Потому что человеческая нейронка очень медленно обучается и очень плохо копирует. Именно поэтому смотреть на чужие рисунки и потом рисовать самому - это вдохновление и обучение, а обрисовывать чужие рисунки - это плагиат. Вроде и там и там человек пытается скопировать чужую работу своими руками, но во втором случае за счет технических средств это копирование на порядки проще и точнее.
Прочитать чужую книгу и по ее мотивам написать что-то свое - можно, копипастить чужое произведение и через search-replace заменять там имена персонажей - нельзя. Даже если человек руками будет читать и потом по памяти каждое предложение печатать. Более того, если какой-то человек дождя по памяти перепечатает слегка измененную всю книгу, его засудят за плагиат.
ГПТ - это скорее второе, потому что копирование происходит более точно, массово и быстро.
Почему мы называем шкалу одномерной, хотя на ней куча независимых (базисных) точек-границ.
Вот независимость надо отдельно указать. Явного указания на это и не хватает в статье. Вот давайте к шкале времени вернемся. Ну логично же, что если a=1 час b=3 часа, то c=0.5a+0.5b=2 часа. Ведь оно же ровно по середине между ними на шкале. Это натуральная операция сложения точек веремени, дающая в результате точку же времени. Если вы используете как-то по другому определенную операцию сложения, надо это определение в статье и дать.
Общепринято, что три точки задают пространство плоскости
Только если эти точки линейно не зависимы. Вот возьмем 3 точки: a, b, и c = 0.5a+0.5b. Это же 3 точки. Не получается плоскость, как их не складывай. Т.е. все начинается от опрерации сложения. Его вам и нужно определить и объяснить явно.
Но ситуация меняется, если мы добавляем условие (требование) ориентации,
Вот в непрерывном случае это особенно хорошо видно. Ориентация идентична заданию одномерного пространства и все точки на шкале соответствуют k*e, где скаляр k определяет положение точки на шкале и задает порядок. Т.е. любое одномерное аффинное пространство уже ориентировано и ничего не меняется.
Резюмируем. Направленное одномерное аффинное пространство - это совокупность связанных ненаправленных пространств (интервалов, линий)
Вот тут вообще не понятно. Это в вашей голове наверно изящно и математически строго смотрится, но мне так не кажется.
Аффинное пространство - это множество точек и множество векторов с определенной на них операцией сложения, удовлетворяющей каким-то аксиомам (из которых выводятся барицентрические комбинации, например). Мерность определяется тем, какие точки можно представить в виде линейной комбинации других точек, т.е. исключительно операцией сложения. Есть там порядок или нет - не влияет на мерность.
Если у вас пространство одномерное, то все точки в пространстве можно получить линейной комбинацией двух базисных точек. Коэффициенты этих комбинаций можно использовать для определения порядка, например. Так что любое одномерное аффинное пространство уже фактически направленное.
Оно ни на что не распадается. Шкала, она же числовая прямая - одномерное и ориентированное аффинное пространство.
Мерность пространства - это не сколько точек в базисе, а сколько нужно точек, чтобы задать область(множество между границами).
Но вот опять вы вводите свои собственные определения, которые в математике никем кроме вас не используются, и обижаетесь, что вас не понимают. Нет. Мерность аффинного пространства - по определению - это мерность сопуствтующего векторного пространства, что есть максимальное количество линейно независимых векторов, или же размер базиса в векторном пространстве. Это на 1 меньше, чем максимально большое множество аффинно независимых точек, которое называют точечным базисом. Границы - это ваше изобретение в вашей теории - они в определении и свойствах аффинных пространств не фигурируют вообще.
Добавим еще для полноты, что направленное одномерное пространство может быть замкнутым
Это не аффинное пространство. Если оно одномерное, то любая точка там представима в виде x0+k*v0 (x0 - точка, v - базисный вектор, k - произвольный коэффциент). Если оно замкнутое, то есть какие-то 2 совпадающие точки из разных циклов. Допустим, эти точки имеют коэффициенты k1 != k2, тогда x0+k1*v0=x0+k2*v0, т.е. (k1-k2)*v0 = 0 (нулевой вектор). Т.е. v0=0. Но базисный вектор v не может быть нулевым.
