Полиномиальные корневые методы синтеза САУ ч.1
Леонид Маркович Скворцов. Широко известный в узких кругах математик, профессионально занимающийся математическими проблемами автоматического управления. Например, его авторские методы использованы в SimInTech. Данный текст, еще готовится к публикации. Но с разрешения автора, читатели Хабр будут первыми кто сможет оценить.
1. Задача заданного расположения полюсов
При синтезе систем автоматического управления (САУ) используют два основных подхода. Первый из них основан на построении оптимального по некоторому критерию закона управления, а второй – на выборе закона управления таким образом, чтобы замкнутая система обладала заданными динамическими свойствами. Второй подход используется в классических частотных и корневых методах, в которых свойства системы задаются в виде желаемой частотной характеристики либо заданного расположения корней характеристического уравнения (полюсов) замкнутой системы. Такой подход кажется нам наиболее практичным, поэтому именно его и будем здесь рассматривать.
Идея корневых методов заключается в том, чтобы путем надлежащего выбора параметров регулятора обеспечить заданное расположение корней (всех или только нескольких) замкнутой системы. Если параметр один, то можно построить траектории корней при изменении этого параметра, которые получили название корневых годографов. Метод корневых годографов был предложен еще во времена ручных расчетов и имеет ограниченные возможности для построения регуляторов, поэтому в настоящее время получили распространение и развиваются более эффективные и удобные методы модального управления (мода – составляющая свободного движения, соответствующая определенному корню).
Задача модального управления ставится как задача построения закона управления таким образом, чтобы замкнутая система имела наперед заданное расположение полюсов. Традиционные методы решения этой задачи основаны на представлении модели в пространстве состояний [1, 2, 3]. Если линейная стационарная система полностью управляема, то всегда можно сформировать закон управления в виде линейной комбинации всех переменных состояния таким образом, чтобы замкнутая система имела любой наперед заданный набор полюсов. В рамках классической постановки известна также задача частичного назначения полюсов [1, 2, 6, 26], когда задается расположение только нескольких полюсов, а остальные остаются такими же, как и в разомкнутой системе, но при этом для формирования управления также используются все переменные состояния.
При решении задачи модального управления в классической постановке требуется каким-то образом измерять все переменные состояния. Это не всегда возможно, да и не является необходимым. В большинстве случаев можно обеспечить заданные требования, формируя управление не по всем, а только по некоторым переменным. Пусть управляемый объект описывается уравнениями порядка n, а для формирования управления используются mпеременных при m < n. Тогда заданным образом можно расположить m полюсов. Расположение остальных полюсов заранее неизвестно, но предполагается, что они расположены левее назначаемых полюсов и не влияют существенно на динамику системы. Если это предположение не выполняется, то следует скорректировать расположение полюсов либо структуру регулятора и повторить расчет. Таким образом, в общем случае проектирование осуществляется в интерактивном режиме, допускающем корректировку исходных данных.
В практических приложениях наиболее актуальна задача расположения небольшого числа полюсов при ограниченном числе доступных для измерения переменных. Для решения этой задачи удобно использовать вход-выходные соотношения, в этом случае алгоритм решения основывается на операциях с полиномами и решении полиномиальных уравнений. Поэтому методы решения задачи расположения полюсов, основанные на вход-выходных соотношениях, можно назвать полиномиальными корневыми методами. Мы будем рассматривать именно такие методы, но для сравнения различных подходов изложим также и алгоритм, основанный на представлении модели одномерной системы в пространстве состояний.
2. Расположение полюсов и стандартные полиномы
Синтез системы методом модального управления включает в себя два основных этапа: 1) выбор расположения полюсов исходя из заданных требований к показателям качества; 2) построение регулятора, обеспечивающего заданное расположение полюсов. Обширная литература по модальному управлению посвящена в основном 2-му этапу, и только немногие работы, среди которых [14, 15, 20], затрагивают также и 1-й этап.
Выбор расположения полюсов эквивалентен заданию характеристического полинома при расположении всех полюсов либо заданию полинома, который является делителем характеристического полинома при расположении нескольких полюсов. При расположении одного или двух полюсов нетрудно связать параметры задаваемого полинома с показателями качества САУ. Однако при большем числе свободных параметров такая задача становится неоднозначной. Поэтому имеет смысл использовать стандартные полиномы, параметры которых имеют простую и понятную связь с показателями качества системы управления.
Представим стандартный полином в виде:
Будем предполагать, что все коэффициенты этого полинома положительны, что является необходимым условием устойчивости. Нам нужно связать коэффициенты полинома с показателями качества, которые можно разбить на 3 группы: 1) показатели качества переходного процесса; 2) показатели быстродействия; 3) показатели точности слежения. При этом число свободных параметров, от которых зависят коэффициенты полинома и показатели качества, должно быть невелико. Мы ограничимся двумя параметрами, один из которых является показателем быстродействия и точности, а другой – показателем качества переходного процесса.
