Когда на линейную пружинку действует постоянная потенциальная сила, то она не меняет её динамики, лишь смещая точку равновесия (речь идет о колебаниях вдали от каких-либо стенок или иных нарушений линейности). Математически это выражается в том, что в линейном дифференциальном уравнении второго порядка, легко можно исключить константу заменой переменных:
Константа здесь имеем смысл постоянного ускорения. При этом решение сместится, но все его характеристики: амплитуда, частота и затухание останутся прежними.
В аналитической механике принято рассматривать движение системы не только в пространстве, но и «во времени». Для этого к координатам всех тел системы добавляют их скорости. Такие расширенные координаты и называют обобщёнными, рассматривая их как равноправные величины. Заменой масштаба переменных можно превратить в единицу большую часть параметров задачи. Именно это происходит в заинтересовавшей вас строчке. Большие буквы — это неизвестные нам «единицы измерения» длины и скорости. Мы подбираем их так, чтобы в задаче остался один свободный параметр . После подбора таких единиц, мы можем рассматривать не координаты и скорости, а безразмерные числа и . Те самые обобщённые координаты и импульсы системы.
Например, для активной системы подавления колебаний в подвеске сидения оператора тяжёлой техники, надо было найти области параметров в которых динамика системы становится хаотичной и тогда нужно выключать обратные связи и выходить из хаоса. Для этого хорошо бы заранее узнать границы этих областей, поскольку в реальности отличить просто сложное движение с несколькими частотами от хаотического непросто.
Однако под фракталом Ляпунова понимают две разные вещи: то, что приведено в моей статье — карта экспонент Ляпунова, которая фрактальна только в силу самоподобия каскада бифуркаций удвоений периода Хопфа. Однако большую известность получили диаграммы, которые привели вы, но которые создаются достаточно искусственным образом, оторванным от динамики конкретной системы.
В первом случае сглаживание может сохранить качественную картину, существенно повысить еë эстетичность, но при этом может привести к потере количественной составляющей — в виде точных границ областей с различной динамикой.
В прикладных задачах, которые доводилось решать мне (производственных), на красоту не оставалось времени и у заказчика, увы, на неë не было спроса.
Не уверен, что это в какой-либо мере тянет на учебник. Скорее мягкое введение, чтобы было понятно зачем читать учебник (Строгатца или Виггинса, например). К тому же здесь рассмотрена и только одна простая система и только один сценарий развития хаоса.
Очень классно! Душа хаскеллиста радуется при виде аппликативного условного оператора. Дайте, пожалуйста ссылку на формальное описание языка и на его репозиторий, чтобы не задавать обычные вопросы о его назначении.
Ничего не в прошлом! Новые времена — новые задачи. Дети в ФМШ есть, с моих пор НГУ вырос вдвое. А трудности были всегда, и всегда людям, творящим большое, было не просто.
Спасибо! Очень тепло от вашего уважительного и справедливого отношения и к великому человеку и к судьбе его детища. Сам я типичный внук нашего Деда: ФМШ-онок, приехавший в Академгородок по олимпиадам с Камчатки. Выучился, закончил ФФ НГУ, уехал за рубеж, но, к счастью, много лет назад вернулся, поняв, что своя страна и земля вдохновляет меня на работу больше иных прав. Стал вулканологом и педадогом, и работая на Камчатке несу стиль мышления новосибирцев. Работает система!
Безразмерные величины отличаются от размерных независимостью от выбранных единиц. В чем бы вы ни измеряли длину, массу, время, жесткость и ускорение в этой задаче, значение безразмерной энергии останется, неизменным. Так безразмерный радиан не зависит от того, измеряете ли вы длину окружности и радиус в сантиметрах или дюймах. Также число Рейнольдса (отношение вязких сил к силам инерции) характеризует поток жидкости и не зависит от единиц измерения размеров трубы, вязкости и скорости жидкости.
Главное достоинство безразмерных величин состоит в том, что какие бы массы и жёсткости я бы ни выбрал, переместился бы на луну, или на Юпитер, если отношение будет равно 1, я увижу ровно такое же поведение системы: такие же области хаоса и порядка, такую же структуру орбит и такие же их свойства, как показано на рисунках с . Если же в этой реальной физической системе я как-нибудь уменьшу энергию системы вдвое (поменяю пружинку на менее жесткую, уменьшу начальную высоту, увеличу массу, или гравитацию, что заставит пружину растянуться сильнее и уменьшить скорости) то я увижу, как исчезнет хаос и колебания системы будут исключительно периодичными.