Я полагаю, вы тут в качестве пространства берете не шкалу времени как таковую, а некоторую абстрактную вещь, где точки - это множество всех барицентрических комбинаций 12 границ месяцев, т.е. эти 12 границ месяцев - это базисные точки в этом пространстве, а значит оно 11-мерное. И все точки оттуда, кроме 12 базисных не лежат на прямой времени.
И еще граф-дерево тоже внезапно оказывается одномерным
Верю. Это скорее одномерный объект, но это не аффинное пространство. Перечиатйте уже общепринятые определения, хоть свой perplexity.ai спросите. Аффинное пространство - это множество аффинных точек, векторное пространство, и опрерация их сложения. Что у вас в за множество точек, векторов и какова операция их сложения в графе-дереве? Думаю, можно построить некоторое соответствие чему-то из гарфа какому-то аффинному пространству. Но если вы тут опять возьмете в качестве базисных точек вершины графа, пространство будет не одномерным.
Вашу теорию можно помирить с общепринятыми определениями аффинных пространств, если вы скажете, что множество границ отрезков - это базисные точки некоторого аффинного пространства. Их аффинная сумма - какая-то точка, но она вообщем не лежит на шкале. Это какие-то абстрактные вещи, не участвующие в порядке.
Вообще, я все понял и все вопросы снимаются. Но вам стоит добавить в статью пару предложений с описанием аффинного пространтсва, в котором вы работаете. Потому что точки на шкале, которая уже есть одномерное аффинное пространство. И когда вы пишите, что вы точки на шкале вычиатете и получаете вектор - первая мысль, что это одномерный вектор в этом одномерном пространстве. И вот это не работает как раз по тем причинам, которые я тут уже несколько раз приводил. Хорошо бы акцентировать внимание на том, что у вас другое пространство, что там за базисы и какова его размерность.
И еще, термина "аффинный вектор" не существует. Есть просто "вектор", потому что в аффинных пространствах фигурируют самые обычные вектора из самых обычных векторных пространств.
Поэтому сложение (разность) букв тут будет сложением (разностью) интервалов, а не точек. То есть не является аффинным вектором.
Это ровно то что я вам уже несколько раз писал и переспрашивал, вы же каждый раз утверждали, что, нет, разность - это самые простые вектора, как может быть непонятно, а границы, которые вы в разностой записи вычиатете - точки аффинного пространства.
В алфавите - 33 буквы (и 34 границы-точки), то есть возможна точка, определенная как комбинация всех 34-х базисных точек.
Но вы раньше писали, что пространство одномерное.
А что тогда делать с непрерывной шкалой? Там точно такая же логика работает - замените абвгд на 12345. Там получается бесконечно мерное аффинное пространство, верно? Ну или хотябы оно имеет размерность равную количеству различных границ интервалов?
Вообще, я выше в комментарии как раз и предлагал, что все проблемы исчезают, если считать каждую границу отдельным базисом. Если вы именно это и имели ввиду с самого начала, могли бы и написать там.
Но при желании вы можете создать линейный алфавит, который будет задан всего двумя точками
Как раз так делать нельзя, ибо у вас будет одномерное линейное пространство. Соответственно, тут отрезки одинаковой длины будут давать одну и ту же разность.
Еще одно внутреннее противоречие вашей алгебры: пусть у нас есть точки а, б, в ... я, на которых мы строим интервалы. Это точки аффинного пространства, я же не путаю ничего? Вы ведь их разности берете и получаете вектор. Еще вы упоминали барицентрические комбинации точек. Вот что за точка 0.5а+0.5б?
Возьмем 3 точки a,b,c из аффинного пространства. Брем v = a-b. В терминологии автора - это аффинный вектор. Вектор можно отложить от точки. Отложим его от точки c: d=c+v=c+a-b. Это же барицентрическая комбинация, упомянутая автором. Она дает точку. Так что объект d - это такая же точка, как a,b и c.
Раз d и c - это точки, то можно взять их разность u=d-c. Это тоже вектор. Но вот какая штука, если d-c=u и c+v=d, то u=v. вот мы получили два совпадающих вектора на точках a,b и c,d. Т.е. два разных отрезка [a,b] и [c,d] в разностной записи совпадают.
В числах, если вы абстрактные рассуждения не воспринимаете: возьмем точки 2 и 1. Вычтем: 2-1 = (1). Вектор направленный вправо длины 1. Напоминаю, у нас тут одномерное пространство по словам автора. Отложим вектор (1) от точки 3. Получим точку 4. Итого, 4-3 = (1) и 2-1 = (1). Два разных отрезка представляются одним и тем же вектором (1).
