Прочитав [1], хотя это и не академический материал, очень впечатлился идеей того, что мнимая единица кодирует направление. Дело в том, что если мы имеем в формуле два скаляра, которые запрещено складывать и это - в математике, которая запросто суммирует апельсины с помидорами, происходящее должно нести какой-то смысл. Но математика не кодирует смыслов, поэтому из идеи комплексных чисел мы можем знать лишь то, что смысл этого разделения в принципе существует. Найти же категориальное различие для такой фундаментальной математической абстракции, как комплексные числа - отдельная большая удача и исследование такой возможности может оказаться перспективным.

Предлагаемые вашему вниманию рассуждения - это, скорее, философский взгляд и они не содержат строгих доказательств. Однако, возникли эти рассуждения не на пустом месте и опираются на эволюционную логику, использующую закономерности жизненного цикла динамических процессов, изложенные в [2] и [3].

Чтобы погрузиться в тему, нам придётся сделать некий "безопорный выверт", подобный тому, какой делает кот, падая с высоты на лапы. Дело в том, что мы не можем на старте, ни объяснить, почему кодирует направление, ни даже утверждать этого. Ничем, кроме чутья красивой идеи этот тезис не оправдывается, поэтому временно будем считать его аксиомой. Скажем себе "а что если..." и посмотрим, что из этого получится.

Итак...

Мнимая единица задаёт направление.

А что такое "направление"? Направление - это различение того что было от того, что стало. Того, что в начале, от того, что в конце. Причём, нам здесь пока не важно, что конкретно было и что стало, и как они выглядели - важно, что они обязательно различаются. Эта обязательность и обуславливает вектор; если бы различия не было, то и вектора бы не возникло.

Но если мы говорим про "было" и "стало", то, стало быть, мы говорим про категорию времени.

Мнимые числа - это категория времени.

- это элементарная перемена, флуктуация: было->стало. Если было тут, то стало там, если было, то не стало, если стало, то до того не было. В простонародье это называется "момент" (времени). В логическом смысле - это отрицание. Это основа разделения на два не равных друг другу и она же - основа ориентации.

Теперь вернёмся на шаг назад и спросим себя: если задаёт направление, что что задаёт обычный скаляр, который не смешивается с мнимой частью?

Простой скаляр отвечает на вопрос "сколько". И элементарное "сколько" у нас квантованно до 1. Т.е., существует наименьшая величина чего-либо и если мы будем дробить дальше, то будем вынуждены сменить единицы измерения. Природа, представленная объектами, состоит из натуральных чисел.

(И здесь нам важно вовремя обнаружить, что математическая дробь - это не "элементарное" число. Это всегда минимум два числа - некая более сложная концепция, которой мы далее ещё коснёмся.)

По видимому, натуральные числа имеют всего два ограничения:

1. Они квантованы, т.е., не дробятся.

2. Они аддитивны, т.е., их может быть любое количество, но это количество не умножается и не делится, а только складывается и вычитается.

(Опять же, забегая вперёд, мы ещё увидим разницу между тем, чтобы сложить объектов раз потому, что нам так захотелось и тем, что никак иначе они не складываются).

И если мы заговорили о времени, то скалярные единицы, которые могут находиться со "временем" в одном выражении, не смешиваясь с ним при этом, должны относиться к тому же континууму, что и время.

Хайли лайкли, если - кодирует время, то

Элементарный скаляр кодирует меру энергии, т.е. простое количество.

Можно задаться вопросом "а не произвольно ли это? почему взяли именно энергию, а, например, не пространство?". Основанием для выбора является то, что пространство - сложная штука (до которой мы тоже далее доберёмся), а единица - настолько простая, что мы её даже не маркируем своей буквой: она ко всему подходит.

В выражении , - это пригоршня единиц (квантов).

И если простой скаляр задаёт количество, т.е., меру энергии, а мнимая часть задаёт направление, то была бы допустима идея о том, что

- это квант энергии, который сфлуктуировал.

Но мы не знаем, он появился, или исчез (перевернулся, обратился?), потому что ни 1, ни не задают фазу.

(Фазу задаст информация, которой в этом уравнении пока нет: скаляр задаёт наличие объекта, мнимое задаёт его концы (ориентацию). Следующий уровень сложности числа и будет способен кодировать конкретный конец, т.е., как раз, фазу. И к этому явлению мы тоже ещё успеем обратиться в дальнейшем.)

