3. Частотные характеристики звеньев и систем автоматического регулирования. 3.5 Колебательное звено
Колебательное звено является наиболее интересным случаем из всех типовых звеньев, во-первых, за счет “сильной похожести” по своим динамическим свойствам на более сложные реальные САУ (САР), во-вторых, близкой идентичности переходных процессов в звене к аналогичным в реальных САР, и, в-третьих, существенной зависимости динамических свойств от величины параметра звена.
Выведем формулу колебательного звена на примере электрического колебательного контура, который изучают в курсе школьной физики. Пример такого контура приведен на рисунке 3.5.1
Электрическая цепь содержит источник напряжения и последовательно соединённые индуктивность, сопротивление, конденсатор.
Входное ступенчатое воздействие x(t), формирующее внешнюю Э.Д.С в цепи, подключено к блоку «источнику напряжения» х(t) = Uвх(t).
Результирующий отклик звена - напряжение на конденсаторе y(t) = Uс(t) = Uвых(t).
Согласно второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, сумма Э.Д.С равна сумме напряжения на резистивных элементах контура.
где:
Поскольку в замкнутом контуре сила тока одинакова на всех элементах, перепишем уравнения, выразив силу тока через напряжение на конденсаторе. Сила тока в цепи равна изменению заряда конденсатора:
Тогда сила тока в цепи связана с напряжение на конденсаторе соотношением:
После замены силы тока, ее выражением через
Заменив
Уравнение динамики звена описывается уравнением, аналогичным рассмотренном в предыдущем разделе (апериодическое звено второго порядка):
причем
Учитывая, что
Введем новые параметры:
Подставляя новые параметры в (3.5.1):
Уравнение 3.5.2 - наиболее удобная форма представления уравнения динамики.
Перейдем к изображениям:
Передаточная функции колебательного звена:
Еще раз подчеркнем, что параметр (коэффициент) затухания (демпфирования)
Выражение для АФЧХ получается после подстановки в (3.5.3) значения
Домножим числитель и знаменатель формулы 3.5.4 на компексно сопряженное выражения для знаменателя
Выражения для вещественной и мнимой частей принимают вид:
Амплитуда АФЧХ
Сдвиг фазы
Анализ формул (3.5.5 − 3.5.8) показывает, что:
Одной из главных особенностей АФЧХ является возможность существования экстремума в зависимости A(ω). Выполним исследование на экстремум:
Очевидно что, для того, что бы выражение равнялось нулю необходиом равенство нлую следующего выражения:
Отсюда вырражение для экстермума:
Очевидно, что
Если
Если
Вычислим максимальное значение
Анализ вышеприведенных соотношений показывает, что при
Частоту ωм будем отождествлять с тем значением частоты входного гармонического воздействия, при которой имеет место максимальное значение амплитуды выходного сигнала.
Поскольку
Данные графики аналогичны для случаев резонансов в теоретической механике, физике, электротехнике и т.д.
Величину
Рассмотрим колебательное звено в котором β = 0. Очевидно, что в данном звене при ступечатом воздействии устанавливаются незатухающие колебания, а само звено вырождается в консервативное. При этом согласно формуле 3.5.10 выражение экстремума для такого звена:
Величину
Подставляя различные значения ω в формулу (3.5.5) или (3.5.6) построим годограф АФЧХ на комплексной плоскости:
Построение ЛАХ ≡Lm(ω) не может быть сделано так же просто, как для предыдущих позиционных звеньев, т.е. она не сводится к комбинации отрезков прямых.
Будем использовать для построения графика ЛАХ нормированную (безразмерную) частоту
Решим данное уравнение динамики, используя корни характеристического уравнения
На этом месте у меня всегда выносится мозг, как могут прыгающие на пружинке шарике, и электроны в электрическом контуре, описаны с помощью одиникового выражения, формулы синуса - соотношения стороно в прямоугольном треуголнике. Как это работает?!
Введя новую переменную
Таким образом мы получаем выражение, которое не зависит от Т. Такая форма представления позволяет ‘свести’ различные ЛАХ при различных Т к автомодельному (‘универсальному’) виду графиков.
На рисунке ниже представлен график Lm(ω) в форме (3.5.12), построенный фактически в логарифмических координатах, причем коэффициент усиления K=1.
Подчеркнем, что при такой форме представления все ЛАХ при различных T1и T2 можно “собирать вместе”.
Величина Hm (см. рис. 3.5.6) называется превышением:
Если ,
при ω=ωm (эта формула работает для ярко выраженных горбов).