Его граничное представление (вектор) - это разность элементов (точек) пространства
Признаю, я запутался. Похоже вы имеете под "аффинным вектором" что-то совсем другое, а не свободные вектора в аффинном пространстве. Или я плохо понимаю аффинные пространства.
Давайте v1=а-б и v2=г-д рассмотрим. В аффинном пространстве можно отложить любой вектор от любой точки (потому что согласно определению определена операция сложения точки и вектора, дающая точку). Давайте подумаем вместе, чему равно д+v1? Это какая-то точка, т.е. буква. Обозначим ее x. Согласно аксиоме 3 аффинного пространства между любыми двумя точками существует только один вектор равный их разности. А значит v1 = x-д. Т.е. отрезок [a-b] равен отрезку [x-д]. Я логично предполагаю, что x тут - это г. Но вообще вы можете задать вашу операцию сложения и не натуральным методом. В любом случае тут 2 равных вектора для 2 разных отрезков.
Вы так и не поняли разницу между интервалами и точками.
Нет, я ее даже указал. Интервал - это множество точек. Точка != множество, даже если множество из одного элемента. Их никак не спутать. {4} - это интервал от 4 до 4. 4 - это число 4.
А что насчет базисов вашего пространства? Вот вы уже много раз написали, что у вас отрезки-вектора - это разность точек. Ранее вы очень язвительно заявляли, что пространство одномерное, какое еще оно может быть. Но разность точек 4-3 и точек 2-1 - это один и тот же вектор длины 1 направленный вправо. Т.е. у вас двум разным орезкам ставится в соотвествие один и тот же вектор.
Если вы в ваш последний пример вместо a,b,c,d,e,f подставите конкретные точки 1,2,3,4,5,6 - как оно будет работать?
Я думаю, минусуют потому, что отсылать в старадающие галюцинациями чат боты - плохой тон. И, если вы используете какой-то термин, то вы должны по запросу хотя бы ссылку-то на него дать.
Потом, вы используете не общепринятый термин. Даже этот ваш perplexity.ai скажет, если вы его спросите, используется ли вот этот термин:
Термин "аффинный вектор" не является стандартным общеупотребительным термином в классической геометрии или линейной алгебре.
В классических источниках по аффинной геометрии и аналитической геометрии обычно говорят об аффинных пространствах, аффинных преобразованиях, аффинных точках и векторах, связанных с этими пространствами
Но я особенно привязался к этому термину, потому что была надежда, что это какие-то особые вектора, потому что использовать обычные свободные вектора в этом конексте на мой взгляд не правильно.
Пока не очень понятно, о чем речь, но вообще данное определение вполне себе удачно.
Определение есть на википедии (правда, строгий термин - промежуток)
Интервал - это множество точек числовой прямой, выпуклое (любая точка между двумя другими в этом множестве лежит в нем). Обобщение на любые шкалы элементарно: это множество элементов из упорядоченного множества (шкала), т.ч. если a,b принадлежат интервалу, то ему принадлежат все x: a <= x <= b.
Интервалы и границы - не одно и то же!
Интервалы могут быть замкнутыми или открытыми. Если вспомнить об этом, то никаких проблем с границами не будет. Открытые не содержат свои границы, замкнутые - содержат.
А дальше, интервалы и границы никак не спутать. Первое - это (под)множество элементов шкалы, а второе - один конкретный элемент. x и {x} - разные категории объектов. Однако, интервалы длины 0 из одного объекта вполне могут быть, правда, только закрытые.
Граничное представление
Это работает как чисто формальная запись, где на смом деле нет никакой бинарной операции суммирования точек. Да, это легче записать, чем рисовать шкалу с отрезками на бумаге. Практического применения этой форме, кроме иллюстраций и механистического объединения касающихся интервалов я не вижу.
Главная проблема, на мой взгляд, что вы везде называете разность аффинным вектором (имея ввиду свободный вектор), но тогда [a - (a+1)] и [b - (b+1)] у вас получатся одним и тем же вектором одной и той же длины 1 и направленым вправо. Потому что свободные вектора же не имеют конкретного начала, только направление и длину.
