Comments 77
Если мы рассматриваем лишь конечное число шагов, то каждая частичная версия новой последовательности всё ещё совпадает с началом какой-то уже существующей. А переход к бесконечности — это не просто продолжение, это принципиально другой тип объекта, который в строгой математике не всегда допустим.
Вопрос непрерывности и вопрос счетности (т.е. сопоставления натуральному ряду) не тождественны. Отсутствие разрывов не делает автоматически континуум несчетным.
Автоматически не делает. Но по определению вещественных чисел, канторов процесс сходится к реальной конкретной точке. Для рациональных этот аргумент не работал бы, собственно у нас их счётное число и есть.
Иначе говоря, интуитивно:
3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415... Для вещественных есть конкретное π, к которому сходится этот ряд. Для рациональных, это просто ряд без предела.
Да, это и есть аргумент конструктивизма. У нас нет бесконечного количества чисел рядом с пи. Как бы мы могли и придумывали число рядом с пи, оно будет на не бесконечно малом расстоянии от него.
Ещё раз - по определению вещественных чисел, если рядом с чем-то есть бесконечно близкие точки, то "что-то" существует. Если нет - то аксиома полноты не соблюдается и это, например, рациональные.
Верно, но несчетность не является в данном случае аксиомой. И ее можно ввести как аксиому, что будет разумно. А вот как теорему ее пока доказать не удалось.
Нет такой аксиомы, это не континуум гипотеза. Если вы хотите новую теорию, вам нужно что-то отбросить из определения вещественных чисел:
Поле
Линейно упорядоченное
Аксиома непрерывности (или принцип Архимеда или другое эквивалентное).
Если эти три аксиомы выполняются, то наше поле континуум, а его "натуральные числа" (то есть сумма его единиц по умножению) счетны.
Если вы отбрасываете аксиому 3, то нужно объяснить что за структура вообще получается и единственна ли она.
Несчетность появляется из-за введения аксиомы полноты (или аксиомы непрерывности).
Натуральные дроби мы конечно можем диагонализировать, но то что корень из двойки к натуральной дроби не свести тривиально доказывется. А вот что это такое?
А как из полноты следует несчетность? Как гипотеза или как теорема с доказательством?
Как теорема. Прошу прощения, что мне лень писать все математические значки в комментариях на хабре, но я целом все довольно просто.
Берём любой отрезок вещественных чисел. Пусть он счетен, значит содержит бесконечную последовательность чисел r_n и ничего, кроме них. Строим систему вложенных отрезков, на каждой итерации i - половина предыдущего диапазона, которая не содержит соответствующее r_i. По аксиоме полноты существует единственное число, принадлежащее бесконечному пересечению этих отрезков, но по конструктивному определению это не может быть ни один из r_n, значит мы посчитали не все числа. Значит никакое подмножество вещественных чисел не счётно.
Так это и опровергает диагональный метод Кантора. Но при этом, само рассуждение содержит недопустимый шаг, как и у Кантора. То что он счетен совсем не обязательно, что он содержит какую бы то ни было регулярную последовательность. В бесконечный отель легко поместить еще одного постояльца, N постояльцев, еще одну счетную бесконечность постояльцев. Бесконечно счетное количество бесконечно счетных бесконечностей постояльцев тоже можно. Ни в одном из этих мест не удается построить ни одного входа в континуум. Поэтому континуум это фиктивная бесконечность, воображаемая, но недоказуемая. Аксиоматически мы ее вводим и получаем фиктивную, неконструируемую математику. Но построить ни одного такого воображаемого объекта мы не можем, как и не можем из одного такого воображаемого объекта построить отличный от него второй. Например, возьмем гипотетический континуальный отрезок [0,1]. Как из него построить отрезок [1,2]? Включим ли мы граничные точки или исключим, у нас нет конструктивной возможности их гладко объединить. Мы можем масштабировать этот отрезок в [0,2]. Но мы не можем его масштабировать в счетную бесконечность границ. Не говоря уже о бесконечной континуальной прямой всех вещественных чисел.
А как Вам то, что счетная бесконечность по сути тоже фиктивная, и не доказуемая, она вводится искусственно для натуральных чисел, например, через аксиоматику Пеано. Если для какого-то множества удается построить биективное отображение в натуральные числа, то считается, что такое множество так же является счетным бесконечным.
Если вернуться к моему предыдущему наброску доказательства несчетности вещественных чисел, то во-первых оно работает только из-за аксиомы полноты. В какой-то степени, наверное на психологическом уровне, можно признать, что аксиома полноты = аксиоме существования континуума, хорошо, соглашусь. Но аксиома полноты, в свою очередь интересна, куда больше не тем, что вот у нас есть континуум, а тем, что позволяет работать с такими объектами как sqrt(2), зная, что они существуют и единственны. Во-вторых, если вернуться к аналогии, сколько бы вы не поселили постояльцев в бесконечный счетный отель, она всегда найдет еще бесконечность тех в каждой комнате на каждом отрезке (которых в свою очередь тоже бесконечное число), которых вы не поселили, что отрицает существование биекции между вещественными числами и натуральными. Диагональный метод кантора здесь не при чем, вы в праве использовать любой способ задания последовательности жильцов, которую я просто и обозначил как r_i в самом общем виде, потому что, напомню, биекция множества к натуральным числам и есть последовательность.