Примем
Если все корни
Рассмотрим сначала в качестве стандартной модели простейшую систему 2-го порядка с характеристическим полиномом
тогда ПФ разомкнутой системы:
Система будет минимально фазовой, если
Корни полинома (полюсы замкнутой системы) равны:
а единственный нуль при
Если
где:
При
и при
При
Если эта характеристика имеет перерегулирование, то оно вычисляется по формуле (2.3), где
При
Из приведенных характеристик видно, что
Рассмотрим теперь стандартные модели более высоких порядков. Определим два типа стандартных ПФ разомкнутой системы. ПФ 1‑го типа соответствует системе с первым порядком астатизма и имеет вид:
ПФ 2-го типа соответствует системе со вторым порядком астатизма и имеет вид:
В общем случае числители передаточных функций могут иметь более сложный вид, но в [14] отмечалось, что «и при другом виде числителя эти формы весьма полезны, так как могут служить отправной точкой при отыскании оптимального расположения корней». Поэтому ограничимся пока представлениями (2.4) и (2.5), которые вполне подходят в качестве стандартных (эталонных) моделей.
Основными показателями точности следящей системы являются порядок астатизма и добротность по скорости или ускорению. Для системы 1-го типа (2.4) добротность по скорости равна
В [5, 10, 11] было показано, что качество переходного процесса напрямую зависит от показателей качества
Для удобства будем использовать также и обратную величину
При задании стандартного полинома ограничимся двумя параметрами: показателем быстродействия и точности
В дальнейшем нам иногда будет удобно использовать нормированный стандартный полином, получаемый при
тогда коэффициенты полинома (2.1) при
Нормальные полиномы. В [25] нормальными названы полиномы, имеющие одинаковые значения всех показателей качества
или в виде
Алгоритм 1. Расчет коэффициентов нормального полинома по заданным значениям
function norpol(tau,alfa,n:integer):array
var i:integer;
norpol=(n+1)#1;
for (i=1,n) norpol[i+1]=tau^i*alfa^(i*(i-1)/2);
end;
В результате выполнения этой функции получаем массив коэффициентов нормального полинома, расположенных в порядке возрастания степеней s.
Геометрические полиномы. В [20] было предложено располагать корни полинома по закону геометрической прогрессии, при этом знаменатель этой прогрессии может быть как действительным, так и комплексным числом. Мы назвали эти полиномы геометрическими потому, что расположение их корней на комплексной плоскости имеет простую геометрическую интерпретацию. Все корни расположены либо на вещественной прямой по закону геометрической прогрессии либо равномерно на дуге окружности с центром в начале координат. Частными случаями геометрических полиномов являются биномиальные полиномы и полиномы Баттерворта.
При
При
Если
откуда получаем уравнение для нахождения
В общем случае
где
Таким образом, нахождение
Алгоритм 2. Расчет коэффициентов геометрического полинома по заданным значениям
1. Найти q, решив уравнение (2.8), (2.9).
2. Cформировать геометрический полином
если
(в любом случае все
3. Произвести нормировку коэффициентов, чтобы полином имел заданное значение показателя быстродействия
тогда полином вида (2.1) с этими коэффициентами и будет геометрическим полиномом степени n с заданными значениями показателей
Алгоритм реализован в виде функции geopol(tau,alfa,n) на языке программирования SimInTech, а также в виде одноименного программного блока (модуля) системы Mathсad.
Алгоритм реализован в виде функции geopol(tau,alfa,n) на языке программирования SimInTech, а также в виде одноименного программного блока (модуля) системы Mathсad.
