Продолжаем знакомство с моделью числа и ее свойствами, а конкретно, с симметриями, которое этой публикацией завершается. Симметрии излагались на разном уровне представления модели: областей строк, отдельных строк, элементов одной строки и элементов разных строк. Для читателей, ознакомившимися с моими предыдущими
 статьей 1(О разложении модели числа), статьей 2 (О симметриях...) и др. предлагается продолжить знакомство с проблемой моделирования и исследования чисел.

Объект исследования натуральный ряд чисел (НРЧ) настолько богат известными и совершенно новыми свойствами, что само их перечисление потребовало бы много места и времени. В этой публикации рассматриваются симметрии, связанные с идемпотентами кольца. Их роль в отображении строк-дублей совершенно не похожа ни на что из рассмотренного ранее, как, впрочем, и для других «осей симметрии». Если, например, центральная строка СММ раздвигала\ сдвигала строки-дубли на постоянный интервал, то линия раздела строк идемпотентов, наоборот, как бы «склеивает» (делает смежными) удаленные строки.

Разговор о симметриях подходит к завершению, возможно, мне не все удалось увидеть и рассмотреть, изложить текстом, но я старался исследованное мной явление описать в подробностях и деталях. Я представляю, что для проведения успешной атаки на шифр ключевую роль может сыграть как принципиальная концепция, парадигма, так и «малозначащая» деталь, которую старался не упустить из внимания. Приятно отметить, что один из комментаторов подключился к теме и даже привел доказательство, к сожалению не совсем то, которое требовалось, но есть возможность вернуться и довести дело до ума и завершения.   

Цель публикации в первую очередь образовательная, познавательная, популяризация науки, а также стремление привлечь в ряды исследователей, в науку приток новых молодых (и не очень) умов, вызвать в таких умах стремление к поиску ответов на возникающие вопросы.  Масштабность темы требует ввести разумные ограничения на излагаемый материал после краткого панорамного её рассмотрения

Введение

По мере изложения текста используются аббревиатуры (сокращения), которые я собрал в одном месте для удобства читателя. Эти сокращения мной используются во всех статьях по проблеме факторизации числа и информационной безопасности.
СММ – списочная многострочная модель числа;
ЗРД — закон распределения делителей числа;
НРЧ — натуральный ряд чисел;
ПНЧ — последовательность нечетных чисел;
ИБ — информационная безопасность;
КВВ — квадратичный вычет элемента кольца по модулю N;
КВК — квадратичный вычет – полный квадрат;
ЧКСС — четверка кратных смежных строк;
КЧКВ — конечное числовое кольцо вычетов по модулю N; ТКВК — тривиальная непрерывная область строк СММ, содержащая все КВК;
ТССС — тривиальная непрерывная область строк СММ, содержащая все средние вычеты, сохраняющие смежность сомножителей;
ДЦ, ДIn, Д0, — дубли строк СММ центральной, первой (инволюций), последней (нулевой;
Идемпотент — идемпотентный элемент, элемент е кольца, полугруппы или группоида, равный своему квадрату: е² = е.
Инволю́ция (от лат. involutio — свёртывание, завиток) — инволютивный элемент х кольца, квадрат которого х² = 1; преобразование, которое является обратным самому себе, а квадрат инволюции равен единице в кольце.

Ранее уже упоминалось, что в СМ-модели установлено, по меньшей мере, пять осей (позиций, линий) симметрии (по четырем первым позициям материалы описаны, рассмотрены и опубликованы):

– нулевая (нижняя) строка модели;
– центральная строка модели;
– строка нетривиальных инволюций;
– линия раздела пар четверки кратных смежных строк;
– линия, разделяющая строки идемпотентов;

Каждая из перечисленных позиций, обеспечивает самостоятельный вариант компоновки строк с вычетами, в основу которых кладется определение номера исходной и дублируемой строки. Охарактеризуем подробнее линию раздела пары кратных смежных строк идемпотентов.

Линия раздела пары кратных смежных строк идемпотентов

В табл. А5 зарегистрированы послойно КВВ строк окаймления (56 слоев) линии раздела строк идемпотентов. КВВ строк-дублей для строк исходного окаймления помещены в этой же строке таблицы с указанием номеров строк (как исходных, так и дублей) размещения. Каждой паре окаймляющих строк линии раздела строк идемпотентов соответствует пара строк-дублей (табл. А5).