Но построить ни одного такого воображаемого объекта мы не можем, как и не можем из одного такого воображаемого объекта построить отличный от него второй. Например, возьмем гипотетический континуальный отрезок [0,1]. Как из него построить отрезок [1,2]?
Так можем же. Отрезок [1,2] получается из отрезка [0,1] в точности при помощи биективного отображения f(x)=x+1, для каждой точки исходного отрезка будет существовать ровно одна точка в построенном, и континуальность никак не мешает. Про границы отрезка тоже все однозначно понятно, [0,1) это в точности [0,1]-{1} и, коненчо он равномощен [1,2] или [0,2], потому что континуум без любого конечного количества элементов равномощен континууму.
о мы не можем его масштабировать в счетную бесконечность границ.
Вот это не понял.
Не говоря уже о бесконечной континуальной прямой всех вещественных чисел.
С ней нет никаких проблем, каждый [a,b] равномощен и эквивалентен и любому [c,d], а если Вы про объекты вроде [a, +inf) то да, есть тонкость, так как +inf это не элемент непрерывного вещественного упорядоченного поля, а конструкт, который позволяет упрощать запись предела. Тем не менее (0,1) равномощен (0,+inf), потому что есть функция f(x)=1/x, и то что она биективна на |R доказывается тривиально.
Так нельзя выбрать число бесконечно близкое к 1 слева. Это не число. Если бы его можно было выбрать то и проблемы бы не было
Я вот не понимаю, почему Вас беспокоит отсутствие конкретного сколь угодно близкого числа к 1 в R или даже Q. Даже в N отсутствует сколь угодно близкое число к бесконечности, и как-то с этим все живут. Это проблема обычных бесконечностей, а мы вроде говорили о континуальной.
А меня это и не должно беспокоить. Для меня счетность континуума вполне очевидна и покрывается бесконечными равномерными разбиениями, например биекциями. И тогда любое вещественное число хоть иррациональное, хоть трансцендентное однозначно пронумеровано. Как и любое комплексное, сплит комплексное, гиперкомплексное и вообще любое другое.
А вот со счетностью все просто. Возьмём бесконечную последовательность биекций. Она абсолютно покрывает весь бесконечный набор вещественных чисел из-за бесконечности биекций и эта бесконечность актуальная, счётная и не допускающая ни одной возможности построить что то ещё любым методом, что уже не включено в биекции. Просто никакой диагонали здесь не выдумать. Список полон, пронумерован, счетен и охватывает любое число. Шах и мат.
Немного не понял. Нужно же показать конкретный набор этих биекций, чтобы доказать с помощью него счетность R, и, наверняка, мы обладая этим построением быстро найдем в нем ошибку.
А что не понятно с биекциямм? Каждый раз делим интервал на две части, слева и справа. И так до бесконечности. Можно хитрее, но не нужно. Этого вполне достаточно
Ну, разве что отмечу. Мы вообще не обязаны выбирать точки ни целыми, ни рациональными, все точки заранее объявим трансцендентными
Ну да, между всеми трансцендентными числами построим интервалы, для каждого из них найдем биекцию в рациональные дроби, потому что там должны содержаться только алегбраические числа являющиеся корнями лишь счетного количества многочленов, хитро. Только вот трансцендентных чисел может быть несчетное количество, и тогда мы ничего не докажем.
А как Вам то, что счетная бесконечность по сути тоже фиктивная, и не доказуемая, она вводится искусственно для натуральных чисел, например, через аксиоматику Пеано.
Есть по крайней мере 2 крупных математика - это Кронекер и Брауэр, которые не признавали что натуральные числа в целом образуют какую-то единую сущность. Практически ведь нам доступен только конечный набор чисел всегда. Ни в одном численном вычислении, мы не оперируем актуально бесконечными наборами величин :)
Символические вычисления тоже, на самом деле, не выбиваются из этого правила, хотя там есть значки типа \inf или ... (то есть концептуально мы как будто бы оперируем бесконечными совокупностями объектов), всегда вычисление содержит конечный набор знаков :)
А там, где вычисление нельзя завершить, доказывается, что оно сходится к какому-то значению (и не обязательно точно, возможно, с оценкой), либо расходится (опять же можно оценить при необходимости, в каком интервале лежит разброс значений)
Да, я вполне согласен, что актуальная бесконечность тоже фикция. Более того, я не считаю, что натуральные числа вообще как-то могут составлять основу математики, нужно рассматривать их лишь как частный случай решёток и модулярных форм. Вопрос же в довольно болезненной для математике заминке на гипотезе Геделя из-за которой многие отказались от проработки формально полной и непротиворечивой математики, ну и логики, конечно.