Соотвественно, если вы начнете работать не с формальными обозначениями, а начнете какие-нибудь числа подаставлять, то у вас в итоге получится просто вектор длины.
Для границформа отрезка будет такой:
Опять же, вот есть у вас отрезок [1,2] и его форма (2-1)*(2-1). Я помню, что это не арифметические операции, а векторные. Но вот проблема выше осталась, для отрезка [3,4] 4-3 будет точно тем же аффинным вектором. Поэтому его биллинейная форма (4-3)*(4-3) будет точно тем же элементом из множества бивекторов.
В программном коде линейная комбинация интервалов-отрезков реализуется как таблица с двумя ключевыми колонками, в которых указаны границы интервала.
Это логично, но это же не исходит из вашей алгебры?
А дальше я заметил, что вы работаете с границами, как будто они все являются независимыми базисами в вашем векторном пространстве. Вот у вас даже в примере вектора имеют по 6 координат. Действительно, если 1,2,3 - базисные вектора, то [2-1] и [3-2] - это разные вещи, и проблема о которой я выше говорил решена. И ваши линейные комбинации тоже обретают смысл. Это просто коэффициенты в базисном разложении какого-то вектора.
Но по ходу статьи это вообще непонятно. И из ваших комментариев раньше это тоже было непонятно.
И тогда у вас потенциально бесконечно мерное линейное пространство, хотя можно расмотреть подспространство образованное только границами которые у вас есть в задаче. И фактически ваши представления эквивалентны индикаторной функции. Вот ваши амплитуды - это и есть индикаторная функция - 1 стоит там, где элемент принадлежит интервалу, 0 иначе. g - это результат разностного оператора от h. Ваша формула в статье очень интересна и позволяет подсчитать g для произведения двух h без вычисления собственно произведения и выполнения разностного оператора. Хотя в програмном коде легче будет подсчитать h = h(a)*h(b), а в качестве g взять разность текущего значения и предыдущего в каждом элементе. Тут только одно умножение и одно вычитание. Но тут будет зависимость от предыдущего значения, так что ваш вариант может быть быстрее на практике.
Возвращаясь к вашему язвительному комментарию из прошлой статьи:
Если a и b - это точки, то как их разность может быть числом? Это просто разность элементов - аффинный вектор
Вот если бы вы сразу сказли, что a и b - это никакие не точки, а базисные вектора, все было бы понятно сразу же.
мой тейк матрица афинная, преобразования определены, значит вектор просто участник афинных преобразований
Аффинные преобразования (то, что вы воспринимаете как матрицы) и аффинные пространства (то, откуда берутся вектора) - это не связанные вещи. Как комплексные числа и комплексные обеды. Некоторые слова совпадают, но суть вообще не близкая.
вообще без базового понимания 3д
3д тут вообще ни при чем, это вы его сюда притащили. Напоминаю, разговор об алгебре отрезков, это какая-то математика. Это как в обсуждении числа пи вываливать характеристики каких-то дивгателей внутреннего сгорания, потому что они в машинах, а у них колеса - круглые.
Повторюсь: словосочетание "аффинный вектор" нигде кроме как в комментариях и статьи этого автора в интернете практически не встречаются. Единственное другое вхождение - это какой-то математический форум, где кто-то спрашивает, а что это вообще такое. Если бы это была очевидная вещь, то где-нибудь определение-то было бы написано.
Далее, матрица - не физический объект, так что вектор ей физически принадлежать не может.
тогда про контекст афинного пространства и (афинных преобразований - это я добавил) вы ошиблись, и ваш вопрос звучит что такое вектор
Нет, мой вопрос - что такое "аффинный вектор". Этот термин использован в статье, вот я и спросил про его определение. Я там в даже цитату из статьи вставил. Это не мои слова, а автора.
хорошо тогда ...
Не надо мне, пожалуйста, больше писать ваше понимание математических терминов, которых вы нахватались с очередного своего увлечения галопом по верхам. Я уже понял, что у вас формального математического образования нет. Что такое вектор я и без вас знаю.
Не было никаких аффинных пространств и преобразований. В статье есть отрезки и упоминается некоторый термин. Я спросил, что за термин. То, что тут преобразования додумали вы.
если бы вы спросили у ИИ то былоб очевиднее что это именно и есть в контексте афинных преобразований эти вектора - компоненты матрицы,
Я спросил у ИИ, и он ничего про аффинные преобразования (и матрицы) не сказал. Сказал про аффинное пространство, да.
