Как поживает Firefox?

К сожалению, не подскажу в деталях как это под капотом работает.
Вот тут есть некоторая информация: support.mozilla.org/en-US/kb/add-or-remove-search-engine-firefox
Я так понял на странице присутствует специальный тэг со ссылкой на файл дескриптора (речь про OpenSearch). В этом файле прописан URL с форматом запроса.

Как поживает Firefox?

Открыть yandex.ru -> ПКМ в адресной строке -> Add «Яндекс»
Так вроде побыстрее будет и меньше усилий требует.