Не могу утверждать, что дам исчерпывающий ответ, но на взгляд уже празднующего Новый Год на Камчатке кажется, что эта независимость — следствие линейности, а значит, в линейных алгебраических структурах независимость трансляции от чистых "матричных" преобразований должна выполняться. По крайней мере, в проективных геометрических алгебрах (Клиффорда) это так.
В голосовалка не хватает варианта "Бросил пить кофе". Отказался, потому что очень заметной стала абстиненция при невозможности выпить чашечку в течение дня. После полной отмены реально неделю мучают головные боли, легко купируемые одним эспрессо.
Бросал в течение пяти лет три раза :), переходил на подсчёт чашек (три чашки в день, две в день..). Только полный ипринципипльный отказ помог преодолеть зависимость. Улучшился сон, прошли боли в шее после сна. Больше плюсов,наверное, не найду, потому что кофе люблю, и мимо кофеен хожу, с удовольствием принюхиваясь :)
Ирония ещё в том, что я сам владею кафе, так что чашка самого лучшего вулканического кофе из любого по желанию свежего зёрна из рук симпатичной бариста маячит передо мной каждый день :)
Я сейчас готовлю к публикации серию статей о геометрических алгебрах с картинками и с тоже выводом основных соотношений. Начну их выставлять здесь после Нового Года. Ваша алгебра, судя по всему, внешняя? Или она не относится к алгебрам Клиффорда? Спрашиваю, потому что ваши иллюстрации очень хороши!
Какие чудесные многообразия! А вы не могли бы по подробнее рассказать про ваши непростые взаимоотношения с Фробениусом и двумя (а не тремя) комплексными единицами? Чему равно произведение этих единиц? А его квадрат?
Вы правы, рекурсивное определение gcd изящно. И двойственное ему определение lcd тоже выглядит не плохо, но из-за необходимости знать на каждом этапе исходные числа a и b, соответствующая программа либо должна быть выражена через замыкание, (внутреннее рекурсивное определение), либо тащить исходные числа параметрами, что нарушило бы симметрию. Поэтому я оставил в примере две симметричные итеративные программы.
К сожалению, поставил отрицательную оценку, хотя делаю это крайне редко. Ох! В статье, начиная с первого предложения, столько неточностей и ошибок, что даже не знаю, стоит ли их перечислять. Приведу только самые очевидные:
Хаусдорфова размерность, о которой идёт речь в статье, не характеризует ни "сложности" ни "количества параметров, необходимых для описания объекта". Проверочные вопросы: Что сложнее описать математически — вашу одномерную подпись или кривую Коха? Точка треугольника Серпинского имеет полторы координаты?
Определения и примеры, приведённые в первом разделе, относятся к топологической размерности пространств, а не объектов, вложенных в эти пространства. Это принципиально разные понятия.
Фрактальность и самоподобие разные вещи. Облака, береговые линии, странные аттракторы или канторовы множества, будучи фрактальными могут не обладать слабым самоподобием или не обладать им вовсе. Фрактальным называется объект, имеющий нецелую размерность Хаусдорфа (или Минковского или иных аналогов). Самоподобным — объект демонстрирующий идентичность формы на различных масштабах. Размерность самоподобных фрактальных объектов можно вычислить аналитически, в противном случае, только оценить и то, в разных диапазонах масштаба, размерность, скорее всего, будет разной.
Снежинка Коха не является самоафинной, а вот треугольник Серпинского, как раз является.
"Итоговая линия становится все более сложной, ее длина увеличивается с каждым шагом, но фрактальная размерность остается фиксированной и равна 1,2619." Пока не достигнут предельный объект, "снежинка" остаётся, одномерной ломаной линией, что видно на первых шагах итерации.
Приведённый график зависимости от размеров количества квадратов, покрывающих треугольник Серпинского, не показывает никакой корреляции.
...
Увы, тема фракталов превратилась в "звезду" поп-математики, благодаря красивым картинкам, которые относительно просто получить на компьютере. Многим почему-то кажется, что это простая тема для рассуждений. Но математика, которая за ними стоит, проще от этого не становится, и рассуждения о размерности требуют не только точности, но и чёткой мотивации и ответов на базовые вопросы: Зачем нужна такая характеристика? Что нового в картине мира она нам даëт? Можно ли размерность считать объективной числовой характеристикой объекта, не зависящей от способа вычисления?
С интересом слежу за серией. Долгожданная третья статья вызвала странное ощущение. Очень хочется какую-то еë часть перевести на язык теории категорий (коллектор — морфизм, истинность и ложность — предельные объекты, но в какой категории?), какую-то — на язык комбинаторного исчисления и теории разрешимости (существование алгоритма, переводящего один объект в другой), описание "доски" с ориентациями, движениями и непрерывностью вопиет о формализации в терминах топологического пространства и группах его преобразований. Притом, что во всех упомянутых языках основы очень хорошо определены, никак не получается уловить достоинства предлагаемого подхода в приведённых определениях.
