Совершенно верно. Если не обезразмеривать задачу полностью, оставив в качестве параметра отношение , то ордината седловой точки будет равна этому отношению. При смене знака, она пересечëт ось абсцисс.
Потому что 1) постановка задачи — это описание дискретной динамической системы и вопрос о еë аттракторах и притягивающем множестве, 2) к дискретным динамическим системам легко свести задачи на ориентированные графы (как это сделал автор статьи и многие другие) , 3) дискуссия о решении гипотезы быстро привела к дискуссии об условиях еë разрешимости.
Задача Коллатца сама по себе практического смысла не имеет, но еë ценность состоит в указании на то, что существующих инструментов для еë решения не хватает. Метод решения, если будет найден, даст новые инструменты для анализа динамических систем, теории графов и теории разрешимости. А эти области уже имеют массу практических применений.
Вы правы в том, что тригонометрия и свойства гармонических функций могут быть получены аналитически, как собственные решения уравнения Лапласа, или уравнения
Из него, в частности, выводится и тригонометрическая единица. Геометрическое представление этих функций, действительно, приводит к евклидовой метрике и эквивалентно выполнению теоремы Пифагора.
Однако геометрия и еë построения имеют самостоятельную ценность, давая связь между пространством и его симметриями (инвариантами). Евклидова метрика примечательна тем, что инвариантна относительно изометрий, изоморфных базовым операциям над числами (комплексными) и линейным преобразованиям, потому она чрезвычайно практична, а геометрические построения настолько плодотворны. Для того, чтобы исследовать свойства неевклидовых геометрии и римановых пространств мы опираемся на этот изоморфизм.
Так что геометрические доказательства не ценнее алгебраических, но они прекрасно их дополняют, во многом оказываясь проще. В изоморфных структурах никто не "главный", но наличие разных подходов сильно расширяет наш инструментарий.
Нет, не имеет. Теорема синусов это тригонометрическая запись отношений сторон и высот, не более того. Другое дело, что в приведëнном доказательстве и она не нужна.
пространство треугольников, факторизованное отношением подобия;
пространство однородных координат..
Топологически, бесконечная плоскость гомеоморфна открытому диску конечного радиуса. Таким же образом можно от бесконечной "кружковской" проективной плоскости перейти к открытому диску с отождествлёнными точками, симметричными относительно его центра, а дальше строить гомеоморфизм, как показано на этих видео:
Мне самому очень нравится этот подход. В том простом аналитическом доказательстве, что я привёл, из пропорций сторон в подобных треугольников следует, что , . Эта система уже позволяет получить решение в виде формальных рядов, а дальше, действительно, несложно получить "тригонометрическую единицу".
Вы совершенно правы. Именно это соображение и привело к мнению о невозможности число тригонометрических доказательства теоремы Пифагора. В работах Зимбы и Луизиа, несложных, но серьёзных, этот вопрос рассмотрен очень аккуратно.
Эта задача о вероятности нарисовать остроугольный треугольник была опубликована Люисом Кэррелом в 1985 году в книге "Задачи на подушке" (Pillow problems) а нашел я это упоминание в этой статье, дающий весьма глубокий ее разбор.
Моего пока нет. После Бартоша Милевского трудно понять, зачем писать что-то своë. Но кое-что появляется, применительно к моноидальным категориям: к арифметике, изоморфизмам групп. Может быт, доведу до цельного материала.
Вы знаете, для облегчения статьи я выкинул рассуждения на эту тему. Но, как вижу, напрасно. Спасибо за повод поговорить об этом!
Действительно, глядя на треугольную карту мы можем заметить, что площадь, которую занимают остроугольные треугольники втрое меньше что площади тупоугольных. Значит ли это, что выбирая наугад треугольники из общего множества треугольников, мы будем втрое чаще встречать треугольники, имеющие тупой угол? В каком‑то смысле, да, но не более чем «в каком‑то смысле». Результат будет очень сильно зависеть от того, как именно мы выбираем треугольники. Если мы будем строить их, выбирая два угла (или разбрасывая случайным образом три точки на окружности), то тупоугольные треугольники, действительно, будут попадаться в три раза чаще. Если же мы станем строить три случайные отрезка из которых возможно собрать треугольник, то отношение изменится и тупоугольных будет уже почти в четыре раза больше. Впрочем, можно нарисовать три произвольные точки на плоскости, и тогда вероятность построить тупоугольный треугольник станет примерно равной 64%... или 82%, смотря как считать. Эта неразбериха говорит лишь о том, что вероятность построить тупо‑ или остроугольный треугольник условна и существенно зависит от метода построения. Одним из тех, кто занимался такими подсчётами был математик Чарльз Доджсон, более известный как Люис Кэролл.
