Дробь с предпериодом 0.aa(bbb) выражается как (aa(10^n-1)+bbb)/10^p(10^n-1), где p - длина предперода, а n - длина периода.
Если все 10 как-то в знаменателе сократить, то останется X/(10^n-1) - а это переодическая дробь 0.(X).
Так что, если знаменатель не делится на 10, то предпериода быть не может. А если делится, то предпериод точно есть. Речь о неприводимых дробях, конечно.
Так что, важно дополнить статью что все это работает только если Q % base != 0.
Вопрос, а обязательно ли всегда период будет начинаться с первой цифры? Может быть и пред-период, как, например, 7/30=0.2(3). В этом случае уравнение 10^n/q=A+1/q уже не работает. Тут, правда, числитель не 1. Верно ли, что именно 1 в числителе гарантирует отсутстивие пред-периода?
Так-то период можно искать и по-другому. Начинаем мы с дроби P/Q. P < Q. Первая цифра после запятой это целая часть 10P/Q. Оставшаяся дробная часть будет (10P%Q)/Q. Т.е. мы начинаем с какого-то числителя, и постоянно умножаем его на 10 и берем остаток по модулю Q. Период начнется как только мы повторим какой-то остаток. В примере выше, последовательность остатоков будет: 7, 10, 10, 10, ...
Дейстивительно ли 1 всегда вернется сам в себя? Или тут дело в том, что знаменатель делится на 10? Верно ли что все дроби с пред-периодом обязательно содержат основание системы счисления в знаменателе?
Если вы знаете, что делители отличаются на 2 (из условия теоремы), то вам надо решить тривиальное квадратное уравнение n=p(p+2). отсюда p=sqrt(n+1)-1, q=sqrt(n+1)+1.
Чего их искать?
Инвалюции и идемпотенты - это все выводится алгебраически не выходя за рамки 7-ого класса средней школы. По-моему уже там деление с остатком и квадратные уравнения знают, если я ничего не путаю.
Так формулы ниже получаются короче. Можно не брать и подставлять n=p(p+2). В конце придем к тому же результату. Это алгебраическое тождество, от переобозначения переменных оно не меняется.
Справа число, делящееся на простое p, значит одна из скобок делится на p. Делящихся на p чисел у нас всего два: p, 2p. 3p брать нельзя, потому что это соответствует тривиальной инволюции -1 % n. И у нас 2 варианта, какое из двух чисел делится. Вторая скобка должна делиться на 3.
В итоге кандидаты : x= p+1, 2p+1, p-1, 2p-1
Оставшиеся скобки там: p+2, 2p+2, p-2, 2p-2 соответственно. Какие из этих чисел делится на 3? Если p дает остаток 1 по модулю 3, то это p+2 и 2p-2, т.е. ответ x=p+1, 2p-1. Если p = 2 (mod 3), то ответ x=2p+1, p-1.
проверяем. p=5: x=11, 4. 121 % 15 = 1, 16%15 = 1.
p=7: x= 8, 13. 64%7=1, 169%7 = 1.
Вот эти формулы выше можно записать в виде 2p+(-1)^(p%3), p-(-1)^(p%3).
Вот вам инволюции для этого частного случая. Без рисования таблиц и медитации над цветами. И это недостойно называться теоремой.
Для идемпотент аналогично, только надо решить уравнение x^2=x+k*3p.
Для случая чисел близнецов точно так же, только вместо тройки будет p+2.
Кстати, вы тут с помощью этой теоремы в итоге научились раскладывать на множители N=Z^2-1. Это уже умеют делать ученики 7-ого класса школы.
Остальные теореммы такие же.
Вся ваша "модель" - лишь игрушка для людей с визуальным восприятием, далеких от математики. Если вы способны в простейшие алгебраические преобразования, то вы вместо нее можете записать несколько тождеств. Но это, конечно, не так круто, как "Модель", это не раздуешь в собственном восприятии.
Покажем, что в этих крайних случаях задача факторизации большого числа (ЗФБЧ) решается, не прибегая к переборным алгоритмам, простыми средствами
Тривиальное бессмысленное утверждение. Вы свои "теоремы" хоть раз бы записали в математической нотации, вам бы сразу стало яснее, какие глупости вы пишите.