Очень хочется примера формального вывода или доказательства какого-либо утверждения, чтобы почувствовать методику предлагаемой системы.
Вы предвосхитили мои намерения. О геометрических алгебрах (алгебрах Клиффорда) я готовлю следующую серию, как естественное продолжение этой 🙂 Правда конформация ГА будет последней в этой серии, но первые статьи помогут понять причём тут вообще геометрия.
Вы правы, просто перенося вопрос "почему" от алгебры комплексных чисел к алгебре матриц, нельзя докопаться до истины. Обоснование матричных операций я не планировал включать в эту серию, но в двух словах упомянул ключевые их свойства, линейность (отражающуюся в арифметикой в форме дистрибутивности умножения) и свойства скалярногопроизведения (билинейной формы). Об этом я подробнее хочу поговорить, рассказывая об алгебрах Клиффорда в следующей серии заметок.
Признаю условность и неточность терминологии. Алгебраическую структуру очень хочется назвать точно: полугруппа, моноид, группа, кольцо, поле, модуль... Притом, что мы тут играемся с двумерными модулями над полугруппами, кольцами или полями, которые исторически и опять же неточно, называют числами, я позволил себе объединить рассматриваемые структуры одним неформальным термином "арифметика", как более понятным тем, с кем мне обычно приходится иметь дело :)
Интересно, так далеко я, конечно, не лез. Матричный формализм делает эту задачу чисто технической, переводя акцент на задачу сходимости соответствующих формальных сумм. Впрочем, хоть я и физик, мне оказались ближе не матрицы, а подход геометрической алгебры Клиффорда, в которых трансцендентные функции определяются достаточно изящно и имеют зримый смысл. Однако "Фибоначчионы" классическими методами Клиффорда не описать, поскольку мнимые единицы не "единичны".
Вы правы, технические детали загромоздили общий смысл подхода, который состоит в повышении "качества" числовых систем от полугруппы к кольцу, от кольца к полю с помощью простого расширения примитивных систем. Я изложу эту мысль более точно в следующем материале, поскольку дальше планирую перейти от числовых систем к геометрическим алгебрам Клиффорда, очень красивым и полезным.
Не могу утверждать, что дам исчерпывающий ответ, но на взгляд уже празднующего Новый Год на Камчатке кажется, что эта независимость — следствие линейности, а значит, в линейных алгебраических структурах независимость трансляции от чистых "матричных" преобразований должна выполняться. По крайней мере, в проективных геометрических алгебрах (Клиффорда) это так.
В голосовалка не хватает варианта "Бросил пить кофе". Отказался, потому что очень заметной стала абстиненция при невозможности выпить чашечку в течение дня. После полной отмены реально неделю мучают головные боли, легко купируемые одним эспрессо.
Бросал в течение пяти лет три раза :), переходил на подсчёт чашек (три чашки в день, две в день..). Только полный ипринципипльный отказ помог преодолеть зависимость. Улучшился сон, прошли боли в шее после сна. Больше плюсов,наверное, не найду, потому что кофе люблю, и мимо кофеен хожу, с удовольствием принюхиваясь :)
Ирония ещё в том, что я сам владею кафе, так что чашка самого лучшего вулканического кофе из любого по желанию свежего зёрна из рук симпатичной бариста маячит передо мной каждый день :)
Я сейчас готовлю к публикации серию статей о геометрических алгебрах с картинками и с тоже выводом основных соотношений. Начну их выставлять здесь после Нового Года. Ваша алгебра, судя по всему, внешняя? Или она не относится к алгебрам Клиффорда? Спрашиваю, потому что ваши иллюстрации очень хороши!
Какие чудесные многообразия! А вы не могли бы по подробнее рассказать про ваши непростые взаимоотношения с Фробениусом и двумя (а не тремя) комплексными единицами? Чему равно произведение этих единиц? А его квадрат?
Вы правы, рекурсивное определение
gcdизящно. И двойственное ему определениеlcdтоже выглядит не плохо, но из-за необходимости знать на каждом этапе исходные числаaиb, соответствующая программа либо должна быть выражена через замыкание, (внутреннее рекурсивное определение), либо тащить исходные числа параметрами, что нарушило бы симметрию. Поэтому я оставил в примере две симметричные итеративные программы.К сожалению, поставил отрицательную оценку, хотя делаю это крайне редко. Ох! В статье, начиная с первого предложения, столько неточностей и ошибок, что даже не знаю, стоит ли их перечислять. Приведу только самые очевидные:
Хаусдорфова размерность, о которой идёт речь в статье, не характеризует ни "сложности" ни "количества параметров, необходимых для описания объекта". Проверочные вопросы: Что сложнее описать математически — вашу одномерную подпись или кривую Коха? Точка треугольника Серпинского имеет полторы координаты?
Определения и примеры, приведённые в первом разделе, относятся к топологической размерности пространств, а не объектов, вложенных в эти пространства. Это принципиально разные понятия.
