Гипотеза о природе сложности

Недавно в ленте FB попалось интереснейшее видео Теория Всего и феноменологическая Теория Сложности. Что это и почему это важно? где, помимо всего прочего интересного, прозвучала следующая цитата:

Идея самоиндуцированных спиновых стекол состоит в том, что беспорядок, в общем-то, не нужен, а что нужно нужно то, что называется фрустрации, или то, что называется конкурирующее взаимодействие. То есть когда у вас на систему действует несколько разнонаправленных тенденций и каждая хочет систему упорядочить, но каждая хочет систему упорядочить по-своему. Когда они все присутствуют одновременно и действуют одновременно система не может выбрать куда ей упорядочиваться. И вот она приходит в это в это состояние спинового стекла, несмотря на то что никакого беспорядка нет.

Михаил Кацнельсон, (c)

(Примечание: Спиновые стёкла рассматриваются как состояние магнитной системы со случайным распределением спин-спиновых взаимодействий. В системе отсутствует дальний порядок, причем беспорядок в системе замороженный, то есть не меняется со временем).

Я достаточно далёк от физики в целом и данной тематики в частности, но вот сам тезис о связи конкурирующих взаимодействий и свойствах сложных систем демонстрировать, с одной стороны квазислучайное поведение, а с другой определённые закономерности показался очень любопытным, поскольку вызвал ассоциации с совершенно неожиданным объектом для сравнения - простыми числами. Точнее с их распределением.

В этой связи приведу другой тезис, который буду использовать как вторую отправную точку:

Ни нули дзета-функции Римана, ни собственные значения гауссовой случайной эрмитовой матрицы не похожи на случайно разбросанные точки (отличаются от идеально случайного разброса);

С одной стороны, распределение простых чисел выглядит вполне случайным (хотя, право, мало ли что как выглядит...!?!), с другой стороны - случайность тут тоже "замороженная", ну а с третьей - присутствуют и закономерности.

В частности, имеется:

С неё и начнем.

Функция a(x)

Рассмотрим некоторую функцию где , такую что точно выполняется соотношение:

Из (1) выразим :

Получим :

Мы определили такую функцию , значения которой есть основания логарифма числа при котором соотношение (1) в точности соответствует распределению простых чисел (т.е. функции ).

Можно заметить, что характерный ступенчатый вид функции естественным образом обусловлен свойствами базовых функций и .

Посмотрим на функции внимательней.

Элементарные свойства функций a_k(x) и π(x)

Семейство функций вида для и имеет ряд примечательных свойств:

1.1. имеет единственный максимум при равный и монотонно и достаточно быстро убывает для всех .
1.2.
1.3.
1.4. растёт крайне быстро и до очень больших значений на фиксированном интервале .

Функция обладает следующими элементарными свойствами:
2.1.
2.2 неубывающая ступенчатая функция.

Интерпретация графика a(x)

Несложно заметить, что функция (Рис. 1) является композицией функций (Рис. 4), на интервалах по всем простым , где для .

Поскольку на каждом интервале значение , то каждому интервалу соответствует свой ниспадающий участок соответствующей функции ("гирлянда").

В силу 1.3 каждое появление нового простого числа(в силу 2.2) гарантированно поднимает график вверх("вершина гирлянды - простое число") выше предыдущего значения, а каждое последующее в силу 1.1 снова опускает его.

В силу того, что множество простых чисел бесконечно, а в силу 1.1 функция убывает и в то же время в силу 1.2 не опускается ниже 1 мы имеем постоянно действующий процесс взаимно конкурирующих взаимодействий.

Вывод

Согласно базовой гипотезе, наличие этих "фрустраций" (в смысле данном выше), вероятно, и может определять "случайный" характер распределения простых чисел.

P.S. Предел a(x)

Глядя на Рис. 2 можно предположить, что:

Во всяком случае, это было бы красиво банально :)