В частности, вот это вот утверждение выше записывается:
Пусть n=3p, где p - простое число, тогда делители n известны - это {3, n}. Пусть n = p(p+2), где p, p+2 - простые, тогда делители n известны - это {p, p+2}.
Круто! Из этого статья в журнале "вестник какого-то там университета" получится, да. А вот статью на хабре с таким заслуженно забросают минусами. Тут народ действительно читает, что вы пишите.
имеют дело с натуральными (N), целыми (Z), рациональными (Q), вещественными (R) и комплексными (С) числами. Приведенные термины по существу называют модели чисел
Нет. То, что вы перечислили - это множества чисел. Не модели, а множества. С определенными на них арифметическими операциями они становятся кольцами, полями или полукольцами. Почитайте учебники по алгебре и не выдумывайте бессмысленные термины.
Люди, зарабатывающие восьмизначние суммы рублей в год, могут себе позволить купить жилье поближе. А в долине квартиры подороже будут (при чем там еще в основном дома, которые еще дороже).
Конечно результат интересный, но сильно преувеличен. Они нашли алгоритм работающий за O(E log^(2/3) V), что быстрее дейкстрового O(E + V log V) только для разряженных графов. Так-то есть уже другие алгоритмы, которые быстрее дейкстры для определенного класса графов. Например, тот же форд-беллман быстрее, если граф сильно связен и все кратчайшие пути в нем состоят из маленького количества ребер.
С теоретической точки зрения это интересно и дает повод надеятся, что есть алгоритмы лучше Дейкстры в общем случае, но пока даже не близко это.
Плюс там дикие цены на жилье в тех местах, где такие зарплаты платят. И многие, получающие эти пятизначные суммы, вынуждены несколько дней в неделю тратить час-полтора на дорогу в каждую сторону, потому что ближе к офису жилье они себе позволить не могут. А удаленку конторы прикрутили в массе своей.
Так что остается свободных денег не то, чтобы в несколько раз больше, чем у европейцев.
Да вряд ли тут хитрые планы. Просто деньги сжигаються невероятными тоннами и этап демпинга для захвата рынка и гонки за сильным ИИ по-тихоньку заканчивается. Ведь невероятные деньги тратятся на обучение, да и сама работа нейросеток тоже не дешевое удовольствие. Реальная цена, я полагаю - тысячи долларов в месяц за безлимитную работу, и то при массовом использовании, чтобы размазать цену обучения по всей толпе. Но такие деньги за все еще довольно часто галлюционирующего помошника никто платить не собирается. Вот и остается не повышать цену подписки, а снижать нагрузку жесткими лимитами.
Возможно, инвесторы за 2 года уже устали от обещаний "сильный ИИ вот-вот" и краник инвестиций перекрывается.
Хорошая статья. В отличии от многих статей про алгоритмы на хабре тут действитеньно объясняется "как" и "почему" а не "что", и статья не является лишь текстовой копией кода в стиле:
// Если значение отрицательное
if (x < 0) {
y = 0; // Присваеваем 0
}
Единественное замечаение: стоило бы заострить внимание, почему в последней версии сравниваются second_array[k] и first_array[i], ведь до этого сравнивались 2 значения в second_array.
На фотографии неясно физическое устройство колец и веревок. Почему:
Последнее (крайнее правое) кольцо можно всегда снять или надеть на вилку. Любое другое кольцо можно снять или надеть только тогда, когда кольцо непосредственно справа от него надето, а все остальные справа — сняты.
Да, действительно, не заметил это сразу.
Сам спросил, сам отвечу.
Дробь с предпериодом 0.aa(bbb) выражается как (aa(10^n-1)+bbb)/10^p(10^n-1), где p - длина предперода, а n - длина периода.
Если все 10 как-то в знаменателе сократить, то останется X/(10^n-1) - а это переодическая дробь 0.(X).
Так что, если знаменатель не делится на 10, то предпериода быть не может. А если делится, то предпериод точно есть. Речь о неприводимых дробях, конечно.
Так что, важно дополнить статью что все это работает только если Q % base != 0.