Эти пары в свою очередь окаймляют двумя слоями в основном строки с КВВ = КВК сверху и снизу, иногда обе только с одной стороны, иногда не привязываются к КВК вообще. В последнем случае строки-дубли оказываются парой средних строк в интервалах четной длины, границами которых являются кратные делителям N строки.

Именно такие размещения строк-дублей в центрах интервалов соответствуют начальным слоям окаймления линии раздела идемпотентов. Первый слой - это сами идемпотенты (они всегда кратные делителей); второй слой с КВВ = 947, х_о = 44 и КВВ = 47, х_о = 45 втиснут между кратными строками с номерами х_о = 43 и х_о = 46; третий слой с КВВ = 740, х_о = 255 и КВВ = 262, х_о = 256 между строками с номерами х_о = 253 и х_о = 258 с просветом в одну строку и т.д.

Первый окаймляемый квадрат КВК = 121 = 11² встречается лишь в слое 12. Понятно, что строка-дубль может быть только с номером х_о = 11, КВК(х_о = 11) = 121. Это следует из того, что квадратичное сравнение с квадратичным вычетом 121, х² ≡ 121 (mod989) имеет 4 корня в двух строках СММ.

При исследовании числа, изучении его модели важным аспектом следует назвать явление симметрии положения строк. А поскольку корни квадратичных сравнений для большинства строк (некратных) образуют множество из 4-х элементов: основные х_о1, х_о2 и их дополнения
х₁₁ = N – х_о1, х₁₂ = N – х_о2, то они распределяются в двух строках. Это строки-оригиналы и строки-дубли.

Возникает вопрос, если для строки-оригиналов имеет место симметрия положения, например, пара строк окаймления какой-либо из "осевых" линий n-го слоя, то как проявляется симметрия положения для строк-дублей ? Дело в том, что строка-дубль - это обыкновенная строка как и строка оригинала в СММ, но она может рассматриваться как элемент, участвующий в нескольких порождаемых разными механизмами симметрий множествах, выполнять разную ситуационную роль.

Так в таблице В выделенные заливкой две пары строк (верх \ низ) можно рассматривать как строки окаймления для строки с номером х_о = 122 с КВВ = 49 двух слоев 1-го и 2-го. Но рассматривая пары строк с заливкой как строки-дубли, порожденные механизмом симметрии линии раздела кратных смежных строк идемпотентов, понимаем, что они порождены 38 слоем окаймления идемпотентов для нижней пары и 52 слоем для верхней пары строк.

В то же время пара строк окаймления 1-го слоя для строки с КВК= 49 (средней для пар строк с заливкой) -это индуцированные строки-дубли 7-м слоем окаймления строки нетривиальных инволюций, а пара строк окаймления 2-го слоя для строки с КВК = 49 – это строки-дубли 7-го слоя окаймления строки с КВК = 4. Далее эти положения (утверждения)поясняются большими таблицами Б1 - Б4.

Окаймление строк с идемпотентами отличается от окаймления строки нетривиальных инволюций, все слои которого отображаются в окаймления строк-дублей 1-го слоя строк, содержащих КВК.
Из сказанного следует, что строки-дубли, порождаемые строкой окаймления инволюций, для какого-то подмножества совпадают со строками–дублями, порождаемыми линией раздела идемпотентов. Совпадение не превышает размещения в двух первых слоях, так как с парой окаймляющих строк идемпотентов связана единственная пара строк-дублей.

При этом, если строка-дубль 1 слоя окаймления, например, строки с КВК = 49 имеет номер
х_о = 123 с КВВ =294, индуцирована строкой окаймления инволюций из 7-го слоя, то эта же строка (с номером х_о=123) порождена строкой с номером х_о = 307 из 38 слоя окаймления линии раздела идемпотентов. Этот факт имеет вполне обычное объяснение: строка с номером х_о = 307 лежит между инволюцией (х_о = 300) и идемпотентом (х_о= Id = 345) на удалении 7 строк (единиц) от строки инволюций и на удалении 38 единиц от идемпотента Id = 345. И суммарное удаление 7+38 = 345 равно удаленность идемпотента от инволюции х₁.

