Часть 2: сфера

В конце 2023 года я провел семинар по геометрии и рассказал про различные её виды - евклидову, сферическую и гиперболическую, или геометрию Лобачевского. Сюжет оказался интересным, поэтому он был развит - я включил в него дополнительные темы, какие-то из них раскрыл подробнее, поменял акценты и самое главное - добавил трехмерные визуализации.

Семинар был разбит на цикл из шести частей, в которых постепенно, с некоторым количеством формул и выводов, написаных от руки, и большим количеством визуализаций, будет пройден путь от длин кривых в евклидовых пространствах до геометрии Лобачевского.

Главным преимуществом цикла являются визуализации и интуитивная подводка к тому, откуда появляются описываемые объекты. В цикле отсутствует постулирование, вроде "вот такую штуку мы назовем прямой", а объекты выводятся из первых принципов. Приглашаю к прочтению!

(Картинка выше взята отсюда: Hyperboloid of Two Sheet)

Скалярное произведение в евклидовом пространстве

С обычным скалярным произведением векторов и его записью "в координатах", я думаю, все знакомы. В трехмерном пространстве оно равно сумме произведений соответствующих координат. Скалярное произведение порождает норму вектора, равную корню из скалярного произведения вектора с самим собой, такое выражение будет удовлетворять трем аксиомам нормы. Расстояние между векторами тогда можно определить как норму из их разности. Пространство  с таким скалярным произведением называют евклидовым.

Длины кривых в еклидовом пространстве

Для подсчета длины какой-то кривой можно воспользоваться теоремой Пифагора и математическим анализом с первого курса университета. Для плоской кривой заданной параметрически (т.е. каждая координата в пространстве функционально зависит от ) нужно в каждой её точке провести касательную и взять бесконечно малые линейные приращения вдоль горизонтальной и вертикальной осей соответственно, а потом, используя их, найти длину гипотенузы в треугольнике с катетами . На рисунке точкой обозначены производные функций по аргументу . После этого длины гипотенуз нужно просуммировать, то есть проинтегрировать выражение вдоль всей кривой.

Такой подход работает в евклидовых пространствах, он соответствует индуцированной норме из скалярного произведения. В тот момент, когда длина была приравнена к - я воспользовался тем, что скалярное произведение индуцирует норму по формулам с первого рисунка. Скалярное произведение и норма могут быть и другими выражениями, но нас пока интересует именно такой их вид.

Индуцированная метрика

Нахождение длины кривой в евклидовом пространстве - это частный случай индуцирования метрики; когда мы ограничиваем метрику (евклидову) на какой-то объект, который в этом пространстве лежит (в примере выше - кривую). Пользуясь свойствами скалярного произведения, можно выписать более общую формулу для квадрата элемента длины кривой и поверхности (выписываем метрику пространства, выписываем параметрическое уравнение кривой, находим дифференциалы , подставляем их в метрику пространства):

Для поверхности аналогично, только нужно посчитать больше производных:

Конкретные выражения зависят от кривой и поверхности и получаются прямым подсчетом.

Зачем же все это нужно? Чтобы считать скалярное произведение, пользуясь только локальными координатами, не переходя в глобальные. А с помощью скалярного произведения считают углы, длины и площади. Часто бывает проще задать кривую на поверхности через выражения локальных координат как функций от параметра , т.е. , тогда выражение кривой на поверхности в глобальных координатах будет иметь вид . А самое главное - вид метрики дает понять как устроены поверхности или пространства, как они “изгибаются”. Следующим шагом в классической дифференциальной геометрии является определение касательного пространства к поверхности в точке, для этого на поверхности выбирают точку и через нее проводят всевозможные гладкие кривые. После этого находят касательные к ним - векторы, из которых и состоит касательное пространство.

Касательное пространство не существенно для осознания неевклидовых геометрий, по этому в следующей части разберем конкретный пример - метрику (и не только) на сфере.