Вопрос, а обязательно ли всегда период будет начинаться с первой цифры? Может быть и пред-период, как, например, 7/30=0.2(3). В этом случае уравнение 10^n/q=A+1/q уже не работает. Тут, правда, числитель не 1. Верно ли, что именно 1 в числителе гарантирует отсутстивие пред-периода?
Так-то период можно искать и по-другому. Начинаем мы с дроби P/Q. P < Q. Первая цифра после запятой это целая часть 10P/Q. Оставшаяся дробная часть будет (10P%Q)/Q. Т.е. мы начинаем с какого-то числителя, и постоянно умножаем его на 10 и берем остаток по модулю Q. Период начнется как только мы повторим какой-то остаток. В примере выше, последовательность остатоков будет: 7, 10, 10, 10, ...
Дейстивительно ли 1 всегда вернется сам в себя? Или тут дело в том, что знаменатель делится на 10? Верно ли что все дроби с пред-периодом обязательно содержат основание системы счисления в знаменателе?
Если вы знаете, что делители отличаются на 2 (из условия теоремы), то вам надо решить тривиальное квадратное уравнение n=p(p+2). отсюда p=sqrt(n+1)-1, q=sqrt(n+1)+1.
Чего их искать?
Инвалюции и идемпотенты - это все выводится алгебраически не выходя за рамки 7-ого класса средней школы. По-моему уже там деление с остатком и квадратные уравнения знают, если я ничего не путаю.
Так формулы ниже получаются короче. Можно не брать и подставлять n=p(p+2). В конце придем к тому же результату. Это алгебраическое тождество, от переобозначения переменных оно не меняется.
Для n=3p инволюции находятся элементарно:
x^2=1+k*3p, надо найти x такое, что 1<k<3p.
(x+1)(x-1) = k*3p
Справа число, делящееся на простое p, значит одна из скобок делится на p. Делящихся на p чисел у нас всего два: p, 2p. 3p брать нельзя, потому что это соответствует тривиальной инволюции -1 % n. И у нас 2 варианта, какое из двух чисел делится. Вторая скобка должна делиться на 3.
В итоге кандидаты : x= p+1, 2p+1, p-1, 2p-1
Оставшиеся скобки там: p+2, 2p+2, p-2, 2p-2 соответственно. Какие из этих чисел делится на 3? Если p дает остаток 1 по модулю 3, то это p+2 и 2p-2, т.е. ответ x=p+1, 2p-1. Если p = 2 (mod 3), то ответ x=2p+1, p-1.
проверяем. p=5: x=11, 4. 121 % 15 = 1, 16%15 = 1.
p=7: x= 8, 13. 64%7=1, 169%7 = 1.
Вот эти формулы выше можно записать в виде 2p+(-1)^(p%3), p-(-1)^(p%3).
Вот вам инволюции для этого частного случая. Без рисования таблиц и медитации над цветами. И это недостойно называться теоремой.
Для идемпотент аналогично, только надо решить уравнение x^2=x+k*3p.
Для случая чисел близнецов точно так же, только вместо тройки будет p+2.
Теорема: Если число N равно произведению простых-близнецов, то rл левый квадратичный вычет (КВВ) последней строки СММ – полный квадрат.
Опять же, ну формализуйте вы уже вашу "модель" наконец-то. Все ваши удивителные теоремы станут тривиальными алгебраическими тождествами.
Строка i содержит числа {rл=i^2%n, x1=n-i, x0=i, t=n-2i}.
Вы берете i = (n-1)/2 - последнюю строку. У вас тут случай, что q=p+2, легче взять z=p+1 и тогда N=(z-1)(z+1)=z^2-1. Запоминаем, что z - четное.
i = (n-1)/2=(z^2-1-1)/2 = z^2/2 - 1
rл - это первый столбец, т.е.i^2%n. Считаем:
i^2%n = (z^2/2-1)^2=z^4/4-z^2+1 % n = z^4/4-z^2+1 +n % n = z^4/4-z^2+1 +z^2-1 % n =
= z^4 / 4 % n = z^4 / 4 - z^2/4 n% n = z^4/4 - z^4/4+z^2/4 % n= z^2/4 %n = z^2/4 = (z/2)^2
Тривиальное алгебраическое тождество.
