Используя случайные процессы, три математика доказали элегантный закон, лежащий в основе хаотического движения турбулентных систем

Представьте себе спокойную реку. А теперь представьте быстрый поток пенящейся воды. Какая между ними разница? Для математиков и физиков она состоит в том, что спокойная река течёт в одном направлении, а бурный поток – в нескольких направлениях сразу.

Физические системы с таким бессистемным движением называют турбулентными. Из-за того, что их движение имеет одновременно столько характеристик, их очень сложно изучать математически. Сменится не одно поколение математиков до тех пор, пока исследователи научатся описывать бурную речку точными математическими выражениями.

Однако новое доказательство говорит о том, что хотя некоторые турбулентные системы и кажутся непокорными, на самом деле они подчиняются одному универсальному закону. В этой работе приводится одно из самых строгих описаний турбулентности, когда-либо данных математикой. И появляется оно благодаря новому набору методов, которые сами по себе меняют процесс изучения исследователями этого доселе непокорного явления.

«Возможно, это самый многообещающий подход к турбулентности», — сказал Владимир Сверак, математик из Миннесотского университета, эксперт по турбулентности.

В новой работе даётся способ описания закономерностей, возникающих в движущихся жидкостях. Их хорошо видно на примере резких колебаний температуры у соседних точек океанов или завораживающих картинах, получающихся при смешивании чёрной и белой красок. В 1959 году австралийский математик Джордж Бэтчелор предсказал, что у этих закономерностей есть точный и регламентируемый порядок поведения. Новое доказательство подтверждает истинность «закона Бэтчелора», как назвали это предсказание.

«Закон Бэтчелора можно увидеть повсюду», — сказал Джейкоб Бедроссиан, математик из Мэрилендского университета в Колледж-Парке, соавтор доказательства совместно с Алексом Блументалем и Сэмюэлем Паншон-Смитом. «Доказав этот закон, мы смогли лучше осознать его универсальность».

Турбулентность сверху донизу

И хотя в новом доказательстве описываются не совсем такие же процессы, какие происходят в бурном течении реки, они близко связаны с ними и достаточно знакомы нам. Поэтому давайте для начала представим их себе, перед тем, как перейти к турбулентности особого типа, которую анализировали математики.

Представьте себе кухонную раковину, полную воды. Вода начинает вращаться в раковине практически как единая масса. Если мы увеличим жидкость и измерим её скорость на более мелких масштабах, мы увидим то же самое – каждая микроскопическая часть жидкости движется в согласии с остальными.

«Движение в основном завязано на масштаб всей раковины», — сказал Блументаль, постдок из Мэрилендского университета в Колледж-Парке.


Алекс Блументаль, постдок из Мэрилендского университета в Колледж-Парке

Теперь представьте, что вместо того, чтобы просто дать воде стечь, выдернув пробку, вы добавили в раковину водяные струи, закручивающие её, как в джакузи. Невооружённым взглядом можно будет уловить множество возникающих в воде водоворотов. Выберем один из них и увеличим его масштаб. Если бы вы были математиком, пытающимся анализировать потоки турбулентной раковины, вы могли бы надеяться, что каждая частица воды в выбранном водовороте двигается в одном и том же направлении. Это сильно облегчило бы работу моделирования жидкости.

Но, увы, вы обнаружите, что сам водоворот состоит из множества маленьких водоворотиков, каждый из которых движется особым образом. Увеличьте его изображение, и вы вновь увидите, что и он в свою очередь состоит из различных водоворотов, и так далее, вплоть до самых мелких масштабов, пока эффекты внутреннего трения (или вязкости) жидкости не возьмут вверх и не сгладят потоки.

Это явный признак турбулентных систем – различное поведение вложенных одна в другую подсистем на разных масштабах. Чтобы полностью описать движение турбулентной системы, придётся описать происходящее на всех этих масштабах в любой момент времени. Ни один из них не получится проигнорировать.

Это серьёзное требование – оно похоже на моделирование траекторий движения бильярдных шаров, учитывающее абсолютно всё, от движения Земли по Галактике, до взаимодействия молекул газа с шарами.

«Пришлось учитывать всё и сразу, из-за чего эту задачу так невероятно сложно моделировать», — сказал Жан-Люк Тиффо из Висконсинского университета, изучающий турбулентность.

В итоге математики десятилетиями пытались создать описание турбулентности, точно описывающее происходящее в каждой точке турбулентной системы в каждый момент времени. И не добились успеха.