Любое математическое доказательство является ошибочным или безошибочным только относительно принятой системы аксиом и правил вывода, в которых оно строится. Не нравится ZNF - используйте другую систему. У вас будет другая математика.
Да, если считать несчетность континуума аксиомой, получим и альтернативную аксиому. Но вот и в аксиоматике несчетности континуума получается противоречие.
Ну хорошо, ограничимся финитными рассуждениями.
Число будем называть финитным, если для него существует итеративный строго детерминированный (не включающий генераторы случайных величин) алгоритм построения, завершающийся за N шагов.
Тогда целые и рациональные числа - последние именно как дроби P/Q, а не десятичное представление, где запись иногда будет бесконечной - финитны.
Аналогично, финитным назовем геометрический объект, который определяется однозначно конечным набором своих точек. Финитными будут в этом смысле, например, многоугольники и, самое простое, пары точек. Ясно, что между парами точек и рациональными числами можно установить соответствие выбрав одну из пар за эталон.
Таким образом, мы имем соответствие между финитными объектами, и оказывается, что и счетным и измеримым величинам соответствует понятие, которое можно назвать числом.
Однако, диагональ единичного квадрата - которая тоже задается парой точек - не выражается никаким финитным в смысле данного выше определения числом. Для нее существует итеративный алгоритм приближения к числу, выражающему эту длину, но он бесконечный.
Возникает вопрос: считать ли длину диагонали единичного квадрата числом или нет? Если мы считаем ее числом, то далее следует теория (Дедекинда), в которой строится континуум из классов рациональных чисел, называемых сечениями (представляющих действительные числа).
Несчетность континуума следует из невозможности построить взаимно-однозначное соответствие с множеством рациональных чисел. Множество рациональных чисел однако вкладывается в эту новую структуру, поэтому множество сечений имеет по определению, большую мощность.
Все построение теории Дедекинда можно провести на рациональных дробях и последовательностях. За пределы строго финитных рассуждений мы выходим только начиная работать с последовательностями, т.к. последовательность в целом есть бесконечное множество.
Но тут есть одна важная деталь: для построения теории достаточно таких последовательностей, которые описываются алгоритмами с итеративным повторением одинаковых шагов или конечных последовательностей одинаковых шагов. Такие описания ни ужаса, ни удивления не вызывают - каждый элемент такой последовательности конструктивен, он вычисляется за конечное число шагов.
Так что, получается, существование континуума не нужно постулировать, он строится вполне понятным, конструктивным образом из финитных объектов.
Другое дело, что мы не можем конструктивно оперировать с континуумом в целом. Из всех чисел, которые в нем обитают нам доступно в каждый данный момент времени лишь счетное подмножество чисел имеющих формулы или хотя бы обозначения.
Мы не можем оперировать континуумом совсем никак. Невозможно определить какой-то отрезок континуума, потому что его границы не объединимы. И масштабируя такой отрезок нельзя его границы расширить континуально
Вот вы так считаете, а сторонники идеи континуума утверждают, что континуум делим бесконечно и каждая часть эквивалентна целому.
Так нет никакой проблемы с бесконечной делимостью. Проблема потом с тем, что это поделенное сложить обратно. Нет возможности выбрать границу. Нет способа выбрать две бесконечно близкие точки, одна из которых пойдет в один интервал, а другая - в другой. И именно это делает континуум нематематической, внутренне противоречивой гипотезой, а не полноценным математическим объектом, как те же лимиты или дифференциалы. И это пока единственное до чего удалось выстроить идею бесконечно малых. Но вот указать два последовательных бесконечно малых между которыми нельзя выбрать еще бесконечность бесконечно малых - все равно нельзя. И именно это является противоречием для диагонального метода. И именно это не дает заявить о несчетности континуума. Он все равно остается счетным. Несчетность можно ввести как аксиому, но это по факту дает только противоречие. Собственно, в каковую ловушку и попал Гедель, а следом за ним Пенроуз.
В свое время у меня были некоторые подозрения об избыточности всех этих конструкций; действительно, взять и красиво разделить два интервала каким-то неименованным (не pi, e, e^(pi*sqrt(2)) и так далее) вещественным числом нельзя. А большинство неименованных но полезных чисел вводятся как пределы последовательностей, и каждый из этих пределов дает нам счетную последовательность приближающихся к значению предела чисел (но никогда не само значение предела), и поскольку на земле конечное число людей, способных за конечное время выдумать лишь конечное число им полезных чисел, то да, действительно, с точки зрения именно человеческой истории, континуум не нужен. Шах и мат, атеисты.
Другое дело, что и отказ от него ничего не дает.
Вы всегда можете разделить интервал на два интервала каким-то числом, дав ему имя. Проблема в том, что вы никогда не узнаете, что это за число (даже приближенно, если не знаете границ интервала).