Кстати, вы тут с помощью этой теоремы в итоге научились раскладывать на множители N=Z^2-1. Это уже умеют делать ученики 7-ого класса школы.
Остальные теореммы такие же.
Вся ваша "модель" - лишь игрушка для людей с визуальным восприятием, далеких от математики. Если вы способны в простейшие алгебраические преобразования, то вы вместо нее можете записать несколько тождеств. Но это, конечно, не так круто, как "Модель", это не раздуешь в собственном восприятии.
Тривиальное бессмысленное утверждение. Вы свои "теоремы" хоть раз бы записали в математической нотации, вам бы сразу стало яснее, какие глупости вы пишите.
В частности, вот это вот утверждение выше записывается:
Пусть n=3p, где p - простое число, тогда делители n известны - это {3, n}. Пусть n = p(p+2), где p, p+2 - простые, тогда делители n известны - это {p, p+2}.
Круто! Из этого статья в журнале "вестник какого-то там университета" получится, да. А вот статью на хабре с таким заслуженно забросают минусами. Тут народ действительно читает, что вы пишите.
Нет. То, что вы перечислили - это множества чисел. Не модели, а множества. С определенными на них арифметическими операциями они становятся кольцами, полями или полукольцами. Почитайте учебники по алгебре и не выдумывайте бессмысленные термины.
Люди, зарабатывающие восьмизначние суммы рублей в год, могут себе позволить купить жилье поближе. А в долине квартиры подороже будут (при чем там еще в основном дома, которые еще дороже).
Конечно результат интересный, но сильно преувеличен. Они нашли алгоритм работающий за O(E log^(2/3) V), что быстрее дейкстрового O(E + V log V) только для разряженных графов. Так-то есть уже другие алгоритмы, которые быстрее дейкстры для определенного класса графов. Например, тот же форд-беллман быстрее, если граф сильно связен и все кратчайшие пути в нем состоят из маленького количества ребер.
С теоретической точки зрения это интересно и дает повод надеятся, что есть алгоритмы лучше Дейкстры в общем случае, но пока даже не близко это.
Похоже на то.
Код картинками? Серьезно?
Код использования структуры без самой структуры абсолютно бесполезен.
11 в конструкторе не несет никакого смысла в статье и только мешает.
Картинки в статье хорошие, но по ним одним особо структуру не поймешь.
Зачем и как она применяется статья не объясняет.
В общем, статья несет мало пользы.
Плюс там дикие цены на жилье в тех местах, где такие зарплаты платят. И многие, получающие эти пятизначные суммы, вынуждены несколько дней в неделю тратить час-полтора на дорогу в каждую сторону, потому что ближе к офису жилье они себе позволить не могут. А удаленку конторы прикрутили в массе своей.
Так что остается свободных денег не то, чтобы в несколько раз больше, чем у европейцев.
Не исключены какие-то внезапные прорывы, но пока переживать поводов действительно нет.
Да вряд ли тут хитрые планы. Просто деньги сжигаються невероятными тоннами и этап демпинга для захвата рынка и гонки за сильным ИИ по-тихоньку заканчивается. Ведь невероятные деньги тратятся на обучение, да и сама работа нейросеток тоже не дешевое удовольствие. Реальная цена, я полагаю - тысячи долларов в месяц за безлимитную работу, и то при массовом использовании, чтобы размазать цену обучения по всей толпе. Но такие деньги за все еще довольно часто галлюционирующего помошника никто платить не собирается. Вот и остается не повышать цену подписки, а снижать нагрузку жесткими лимитами.
Возможно, инвесторы за 2 года уже устали от обещаний "сильный ИИ вот-вот" и краник инвестиций перекрывается.
Хорошая статья. В отличии от многих статей про алгоритмы на хабре тут действитеньно объясняется "как" и "почему" а не "что", и статья не является лишь текстовой копией кода в стиле:
Единественное замечаение: стоило бы заострить внимание, почему в последней версии сравниваются second_array[k] и first_array[i], ведь до этого сравнивались 2 значения в second_array.
Я привел цитату оттуда. Как физическая головоломка работает-то?
На фотографии неясно физическое устройство колец и веревок. Почему:
Звучит как очень креативный способ развода.