Привет, меня зовут Диана, я математик, а еще пишу для хабраблога МТС. В прошлый раз я рассказывала про кривые второго порядка. Сегодня хочу продолжить и обобщить тему, перейдя в 3D.

Иронично, что двумерная ситуация помогает объяснять глобальные процессы вроде движения тел в космосе, ведь орбиты отлично описываются плоскими кривыми. А более сложная трехмерная ситуация нужна на Земле для постройки полезных конструкций и архитектурных шедевров. Обо всем этом сегодня и поговорим. Готовьтесь — дальше будет много ссылок с визуализациями.

Вспоминаем 2D и переходим в 3D

Для кривых второго порядка в двумерном случае у нас была вот такая общая формула:

где хотя бы один из коэффициентов A, B или C не равен нулю. То есть обязательно должен быть хотя бы один одночлен второй степени — и это старшая степень. В зависимости от коэффициентов могло получаться девять разных видов графиков:

Чтобы перейти в трехмерный мир, надо добавить третью переменную. Но старшая степень все равно должна быть равна 2, это же поверхности второго порядка.

Итак, поверхностью второго порядка (Quadric Surface) называют график уравнения вида

где хотя бы один из первых шести коэффициентов (от A до F) отличен от нуля. То есть снова должен быть хотя бы один одночлен второй степени, иначе поверхность уже не второго порядка.

Кстати, вопрос к вам: а что за график получится, если все коэффициенты от А до F включительно — нулевые?

Но вернемся к нашим поверхностям. Традиционно приглашаю вас поиграть с уравнением, подвигать ползунки коэффициентов и посмотреть, как корежится и рвется эллипсоид. Есть в этом что-то деструктивное, но приятное.

А вот на этой гифке можно посмотреть трансформации в динамике:

Сколько всего поверхностей второго порядка

Много. Мы выделяли 9 разных видов кривых второго порядка, а поверхностей будет аж 17 штук! Вот полная классификация, но потом мы поговорим только про самые интересные случаи.

Как они получаются? Разными «выходами в третье измерение» из кривых второго порядка. Например, представьте себе трехмерную систему координат, а в ней — обычную параболу, нарисованную в какой-то плоскости. Вот с ней можно делать разные вещи:

• Двигать вдоль третьей оси. Получится так называемая цилиндрическая поверхность. Так можно двигать и гиперболу, и эллипс, и все остальные виды кривых второго порядка. Примечательно, что в уравнениях таких поверхностей будет отсутствовать переменная z, ведь здесь она может быть любой.

• Вращать вокруг своей оси симметрии, а потом деформировать. Нашему глазу, конечно, приятно, когда все симметрично, но бывают и «сплющенные» варианты.

• Отправить одну параболу ездить по другой!

Эту гифку я взяла в публикации на Хабре. Та публикация немного про другое, но в конце появляется нужный нам параболоид. Для него еще есть красивая визуализация тут.

Используя данные принципы «выхода в 3D» можно получить все 17 поверхностей. А что с аналитической точки зрения? Суперкоротко: есть четыре величины, называемые инвариантами, и в зависимости от того, кто из них и как соотносится с нулем, получаются разные варианты поверхностей. Для каждой — свой уникальный набор значений инвариантов.

Есть небольшое видео на YouTube, где рассказывается, как быстро понимать по уравнению, что за поверхность будет получаться. Там же хорошо поясняют, почему у некоторых поверхностей такие имена. Все довольно прозаично: смотрим сечения поверхности в трех разных плоскостях, они подскажут. Например, у гиперболического параболоида два сечения — параболы (поэтому он параболоид), а одно сечение — гипербола (поэтому он гиперболический). Еще одно видео на английском сделано покрасивее. А тут про то, как это скетчить от руки, чтобы получалось довольно быстро, но корректно.

Образующая

Перед тем, как перейдем к практическим приложениям — надо обсудить еще один термин. Нейминг там простой и гениальный, ни прибавить, ни убавить.

