов.
В данной статье покажем, что матрица Грина и матрица корреляции — суть одно и то же.
В первой части мы взяли в руки молоток (спектр матрицы Грина) и опробовали его на паре гвоздей (наборе из трех точек). Пока я возился с этими спектрами, возникло предложение к производителям строительных рулеток. Надо с обратной стороны измерительной ленты добавить параболическую шкалу (сантиметры в квадрате). Поскольку квадраты расстояний здесь просто кишат, а обычные (линейные) расстояния выглядят жалким частным случаем. При строительстве дачи такой рулеткой можно будет проверять прямоугольность углов, ну и прочие инварианты для расстояний между точками в пространстве и на плоскости.
Прикладная математика это набор инструментов, позволяющих решать те или иные проблемы, возникающие на практике. В данной статье рассмотрим один из таких инструментов — преобразование девиации применительно к матрицы евклидовых расстояний. Спектр полученной в результате матрицы Грина позволяет судить о размерности исходных данных и рассчитать координаты исходных точек относительно собственного центра координат.
Допустим, у нас имеется (n > 2) точек и известны все расстояния между ними. Потенциальная мерность пространства равна (n-1). Надо определить, пространству какой мерности принадлежат заданные точки, а также координаты точек в данном пространстве.