Фрактальность и самоподобие разные вещи. Облака, береговые линии, странные аттракторы или канторовы множества, будучи фрактальными могут не обладать слабым самоподобием или не обладать им вовсе. Фрактальным называется объект, имеющий нецелую размерность Хаусдорфа (или Минковского или иных аналогов). Самоподобным — объект демонстрирующий идентичность формы на различных масштабах. Размерность самоподобных фрактальных объектов можно вычислить аналитически, в противном случае, только оценить и то, в разных диапазонах масштаба, размерность, скорее всего, будет разной.
Снежинка Коха не является самоафинной, а вот треугольник Серпинского, как раз является.
"Итоговая линия становится все более сложной, ее длина увеличивается с каждым шагом, но фрактальная размерность остается фиксированной и равна 1,2619." Пока не достигнут предельный объект, "снежинка" остаётся, одномерной ломаной линией, что видно на первых шагах итерации.
Приведённый график зависимости от размеров количества квадратов, покрывающих треугольник Серпинского, не показывает никакой корреляции.
...
Увы, тема фракталов превратилась в "звезду" поп-математики, благодаря красивым картинкам, которые относительно просто получить на компьютере. Многим почему-то кажется, что это простая тема для рассуждений. Но математика, которая за ними стоит, проще от этого не становится, и рассуждения о размерности требуют не только точности, но и чёткой мотивации и ответов на базовые вопросы: Зачем нужна такая характеристика? Что нового в картине мира она нам даëт? Можно ли размерность считать объективной числовой характеристикой объекта, не зависящей от способа вычисления?
С интересом слежу за серией. Долгожданная третья статья вызвала странное ощущение. Очень хочется какую-то еë часть перевести на язык теории категорий (коллектор — морфизм, истинность и ложность — предельные объекты, но в какой категории?), какую-то — на язык комбинаторного исчисления и теории разрешимости (существование алгоритма, переводящего один объект в другой), описание "доски" с ориентациями, движениями и непрерывностью вопиет о формализации в терминах топологического пространства и группах его преобразований. Притом, что во всех упомянутых языках основы очень хорошо определены, никак не получается уловить достоинства предлагаемого подхода в приведённых определениях.
Очень хочется примера формального вывода или доказательства какого-либо утверждения, чтобы почувствовать методику предлагаемой системы.
Присоединяюсь к вопросу.
Так точно, не совсем. Но о классах и согласовании с ними арифметики подробно говорилось во второй статье серии. Я решил не повторяться.
В аксиоматике колец и полей, действительно, зашита линейность, выраженная в распределительном законе умножения.
Вы предвосхитили мои намерения. О геометрических алгебрах (алгебрах Клиффорда) я готовлю следующую серию, как естественное продолжение этой 🙂 Правда конформация ГА будет последней в этой серии, но первые статьи помогут понять причём тут вообще геометрия.
Хм.. надо поразмыслить. Пока нюансы для меня не очевидны. Спасибо за вопрос.
Вы правы, просто перенося вопрос "почему" от алгебры комплексных чисел к алгебре матриц, нельзя докопаться до истины. Обоснование матричных операций я не планировал включать в эту серию, но в двух словах упомянул ключевые их свойства, линейность (отражающуюся в арифметикой в форме дистрибутивности умножения) и свойства скалярного произведения (билинейной формы). Об этом я подробнее хочу поговорить, рассказывая об алгебрах Клиффорда в следующей серии заметок.
Вот незадача! Не уследил. Если наберусь трудолюбия, исправлю. Спасибо!
Признаю условность и неточность терминологии. Алгебраическую структуру очень хочется назвать точно: полугруппа, моноид, группа, кольцо, поле, модуль... Притом, что мы тут играемся с двумерными модулями над полугруппами, кольцами или полями, которые исторически и опять же неточно, называют числами, я позволил себе объединить рассматриваемые структуры одним неформальным термином "арифметика", как более понятным тем, с кем мне обычно приходится иметь дело :)
Верно, благодарю за замечание! Добавлю сноску.
Над R не интересно, в нём уже есть золотое сечение.
Интересно, так далеко я, конечно, не лез. Матричный формализм делает эту задачу чисто технической, переводя акцент на задачу сходимости соответствующих формальных сумм. Впрочем, хоть я и физик, мне оказались ближе не матрицы, а подход геометрической алгебры Клиффорда, в которых трансцендентные функции определяются достаточно изящно и имеют зримый смысл. Однако "Фибоначчионы" классическими методами Клиффорда не описать, поскольку мнимые единицы не "единичны".
Вы правы, технические детали загромоздили общий смысл подхода, который состоит в повышении "качества" числовых систем от полугруппы к кольцу, от кольца к полю с помощью простого расширения примитивных систем. Я изложу эту мысль более точно в следующем материале, поскольку дальше планирую перейти от числовых систем к геометрическим алгебрам Клиффорда, очень красивым и полезным.
И даже более точно, это дух Алонзо Чёрча и его нумералов в чистом лямбда-счислении.