Полезное число - это очень хороший термин, надо разобраться что это такое. Число имеющее только имя на самом деле нельзя даже складывать с другими числами. Ну, то есть можно, но мы получим выражение вида a + x, с неизвестным x. Полезно это или нет? Может быть и полезно. Но если мы захотим обозвать полезными только те числа, которые могут иметь позиционную, например, запись (чтобы ими все же можно было оперировать не только как символами), то надо потребовать уже что-то большее имени числа - его запись или формулу, то есть, в обоих случаях, алгоритм построения.
Этими вопросами занимается не классический, а конструктивный анализ. А то, что континуум не нужен - это сильное утверждение, на самом деле, континуум многое упрощает в классическом анализе.
Например, что именно континуум упрощает и насколько при этом имеет значение несчетность? На мой взгляд несчетность просто избыточная концепция.
Не нужно проверять конструктивность объектов, о которых делаются суждения, например. Теоремы доказываются значительно проще.
Данная конкретная гипотеза не доказана. В общем потому, что она ошибочна как гипотеза.
Вообще, складывается ощущение, что вся ZFC введена только ради одной казуистической проблемы Рассела, который не парадокс даже, а в чистом виде апория. И относиться нужно так же. А вот А5 и А9 нужно явно запретить, потому что они применимы либо конкретно, либо неприменимы никак, пока в структуру неявных множеств не внесены ограничения. Например, Гамма функция явно определена лишь на решетке, в узлах она не апроксимируется. И произвольные допущения в отношении действительных чисел не могут быть перенесены на значения Гамма-функции. Это касается всех казуистических множеств.
Я думаю очень скоро всей этой математической казуистика будет присвоен статус теплорода. Было прикольно, но неправильно, да и не пригодилось.
Вы всегда можете разделить интервал на два интервала каким-то числом, дав ему имя. Проблема в том, что вы никогда не узнаете, что это за число (даже приближенно, если не знаете границ интервала).
Нам должно быть что-то известно про это число, либо конструктивно построенная граница интервала, и тогда это число будет ее пределом, или же конструктивное определение этого числа, иначе мы не можем гарантировать ни наличие, ни однозначность этого числа. А вычислимых чисел счетное количество, это совсем несложно доказать. А вот названные (в неком контексте) но не вычислимые числа, вряд ли можно назвать полезными, потому что они существуют обычно лишь в контексте доказательства теорем и вне этих контекстов в них смысла нет. То есть свойством непрерывности вещественных чисел мы конечно пользуемся, а самими числами, которые лежат вне счетного количества вычислимых - на самом деле нет.
О, вы сейчас отлично ответили Роджеру Пенроузу. Вычислимость, которая так беспокоит его, как раз и показывает, что сознание ограничено только вычислимостью, все остальное является счётной абстракцией в которой ничто ни от чего не отличимо.
Ну и это же прямой ответ Гёделю на гипотезу (не могу называть ее теоремой, так как отмена метода Кантора отменяет и доказательство теоремы о неполноте). По факту у нас нет никаких бесконечных формальных теорий и именно в виду этого мы всегда точно знаем, на какие аксиомы опираемся и какие альтернативы им можем ввести. Счетные альтернативы и даже не бесконечные. Далеко не бесконечные. Так что Пеано может спать спокойно, мы все доведём до здравой полноты и непротиворечивости, которые больше не снятся в страшных снах
Смотрите, разделив интервал вы получите в двух подынтервалах одну и ту же точку. Нельзя получить две бесконечно близкие точки, которые бы гладко соединили интервалы. Поэтому континуум в принципе не имеет смысла, пользы или хотя бы практического применения, которое бы не создавало парадоксов из за внутренней противоречивости в его определении. Актуальная бесконечность тоже противоречива, разумеется и все началось именно с нее. Правильное решение это именно дифференциальное исчисление. Топология может оперировать любыми видами бесконечности просто их постулируя, но любую бесконечную форму можно при этом выразить конечно.
Смотрите, разделив интервал вы получите в двух подынтервалах одну и ту же точку.
Да нет же. Все-таки математика подразумевает некую иерархию аксиоматики, и если мы не отрицаем аксиоматику теории множеств, то все мы прекрасно можем. Интервал [1,2] это в точности [1, √2] ∪ [√2, 2] и так мы получаем точку √2 в обоих интервалах, но так же это в точности и [1, √2) ∪ [√2, 2] где точка √2 лежит только в одном интервале. Это по определению: [a, b] = [a, b) ∪ {b} или же [a, b) = [a, b] - {b}. Не важно, b это рациональная дробь, иррациональное число, или вообще лепесток в множестве цветочка состоящего из упорядоченных лепестков. Почему, если я заменю здесь √2 на 1.41 то никаких проблем это будто бы не вызывает? Числа 1.409(9) ведь тоже не существует, хотя за каждым его приближением стоит более длинная десятичная дробь из Q. А как только верну √2 то сразу математика пропала?
