Стоит отметить, что статья имеет практическую направленность, но согласно вики:
Метод Шёнхаге — Штрассена считался асимптотически быстрейшим методом с 1971 до 2007 годы, пока не был заявлен новый метод с лучшей оценкой сложности умножения.[3] На практике метод Шёнхаге — Штрассена начинает превосходить более ранние классические методы, такие как умножение Карацубы и алгоритм Тоома — Кука (обобщение метода Карацубы), начиная с целых чисел порядка 10^10000-10^40000.
Таким образом становится актуальным вопрос о константе в оценке.
Асимптотику распределения простых чисел я знаю.
Я правильно понимаю, что придется хранить или генерировать таблицу простых чисел от 2 до n/2?
Какова трудоемкость детерминированного алгоритма теста на простоту?
Да, тут вы правы операции сложения точек в афинном пространстве нет. Но вы можете рассматривать точки афинного пространства как скорости чего-то в какой-то системе отсчета. И рассматривать ассоциированные с ним элементы векторного пространства как приращения этих скоростей. При этом приращения инвариантны относительно сдвигов. А смена системы отсчета это — гомоморфизм афинных пространств. Просто это может быть удобно. А потом можно увеличить размерность пространства на 1 и представить эти гомоморфизмы как подгруппу группы линейных операторов на пространстве большей размерности. И так далее.
Все дело в различии подходов. Что такое вектор? Вектор это элемент векторного пространства над полем. Что такое векторное пространство? Это такое множество. Элементы этого с некотрой операцией + образуют абелеву группу. кроме этого есть отображение пары (вектор, элемент поля) в вектор. оно должно обладать некоторыми свойствами. ассоциативностью, скалярной и векторной дистрибутивностью, унитарностью.
Дальше из этого извлекается базис. И в случае конечномерности базиса теорема об изоморфизмах векторных пространств. Любое конечномерное векторное пространство изоморфно арифметическому пространству соответствующей размерности.
Вот таким образом и получается, что выбрав на плоскости особую точку 0 путем нехитрых операций можно превратить эту плоскость в векторное пространство.
Можно вводить стрелочки. Потом разбираться с кноцом, началом, длинной и паралельным переносом, с последующей факторизацией. Будет опять векторное пространство. Если они одной размерности над одним полем то они изоморфны. Как-то так.
К сожалению двухтомником тут не обойтись.
Есть такая байка. Однажды к Гильберту пришли физики и спросили про что-то матрица оно или оператор. Гильберт ответил что в данном случае это одно и тоже. Физики не поняли и обиделись.
Так как вы описали — скорость можно рассматривать как элемент афинного пространства. Тогда переходы между инерциальными системами отсчета будут гомоморфизмами афинных пространств. Но не будут гомоморфизмами векторных пространств, так как гомоморфизмы векторных пространств оставляют 0 на месте.
Метод Шёнхаге — Штрассена считался асимптотически быстрейшим методом с 1971 до 2007 годы, пока не был заявлен новый метод с лучшей оценкой сложности умножения.[3] На практике метод Шёнхаге — Штрассена начинает превосходить более ранние классические методы, такие как умножение Карацубы и алгоритм Тоома — Кука (обобщение метода Карацубы), начиная с целых чисел порядка 10^10000-10^40000.
Таким образом становится актуальным вопрос о константе в оценке.
Я правильно понимаю, что придется хранить или генерировать таблицу простых чисел от 2 до n/2?
Какова трудоемкость детерминированного алгоритма теста на простоту?
С какой сложностью нам достается это знание?
Дальше из этого извлекается базис. И в случае конечномерности базиса теорема об изоморфизмах векторных пространств. Любое конечномерное векторное пространство изоморфно арифметическому пространству соответствующей размерности.
Вот таким образом и получается, что выбрав на плоскости особую точку 0 путем нехитрых операций можно превратить эту плоскость в векторное пространство.
Можно вводить стрелочки. Потом разбираться с кноцом, началом, длинной и паралельным переносом, с последующей факторизацией. Будет опять векторное пространство. Если они одной размерности над одним полем то они изоморфны. Как-то так.
Есть такая байка. Однажды к Гильберту пришли физики и спросили про что-то матрица оно или оператор. Гильберт ответил что в данном случае это одно и тоже. Физики не поняли и обиделись.
Так как вы описали — скорость можно рассматривать как элемент афинного пространства. Тогда переходы между инерциальными системами отсчета будут гомоморфизмами афинных пространств. Но не будут гомоморфизмами векторных пространств, так как гомоморфизмы векторных пространств оставляют 0 на месте.