- это число перемен.

- это квантов, среди которых произошло перемен. Вследствие того, что фаза неизвестна, нам не важно (не выразимо в энерго-временном континууме): один квант профлуктуировал раз или квантов профлуктуировали по одному разу.

- это интересная история: согласно данной формуле, квадрат флуктуации становится количеством, но отрицательным. Т.е., становится вычетом из количества, ущербом. По смыслу происходящего, квадрат - это перемена самой перемены. Хорошо видно, что это действие отменит перемену, поэтому мы и попадаем в простое количественное пространство. Но почему с отрицательным знаком? А потому что мы по прежнему не знаем, куда чего менялось.

Иными словами, если беря только , мы знаем, что объект есть, беря , т.е., беря объект в расширенном контексте, предполагающем, что он может флуктуировать, мы знаем, что объект хотя бы иногда есть, то беря мы уже не можем быть уверены, что когда-либо встретимся с этим объектом, хотя он, конечно, в принципе, есть.

Иными словами, - это вероятность, т.е. вычет. Причём, это вычет не количества объекта, а самого его существования.

Хотя на пригоршне этот вычет можно интерпретировать статистически, как "количество объекта, состоящего из частей", необходимо понимать, что такой взгляд - просто континуальное искажение нашего восприятия, а на деле оператор применяется каждой части, а не к псевдо-целому, которое они вместе лишь символизируют.

Вот в этот момент, применительно к флуктуирующему объекту и возникает дробь! Но дробь дроби рознь и давайте здесь посмотрим на них внимательнее:
Энергия квантованная и является универсальными делителем. Но этот делитель делит лишь на 1.
Помните эту мантру: "Число делится на само себя и на ....". Вот это "на само себя" в математике обязательно выделяется, подчёркивая особый случай, но выделяется немотивированно. Из-за этого было сломано немало копий на тему "является ли единица простым числом?" (с отрицательным, что характерно, ответом).
Далее по тексту станет очевидным, насколько в этом вопросе всё просто. Пока же отметим, что деление на единицу - это некая особо выделенная операция (которую, вроде бы и "из песни не выкинуть", но и в песне она не в строку).

Назовём деление на единицу дробью первого рода.

А вот...

Дробь, выражающая вероятность - это дробь второго рода.

Здесь будет уместна ремарка про непрерывность времени: Время - это флуктуации энергии, иначе говоря - . Энергия, как известно, квантована, поэтому сами флуктуации атомарны. Если в континууме нет флуктуаций, то и время в нём замерло. Очевидно, что среди всех флуктуаций у нас будут синхронные (спутанные?) и не синхронные. Синхронные происходят в один момент времени, не синхронные - в разные. Более того, отдельного рассмотрения заслуживал бы вопрос о том, действительно ли "одновременные", но не спутанные флкуктуации происходят в один момент времени? Однако, вот это и есть время, как оно есть на самом деле: нити флуктуаций, следующие в своей логике. И когда мы смотрим на картину в таком ракурсе, то размышления о непрерывности времени вообще к ней не применимы и проистекают только из слабо обоснованного желания измерить одни флуктуации линейкой из других флуктуаций, не имеющих с измеряемыми прямой связи - так, конечно, можно, но, очевидно, что этот подход крайне упрощает реальность и непрактичен с точки зрения полноты отражения происходящего.

Полный континуум процессов с необходимостью четверичен [2] и дальнейшее добавление к нему компонентов присоединит к формуле информацию и пространство. Но прежде, чем говорить об этом, обсудим несколько естественных закономерностей:

1. Точно так же, как мнимая единица усложнила наше понимание поведения энергии, информация усложняет наше понимание времени, а пространство усложняет понимание всей предыдущей связки. Это усложнение обусловлено "Фазовым законом", рассмотренным в [3].

2. Вместе они образуют две взаимосвязанные пары: время вмещает информацию, а пространство вмещает энергию. Причём, двухосевая асимметрия проводимой аналогии (если кто её заметил) здесь не случайна: это часть замыкания динамической структуры континуума.

3. По причине этой дополнительности, дальше появляется сразу пара элементов - информация и пространство. Хотя они и имеют разную сложность, но не могут появиться порознь - иначе не замкнётся континуум, одна из связанных "переменных" всегда будет выпадать за кадр и будет вносить в формулу неопределённость.

Таким образом, после мнимой пары у нас появляется сразу пара пар - кватернион .

