Введение

Математический анализ знает множество прекрасных функций с необычными свойствами. Среди них интегральные синус и логарифм , также нельзя не отметить гамма-функцию или очень известную дзета-функцию Римана . Но сегодня я предлагаю читателю посмотреть на функцию W-Ламберта

Что такое W-функция Ламберта?

Для того, чтобы понять, что такое W-функция Ламберта, достаточно посмотреть на следующее равенство, которое по аналогии с основным тригометрическим тождеством предлагаю именовать "основное Ламбертово тождество":

Другими словами, функция Ламберта - обратная для . Однако после первых же исследований станет понятно, что не инъективна, а именно одно и то же значение достигается при двух разных аргументах, если . Поэтому данное выше определение требует пояснений.

Исследовав производную функции , понимаем, что функция возрастает на и убывает на . Таким образом, давайте построим обратную функцию к данной на соответствующих промежутках монотонности.

Ветвь, для которой , называется , другая - .

Постановка задачи

Задача. Научиться находить действительные корни уравнения следующего вида:

Как вы, наверное, уже догадались, для решения будем использовать W-функцию Ламберта. Итак, сначала возведем и левую, и правую часть в степень (это преобразование не является равносильным при четных целых , а при нечетных нужно будет расширять множество значений до всех действительных чисел, поэтому решаем задачу для указанных выше ограничений).

Теперь для того, чтобы воспользоваться основным Ламбертовым тождеством, нам нужно получить выражение с такое, как и в показателе степени экспоненты. Для этого поделим и левую, и правую часть на .

И теперь мы можем воспользоваться основным Ламбертовым тождеством:

Откуда и получаем уже итоговую формулу для .

Вычисление W-функции Ламберта

Заметим, что при функция Ламберта дает два действительных значения: по одному на каждой из ветвей и соответственно. В этом случае у изначального уравнения будет 2 корня.

Вычисление W₀. Будем использовать метод бинарного поиска по ответу. Мы можем так поступить, поскольку возрастает на .

Левая граница бинарного поиска понятна и равна. Теперь возникает вопрос, как выбрать правую границу. Первая идея, которая приходит на ум: положить ее равной , ибо верно неравенство , причем равенство достигается только в нуле.

Однако для достаточно больших это может быть не лучшим вариантом. Поэтому давайте посмотрим на другой: выберем правую границу равной .

Итого: при правой границей выбираем , а при берем .

Ассимптотика: , prec - изначально выбранная точность (например, 10^-12)

Вычисление W_-1. Здесь будем использовать следующее бесконечное выражение для :

Чем глубже мы спускаемся, тем выше точность вычислений.

Реализация на Python

from math import *

def LambertW0(x):
    left = -1
    right = x if x <= e else log(x)
    prec = 10**-12 # точность
    # бинарный поиск
    while right - left > prec:
        mid = (right + left) / 2
        if mid * exp(mid) > x:
            right = mid
        else:
            left = mid
    return right

def LambertW_1(x, t): # t - показатель точности
    if t == 100:
      	return log(-x)
    else:
      	return log((-x)/(-LambertW_1(x, t + 1)))

def sol(p, q):
    s = q**(1/p) / p
    if s < -exp(-1):
        return "No real solutions"
    ans = "Solutions: " + str(p * LambertW0(s)) + " "
    if -exp(-1) < s and s < 0:
      	ans += str(p * LambertW_1(s, 0))
    return ans
    

p = float(input())
q = float(input())
print(sol(p, q))

Проверка

Уравнение 1.

Уравнение 2.

Уравнение 3.

Заключение / выводы

Значения на 0 и -1 ветви W-функции Ламберта могут быть достаточно точно вычислены за короткое время, что делает возможным решение некоторых типов уравнений.