Разумеется о мере говорить можно и нужно. Но эта тема, как болото, способна затянуть и увести. Конечно, в приведенной задаче все просто, но теория мер на редкость непростая штука, требующая большого опыта и аккуратности.
Очень легко заключить, как это прозвучало в комментариях, что тупоугольных треугольников должно быть втрое больше чем остроугольных. Очень легко начать сравнивать бесконечности, незаметно от меры скатываясь к канторовому пониманию мощности, и начать строить отображения, которые приводят к каким-то парадоксам. Наконец, нам привычно мыслить метриками, а не мерами, но даже при удачной метризации пространства, всплывают тонкости в виде не равных единице коэффициентов Ламе, и определителей матриц, описывающих преобразования координат. Это я уже, как вузовский препод, читавший геофизикам теорию поля и матфизику, понимаю, что тут ошибиться проще простого!
Вот я и решил ограничиться упоминанием подмножеств нулевой меры и сосредоточиться на размерности пространства.
(Только в этом комментарии я упомянул меру, метрику, размерность и мощность — разные понятия, в которых легко "утопить" и старшекурсника)
Именно эти — нет, но есть очень близкая по смыслу теорема Вивиани, оперирующая высотами. Она тоже классно доказывается. Вот она-то работает и в тетраэдре и в симплексах более высоких размерностей.
Урезано, конечно, поскольку при взгляде на вторую страницу университетского учебника по алгебре или топологии у ребят возникают сомнения, а точно ли они хотят стать математиками. При этом молодость берет своë и они туда, всë равно, лезут. Очень хочется им помочь, но не спугнуть при этом.
Сам был таким, учась в физматшколе при НГУ. И когда нам на допзанятии через аксиоматику Пеано через семь лемм и через полтора часа доказали, что a+b=b+a, я пришëл одновременно в восторг и в ужас и в недоумение, но понял, что хочу уметь также.
Смысл таких длительных экскурсов вокруг как бы очевидных вещей: сделать их глубокими и позволить ребятам дать ваш ответ самостоятельно.
Надо сказать, что с параметризации треугольников я и начат настоящий урок, но само понятие "пространство треугольников" оказалось весьма интригующим и понеслось... Мне же интересным показалось показать, как можно исследовать нечто незримое, опираясь не только на интуицию, но и на математические принципы.
Наконец, не забывайте, что это не конспект урока, и не методическое пособие для педагогов, а материал скомпилированный под формат статьи, расширенный и дополненный. А основная тема статьи вовсе не ответ на вопрос, а знакомство с некоторыми базовыми понятиями математики: пространство, факторизация, эквивалентность, симметрия, мера. Отсюда и пальба из пушки по воробьям.
"Ещё раз" -- потому что эта классификация всем хорошо знакома, и на иллюстрации с подмножествами она приведена. Но вы правы в том, что если это вводное слово убрать, смысл не изменится.
Про степени свободы очень понятно физикам, инженерам, прикладникам. При исследовании сложных и неочевидных топологий, далëких от многообразий, эта интуиция не работает. Моей задачей в этой заметке было дать представление о том, как математики подходят к определению чего-то невидимого, находя постепенно связи с привычным физическим миром там, где это оправданно.
Странно, мне кажется, карта с легендой вполне справляется со свой ролью.
Про меру, как вероятность я добавил потому, что это точнее всего отражает ситуацию. Настоящую формальную меру (лебеговскую) вводить я не собирался, это сложно и не нужно. А нулевая, мера в прикладном, физическом смысле, чаще всего, встречается именно в образе вероятностей. При этом упомянуть автора строгой концепции вероятностной меры, лежащей в основе современной теории вероятностей, я считаю не лишним.
function area(pts)
(x0,y0) = pts[1]
res = 0
for i in 2:length(pts)-1
(x1,y1) = pts[i]
(x2,y2) = pts[i+1]
res += (x1-x0)*(y2-y0)-(y1-y0)*(x2-x0)
end
return res/2
end
Мой способ с ротором только звучит страшно, а по сути является разбиением на треугольники, и вычисляется не сложнее, чем любой из способов, приведённых в материале по вашей ссылке.
Для алгоритмического вычисления площади многоугольника, заданного списком координат вершин, мне кажется, лучше не гауссовыми числами воспользоваться, а векторным произведением, "пройдя" из одной вершины по всем прочим, и вычислив ротор единичного потока. При этом для n-угольника сложность O(n), тригонометрия не всплывает, а целочисленность координат особой роли не играет. Но я не могу сказать, что крепко подумал перед тем, как написать этот комментарий, возможно, есть идеи и получше.
Совершенно верно. Если не обезразмеривать задачу полностью, оставив в качестве параметра отношение
, то ордината седловой точки будет равна этому отношению. При смене знака, она пересечëт ось абсцисс.