«Турбулентность слишком сложна для того, чтобы атаковать её в лоб», — сказал Тиффо. Это верно для бурных рек и раковин с вытекающей жидкостью. Это верно и для особого варианта турбулентности, используемого в новом доказательстве.

Перемешивание

Раковина и река – примеры гидродинамической турбулентности. Они турбулентны в том смысле, что векторы скорости жидкости – направления и скорости движения частиц – сильно варьируются от точки к точке. Новая работа описывает другие свойства жидкости кроме векторов скорости, которые можно измерить в каждой её точке. Чтобы понять, что это означает, представим себе смешивание красок.

Начнём с банки белой краски. Будем добавлять чёрную по одной капле в секунду, помешивая краску. Первая капля упадёт в белую краску и будет выделяться, как островок. Но вскоре она начнёт растворяться в белой краске, вытягиваясь во всё более тонкие линии. Последующие капли чёрной краски будут находиться на разных стадиях того же преображения: растягиваться, удлиняться, вливаться в краску, которая постепенно превращается в серую.

d2r55xnwy6nx47.cloudfront.net/uploads/2020/02/Saintillan-simulation_600x600.mp4

Как векторы скорости меняются от точки к точке в раковине, где перемешивают воду, так и концентрация чёрной краски в белой будет меняться от точки к точке при перемешивании: в некоторых местах её концентрация будет больше (более толстые линии), в некоторых – меньше.

Такой вариант является примером «пассивной скалярной турбулентности». Она возникает при вливании одной жидкости, «пассивного скаляра», в другую – молоко в кофе, чёрную краску в белую.

Пассивная скалярная турбулентность также описывает многие явления природы – резкие перепады температуры между близкими точками океана. В такой среде океанские течения «смешивают» температуры так же, как перемешиваются чёрная и белая краски.

Закон Бэтчелора предсказывает соотношение количества крупномасштабных явлений (толстых завитков краски или потоков океанской воды одинаковой температуры) к количеству явлений на меньших масштабах (тонких линий краски) при смешивании жидкостей. Законом его называют потому, что физики уже много лет наблюдают это явление в экспериментах.

«С точки зрения физики этого достаточно, чтобы назвать его законом», — сказал Паншон-Смит, математик из университета Брауна. Однако до этой работы не существовало математического доказательства его непременного выполнения.


Закон Бэтчелора предсказывает соотношение количества крупномасштабных явлений (толстых завитков краски или потоков океанской воды одинаковой температуры) к количеству явлений на меньших масштабах (тонких линий краски) при смешивании жидкостей. Это соотношение остаётся неизменным при изменении масштабов, так, как маленькие матрёшки сохраняют пропорции большой.

Чтобы осознать идею Бэтчелора, вернёмся к краске. Представьте, что вы некоторое время продолжаете этот эксперимент, добавляя капли чёрной краски и помешивая. Теперь остановим время. Вы увидите толстые полоски чёрной краски (её замешивали меньше всего), более тонкие полоски (их замешивали дольше), и ещё более тонкие (их замешивали ещё дольше).

Закон Бэтчелора предсказывает, что количество толстых полосок, более тонких и совсем тонких полосок подчиняется точной пропорции – примерно как матрёшки подчиняются одинаковым пропорциям.

«В заданном фрагменте жидкости видны полоски разных масштабов, потому что часть капель только начала замешиваться, а часть замешивается уже некоторое время, — сказал Блументаль. – Закон Бэтчелора описывает распределение размеров полосок чёрной краски». Точную пропорцию описать в двух словах трудно, однако более тонких полосок получается больше, чем толстых, причём в определённое количество раз.

Закон предсказывает, что пропорция сохраняется даже если посмотреть на фрагмент жидкости с увеличением. У полосок различной толщины, как в небольшом участке жидкости, так и во всей банке будет ровно то же соотношение по количеству; и увеличивая масштаб, мы будем видеть то же самое соотношение. Закономерность одна на всех масштабах, как в гидродинамической турбулентности, где в каждом водовороте есть маленькие водоворотики.

Довольно смелое предсказание, которое, к тому же, сложно смоделировать математически. Сложная вложенность явлений на разных масштабах не даёт возможности точно описать появление закона Бэтчелора в едином потоке жидкости.

Но авторы работы придумали, как обойти эту сложность и доказать его.

Случайный подход

Бедроссиан, Блументаль и Пуншон-Смит применили подход, рассматривающий среднее поведение жидкостей во всех турбулентных системах. Математики и раньше пробовали эту стратегию, но ни у кого не вышло успешно её реализовать.