Проблема в правойгранице [1,√2). Нет такой точки рядом с √2 слева, которая заканчивает интервал. Мы вынуждены писать дифференциал. А дифференциалы не складываются, не вычитаются, не умножаются и не делятся так же как числа. Более того, мы легко вылетаем в интегральном исчислении вообще за аналитически выразимые конструкции. Но это подход, для которого счетность или несчетность не принципиальна.
Ну не дифференциал все же, а предельный переход. И арифметика предельных переходов тоже существует. То, что это неудобство, факт, то, что реальная проблема - не факт вовсе.
Как это не проблема? Предельные переходы имеют свойства отличные от чисел. Их нельзя просто так обобщить или тем более смешать. И А5 с А9 аксиомы опровергаются, как внутренне противоречивые. Их просто нельзя применять. Это опровергает всю ZFC разом.
И это совсем не вопрос нравится-не нравится. Это всё равно что сегодня использовать теплород для объяснения температуры и тепла.
Конечно возможно, сечение натуральным числом: слева -inf, n] справа все что больше n т.е. (n, + inf).
Например x <=3 | x > 3.
Аналогично правое сечение -inf, n) | [n, +inf
x < 3 | x>=3
И далее для рациональных чисел то же самое.
Для таких сечений вводится арифметика, они ведут себя как числа.
Проблема корня из двух как раз и заключается в том, что нет такого рационального числа чтобы было на нем получено левое или правое сечение.
Прочитайте первую главу 1 тома "Курса математического анализа" Г.М. Фихтенгольца.
Там классическое, многословное еще, подробнейшее изложение этой теории с кучей примеров.
Здесь многословность не поможет. Проблема x<3 не является числом, поэтому появились лимиты. Вообще не важно, какое именно число выбрано в качестве границы. Проблема не в целости или рациональности. Проблема в том, что нет способа вообще никакого выбрать бесконечно близкие числа. Только записав предел. А пределы не являются числами. С ними нельзя оперировать как с полем. Поэтому есть ограниченные подходы с дифференциальными уравнениями и с их помощью нет способа построить упорядочивание. Желание Кантора ввести порядок трудно назвать исполненным. Даже вообразив возможность упорядочивания он сразу уткнулся в противоречие, только вывод сделал ошибочный, что это полный список получилось дополнить и сделать его вдруг несчетным. Да с чего вдруг? Нет оснований для такого вывода. И какие тут звездные математики могут это спасти своим авторитетом?
Еще раз повторю, на дедекиндовых сечениях множества рациональных чисел строится арифметика, они удовлетворяют всем аксиомам поля и представляют собой модель действительных чисел. По определению, действительным числом называется сечение, определенное своим представителем - классом рациональных чисел.
То, что единичная сущность может быть задана множеством объектов другого рода - это очень сильная идея в теории Дедекинда. На практике сталкивался с подобным, это очень неочевидно.
Проблема в том, что нет способа вообще никакого выбрать бесконечно близкие числа.
Для аргумента Кантора это не нужно. Выбрать в каком смысле?
Только записав предел. А пределы не являются числами. С ними нельзя оперировать как с полем.
Как раз идея состояла в том, чтобы узаконить пределы как числа) если последовательность имеет предел, то он является числом; иначе говорим о последовательности не имеющей предела, такое тоже бывает.
Желание Кантора ввести порядок трудно назвать исполненным. Даже вообразив возможность упорядочивания он сразу уткнулся в противоречие, только вывод сделал ошибочный, что это полный список получилось дополнить и сделать его вдруг несчетным. Да с чего вдруг? Нет оснований для такого вывода. И какие тут звездные математики могут это спасти своим авторитетом?
Вы все же не поняли идею Кантора.
Что же тут не понять. Он ввел просто беспорядочный список и доказал что его можно дополнить. И все. А если взять строго все биекции, то любое изменение любого разряда будет строго попадать в уже имеющееся число всегда. И никакого диагонального аргумента не получится по определению.
Кантор рассуждал так: пусть у нас есть список всех возможных бесконечных последовательностей из нулей и единиц. Мы якобы можем их пронумеровать: первая, вторая, третья и так далее. Теперь мы возьмём по одной цифре с диагонали этого списка (от первой — первую, от второй — вторую и т.д.) и заменим каждую: 0 на 1, 1 на 0. Получим новую последовательность.
Эта новая последовательность гарантированно отличается от каждой в списке хотя бы в одном разряде — значит, она в этот список не входит. Следовательно, никакой полный список не существует, и множество всех таких последовательностей — несчётно.
Вчитался, и вижу, что Вы неправильно описали суть диагонального аргумента Кантора. Суть как раз заключается в том, что при таком построении аргумента,
а) постулируется, что полный список последовательностей из нулей и единиц существует.
б) предполагается, что этот список можно занумеровать
в) строится элемент списка, который занумеровать нельзя.
По п. в) все хорошо. Этот пункт конструктивный, так как он по сути выражается алгоритмом:
пусть дан бесконечный список упорядоченных бесконечных двоичных последовательностей, тогда на каждом i шаге выбирай i-ю цифру и пиши новую последовательность. где i - натуральное число, номер шага.