Потому что 1) постановка задачи — это описание дискретной динамической системы и вопрос о еë аттракторах и притягивающем множестве, 2) к дискретным динамическим системам легко свести задачи на ориентированные графы (как это сделал автор статьи и многие другие) , 3) дискуссия о решении гипотезы быстро привела к дискуссии об условиях еë разрешимости.
Задача Коллатца сама по себе практического смысла не имеет, но еë ценность состоит в указании на то, что существующих инструментов для еë решения не хватает. Метод решения, если будет найден, даст новые инструменты для анализа динамических систем, теории графов и теории разрешимости. А эти области уже имеют массу практических применений.
Вы правы в том, что тригонометрия и свойства гармонических функций могут быть получены аналитически, как собственные решения уравнения Лапласа, или уравнения
Из него, в частности, выводится и тригонометрическая единица. Геометрическое представление этих функций, действительно, приводит к евклидовой метрике и эквивалентно выполнению теоремы Пифагора.
Однако геометрия и еë построения имеют самостоятельную ценность, давая связь между пространством и его симметриями (инвариантами). Евклидова метрика примечательна тем, что инвариантна относительно изометрий, изоморфных базовым операциям над числами (комплексными) и линейным преобразованиям, потому она чрезвычайно практична, а геометрические построения настолько плодотворны. Для того, чтобы исследовать свойства неевклидовых геометрии и римановых пространств мы опираемся на этот изоморфизм.
Так что геометрические доказательства не ценнее алгебраических, но они прекрасно их дополняют, во многом оказываясь проще. В изоморфных структурах никто не "главный", но наличие разных подходов сильно расширяет наш инструментарий.
Нет, не имеет. Теорема синусов это тригонометрическая запись отношений сторон и высот, не более того. Другое дело, что в приведëнном доказательстве и она не нужна.
Всё верно. Топологией вещественной проективной плоскости
обладает много разных пространств:
упомянутая вами плоскость, дополненная идеальной линией;
пространство прямых, проходящих через одну точку;
сфера, факторизованная отношением эквивалентности антиподальных точек;
заклеенная лента Мёбиуса;
поверхность Боя и римская поверхность;
гемикубооктаэдр и полумногогранники;
пространство треугольников, факторизованное отношением подобия;
пространство однородных координат..
Топологически, бесконечная плоскость
гомеоморфна открытому диску конечного радиуса. Таким же образом можно от бесконечной "кружковской" проективной плоскости перейти к открытому диску с отождествлёнными точками, симметричными относительно его центра, а дальше строить гомеоморфизм, как показано на этих видео:
https://youtu.be/u0VkikpElMo
https://youtu.be/x2SZSfYYSc8
Мне самому очень нравится этот подход. В том простом аналитическом доказательстве, что я привёл, из пропорций сторон в подобных треугольников следует, что
, 
. Эта система уже позволяет получить решение в виде формальных рядов, а дальше, действительно, несложно получить "тригонометрическую единицу".
Вы совершенно правы. Именно это соображение и привело к мнению о невозможности число тригонометрических доказательства теоремы Пифагора. В работах Зимбы и Луизиа, несложных, но серьёзных, этот вопрос рассмотрен очень аккуратно.
Это верно! Доказательство изящным не назовёшь.
Эта задача о вероятности нарисовать остроугольный треугольник была опубликована Люисом Кэррелом в 1985 году в книге "Задачи на подушке" (Pillow problems) а нашел я это упоминание в этой статье, дающий весьма глубокий ее разбор.
Моего пока нет. После Бартоша Милевского трудно понять, зачем писать что-то своë. Но кое-что появляется, применительно к моноидальным категориям: к арифметике, изоморфизмам групп. Может быт, доведу до цельного материала.
Вы знаете, для облегчения статьи я выкинул рассуждения на эту тему. Но, как вижу, напрасно. Спасибо за повод поговорить об этом!
Действительно, глядя на треугольную карту мы можем заметить, что площадь, которую занимают остроугольные треугольники втрое меньше что площади тупоугольных. Значит ли это, что выбирая наугад треугольники из общего множества треугольников, мы будем втрое чаще встречать треугольники, имеющие тупой угол? В каком‑то смысле, да, но не более чем «в каком‑то смысле». Результат будет очень сильно зависеть от того, как именно мы выбираем треугольники. Если мы будем строить их, выбирая два угла (или разбрасывая случайным образом три точки на окружности), то тупоугольные треугольники, действительно, будут попадаться в три раза чаще. Если же мы станем строить три случайные отрезка из которых возможно собрать треугольник, то отношение изменится и тупоугольных будет уже почти в четыре раза больше. Впрочем, можно нарисовать три произвольные точки на плоскости, и тогда вероятность построить тупоугольный треугольник станет примерно равной 64%... или 82%, смотря как считать. Эта неразбериха говорит лишь о том, что вероятность построить тупо‑ или остроугольный треугольник условна и существенно зависит от метода построения. Одним из тех, кто занимался такими подсчётами был математик Чарльз Доджсон, более известный как Люис Кэролл.