Этот подход работает потому, что случайность иногда позволяет делать точные предсказания поведения системы. Представьте себе вертикальную доску, утыканную гвоздями. Уроните вдоль неё монетку сверху, и она будет отскакивать от гвоздей, пока не попадёт в одну из щелей внизу. Сложно предсказать, куда попадёт конкретная монетка –слишком много факторов влияет на то, куда она будет отскакивать после каждого столкновения.


Сэмюэл Пуншон-Смит

Вместо этого можно рассматривать систему как случайную – и что для каждого гвоздя есть шансы, что монетка отскочит как вправо, так и влево. Если правильно подсчитать вероятности, то можно будет делать точные предсказания о поведении системы в целом. К примеру, можно обнаружить, что монетки с большей вероятностью будут попадать в конкретные щели.

«Что хорошо со случайностью, так это возможность делать усреднения, — сказал Тиффо. – Усреднение – очень надёжная идея, в том смысле, что её не касаются многие мелкие детали».

Что это означает для турбулентности и смешивания красок? Поскольку точные и детерминистские утверждения находятся за пределами возможности математики, полезнее будет представлять, что на краску действуют некие случайные силы – иногда мешающие её сюда, иногда туда, безо всякой закономерности. Такой подход называют случайным, или стохастическим. Он позволяет математикам использовать статистические выкладки высокого уровня и изучать, что происходит в системах в целом, не зарываясь в специфику каждой детали.

«Немного случайности позволяет победить сложности», — сказал Пуншон-Смит.

Именно это, наконец, позволило трём математикам доказать закон Бэтчелора.

Понимание смешивания

Один из способов доказать физический закон – представить себе условия, которые бы его аннулировали. Если можно доказать, что такие условия не возникают, это докажет, что закон всегда работает. Команда поняла, что для того, чтобы избежать предсказываемых законом Бэтчелора закономерностей, у замешивания должны быть совершенно определённые характеристики.

Доказательство закона разделено на четыре работы, опубликованные в онлайне между сентябрём 2018 и ноябрём 2019. Первые три концентрировались на понимании определённых движений смешиваемой краски, которые не позволили бы сработать закону Бэтчелора, и исключении таких движений. Они доказали, что даже если бы вы взяли жидкость, специально созданную так, чтобы победить закон Бэтчелора, закономерность в ней всё равно бы проявилась.

«Главное, что нужно понять – это что жидкость не может замыслить ничего против вас», — сказал Бедроссиан.


Джейкоб Бедроссиан

К примеру, закон Бэтчелора не сработал бы, если бы процесс смешивания приводил к появлению стойких водоворотов, или воронок, в краске. Такие воронки удерживали бы некоторые капли чёрной краски на одном месте – как обломки на краю потока – и краска бы не смешивалась.

«В таком водовороте траектории частиц будут не хаотичными; они не разделяются быстро, а крутятся все вместе, — сказал Бедроссиан. – Если ваша система не смешивает краски с правильной скоростью, закон Бэтчелора не проявится».

В первой работе математики сконцентрировались на том, что происходит во время процесса смешивания с двумя точками чёрной краски, изначально находившимися рядом друг с другом. Они доказали, что точки следуют случайными путями и расходятся в разных направлениях. Иначе говоря, близко расположенные точки не могут застрять в водовороте, который бы удерживал их вместе всё время.

«Изначально частицы движутся вместе, — сказал Блументаль, — но в итоге разделяются и расходятся по совершенно разным направлениям».

Во второй и третьей работах они шире взглянули на процесс смешивания. Они доказали, что в хаотической жидкости в общем случае чёрная и белая краска смешиваются с максимально возможной скоростью. Затем они определили, что в турбулентной жидкости не формируются локальные несовершенства (водовороты), которые бы могли помешать появлению элегантной глобальной картины, описанной законом Бэтчелора.

В первых трёх работах авторы проделали сложные математические выкладки, необходимые для доказательства того, что краска смешивается тщательно и хаотично. В четвёртой они показали, что в жидкости с такими свойствами смешивания закон Бэтчелора возникает как необходимое следствие.

Это одно из наиболее сильных математически строгих утверждений, касающихся турбулентных систем. Что ещё важнее, оно открывает нам возможности для нового потока математических идей. Турбулентность – явление хаотичное, почти случайное в своём движении. Три математика придумали, как бороться со случайностью при помощи случайности. Другие специалисты в этой области почти наверняка последуют за ними.

«Их большой вклад состоит в том, чтобы предоставить нам платформу, на которой можно строить доказательства, — сказал Тиффо. – Думаю, случайность – один из немногих способов построения модели турбулентности, которую мы способны понять математически».