Проведем сравнение нормальных и геометрических полиномов. При одинаковых значениях
При сравнении качественных характеристик нам удобно использовать обобщенный показатель качества
Для геометрических полиномов соответствующие граничные значения запишутся в виде
Для нормальных полиномов не удалось получить аналогичные простые выражения в зависимости от
Таблица 1. Значения
Нормальный полином | Геометрический полином | |||
n | ||||
2 | 0 | 4 | 0 | 4 |
3 | 1 | 3 | 1 | 3 |
4 | 1.414 | 3.236 | 1.442 | 2.520 |
5 | 1.466 | 3.234 | 1.554 | 2.236 |
6 | 1.414 | 3.234 | 1.568 | 2.048 |
7 | 1.356 | 3.234 | 1.551 | 1.913 |
8 | 1.376 | 3.234 | 1.525 | 1.811 |
Таблица 2. Корни стандартных полиномов при
n | Нормальный полином | Геометрический полином |
2 | ||
3 | ||
4 | ||
5 | ||
6 | ||
7 | ||
8 |
Некоторые показатели переходных и частотных характеристик стандартных систем 1-го типа с ПФ вида (2.4) при
Таблица 3. Характеристики стандартных систем 1-го типа при
| Нормальный полином | Геометрический полином | ||||
1 | 4.3 | 2.07 | 65.5 | 4.3 | 2.07 | 65.5 |
3 | 8.1 | 2.98 | 60.5 | 8.1 | 2.98 | 60.5 |
4 | 6.2 | 2.54 | 61.0 | 6.0 | 2.36 | 62.0 |
5 | 5.5 | 2.50 | 61.1 | 1.3 | 1.60 | 63.8 |
6 | 5.5 | 2.52 | 61.1 | 0.0 | 1.70 | 65.2 |
7 | 5.5 | 2.52 | 61.1 | 0.0 | 1.80 | 66.2 |
8 | 5.5 | 2.52 | 61.1 | 0.0 | 1.85 | 67.1 |
Таблица 4. Характеристики стандартных систем 2-го типа при n = 5
| Нормальный полином | Геометрический полином | ||||
1.7 | 87.3 | 3.57 | 22.5 | 104.4 | 7.12 | 17.6 |
2 | 51.6 | 2.32 | 33.6 | 60.7 | 1.97 | 31.4 |
2.5 | 32.3 | 2.29 | 45.1 | 33.4 | 2.12 | 44.1 |
3 | 24.3 | 2.20 | 52.5 | 23.9 | 2.06 | 52.0 |
Для стандартных систем 2-го типа (2.5) приводим в табл. 4 зависимости основных характеристик от
Вторая часть здесь... Заключительная часть с примерами здесь....
Небольшое видео, с демонстрацией рельного приимущества численных методов интегрирования от Скворцова Леонида Марковича над другими математическими методами интегрирования.
Литература
1. Андреев Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. 424 с.
2. Андреев Ю. Н. Алгебраические методы пространства состояний в теории управления линейными объектами (обзор зарубежной литературы) // Автоматика и телемеханика. 1977. № 3. С. 5–50.
3. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб.: Наука, 2000. 475 с.
4. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972. 768 с.
5. Воронов В. С. Показатели устойчивости и качества робастных систем управления // Изв. АН. Теория и системы управления. 1995. № 6. С. 49–54.
6. Икрамов Х. Д. О размещении полюсов линейных стационарных систем // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1993. Вып. 9. C. 237–291.
7. Карташов Б. А., Шабаев Е. А., Козлов О. С., Щекатуров А. М. Среда динамического моделирования технических систем SimInTech. М.: ДМК Пресс, 2017. 424 с.
8. Каханер Д., Моулер К. Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. 575 с.
9. Козлов О. С., Скворцов Л. М. Исследование и проектирование автоматических систем с помощью программного комплекса "МВТУ" // Информационные технологии. 2006. № 8. C. 9–15.
10. Козлов О. С., Скворцов Л. М. Синтез робастных регуляторов минимального порядка // Наука и образование (электронный научно-технический журнал). 2013. № 2. URL: http://engineering-science.ru/doc/533324.html.
11. Козлов О. С., Скворцов Л. М. Синтез простых робастных регуляторов // Автоматика и телемеханика. 2015. № 9. С. 102–114.
12. Крутько П. Д. Полиномиальные уравнения и обратные задачи динамики управляемых систем // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. !986. № 1. С. 125–133.
13. Крутько П. Д., Максимов А. И., Скворцов Л. М. Алгоритмы и программы проектирования автоматических систем. М.: Радио и связь, 1988. 306 с.
14. Кузовков Н. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976. 184 с.
15. Литвинов Н. Д. Метод расположения корней характеристического полинома, обеспечивающий заданные степень устойчивости и колебательность системы // Автоматика и телемеханика. 1995. № 4. С. 53–61.
16. Медведев В. С., Потемкин В. Г. Control System Toolbox. MATLAB 5 для студентов. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999. 287 с.
17. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 303 с.
18. Скворцов Л. М. Синтез закона управления по заданным полюсам и нулям передаточной функции // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1987. № 6. С. 149–153.
19. Скворцов Л. М. Синтез линейных систем методом полиномиальных уравнений // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1991. № 6. С. 54–59.
20. Скворцов Л. М. Расположение полюсов при синтезе модального регулятора // Изв. РАН. Техническая кибернетика. 1993. № 6. С. 226–229.
21. Скворцов Л. М. Интерполяционный метод решения задачи назначения доминирующих полюсов при синтезе одномерных регуляторов // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1996. № 4. С. 10–13.
22. Уилкинсон Дж. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. 564 с.
23. Chen C. T. Linear system theory and design. New York: Oxford University Press, 1999. 334 p.
24. Kailath T. Linear Systems. New Jersey: Prentice-Hall, 1980. 682 p.<o:p></o:p>
25. Naslin P. Polynomes normaux et critere algebrique d'amortissement // Automatisme. 1963. V. 8. № 6. P. 215–233.
26. Saad Y. Projection and Deflation Methods for Partial Pole Assignment in Linear State Feedback // IEEE Trans. Autom. Control. 1988. V. 33. № 3. P. 290–297.