О да! Тема мятой бумагу и преобразований оригами достойно отдельной статьи!
Разумеется о мере говорить можно и нужно. Но эта тема, как болото, способна затянуть и увести. Конечно, в приведенной задаче все просто, но теория мер на редкость непростая штука, требующая большого опыта и аккуратности.
Очень легко заключить, как это прозвучало в комментариях, что тупоугольных треугольников должно быть втрое больше чем остроугольных. Очень легко начать сравнивать бесконечности, незаметно от меры скатываясь к канторовому пониманию мощности, и начать строить отображения, которые приводят к каким-то парадоксам. Наконец, нам привычно мыслить метриками, а не мерами, но даже при удачной метризации пространства, всплывают тонкости в виде не равных единице коэффициентов Ламе, и определителей матриц, описывающих преобразования координат. Это я уже, как вузовский препод, читавший геофизикам теорию поля и матфизику, понимаю, что тут ошибиться проще простого!
Вот я и решил ограничиться упоминанием подмножеств нулевой меры и сосредоточиться на размерности пространства.
(Только в этом комментарии я упомянул меру, метрику, размерность и мощность — разные понятия, в которых легко "утопить" и старшекурсника)
Именно эти — нет, но есть очень близкая по смыслу теорема Вивиани, оперирующая высотами. Она тоже классно доказывается. Вот она-то работает и в тетраэдре и в симплексах более высоких размерностей.
Урезано, конечно, поскольку при взгляде на вторую страницу университетского учебника по алгебре или топологии у ребят возникают сомнения, а точно ли они хотят стать математиками. При этом молодость берет своë и они туда, всë равно, лезут. Очень хочется им помочь, но не спугнуть при этом.
Сам был таким, учась в физматшколе при НГУ. И когда нам на допзанятии через аксиоматику Пеано через семь лемм и через полтора часа доказали, что a+b=b+a, я пришëл одновременно в восторг и в ужас и в недоумение, но понял, что хочу уметь также.
Стал физиком ?
Конечно же вы правы! Но.. а поговорить?
Смысл таких длительных экскурсов вокруг как бы очевидных вещей: сделать их глубокими и позволить ребятам дать ваш ответ самостоятельно.
Надо сказать, что с параметризации треугольников я и начат настоящий урок, но само понятие "пространство треугольников" оказалось весьма интригующим и понеслось... Мне же интересным показалось показать, как можно исследовать нечто незримое, опираясь не только на интуицию, но и на математические принципы.
Наконец, не забывайте, что это не конспект урока, и не методическое пособие для педагогов, а материал скомпилированный под формат статьи, расширенный и дополненный. А основная тема статьи вовсе не ответ на вопрос, а знакомство с некоторыми базовыми понятиями математики: пространство, факторизация, эквивалентность, симметрия, мера. Отсюда и пальба из пушки по воробьям.
Благодарю за внимательное прочтение!
"Ещё раз" -- потому что эта классификация всем хорошо знакома, и на иллюстрации с подмножествами она приведена. Но вы правы в том, что если это вводное слово убрать, смысл не изменится.
Про степени свободы очень понятно физикам, инженерам, прикладникам. При исследовании сложных и неочевидных топологий, далëких от многообразий, эта интуиция не работает. Моей задачей в этой заметке было дать представление о том, как математики подходят к определению чего-то невидимого, находя постепенно связи с привычным физическим миром там, где это оправданно.
Странно, мне кажется, карта с легендой вполне справляется со свой ролью.
Про меру, как вероятность я добавил потому, что это точнее всего отражает ситуацию. Настоящую формальную меру (лебеговскую) вводить я не собирался, это сложно и не нужно. А нулевая, мера в прикладном, физическом смысле, чаще всего, встречается именно в образе вероятностей. При этом упомянуть автора строгой концепции вероятностной меры, лежащей в основе современной теории вероятностей, я считаю не лишним.
Мой способ с ротором только звучит страшно, а по сути является разбиением на треугольники, и вычисляется не сложнее, чем любой из способов, приведённых в материале по вашей ссылке.
Для алгоритмического вычисления площади многоугольника, заданного списком координат вершин, мне кажется, лучше не гауссовыми числами воспользоваться, а векторным произведением, "пройдя" из одной вершины по всем прочим, и вычислив ротор единичного потока. При этом для n-угольника сложность O(n), тригонометрия не всплывает, а целочисленность координат особой роли не играет. Но я не могу сказать, что крепко подумал перед тем, как написать этот комментарий, возможно, есть идеи и получше.