вы хотите увидеть чтобы в разделе афинного пространства были определения что вектор
Нет. Я жду что хоть в одной книжке или на хоть одном сайте будет определение вида "аффинный вектор - это ...". Но этого нигде нет. В математике любят определения и любое словосочетание именно так и задается. Потому что иначе математику не сваришь. Когда один автор под аффинным вектором понимает абстрактное понятие свободного вектора, а другой - набор чисел в матрице с определенными свойствами, начинаются проблемы.
Я почти на 100% уверен, что автор тут просто неформально называет свободные вектора аффинными, но все-равно хотел уточнить.
я вам показал подводящие темы(прям конкретно) и
Нет, вы привязались к неправильно использованному слову "аффинный" и выдали что-то, что вы с этим словом знаете, не разбираясь. Давайте дождемся автора, все-таки, и узнаем, что он имел ввиду.
Потому что человеческая нейронка очень медленно обучается и очень плохо копирует. Именно поэтому смотреть на чужие рисунки и потом рисовать самому - это вдохновление и обучение, а обрисовывать чужие рисунки - это плагиат. Вроде и там и там человек пытается скопировать чужую работу своими руками, но во втором случае за счет технических средств это копирование на порядки проще и точнее.
Прочитать чужую книгу и по ее мотивам написать что-то свое - можно, копипастить чужое произведение и через search-replace заменять там имена персонажей - нельзя. Даже если человек руками будет читать и потом по памяти каждое предложение печатать. Более того, если какой-то человек дождя по памяти перепечатает слегка измененную всю книгу, его засудят за плагиат.
ГПТ - это скорее второе, потому что копирование происходит более точно, массово и быстро.
Это очень глубокий филосовский вопрос.
Повторю другого оратора. Хватит вставлять свои неуместные 5 копеек.
Вот независимость надо отдельно указать. Явного указания на это и не хватает в статье. Вот давайте к шкале времени вернемся. Ну логично же, что если a=1 час b=3 часа, то c=0.5a+0.5b=2 часа. Ведь оно же ровно по середине между ними на шкале. Это натуральная операция сложения точек веремени, дающая в результате точку же времени. Если вы используете как-то по другому определенную операцию сложения, надо это определение в статье и дать.
Только если эти точки линейно не зависимы.
Вот возьмем 3 точки: a, b, и c = 0.5a+0.5b. Это же 3 точки. Не получается плоскость, как их не складывай. Т.е. все начинается от опрерации сложения. Его вам и нужно определить и объяснить явно.
Вот в непрерывном случае это особенно хорошо видно. Ориентация идентична заданию одномерного пространства и все точки на шкале соответствуют k*e, где скаляр k определяет положение точки на шкале и задает порядок. Т.е. любое одномерное аффинное пространство уже ориентировано и ничего не меняется.
Вот тут вообще не понятно. Это в вашей голове наверно изящно и математически строго смотрится, но мне так не кажется.
Аффинное пространство - это множество точек и множество векторов с определенной на них операцией сложения, удовлетворяющей каким-то аксиомам (из которых выводятся барицентрические комбинации, например). Мерность определяется тем, какие точки можно представить в виде линейной комбинации других точек, т.е. исключительно операцией сложения. Есть там порядок или нет - не влияет на мерность.
Если у вас пространство одномерное, то все точки в пространстве можно получить линейной комбинацией двух базисных точек. Коэффициенты этих комбинаций можно использовать для определения порядка, например. Так что любое одномерное аффинное пространство уже фактически направленное.
Оно ни на что не распадается. Шкала, она же числовая прямая - одномерное и ориентированное аффинное пространство.
Но вот опять вы вводите свои собственные определения, которые в математике никем кроме вас не используются, и обижаетесь, что вас не понимают. Нет. Мерность аффинного пространства - по определению - это мерность сопуствтующего векторного пространства, что есть максимальное количество линейно независимых векторов, или же размер базиса в векторном пространстве. Это на 1 меньше, чем максимально большое множество аффинно независимых точек, которое называют точечным базисом. Границы - это ваше изобретение в вашей теории - они в определении и свойствах аффинных пространств не фигурируют вообще.