Таблица Б1- Пересечение множества строк симметрии инволюций и идемпотентов

Таблица В - Строка с КВК = 49, окаймляемая двумя слоями строк-дублей, которые возникают в рамках трех разных механизмов симметрического порождения: инволюций, идемпотентов и строки с КВК = 4.

Второй слой строка окаймления для строки с КВК = 49 это строка с номером х_о = 124 с
КВВ = 541 получена не от инволюций, а от строки с КВК = 4, но также из 7-го слоя окаймления (х_о=382, КВВ =541); она же размещается в 38 слое (снизу) окаймления линии раздела идемпотентов (так и хочется ввести еще одно сокращение ЛРИ, но комментаторы высказали неудовольствие по поводу обилия аббревиатур, поэтому не буду вводить ). Поэтому из нее порождается одна строка-дубль х_о=124 в двух симметриях от строки с КВВ=4 и от линии раздела идемпотентов.

Таблица Б2 - Пересечение множества строк симметрии с КВК = 4 и идемпотентов

 Анализ для строк окаймления сверху строки с номером х_о = 122 с КВК = 49 выполняется аналогично. Как видим механизмы симметричного расположения строк не очень и загадочны,
но потребовалось немало времени и усилий, чтобы дойти до понимания явления. Зато теперь
список СММ для меня стал вполне знакомой вещью. А новости тем не менее продолжают валиться. Я думаю закон распределения делителей (ЗРД) можно уже изучать в школьной программе и "не пудрить мозги", что обратной к операции умножения является операция деления, для которой кроме делимого (произведения) нужно где-то брать еще и делитель. На Хабре первыми узнали об этом, но...не оценили (правильнее сказать оценили "в минус"). А со временем и некоторые аббревиатуры "устаканятся", потому как без них плохо.

Продолжим наш анализ. Возвращаясь к таблице В, отметим, что появление нижней пары строк нами уже рассмотрено и объяснено. Займемся верхней парой окаймляющих строк с номерами
х_о = 120 с КВВ = 554 и х_о = 121 с КВВ = 795. Строки с такими КВВ принадлежат окаймлению линии раздела идемпотентов (слой 52) х_о = 293 с КВВ = 795 и х_о = 396 с КВВ = 554 между ними 2 · 52 = 104 строки. Строки-дубли этих строк "склеиваются" механизмом порождения дублей в смежные.

С другой стороны, строка, примыкающая сверху к строке х_о = 122 с КВК = 49 порождается инволюцией, для которой она лежит, в 7 слое, а следующая строка-дубль (из 2-го слоя) порождается симметриями (7-й слой) строки с КВК = 4, х_о = 389

Заключение

Рассмотрено 5 механизмов порождения симметричными строками окаймления разных «осевых» строк (линий). Эти механизмы реализуют различающиеся отображения окаймляющих строк в строки-дублей:

– нулевая (нижняя) строка модели;
– центральная строка модели;
– строка нетривиальных инволюций;
– линия раздела пар четверки кратных смежных строк;
– линия, разделяющая строки идемпотентов;

 – нижняя «нулевая» строка указывает симметрию размещения «осевых» элементов; линии раздела четверки кратных смежных строк и равноудаленность от центра строки нетривиальных инволюций и; линии раздела строк идемпотентов и «нулевой» строки
– центральная строка СММ размещает строки-дубли на постоянном удалении (половина четной инволюции) одну от другой;
– строка нетривиальных инволюций размещает строки-дубли послойно в строках с квадратами из распределенных центров:1-й слой от строки с КВК=1, второй слой – от строки с КВК= 4, третий – от строки с КВК = 9 и т.д.;

– линия раздела пар строк ЧКСС размещает строки-дубли также послойно из разных центров, которые представляют собой линии раздела (центры) четных интервалов с границами, кратными разным делителям модуля N;
– линия раздела строк идемпотентов удаленные пары строк окаймления преобразует в строки-дубли и делает их смежными («склеивает»), окаймляя при этом строки с КВК; либо помещает строки-дубли в четные интервалы, делая их там центральной парой.