Следовательно, критика аргумента должна быть направлена на
п. а) Бесконечный список бесконечных последовательностей из нулей и единиц? А такое существует? Дайте его конструктивное построение тогда.
п. б) Допустим, вы построили такой список. Докажите теперь, что на нем возможна какая-либо структура порядка.
Без этих двух важных уточнений "диагональный аргумент Кантора" можно отвергать как несостоятельный (надо же, а когда-то я его изложение наизусть учил как в лекциях, чтобы пятерку получить).
п. б) Допустим, вы построили такой список. Докажите теперь, что на нем возможна какая-либо структура порядка.
Этот пункт не существенный, то, что порядок нужен - иллюзия, возникающая при таком изложении аргумента Кантора, когда приводящая к противоречию гипотеза "существует нумерованный список таких чисел" записывается в виде таблицы; но это не обязательно, можно же показать, что для любой инъекции f: (0,1) -> N существует y = y(f), такое, что для любого натурального n f(y) не равно n.
Это означает, что любая инъекция такого вида не есть биекция, и взаимно-однозначное соответствие между (0,1) и N невозможно.
Таким образом уязвимым местом в "аргументе Кантора" остается лишь пункт а) причем изложенный более строго, чем я написал выше, а именно:
- существует (бесконечное) множество инъекций интервала (0,1) в множество натуральных числе N которое мы можем перебрать.
То, что множество таких инъекций - существует - очевидно (достаточно взять последовательность x_n = 10^-n. То, что оно бесконечное, т.к. содержит счетное множество - тоже увидеть несложно и это факт конструктивный. Сомнения может вызывать только сама возможность перебора всех отображений такого вида. В этом и есть суть "наивного" подхода Кантора, который считал, что это возможно.
И вот тут есть конечно же проблема. Пусть у нас есть некое бесконечное множество X, и x - его произвольный элемент. Суждение "Если этот произвольный элемент x обладает неким свойством Q, то таким свойством Q должны обладать все элементы X." - на первый взгляд кажется несомненным.
Но что такое есть произвольный элемент x?
При трезвом размышлении становится ясно, что это не более чем символ, обозначение (имя) для какого-то объекта, для которого нет на самом деле гарантии возможности его выбора. Ведь в самом деле, если я выбрал этот элемент один раз, то я должен иметь возможность выбрать его и второй раз и третий (разумеется, положив его в исходное множество обратно перед каждым выбором).
И если я произвожу такие повторные выборы, то я должен быть уверен, что выбираю именно первоначальный элемент x, а не какой-то другой, очень на него похожий, но на самом деле им не являющийся, то есть x', и далее x'' и т.д.
Следовательно, должна быть процедура верификации того, что x'' = x' = x. На чем же может быть основана такая процедура? Только на некоем тексте, который, очевидно, должен быть конечным и который описывает существенные (индивидуальные) признаки нашего объекта x. Для чисел, например, это может быть формула, позволяющая вычислить их с заданной заранее точностью.
Как раз со всеми тремя пунктами все плохо. Пункт в не выполним, потому что список счетный, но бесконечный и содержит по определению все варианты, в него ничего нового добавить не получится. А если получилось, это значит он по построению был неполный. Вы просто добавили в него счетное количество бесконечных элементов второго порядка w*2. Пусть Вы придумаете бесконечное счетное количество таких добавлений. Получите всего лишь омега квадрат счетную бесконечность
Ну нет, конечно.
Мы предполагаем, что:
а) список полный
и б) список счетный
Раз так, то мы считаем что можем записать его в табличку.
Но тут находится число которое есть в списке (так как он полный) но у которого нет и не может быть номера это противоречит пункту б) но не пункту а).
Значит, надо отмести пункт б). Но пункт а) не пострадал.
Пункт а) недостоверен по той причине, что не понятно, что это такое "полный список действительных чисел" и как его построить.
Такое же рассуждение, ну пронумеровали и перенумеровали, и что?
Нет, не такое же. Еще раз посмотрите что я написал, и что вы пишете.
Попробую еще раз, но это последняя попытка )))
Если список чисел полный (включает все числа), то он либо счетный, либо нет.
Если он счетный, то я могу его перенумеровать. Но я нахожу некое число (которое есть в списке в силу его полноты и которое не имеет номера. Значит, список не счетный.
Этот вывод никак не затрагивает предположение о том, что список полный.
Зайдем с другой стороны (судя по вашим комментариям, вы смотрите с этой точки зрения или близкой к ней на предмет)
Пусть дан счетный список чисел. Тогда он либо полный, либо нет. Если он полный, то я найду в нем все числа, и каждое число будет в нем под каким-то номером.
Ой, вот незадача - я нашел число которое не имеет номера. Значит, мой счетный список не полный. Добавив к нему это новое число я получу новый счетный список, который, очевидно, тоже будет не полным (для этого я запишу новое число в начало списка и повторю рассуждение уже для этого нового списка).
