Пришли очередные выходные, надо написать пару десятков строк кода и нарисовать картинку, да лучше не одну. Итак, на прошлых и позапрошлых выходных я показал, как делать трассировку лучей и даже взрывать всякое. Это многих удивляет, но комьпютерная графика — очень простая вещь, пары сотен строк голого C++ вполне хватает на создание интересных картинок.

Тема сегдоняшнего разговора — бинокулярное зрение, причём сегодня даже до ста строк кода не дотянем. Умея рендерить трёхмерные сцены, было бы глупо пройти мимо стерепар, сегодня будем рисовать примерно вот такое:

Неделю назад я опубликовал очередную главу из моего курса лекций по компьютерной графике; сегодня опять возвращаемся к трассировке лучей, но на сей раз пойдём самую чуточку дальше отрисовки тривиальных сфер. Фотореалистичность мне не нужна, для мультяшных целей подобный взрыв, как мне кажется, сойдёт.

Как всегда, в нашем распоряжении только голый компилятор, никаких сторонних библитек использовать нельзя. Я не хочу заморачиваться с оконными менеджерами, обработкой мыши/клавиатуры и тому подобным. Результатом работы нашей программы будет простая картинка, сохранённая на диск. Я совершенно не гонюсь за скоростью/оптимизацией, моя цель — показать основные принципы.

Итого, как в таких условиях нарисовать вот такую картинку за 180 строчек кода?

Публикую очередную главу из моего курса лекций по компьютерной графике (вот тут можно читать оригинал на русском, хотя английская версия новее). На сей раз тема разговора — отрисовка сцен при помощи трассировки лучей. Как обычно, я стараюсь избегать сторонних библиотек, так как это заставляет студентов заглянуть под капот.

Подобных проектов в интернете уже море, но практически все они показывают законченные программы, в которых разобраться крайне непросто. Вот, например, очень известная программа рендеринга, влезающая на визитку. Очень впечатляющий результат, однако разобраться в этом коде очень непросто. Моей целью является не показать как я могу, а детально рассказать, как подобное воспроизвести. Более того, мне кажется, что конкретно эта лекция полезна даже не столь как учебный материал по комьпютерной графике, но скорее как пособие по программированию. Я последовательно покажу, как прийти к конечному результату, начиная с самого нуля: как разложить сложную задачу на элементарно решаемые этапы.

Внимание: просто рассматривать мой код, равно как и просто читать эту статью с чашкой чая в руке, смысла не имеет. Эта статья рассчитана на то, что вы возьмётесь за клавиатуру и напишете ваш собственный движок. Он наверняка будет лучше моего. Ну или просто смените язык программирования!

Итак, сегодня я покажу, как отрисовывать подобные картинки:

• Ликбез по теории вероятностей (статья вводная, необязательная)
  
• Введение в системы линейных уравнений
  
• Методы конечных элементов
  
• Минимизация квадратичных форм и примеры задач МНК
  
• От наименьших квадратов к нейронным сетям
  

Итак, очередная статья из цикла «математика на пальцах». Сегодня мы продолжим разговор о методах наименьших квадратов, но на сей раз с точки зрения программиста. Это очередная статья в серии, но она стоит особняком, так как вообще не требует никаких знаний математики. Статья задумывалась как введение в теорию, поэтому из базовых навыков она требует умения включить компьютер и написать пять строк кода. Разумеется, на этой статье я не остановлюсь, и в ближайшее же время опубликую продолжение. Если сумею найти достаточно времени, то напишу книгу из этого материала. Целевая публика — программисты, так что хабр подходящее место для обкатки. Я в целом не люблю писать формулы, и я очень люблю учиться на примерах, мне кажется, что это очень важно — не просто смотреть на закорючки на школьной доске, но всё пробовать на зуб.

Итак, начнём. Давайте представим, что у меня есть триангулированная поверхность со сканом моего лица (на картинке слева). Что мне нужно сделать, чтобы усилить характерные черты, превратив эту поверхность в гротескную маску?



В данном конкретном случае я решаю эллиптическое дифференциальное уравнение, носящее имя Симеона Деми Пуассона. Товарищи программисты, давайте сыграем в игру: прикиньте, сколько строк в C++ коде, его решающем? Сторонние библиотеки вызывать нельзя, у нас в распоряжении только голый компилятор. Ответ под катом.