Образующая поверхности — это линия (прямая или кривая), которая при своем движении образует какую-либо поверхность. В англоязычной терминологии она называется Generatrix. Этим словом могут называть не только линию, но и точку или даже поверхность, образующую при движении вдоль какого-то пути новый объект (с более высокой размерностью).

Например, образующая конуса — это отрезок, который соединяет вершину конуса с любой точкой окружности основания. Если этот отрезок повращать вокруг центральной оси, то как раз получим конус. То есть образующая — это то, что образует новую фигуру. Говорю же, нейминг огонь!

Неожиданность заключается в том, что у кучи поверхностей второго порядка можно найти образующие, которые являются прямыми линиями. Тут предлагаю на секунду остановиться, еще раз посмотреть на классификацию и угадать, у кого нет прямолинейных образующих, а у кого есть.

Если про конус мы уже поговорили, а с цилиндрическими поверхностями все и так понятно, то про две поверхности сейчас будет довольно внезапно. Они выглядят такими плавными и «текучими» — кажется, прямых линий в них совсем нет. А они есть!

Речь про однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид (седло), смотрим:

И снова парочка ссылок на мой любимый сайт с этюдами: тут видно, почему первая поверхность — это цилиндр, который «скрутили». Тут — что прямая линия отлично замостит кривую поверхность. А тут — почему чиспина пролезет в прямую прорезь.

Эти поверхности — фавориты архитекторов! Прямолинейные образующие дают им преимущество: их можно построить из прямых балок, и это сделает производство довольно легким. При этом результат выглядит просто фантастически, а сама конструкция прочная, win-win.

Где встречаются поверхности второго порядка

Тут я зайду сразу с козырей и покажу еще раз здание с фотографии в начале этого поста — это павильон Philips, сделанный для Экспо 1958 года. Как у них потом хватило духу разобрать эту красоту — не понятно. Над проектом работали великий Ле Корбюзье и широко известный в узких кругах Янис Ксенакис (да, тот самый, который композитор).

Здесь хорошо видны прямолинейные образующие седловидных «боков» павильона. Еще больше таких примеров в архитектуре — тут.

Дальше переходим к гиперболоидам, и тут нельзя не упомянуть Шаболовскую (Шуховскую) башню. На самом деле гиперболоидных конструкций довольно много.

Башни прочные и устойчивы к ветру, хотя материала на них нужно относительно немного (если сравнивать с нерешетчатыми конструкциями). На Хабре уже была хорошая публикация про историю башни и вообще Шухова, рекомендую к прочтению. А тут еще одна — про воспроизведение башни в nanoCAD.

Cо зданием Сиднейской оперы получилось неловко: сначала хотели строить из параболидов, но у них меняется кривизна. Пришлось бы производить много совсем разных кусков, а это сложно. В итоге крыша построена из кусочков сферы, и у них постоянная кривизна: вот мое любимое видео на этот счет. Там еще и цепную линию упоминают, двойной лайк.

Зато форму параболоида имеют практически все современные антенны и тарелки, а также радиотелескопы и солнечные печи. Все из-за оптических свойств параболы. У телескопа Хаббл, кстати, зеркало гиперболическое, про него на Хабре тоже есть текст. И еще из внезапных крутых применений: оптическое свойство эллипсоида позволяет дробить камни в почках!

В общем, радостно, когда формулы не просто живут на страницах учебников, а помогают строить что-то практическое и красивое. Буду рада комментариям о том, где и как еще применяются эти поверхности.

На этом у меня все, спасибо за внимание!

Больше ссылок

Если хочется покрутить и порастягивать разные виды отдельно, то вот еще ссылки:

• Гиперболоиды, при положительной правой части получается однополостный, при отрицательной — двуполостный. А при нуле — конус.

• Параболоиды, при a=b получается параболоид вращения, в остальных случаях есть деформация.

• Седла, меняем ширину и кривизну.

• Эллипсоиды, при a=b=с получим сферу.

Модели для сборки, если хочется своими руками смастерить седло или эллипсоид.

Водичка из-под крана в форме гиперболоида и параболическая шепталка.