Это не аффинное пространство. Если оно одномерное, то любая точка там представима в виде x0+k*v0 (x0 - точка, v - базисный вектор, k - произвольный коэффциент). Если оно замкнутое, то есть какие-то 2 совпадающие точки из разных циклов. Допустим, эти точки имеют коэффициенты k1 != k2, тогда x0+k1*v0=x0+k2*v0, т.е. (k1-k2)*v0 = 0 (нулевой вектор). Т.е. v0=0. Но базисный вектор v не может быть нулевым.
Я полагаю, вы тут в качестве пространства берете не шкалу времени как таковую, а некоторую абстрактную вещь, где точки - это множество всех барицентрических комбинаций 12 границ месяцев, т.е. эти 12 границ месяцев - это базисные точки в этом пространстве, а значит оно 11-мерное. И все точки оттуда, кроме 12 базисных не лежат на прямой времени.
Верю. Это скорее одномерный объект, но это не аффинное пространство. Перечиатйте уже общепринятые определения, хоть свой perplexity.ai спросите. Аффинное пространство - это множество аффинных точек, векторное пространство, и опрерация их сложения. Что у вас в за множество точек, векторов и какова операция их сложения в графе-дереве? Думаю, можно построить некоторое соответствие чему-то из гарфа какому-то аффинному пространству. Но если вы тут опять возьмете в качестве базисных точек вершины графа, пространство будет не одномерным.
Вашу теорию можно помирить с общепринятыми определениями аффинных пространств, если вы скажете, что множество границ отрезков - это базисные точки некоторого аффинного пространства. Их аффинная сумма - какая-то точка, но она вообщем не лежит на шкале. Это какие-то абстрактные вещи, не участвующие в порядке.
Вообще, я все понял и все вопросы снимаются. Но вам стоит добавить в статью пару предложений с описанием аффинного пространтсва, в котором вы работаете. Потому что точки на шкале, которая уже есть одномерное аффинное пространство. И когда вы пишите, что вы точки на шкале вычиатете и получаете вектор - первая мысль, что это одномерный вектор в этом одномерном пространстве. И вот это не работает как раз по тем причинам, которые я тут уже несколько раз приводил. Хорошо бы акцентировать внимание на том, что у вас другое пространство, что там за базисы и какова его размерность.
И еще, термина "аффинный вектор" не существует. Есть просто "вектор", потому что в аффинных пространствах фигурируют самые обычные вектора из самых обычных векторных пространств.
Это ровно то что я вам уже несколько раз писал и переспрашивал, вы же каждый раз утверждали, что, нет, разность - это самые простые вектора, как может быть непонятно, а границы, которые вы в разностой записи вычиатете - точки аффинного пространства.
Но вы раньше писали, что пространство одномерное.
А что тогда делать с непрерывной шкалой? Там точно такая же логика работает - замените абвгд на 12345. Там получается бесконечно мерное аффинное пространство, верно? Ну или хотябы оно имеет размерность равную количеству различных границ интервалов?
Вообще, я выше в комментарии как раз и предлагал, что все проблемы исчезают, если считать каждую границу отдельным базисом. Если вы именно это и имели ввиду с самого начала, могли бы и написать там.
Как раз так делать нельзя, ибо у вас будет одномерное линейное пространство. Соответственно, тут отрезки одинаковой длины будут давать одну и ту же разность.
Еще одно внутреннее противоречие вашей алгебры: пусть у нас есть точки а, б, в ... я, на которых мы строим интервалы. Это точки аффинного пространства, я же не путаю ничего? Вы ведь их разности берете и получаете вектор. Еще вы упоминали барицентрические комбинации точек. Вот что за точка 0.5а+0.5б?
Возьмем 3 точки a,b,c из аффинного пространства. Брем v = a-b. В терминологии автора - это аффинный вектор. Вектор можно отложить от точки. Отложим его от точки c: d=c+v=c+a-b. Это же барицентрическая комбинация, упомянутая автором. Она дает точку. Так что объект d - это такая же точка, как a,b и c.
Раз d и c - это точки, то можно взять их разность u=d-c. Это тоже вектор. Но вот какая штука, если d-c=u и c+v=d, то u=v. вот мы получили два совпадающих вектора на точках a,b и c,d. Т.е. два разных отрезка [a,b] и [c,d] в разностной записи совпадают.