Полтора года назад я опубликовал статью «Математика на пальцах: методы наименьших квадратов», которая получила весьма приличный отклик, который, в том числе, заключался в том, что я предложил нарисовать сову. Ну, раз сова, значит, нужно объяснять ещё раз. Через неделю ровно на эту тему я начну читать несколько лекций студентам-геологам; пользуюсь случаем, излагаю тут (адаптированные) основные тезисы в качестве черновика. Моей основной целью не является дать готовый рецепт из книги о вкусной и здоровой пищи, но рассказать, почему он таков и что ещё находится в соответствующем разделе, ведь связи между разными разделами математики — это самое интересное!

На данный момент я предполагаю разбить текст следующим образом:

• Ликбез по теории вероятностей (статья вводная, необязательная)
  
• Введение в системы линейных уравнений
  
• Методы конечных элементов
  
• Минимизация квадратичных форм и примеры задач МНК
  
• От наименьших квадратов к нейронным сетям
  

Я зайду к наименьшим квадратам чуть сбоку, через принцип максимума правдоподобия, а он требует минимального ориентирования в теории вероятностей. Данный текст рассчитан на третий курс нашего факультета геологии, что означает, (с точки зрения задействованного матаппарата!) что заинтересованный старшеклассник при соответствующем усердии должен суметь в нём разобраться.

Насколько обоснован теорвер или верите ли вы в теорию эволюции?

Однажды мне задали вопрос, верю ли я в теорию эволюции. Прямо сейчас сделайте паузу, подумайте, как вы на него ответите.

Вводная: измерение угла маятника

Итак, разобравшись с датчиками Холла для бесколлекторных двигателей, покажу для чего это было нужно. Я сделал стенд с простейшим обратным маятником, который стабилизируется при помощи маховика, вращаемого моторчиком на свободном конце маятника:

Это уже третья статья, рассказывающая о квадратурных декодерах, на сей раз с применением к управлению бесколлекторными двигателями.

• Статья первая: принцип работы квадратурного декодера + код для ардуино.
• Статья вторая: квадратурный декодер на stm32.

Задача: есть обычный китайский бесколлекторник, нужно его подключить к контроллеру Copley Controls 503. В отличие от копеечных коптерных контроллеров, 503й хочет сигнал с датчиков холла, которых на движке нет. Давайте разбираться, для чего нужны датчики и как их ставить.

Ликбез: принцип работы бесколлекторного двигателя

В качестве иллюстрации я возьму очень распространённый двигатель с двенадцатью катушками в статоре и четырнадцатью магнитами в роторе. Вариантов намотки и количества катушек/магнитов довольно много, но суть всегда остаётся одной и той же. Вот фотография моего экземпляра с двух сторон, отлично видны и катушки, и магниты в роторе:

Расчёт цепей постоянного тока на пальцах, или давайте считать ЦАП для троичной логики

Но для начала неонки, какой же русский их не любит?

Итак, снова я со своими троичными железками, но в этой статье они выступают фоном, сегодня статья про резисторы. Запаял я было несколько платок, в которые можно воткнуть газоразрядные лампы типа ИН-12 или ИН-15, но часы делать не захотел :)

Задача на сегодня: как определить угол поворота инкрементального энкодера?

Сегодня в серии публикаций про ардуино головного мозга коротенькая статья с небольшим экспериментом и парой рецептов. В комментариях к одной из моих прошлых статей меня обвинили в том, что ардуиной подсчитывать импульсы энкодера — фу так делать:

Оптически энкодер 1000/оборот и ATMega не имеющая аппаратной схемы работы с энкодером (как у серий STM32, например) — это тупик.

Дальше в комментариях было много теоретизирования, которое лучше пропустить. Давайте лучше попробуем протестировать в железе, насколько это тупик. Для начала, что такое инкрементальный энкодер? Тот, кто помнит эпоху до-оптических мышек, ответ знает точно. Внутри энкодера есть диск с прорезями, вот для наглядности я сделал фотографию диска с пятьюстами прорезями:

Проверка жизнеспособности идеи: однотритный вычислитель

Это уже четвёртая статья, по мере готовности будет продолжение. Оглавление:

• Считаем до трёх: раз (троичный мультиплексор и сумматоры)
• Считаем до трёх: два (память)
• Считаем до трёх: три (счётчики)
• Считаем до трёх: четыре (однотритный вычислитель и система команд трёхтритного)

Вот так выглядит основная железка, о которой сегодня будет идти речь (больше перемычек богу перемычек!):

Троичный счётчик

Итак, продолжаем разговор. В этой статье я расскажу, как можно сделать троичный счётчик. Напоминаю, что я хочу сделать простейшую, но программируемую железку, работающую на троичной логике. Ответ на вопрос «зачем?» смотреть тут.