Почему же нет, есть. Просто измеряется она не в Джоулях или калориях, а в безразмерных единицах. В любом случае, удвоение начальной высоты шарика увеличит ее вдвое.
Безразмерный парамер можно интерпретировать по-разному. 1) Как отношение характерных потенциальных сил в задаче: силы упругости к силе тяжести: 2) Как отношение потенциальных энергий (при этом вылезает двойка, но еë можно спрятать в масштаб длины). 3) как отношение начальной высоты шарика к характерному масштабу длины при котором сила упругости будет компенстроваться силой тяжести .
Поскольку в дальнейшем анализе существенную роль играет энергия, как инвариант во времени, определяющий параметр многообразия на котором располагаются орбиты, и запускающий сценарий перехода к хаосу, я интерпретирую , как энергию. Вы верно заметили, что энергия шарика должна быть пропорциональна начальной высоте, вот она и пропорциональна, всë правильно. То, что при этом оказалось в знаменателе, связано с тем, что в энергию упругости расстояние входит в более высокой степени, чем в энергию гравитации.
К сожалению, если тащить в аналих задачи метры с киллограммами, до математики дело вообще не дойдёт. А работа с безразмерными уравнениями и параметрами это и есть общепринятый в физике и инженерной механике подход. Вспомните критерии подобия Рейнольдса, Кнудсена, Релея, Грасгоффа, Архимеда, Струхаля, Галлилея, Жуковского, Прандтля... Именно на этих безразмерных числах строится инженерная гидромеханика, теплофизика, аэродинамика и многие другие прикладные разделы.
Можно найти такие области. Это и будет предметом анализа этой задачи методами теории хаоса. Пока что мы просто наблюдали за системой, знакомились с ней на уровне численных решений.
Этот проект рассчитан на stack. Он сам подтягивает зависимости и подходящий компилятор.
В папке проекта выполняются команды
Либо можно выполнить
stack installи получить бинарник в home/.local/binБлагодарю вас за внимание и вопросы!
Когда на линейную пружинку действует постоянная потенциальная сила, то она не меняет её динамики, лишь смещая точку равновесия (речь идет о колебаниях вдали от каких-либо стенок или иных нарушений линейности). Математически это выражается в том, что в линейном дифференциальном уравнении второго порядка, легко можно исключить константу заменой переменных:
Константа здесь имеем смысл постоянного ускорения. При этом решение сместится, но все его характеристики: амплитуда, частота и затухание останутся прежними.
В аналитической механике принято рассматривать движение системы не только в пространстве, но и «во времени». Для этого к координатам всех тел системы добавляют их скорости. Такие расширенные координаты и называют обобщёнными, рассматривая их как равноправные величины. Заменой масштаба переменных можно превратить в единицу большую часть параметров задачи. Именно это происходит в заинтересовавшей вас строчке. Большие буквы — это неизвестные нам «единицы измерения» длины и скорости. Мы подбираем их так, чтобы в задаче остался один свободный параметр![]()
. После подбора таких единиц, мы можем рассматривать не координаты и скорости, а безразмерные числа 
и 
. Те самые обобщённые координаты и импульсы системы.
С интересом, поскольку они и есть материал для дальнейшего расширения дифференциальных полей.
Попробуем, но сильно скоро не обещаю :)
Это дело! Сообразим в комментариях.
Например, для активной системы подавления колебаний в подвеске сидения оператора тяжёлой техники, надо было найти области параметров в которых динамика системы становится хаотичной и тогда нужно выключать обратные связи и выходить из хаоса. Для этого хорошо бы заранее узнать границы этих областей, поскольку в реальности отличить просто сложное движение с несколькими частотами от хаотического непросто.
Красота какая!!
Однако под фракталом Ляпунова понимают две разные вещи: то, что приведено в моей статье — карта экспонент Ляпунова, которая фрактальна только в силу самоподобия каскада бифуркаций удвоений периода Хопфа. Однако большую известность получили диаграммы, которые привели вы, но которые создаются достаточно искусственным образом, оторванным от динамики конкретной системы.
В первом случае сглаживание может сохранить качественную картину, существенно повысить еë эстетичность, но при этом может привести к потере количественной составляющей — в виде точных границ областей с различной динамикой.
В прикладных задачах, которые доводилось решать мне (производственных), на красоту не оставалось времени и у заказчика, увы, на неë не было спроса.
Не уверен, что это в какой-либо мере тянет на учебник. Скорее мягкое введение, чтобы было понятно зачем читать учебник (Строгатца или Виггинса, например). К тому же здесь рассмотрена и только одна простая система и только один сценарий развития хаоса.