В числах, если вы абстрактные рассуждения не воспринимаете: возьмем точки 2 и 1. Вычтем: 2-1 = (1). Вектор направленный вправо длины 1. Напоминаю, у нас тут одномерное пространство по словам автора. Отложим вектор (1) от точки 3. Получим точку 4. Итого, 4-3 = (1) и 2-1 = (1). Два разных отрезка представляются одним и тем же вектором (1).
Не мешайте нам, пожалуйста, обсуждать математику. Идите занимайтесь своей 3д графикой где-нибудь еще.
Признаю, я запутался. Похоже вы имеете под "аффинным вектором" что-то совсем другое, а не свободные вектора в аффинном пространстве. Или я плохо понимаю аффинные пространства.
Давайте v1=а-б и v2=г-д рассмотрим. В аффинном пространстве можно отложить любой вектор от любой точки (потому что согласно определению определена операция сложения точки и вектора, дающая точку). Давайте подумаем вместе, чему равно д+v1? Это какая-то точка, т.е. буква. Обозначим ее x. Согласно аксиоме 3 аффинного пространства между любыми двумя точками существует только один вектор равный их разности. А значит v1 = x-д. Т.е. отрезок [a-b] равен отрезку [x-д]. Я логично предполагаю, что x тут - это г. Но вообще вы можете задать вашу операцию сложения и не натуральным методом. В любом случае тут 2 равных вектора для 2 разных отрезков.
Нет, я ее даже указал. Интервал - это множество точек. Точка != множество, даже если множество из одного элемента. Их никак не спутать. {4} - это интервал от 4 до 4. 4 - это число 4.
А что насчет базисов вашего пространства? Вот вы уже много раз написали, что у вас отрезки-вектора - это разность точек. Ранее вы очень язвительно заявляли, что пространство одномерное, какое еще оно может быть. Но разность точек 4-3 и точек 2-1 - это один и тот же вектор длины 1 направленный вправо. Т.е. у вас двум разным орезкам ставится в соотвествие один и тот же вектор.
Если вы в ваш последний пример вместо a,b,c,d,e,f подставите конкретные точки 1,2,3,4,5,6 - как оно будет работать?
Я думаю, минусуют потому, что отсылать в старадающие галюцинациями чат боты - плохой тон. И, если вы используете какой-то термин, то вы должны по запросу хотя бы ссылку-то на него дать.
Потом, вы используете не общепринятый термин. Даже этот ваш perplexity.ai скажет, если вы его спросите, используется ли вот этот термин:
Но я особенно привязался к этому термину, потому что была надежда, что это какие-то особые вектора, потому что использовать обычные свободные вектора в этом конексте на мой взгляд не правильно.
Тут нет никакой перспективы. И это не те точки, с которыми вы работаете в 3d.
Определение есть на википедии (правда, строгий термин - промежуток)
Интервал - это множество точек числовой прямой, выпуклое (любая точка между двумя другими в этом множестве лежит в нем). Обобщение на любые шкалы элементарно: это множество элементов из упорядоченного множества (шкала), т.ч. если a,b принадлежат интервалу, то ему принадлежат все x: a <= x <= b.
Интервалы могут быть замкнутыми или открытыми. Если вспомнить об этом, то никаких проблем с границами не будет. Открытые не содержат свои границы, замкнутые - содержат.
А дальше, интервалы и границы никак не спутать. Первое - это (под)множество элементов шкалы, а второе - один конкретный элемент. x и {x} - разные категории объектов. Однако, интервалы длины 0 из одного объекта вполне могут быть, правда, только закрытые.
Это работает как чисто формальная запись, где на смом деле нет никакой бинарной операции суммирования точек. Да, это легче записать, чем рисовать шкалу с отрезками на бумаге. Практического применения этой форме, кроме иллюстраций и механистического объединения касающихся интервалов я не вижу.
Главная проблема, на мой взгляд, что вы везде называете разность аффинным вектором (имея ввиду свободный вектор), но тогда [a - (a+1)] и [b - (b+1)] у вас получатся одним и тем же вектором одной и той же длины 1 и направленым вправо. Потому что свободные вектора же не имеют конкретного начала, только направление и длину.
Соотвественно, если вы начнете работать не с формальными обозначениями, а начнете какие-нибудь числа подаставлять, то у вас в итоге получится просто вектор длины.