Это уже третья статья, по мере готовности будет продолжение. Оглавление:

• Считаем до трёх: раз (троичный мультиплексор и сумматоры)
• Считаем до трёх: два (память)
• Считаем до трёх: три (счётчики)
• Считаем до трёх: четыре (однотритный вычислитель и система команд трёхтритного)

Как обычно, в моих статьях картинок больше, нежели текста. Вот так выглядит основная железка, о которой сегодня будет идти речь:

Троичные вычисления

Итак, продолжаю цикл статей о разработке троичного вычислителя. В прошлый раз мы познакомились с самым базовым элементом: троичным (де-)мультиплексором, а также на его базе построили полу- и полный сумматор. В этот раз речь пойдёт о ячейках памяти.

В прошлой статье я подробно рассказал для чего мне это нужно: это будет демонстрационная железка. Не поленитесь, ознакомьтесь с моей мотивацией.

Итак, вот список опубликованных статей цикла (будет обновляться):

• Считаем до трёх: раз (троичный мультиплексор и сумматоры)
• Считаем до трёх: два (память)
• Считаем до трёх: три (счётчики)
• Считаем до трёх: четыре (однотритный вычислитель и система команд трёхтритного)

Напоминаю, что единственным строительным блоком вычислителя будет троичный мультиплексор. Вот фотография оригинального тримукса дизайна Александра Шабаршина и моего исполнения на поверхностном монтаже. Одна такая плата несёт на себе два троичных (де-)мультиплексора:

Троичные вычисления

Я готовлю курс лекций по архитектуре компьютеров для студентов нашего университета, и в качестве небольшой практической разминки я бы хотел предложить студентам построить примитивный программируемый вычислитель в троичной логике. Конкретно эта статья рассказывает про базовый модуль, который будет использоваться в постройке, а именно про троичный мультиплексор. В данном тексте я не пойду дальше простейшего сумматора (и его реализации в железе), текст и так получается достаточно насыщенным. В последующих статьях я буду потихоньку рассказывать, куда меня эта кривая заведёт, так как я в самом начале авантюры.

• Считаем до трёх: раз
• Считаем до трёх: два (память)
• Считаем до трёх: три (счётчики)
• Считаем до трёх: четыре (однотритный вычислитель и система команд трёхтритного)

Я выбрал сбалансированную троичную систему, в которой один трит может представлять одно из трёх значений -1, 0 или 1. Весьма подробно о ней можно почитать тут.

На любые вопросы из разряда «зачем?!» я отвечаю заранее: «Because I can».

Постановка задачи

Это вторая, итоговая статья. Напоминаю цель: есть двигатель постоянного тока. Задача — разработать, собрать и протестировать устройство, позволяющиее реализовать контур управления с заданием тока применительно к этому двигателю. Желаемое время переходного процесса на застопоренном двигателе (без противо-ЭДС) — не более 10мс.

Текст разбит на две статьи:

• 1. Измерение сопротивления и индуктивности двигателя
• 2. Разработка управляющего контура

Напоминаю, как выглядит макет управляющего железа:

Постановка задачи

Есть двигатель постоянного тока. Задача — разработать, собрать и протестировать устройство, позволяющиее реализовать контур тока применительно к этому двигателю. Желаемое время переходного процесса на застопоренном двигателе (без противо-ЭДС) — не более 10мс. Интерфес связи с внешним управляющим контроллером — SPI.

Двигатель постоянного тока, коллекторный, максимальное напряжение 24В, рабочий ток до 5А.

Что значит — контур тока? Самые распространённые драйверы для управления двигателями это всякие вариации полумостов, которые усиливают напряжение. А мне хочется, чтобы драйвер брал на вход не напряжение, а силу тока. Сила, развиваемая электроприводом, прямо пропорциональна силе протекающего тока. А значит, и прямо пропорциональна ускорению на валу двигателя. Такой контур тока позволит избежать извращений, на которые нужно идти без него, как я это делал тут.

