Перевод поста Олександра Павлыка (Oleksandr Pavlyk), «Jacob Bernoulli’s Legacy in Mathematica».
Скачать перевод в виде документа Mathematica, который содержит весь код использованный в статье, а также дополнительные материалы, можно здесь.

16 января 2015 г. исполнилось 360 лет со дня рождения Якоба Бернулли.

In[1]:=



Out[2]=



In[3]:=



Out[3]=



In[4]:=



Out[4]=



Якоб Бернулли стал первым математиком известнейшей семьи Бернулли, к которой принадлежат многие известные математики XVII и XVIII веков.

Математическое наследие Якоба Бернулли очень богато. Он ввел так называемые числа Бернулли (Wiki / MathWorld), нашел решение дифференциального уравнения Бернулли (Wiki / MathWorld), изучал процесс Бернулли (Wiki / MathWorld), доказал неравенство Бернулли (Wiki / MathWorld), вычислил число e (Wiki / MathWorld), а также выявил слабый закон больших чисел (теорема Бернулли) (Wiki / MathWorld).

In[5]:=



Out[5]=



Трактат Бернулли Ars Conjectandi (The Art of Conjecturing — Исскусство предположения) был посмертно опубликован в 1713 г., спустя 8 лет после его кончины, он был написан на латыни, лингва франка своего времени. Она рассматривается как основополагающая работа по теории вероятностей. О ее важности свидетельствует, в частности, то, что она была переведена на французский G. Le Roy в 1801 г. и, недавно, на английский E. D. Sylla в 2005 г.

Ars Conjectandi состоит из 4 частей. Первая часть воспроизводит работу Христиана Гюйгенса De Ratiociniis in Ludo Aleae. (On Reasoning in Games of Chance — О расчётах в азартной игре) с обширными комментариями от Бернулли и подробными решениями пяти проблем Гюйгенса, поставленных в конце работы Гюйгенса с указанием ответов, но без доказательств. В первой части Бернулли также выводит вероятность того, что среди n независимых испытаний будет по крайней мере m успешных, если вероятность успеха в каждом испытании равна p:



Вторая часть “The Doctrine of Permutations and Combinations” (Учение о перестановках и комбинациях) посвящена комбинаторике и изучению фигурных чисел (Wiki / MathWorld), т. е. чисел, которые могут быть представлены в виде набора точек, расположенных на плоскости в форме правильных геометрических фигур:



Именно в этой части Бернулли ввел так называемые числа Бернулли. Он начал с того, что выявил соотношение для биномиальных коэффициентов , которое имеет вид:

.

In[6]:=



Out[6]=




Бернулли знал, что для фиксированного значения числа m, биномиальный коэффициент представляет собой полином от переменной n, а именно . Это тождество позволило ему вывести значения сумм степеней натуральных чисел . Он получил таблицу результатов для 0≤m≤10.

Для того, чтобы воспроизвести таблицу, полученную Бернулли, создадим функцию, задающую уравнения для сумм степеней натуральных чисел:

In[7]:=



In[8]:=



Out[8]=



In[9]:=



Out[9]=



In[10]:=



Out[10]=



Решая полученную систему уравнений, получим:

In[11]:=



Out[11]=



Бернулли писал, что “Тот, кто внимательно изучил полученную последовательность, может продолжить Таблицу далее без каких либо дополнительных вычислений”, заметив, что:



Он отметил, что коэффициенты не зависят от n, и могут быть вычислены рекурсивно, если подставить n==1 в уравнение выше.

In[12]:=



Out[12]=



Эти коэффициенты и есть известные числа Бернулли, которые нашли свое применение во множестве областей математики [например, см. обсуждение Why do Bernoulli numbers arise everywhere? (Почему числа Бернулли появляются повсюду?) на сайте mathoverflow.net]:

In[13]:=



Out[13]=



Во второй части своей книги Бернулли вычисляет число возможных перестановок, число перестановок в множестве с повторяющимися элементами, число способов выбора заданных объектов из множества и т. д., которые он позже применяет для вычисления вероятности, как отношения числа благоприятных событий к общему возможному числу событий.

В третьей части Бернулли применяет результаты, полученные в предыдущих двух частях к решению 24-х проблем, связанных с азартными играми. Лейтмотивом всех этих задач является последовательность независимых результатов 0 и 1, которая получила название “процесса Бернулли”. Думаю, что 360-летие со дня рождения Якоба Бернулли является отличным поводом для того, чтобы решить его задачи в Mathematica с помощью Wolfram Language.

Например, в задаче 9 требуется найти ожидаемый выигрыш в игре трех игроков. Игроки поочередно берут карты (без замены и возвращения) из колоды в 20 карт, при этом 10 из них фигурные. Когда карты заканчиваются, выигрыш распределяется поровну среди тех игроков, у которых фигурных карт оказалось больше.

Положим, что c1, c2, и c3 — число фигурных карт у каждого игрока, тогда доля выигрыша первого игрока будет равна:

In[14]:=



Предположи, что после того, как колода из 20 карт была таким образом распределена между игроками, получилось так, что первый и второй имеют по 7 карт, а третий — 6. Итоговый вектор распределения фигурных карт между игроками имеет многомерное гипергеометрическое распределение, которое задается в языке Wolfram Language функцией MultivariateHypergeometricDistribution:

In[15]:=



In[16]:=



Out[16]=



In[17]:=



Out[17]=



Эта и другие задачи рассмотрены и решены в приложенном документе (на англ. языке).

В заключительной части трактата Ars Conjectandi обсуждается использование теории вероятностей в решении гражданских, нравственных и экономических вопросов. В этой части Бернулли утверждает, что теория вероятностей отражает наше неполное знание о состоянии мира, и, в отличие азартной игры, где вероятность может быть определена путем нахождения отношения числа благоприятных исходов некоторого опыта к их общему возможному числу, вероятность в “реальной” жизни не может быть априори установлена. Бернулли утверждает, что эти неизвестные вероятности могут быть вычислены на основе результатов, наблюдавшихся в прошлом.

Он доказал слабый закон больших чисел, который утверждает, что наблюдаемая частота успехов в серии из n независимых испытаний, вероятность успеха в каждом из которых равна p, будет неограниченно приближаться к p с неограниченным увеличением количества испытаний. Таким образом, мы можем оценить вероятность с произвольной точностью, взяв достаточное количество испытаний. Таким образом, для любых δ и ε, найдется такое число n (количество испытаний), что



In[18]:=



Out[18]=



Демонстрация “Имитация эксперимента по подбрасыванию монеты и закон больших чисел” (Simulated Coin Tossing Experiments and the Law of Large Numbers), созданная Яном Маклеодом (Ian McLeod) для сайта Wolfram Demonstrations Project, в частности, демонстрирует этот процесс сходимости.

Ресурсы для изучения Wolfram Language (Mathematica) на русском языке: habrahabr.ru/post/244451