Опять же, вот есть у вас отрезок [1,2] и его форма (2-1)*(2-1). Я помню, что это не арифметические операции, а векторные. Но вот проблема выше осталась, для отрезка [3,4] 4-3 будет точно тем же аффинным вектором. Поэтому его биллинейная форма (4-3)*(4-3) будет точно тем же элементом из множества бивекторов.
Это логично, но это же не исходит из вашей алгебры?
А дальше я заметил, что вы работаете с границами, как будто они все являются независимыми базисами в вашем векторном пространстве. Вот у вас даже в примере вектора имеют по 6 координат. Действительно, если 1,2,3 - базисные вектора, то [2-1] и [3-2] - это разные вещи, и проблема о которой я выше говорил решена. И ваши линейные комбинации тоже обретают смысл. Это просто коэффициенты в базисном разложении какого-то вектора.
Но по ходу статьи это вообще непонятно. И из ваших комментариев раньше это тоже было непонятно.
И тогда у вас потенциально бесконечно мерное линейное пространство, хотя можно расмотреть подспространство образованное только границами которые у вас есть в задаче. И фактически ваши представления эквивалентны индикаторной функции. Вот ваши амплитуды - это и есть индикаторная функция - 1 стоит там, где элемент принадлежит интервалу, 0 иначе. g - это результат разностного оператора от h. Ваша формула в статье очень интересна и позволяет подсчитать g для произведения двух h без вычисления собственно произведения и выполнения разностного оператора. Хотя в програмном коде легче будет подсчитать h = h(a)*h(b), а в качестве g взять разность текущего значения и предыдущего в каждом элементе. Тут только одно умножение и одно вычитание. Но тут будет зависимость от предыдущего значения, так что ваш вариант может быть быстрее на практике.
Возвращаясь к вашему язвительному комментарию из прошлой статьи:
Вот если бы вы сразу сказли, что a и b - это никакие не точки, а базисные вектора, все было бы понятно сразу же.
Аффинные преобразования (то, что вы воспринимаете как матрицы) и аффинные пространства (то, откуда берутся вектора) - это не связанные вещи. Как комплексные числа и комплексные обеды. Некоторые слова совпадают, но суть вообще не близкая.
3д тут вообще ни при чем, это вы его сюда притащили. Напоминаю, разговор об алгебре отрезков, это какая-то математика. Это как в обсуждении числа пи вываливать характеристики каких-то дивгателей внутреннего сгорания, потому что они в машинах, а у них колеса - круглые.
Повторюсь: словосочетание "аффинный вектор" нигде кроме как в комментариях и статьи этого автора в интернете практически не встречаются. Единственное другое вхождение - это какой-то математический форум, где кто-то спрашивает, а что это вообще такое. Если бы это была очевидная вещь, то где-нибудь определение-то было бы написано.
Далее, матрица - не физический объект, так что вектор ей физически принадлежать не может.
Нет, мой вопрос - что такое "аффинный вектор". Этот термин использован в статье, вот я и спросил про его определение. Я там в даже цитату из статьи вставил. Это не мои слова, а автора.
Не надо мне, пожалуйста, больше писать ваше понимание математических терминов, которых вы нахватались с очередного своего увлечения галопом по верхам. Я уже понял, что у вас формального математического образования нет. Что такое вектор я и без вас знаю.
Не было никаких аффинных пространств и преобразований. В статье есть отрезки и упоминается некоторый термин. Я спросил, что за термин. То, что тут преобразования додумали вы.
Там нигде не дано определения аффинного вектора.
Я спросил у ИИ, и он ничего про аффинные преобразования (и матрицы) не сказал. Сказал про аффинное пространство, да.
Нет. Я жду что хоть в одной книжке или на хоть одном сайте будет определение вида "аффинный вектор - это ...". Но этого нигде нет. В математике любят определения и любое словосочетание именно так и задается. Потому что иначе математику не сваришь. Когда один автор под аффинным вектором понимает абстрактное понятие свободного вектора, а другой - набор чисел в матрице с определенными свойствами, начинаются проблемы.
Я почти на 100% уверен, что автор тут просто неформально называет свободные вектора аффинными, но все-равно хотел уточнить.
Нет, вы привязались к неправильно использованному слову "аффинный" и выдали что-то, что вы с этим словом знаете, не разбираясь. Давайте дождемся автора, все-таки, и узнаем, что он имел ввиду.