Очень классно! Душа хаскеллиста радуется при виде аппликативного условного оператора. Дайте, пожалуйста ссылку на формальное описание языка и на его репозиторий, чтобы не задавать обычные вопросы о его назначении.
Прошу прощения, работая с телефона, нажал неловко минус, и увы, не могу исправить.
Ничего не в прошлом! Новые времена — новые задачи. Дети в ФМШ есть, с моих пор НГУ вырос вдвое. А трудности были всегда, и всегда людям, творящим большое, было не просто.
Спасибо! Очень тепло от вашего уважительного и справедливого отношения и к великому человеку и к судьбе его детища. Сам я типичный внук нашего Деда: ФМШ-онок, приехавший в Академгородок по олимпиадам с Камчатки. Выучился, закончил ФФ НГУ, уехал за рубеж, но, к счастью, много лет назад вернулся, поняв, что своя страна и земля вдохновляет меня на работу больше иных прав. Стал вулканологом и педадогом, и работая на Камчатке несу стиль мышления новосибирцев. Работает система!
Вам спасибо! Приставка мини- относится к серии -- всего две-три части. А что статьи выходят длинными, так это оттого, что тема уже больно ёмкая.
Ирония состоит в том, что методы анализа дискретных систем опираются на топологию и анализ непрерывных отображений.
Причём, не какой-нибудь, а всё время один и тот же, подозрительно смахивающий на завлаба в молодости ?
Очень хорошо пишет Стивен Строгац. У него несколько книг на эту тему. Есть и наши книги, но они более специальные. Завтра подкину парочку.
Безразмерные величины отличаются от размерных независимостью от выбранных единиц. В чем бы вы ни измеряли длину, массу, время, жесткость и ускорение в этой задаче, значение безразмерной энергии останется, неизменным. Так безразмерный радиан не зависит от того, измеряете ли вы длину окружности и радиус в сантиметрах или дюймах. Также число Рейнольдса (отношение вязких сил к силам инерции) характеризует поток жидкости и не зависит от единиц измерения размеров трубы, вязкости и скорости жидкости.
Главное достоинство безразмерных величин состоит в том, что какие бы массы и жёсткости я бы ни выбрал, переместился бы на луну, или на Юпитер, если отношение
будет равно 1, я увижу ровно такое же поведение системы: такие же области хаоса и порядка, такую же структуру орбит и такие же их свойства, как показано на рисунках с 
. Если же в этой реальной физической системе я как-нибудь уменьшу энергию системы вдвое (поменяю пружинку на менее жесткую, уменьшу начальную высоту, увеличу массу, или гравитацию, что заставит пружину растянуться сильнее и уменьшить скорости) то я увижу, как исчезнет хаос и колебания системы будут исключительно периодичными.
Почему же нет, есть. Просто измеряется она не в Джоулях или калориях, а в безразмерных единицах. В любом случае, удвоение начальной высоты шарика увеличит ее вдвое.
Безразмерный парамер
можно интерпретировать по-разному. 1) Как отношение характерных потенциальных сил в задаче: силы упругости к силе тяжести: 
2) Как отношение потенциальных энергий 
(при этом вылезает двойка, но еë можно спрятать в масштаб длины). 3) как отношение начальной высоты шарика к характерному масштабу длины 
при котором сила упругости будет компенстроваться силой тяжести 
.
Поскольку в дальнейшем анализе существенную роль играет энергия, как инвариант во времени, определяющий параметр многообразия на котором располагаются орбиты, и запускающий сценарий перехода к хаосу, я интерпретирую
, как энергию. Вы верно заметили, что энергия шарика должна быть пропорциональна начальной высоте, вот она и пропорциональна, всë правильно. То, что 
при этом оказалось в знаменателе, связано с тем, что в энергию упругости расстояние входит в более высокой степени, чем в энергию гравитации.
К сожалению, если тащить в аналих задачи метры с киллограммами, до математики дело вообще не дойдёт. А работа с безразмерными уравнениями и параметрами это и есть общепринятый в физике и инженерной механике подход. Вспомните критерии подобия Рейнольдса, Кнудсена, Релея, Грасгоффа, Архимеда, Струхаля, Галлилея, Жуковского, Прандтля... Именно на этих безразмерных числах строится инженерная гидромеханика, теплофизика, аэродинамика и многие другие прикладные разделы.
Можно найти такие области. Это и будет предметом анализа этой задачи методами теории хаоса. Пока что мы просто наблюдали за системой, знакомились с ней на уровне численных решений.