Повторяя эту процедуру я всегда буду получать счетный список чисел, который, однако же, никогда не будет полным.
Ключевое в этом рассуждении: фраза "путь дан счетный список чисел".
Значит, что мы получаем? Если только мы можем перебрать все счетные списки чисел, то любой из них не является полным, а раз так, то полный список не может быть счетным.
Это - альтернативное построение аргумента, как и первый случай оно имеет ту же уязвимость: а что, на самом деле, мы перебираем? Откуда уверенность, что мы можем перебрать все такие объекты?
Так возьмите биекции имени Жан Клода Ван Дама. Он, как известно, может сделать все биекции. Тогда любое изменение любых разрядов просто меняет ветвь биекции. Все пронумеровано и никакого номера добавить нельзя
А вот так не пойдет. Это уже не серьезно. Вы мне дайте хотя бы одну биекцию R -> N. То, что кто-то может ее построить - не убедительно, пусть предъявит способ построения.
Так я Вам и даю ее и совершенно серьезно. Биекциями ровно пополам разбиваем каждый интервал, который предположительно мощнее счётной бесконечности. Получаем бесконечный ряд точек, пронумерованный бесконечными нулями и единицами. Найдите точку вне этого списка.
Допустим интервал от 0 до 1. Первая биекция строится от точки 0.5. 0 - это бесконечные нули. 1 - это бесконечные единицы (это строго искомые точки). 0.5 это 0 и бесконечные единицы что тождественно равно 1 с бесконечными нулями. Вы не найдете ни одной точки не в этом списке ни одним из способов
Таким образом счетность континуума строго доказана, а несчетность строго опровергнута
С п. в) все хорошо, потому что можно представить себе некоего пифагорейского оракула, который выдает вам одно за другим число из полного списка а далее вы применяете к нему "диагонализацию".
Дух, демон, божество, техническое устройство - не важно, как устроен пифагорейский оракул, важно что мы ему доверяем. Если мы согласились с этим, то п. в) уже не является проблемой.
Ну и на самом деле, такой оракул существует - это абстракция прямой, с точкой O, от которой можно откладывать отрезки ОА, ОВ, ОС и т.д. записывая их в некотором порядке. У каждого отрезка будет длина = какому-то числу. Ясно, что такая прямая содержит все числа. Ясно, что из нее всегда можно извлечь счетное подмножество чисел.
Вопрос в том, можно перенумеровать все числа, таящиеся в этой прямой? Или извлекая числа одно за другим, извлечь все числа. Ответ: нет, ни то, ни другое невозможно.
Здесь тоже повторюсь. Биекции Жан Клода Ван Дама и уже невозможно выбрать число, которое не пронумеровано. Ву а ля.
На всякий случай. Пронумеровать континуум не просто возможно, а тривиально. Берём любой отрезок, который предположительно несчетен. Его левая граница будет обозначена как бесконечная последовательность нулей. Такое вот биадическое число. Его правая граница будет обозначена как бесконечная последовательность единиц. Его середина обозначена как 0 и бесконечная последовательность единиц, что тождественно 1 и бесконечная последовательность нулей. Мемно назвать этот метод "все биекции" которые как известно как все отжимания может сделать ЖКВД. И никто и никогда не найдет ни одного числа, которое не будет пронумеровано таким образом. И это абсолютное опровержение несчетности континуума и гипотезы Геделя.
Возражения?
Троллинг засчитан. Осталось только научиться упорядочивать числа, в записи которых есть аналитическая бесконечность единиц и нулей, чтобы не потерять важнейшие свойства упорядоченного поля. Но если на них плевать, и на аксиому выбора плевать, то почему бы и нет?
Сезон сомнений в математике открыт, посмотрите
Только вовсе не троллинг. Троллинг это как раз апория Рассела и несчетность континуума. А у меня все чисто. И речь не о сомнениях, а о том, что уже пора встряхнуть эту старую историю с казуистикой, парализовавшей академическую математику на полтора века
И в моем методе числа вполне имеют однозначную упорядоченность. Каждый шаг это выбор подынтервала слева или справа от центра. Числа строго сравнимы. Если их строить справа налево они строго биадические
Для начала давайте разберемся с вашим разбиением континуума.
Допустим, отрезок [0,1] действительной прямой - несчетен
Обозначим левую границу как 000... , правую как 111... - так?
Середину отрезка я не понял как вы хотите обозначить. Как
0, 111..., 000... ? Или как-то иначе?
Совершенно непонятно, что означает фраза
Его середина обозначена как 0 и бесконечная последовательность единиц, что тождественно 1 и бесконечная последовательность нулей.
Ну ладно. Так или иначе, три числа - границы отрезка и середина получили нумерацию. Но что дальше? Как вы собираетесь перенумеровать все числа из [0,1]?