Я разбил этот текст на две статьи:

• 1. Измерение сопротивления и индуктивности двигателя
• 2. Разработка управляющего контура

Вот так выглядит макет управляющего железа:

Нужно ли вам читать этот текст?

Давайте проверим. Прочтите следующее:

Тригонометрическим рядом Фурье функции  называют функциональный ряд вида



где

Страшно, но всё же хочется понять, что это значит?

Значит, вам под кат. Постараюсь формул не использовать.

Преамбула

Продолжаю подробное описание использования линейно-квадратичного регулятора на примере управления перевёрнутым маятником. К слову сказать, термин «ЛКР» очень неточно отражает суть происходящего, как мне уже подсказали в комментариях, в русской школе теории управления этот подход называется «аналитическим конструированием оптимальных регуляторов», что существенно точнее.

Как обычно, я стараюсь разжевать математику по максимуму, чтобы материал был доступен заинтересованному школьнику. Я глубоко убеждён, что использование математики по-хорошему должно бы быть платным: любая формула должна быть использована только тогда, когда она призвана облегчить понимание, а не для того, чтобы выпендриваться.

Итак, это уже четвёртая статья, для лучшего понимания происходящего неплохо бы прочитать предыдущие три:

• 1. Методы наименьших квадратов
• 2. Линейно-квадратичный регулятор, вводная
• 3. Управление двигателем постоянного тока при помощи линейно-квадратичного регулятора

Вот фотография системы (кликабельно):

Постановка задачи: как со школьными знаниями дойти до выводов университетского уровня

Эта статья предполагает, что вы прочли мои статьи (ну или и без того знаете) про методы наименьших квадратов и про линейно-квадратичный регулятор.

Как я уже говорил в предыдущих статьях, мои знакомые студенты хотят построить обратный маятник, но умаялись подбирать коэффициенты ПИД-регулятора, поэтому я неспешно смотрю, что такое линейно-квадратичный регулятор, ну а заодно и вам пересказываю то, что прочитал. Задача для этой статьи — показать, как воплотить в железе одномерный пример из статьи про линейно-квадратичный регулятор. Грубо говоря, я хочу написать написать управление для сервомотора: у меня есть текущее положение оси привода и текущая скорость её вращения, я хочу её остановить в заданном положении. Я попытался было прочитать схожую статью на эту тему, но, признаться, ничего в ней не понял, поэтому сел разбираться самостоятельно, предпочтительно на пальцах и без страшных слов типа дифференциальных уравнений Лагранжа-Эйлера.

Продолжая рабочий эксгибиционизм, знакомлю вас с Bubble Bobble, который живёт у нас с коллегой в кабинете. Он рецензирует статьи для конференции SIGGRAPH.

Постановка задачи

На днях я увидел на просторах интернета крайне любопытную вещь: мендосинский двигатель. Ротор на подшипниках крайне низкого трения: оригинальный имел стеклянный цилиндр, подвешенный на двух иголках, современные имеют магнитный подвес оси. Двигатель бесколлекторный, на роторе подвешены солнечные батареи, которые выдают напряжение на катушки, намотанные на роторе. Ротор проворачивается в фиксированном магнитном поле статора, солнечная батарея уходит от направленного света, на её место приходит другая. Крайне элегантное решение, которое вполне под силу сделать дома каждому.

Вот на этом видео крайне подробно описан (на русском языке) принцип работы:



Но ещё больше самого двигателя мне показалась любопытной следующая вещь. В описании этого видео Дмитрий Коржевский написал следующую вещь: «Боковую опору заменить магнитом НЕВОЗМОЖНО!!! Не задавайте больше этот вопрос!»

Дошли руки написать очередное дополнение к моему краткому курсу компьютерной графики. Итак, тема для очередного разговора — использование карт нормалей. В чём основное отличие использования карт нормалей от затенения Фонга? Основная разница в плотности задания информации. Для затенения Фонга мы использовали нормальные вектора, заданные к каждой вершине нашей полигональной сетки, интерполируя нормали внутри треугольников. Использование же карт нормалей позволяет задавать нормали для каждой точки нашей поверхности, а не лишь изредка, что просто драматическим образом влияет на детализацию изображений.

В принципе, в лекции про шейдеры мы уже использовали карту нормалей, но только заданную в глобальной системе координат. Сейчас же разговор пойдёт про касательное пространство. Итак, вот две текстуры, левая задана в глобальном пространстве (RGB напрямую превращается в вектор XYZ), а правая — в касательном.