Вычислим переходную функцию звена h(t):
Для вычисления переходной функции воспользуемся формулой Хэвисайда сначала найдем полюса
По формуле Хэвисайда
Разберем отдельно каждый предел:
Для вычисления 2-го и 3-го предела в формуле Хэвисайда более удобно использовать новые переменные m и n:
Тогда корни
Разложим квадратный трех член в скобках в занаментели на множетели и использованием корней
тогда 2-й предел в фомуле Хевисайда можно записать как:
домножая на комплексно сопряженное число
Анологично 3-й предел в формуле Хевисайда можно записать как:
домножая на комплексно сопряженное число
Отдельно сложим второе и третье слогаемое в формуле Хевисайда:
подставляя значения n и m:
и собирая все слогаемые формулы 3.5.15 получаем:
Введем новую переменную
Величина
Таким образом в описании колебательного звена появилось три “новых” частоты
- частота свободных колебаний; - частота, соответствующая максимальной амплитуде; - частота собственных колебаний.
Причем
Рассмотрим предельные случаи для β (т.е. β = 1 и β = 0):
Если
3.5.17 - переходная функция консервативного звена.
Если
Раскрываем неопределенность типа
эта формула соответствует также аналогичной формуле для апериодического звена 2-го порядка при D = 0 (совпадающие полюса).
Если
Дифференцируя во времени формулы (3.5.16 − 3.5.18), найдем соответствующие весовые функции для крайних значений
Если
Если
Если
Примерами колебательного звена можно считать:
R − C − L – цепь см. начало статьи;
Упругие механические передачи;
Гироскопический “маятник”;
Управляемый двигатель постоянного тока (при некоторых условиях).
Пример
В качестве примера для исследования колебательного звена возьмем электрический колебательный контур, который был рассмотрен в начале статьи и сравним его с моделью колебательного звена. Модель контура представлена на рисунке 3.5.13:
Схема модели содержит в себе:
модель электрического контура в виде электрической схемы;
модель контура в виде колебательного звена.
Параметры электрической схемы задаются в виде общих сигналов проекта. См. рис. 3.5.14:
В общем скрипте проекта выполняется вычисление постоянной времени T и коэффициента демпфирования
Для сравнения модели в виде электрической схемы и модели в виде колебательного звена, выполним моделирование ступенчатого возрастания напряжения, с 0 до 1 В.
Рисунок 3.5.17. Графики напряжений источника и на конденсаторе.Выполним гармонический анализ данной модели, аналогично тому, как мы это делали для модели демпфера и камеры смешения реактора демпфера.
На графике рис. 3.5.16 видно возникновение колебательного процесса и его затухание с течением времени. График на рис. 3.5.17 показывает полное совпадение модели в виде электрической схемы и модели в виде колебательного звена:
Выполним гармонический анализ данной модели, аналогично тому, как мы это делали для модели демпфера и камеры смешения реактора демпфера (см. раздел 3.3 Апереодическое звено 1-го порядка. и 3.1 Амплитудно-фазовая частотная характеристика). Расчетная схема для такого анализа приведена на рисунке 3.5.18.
Амплитуда входного тестового сигнала - 1 В, аналогична амплитуде ступенчатого воздействия предыдущего численного эксперимента.
Результаты анализа представлены на рисунке 3.5.19
Результаты моделирования показывают практическое совпадение теоретических значений частоты, при которой достигается максимальная амплитуда сигнала, и значений, полученных в результате моделирования электрической схемы: Теоретическое значение = 111,75 Гц Полученное моделированием = 112,2 Гц
Для исследования влияния параметров модели добавим на схему управляющие элементы, которые буду менять сопротивление резистора и емкость конденсатора во время расчёта.
Также выведем на схему значения коэффициента демпфирования с помощью текста и стрелочного прибора. Чтобы можно было отслеживать влияние параметров цепи на процесс, заменим ступенчатое воздействие на меандр. Схема модели примет вид, как это представлено на рисунке 3.5.20
Чтобы данная конфигурация заработала, необходимо добавить в скрипт программы код, который заберёт значения с ползунков и передаст их в параметры модели (см. рис 3.5.21)
Данная модель позволяет изменить сопротивление резистора и емкость конденсатора, и оценить влияние этого изменения на переходной процесс. Подобное изменение мы делали в предыдущем примере, где изменение силы терпения в механическом демпфере выполнялось автоматически, и апериодическое звено второго порядка превращалось в колебательное. В текущем примере мы можем «вручную», с помощью ползунков, изменить параметры цепи и получить из колебательного звена апериодическое звено второго порядка.
Например, при положении ползунков, изображенном на рисунке 3.5.22, колебательный контур превращается в апериодическое звено второго порядка (см. рис. 3.5.23.)
При увеличении сопротивления резистора происходит увеличение коэффициента демпфирования, и колебательное звено превращается в апериодическое 2-го порядка. (см. график на рис 3.5.23.
Поскольку мы рассматриваем общую тему частотных характеристик, доработаем наш виртуальный стенд с контуром так, чтобы можно было «вручную» исследовать частотные воздействия на контур.
Заменим в качестве источника блок «меандр», на блок «синусоида» и добавим ползунок, изменяющий частоту этого источника, а также добавим на схему текстовые надписи, отображающие частоты максимальной амплитуды, частоты собственных колебаний и частоты свободных колебаний. Расчетная схема будет выглядеть как на рисунке 3.5.25