Если вы будете повторять процесс деления отрезка бесконечно, каждый раз деля пополам полученные на предыдущем шаге отрезки, то прекрасно - вы получите все числа вида 0, 1/2^n,..., 2^n-1/2^n, 1, но среди них не будет, например, 1/3 или 1/5, не говоря уже о sqrt(2).
И при чем тут биекции?
Бисекция, конечно же. Тут я и вас и себя запутал. Далее биадическое число ....01010101 при домножением на три даёт 1. Для любого числа, рационального, иррационального, трансцендентного есть биадическое представление. Можно и дробью. 0,(01) в двоичной форме это 1/3. То есть мы этими бисекциями получают все числа. И это не обязательно от 0 до 1, а для любого интервала [a,b], хоть от -inf до +inf. Просто через log2 inf начнутся конечные числа.
Ну прекрасно, бисекция, а не биекция. Но допустим, что вы методом бисекции перенумеровали все вещественные числа как r_1, r_2, r_3 ....
Тогда применяя "диагонализацию" по Кантору, я получаю число, которого нет в списке. Значит, список полученный методом бисекции какой? Счетный и/или полный? Счетный - по построению, не полный - ввиду того, то диагонализация дает еще одно действительное число, которого нет в этом списке :)
Нет, не получаете. Вы не можете здесь получить никакого числа не из списка. Всегда будет получатся число из списка. В этом и суть бисекции. Сменив любую цифру Вы переходите в существующее число из списка в другой половине. Все варианты уже в списке и найти отсутствующий невозможно. В этом суть правильного упорядочивания и поэтому диагональный метод Кантора - не работает, он просто апория.
Я не очень понимаю, как вы собираетесь нумеровать числа деля интервал пополам, но если вы занумеровали так, что каждое число получило один и только один натуральный номер - то есть каждому действительному числу поставлено во взаимно-однозначное соответствие единственное натуральное число, и теперь вы беретесь утверждать, что вы таким образом перенумеровали все действительные числа из интервала - вы будете неправы в силу обсуждаемого "диагонального" аргумента Кантора.
Если вы с этим не согласны, что же, представьте способ нумерации устанавливающий взаимно-однозначное соответствие между R и N. в идеале, не использующий понятие актуальной бесконечности :)
Сейчас вы ничего не опровергли.
Вот это вот трудно, на самом деле понять, что это было, не говоря о терминологической путанице, но судя по тексту, это не установление взаимно-однозначного соответствия R c N:
Так я Вам и даю ее и совершенно серьезно. Биекциями ровно пополам разбиваем каждый интервал, который предположительно мощнее счётной бесконечности. Получаем бесконечный ряд точек, пронумерованный бесконечными нулями и единицами. Найдите точку вне этого списка.
Допустим интервал от 0 до 1. Первая биекция строится от точки 0.5. 0 - это бесконечные нули. 1 - это бесконечные единицы (это строго искомые точки). 0.5 это 0 и бесконечные единицы что тождественно равно 1 с бесконечными нулями. Вы не найдете ни одной точки не в этом списке ни одним из способов
Пронумеровать действительные числа надо так: r_1, r_ 2, r_ 3, ... )))
Нет, так нумеровать не нужно и в этом главная ошибка. Биекция должна быть устойчивой, не более того. Диагональный метод является апорией, вроде апорией Зенона, то есть вводится нарочито плохой порядок. У нас нумерация изначально строится в виде двоичного дерева из биадических чисел. Любому вещественному числу ставится в соответствие его биадическое представление. С этим шагом есть какие-то сомнения?
Зачем вы беретесь опровергать стандартные определения? Вы понимаете, что такое равномощные множества? И что такое взаимно-однозначное соответствие? И что такое, наконец, счетное множество по Кантору?
Разумеется, понимаю. Ничего стандартного тут нет. Есть апория с диагональным методом, которая ошибочная, казуистическая. И я даю строгое опровержение этой апории. Мы берем множество биадических чисел, которое равномощно натуральным числам. Нет проблемы с тем, чтобы их пронумеровать. Номер один - левая граница диапазона, номер два - правая граница диапазона, номер три - середина диапазона. Номер четыре - середина левого поддиапазона, номер пять - середина правого диапазона. И так далее. И никогда, никаким способом, Вы не найдете такого числа, которое бы точно не совпадало с числом в этом списке. Никакие диагональные замены в таком способе никаким образом не могут Вас вывести за пределы этого списка. Сама апория диагонального метода - ни на чем не основана. Просто допускается, а что если мы можем построить такое число. Нет, не можем. Мы всегда будем попадать в числа из списка. Допущение - недопустимо. И вся казуистика отвергается, как нелогичная и нематематическая по своей природе.
Никакой апелляции к "стандартному" в математике допускать категорически нельзя. Или Вы можете что-то доказать, или нет. Ничьи мнения в учет не принимаются.
Абсолютно, надеюсь и Вы тоже. С чего тут шутить? Почти век заморочек на очень-очень замыленной идее, протащенной в итоге в академическую математику - повод очень серьезно с этим разобраться.
Доказательство несчётности континуума ошибочно?