Кватернион замкнут: , а .
Но возникает вопрос: а есть ли разница, назовём ли мы мнимой единицей , , или ?
С точки зрения современной математики разницы нет. Более того, вроде бы как математика имеет на это право, поскольку если мы с помощью этой конструкции крутим объект в трёхмерном пространстве, то это неразличение вполне работает: достаточно единожды назвав, их затем между собой не путать.

Тем не менее, надо сказать, что вводя комплексные числа, математический подход не учитывает их метафизическую (ой, пардон) природу и, вследствие этого, будет слегка тонуть в многообразии того, чего в реальной Природе не может быть. О чём тут речь:

Мы уже затронули тему того что позволено энергии: она квантованна и аддитивна. Энергия (чистое количество) настолько проста, что не обладает никакой спецификой и может даже быть соединена со временем, как его компонент () без каких-либо последствий.

Но время имеет больше ограничений. Время - это флуктуация и её производные. Одним из следствий этого обстоятельства является необходимость для времени только лишь нарастать. В нём всегда есть "до" и "после", увязанные отрицанием.

Если "до" было , то "после" будет всегда (т.е., - что угодно, но не .)

...иначе это не "после". Иными словами, количество допустимых переходов в числах времени по сравнению с числами энергии - ограничено. Поэтому, в частности, ось в кватернионе формально нельзя крутить назад. И это только во-первых. Во вторых, "полный поворот вокруг " не ведёт нас в ту же точку: мы обязаны считать число поворотов. Не знаю зачем, но обязаны. Ибо у времени нет цикличности.

Чтобы появилась цикличность, нам необходима возможность не только уйти от состояния , но и вернуться к нему. Поскольку в парадигме времени мы ещё не можем знать, каким именно было , то и возвращаться нам некуда.

Чтобы определить состояние нам необходимо знать фазу флуктуации энергии. Фаза - более сложное число, чем рассмотренные нами ранее, потому что оно не может возникнуть до того, как мы определили квант, который будет иметь состояние и не определили его флуктуацию. Это явление, определяющее фазу, и будет нашим компонентом - информацией.

Информация , определяет фазу и привносит цикличность, как своё неотъемлемое качество.

Мы могли бы думать, что алгоритмы обработки информации обладают повторяемостью потому, что это такая хитрость, изобретение людей. Но, строго говоря, это не изобретение, а лишь открытие, потому что это требование самой информации относительно правил обращения с ней.

Пытливый читатель может спросить: а что же такое "циклическое время", которое мы можем видеть на циферблате часов, например? А это не , это , т.е., время информации. Не даром, у нас на часах нарисованы цифры. Без них каждый оборот стрелки был бы "новым витком" и мы бы считали витки, которые бы для нас через это и различались. Только информация (деление на циферблате), объявляет виток прежним, а деления на циферблате - это, как раз, те самые фазы.

Поэтому информация не может бесконечно расти, а обязана "обнуляться", точнее, возвращаться к одному из прежних состояний. Информация - это конечный автомат, или, если в математике - замыкание.

Помните тезис о существовании разницы между тем, чтобы сложить объектов раз потому, что нам так немотивированно захотелось и тем, что никак иначе они не складываются? Именно циклическая природа информации впервые эту разницу для нас вводит, обосновывая мультипликацию (умножение). Природа информации обуславливает и , и . А время, как и энергия, оба - только лишь аддитивны.

В качестве сторонней ремарки, обращу внимание на то, что уже упоминалось вскользь:

Время является вместилищем информации, "ёмкостью" для неё. Такое явление, как "память" тоже имеет категорию времени.

Однако, пойдём дальше...

Почему ?
- это фаза по фазе, или информация об информации, метаинформация, то, чем представлена информация. Это, как нетрудно догадаться из формулы, опять энергия. Только не сама энергия, а отличие от неё. Если отличия нет, то и информации никакой. Поэтому с минусом.

И вот, вроде минус математически один и тот же, а смысл (судьба рассматриваемой энергии) принципиально разная. И к этому вычету тоже применима дробность, но если дробность второго рода имела отношение к вероятности, то информация будет вносить

Дробность третьего рода - дробность отличия, которая имеет отношение к энтропии.

Теперь про пространство, .
- это время, обладающее качеством фазы, т.е., время фазирующее, задающее фазу, т.е., время, объединяющее некоторые "спутанные", т.е., синхронно существующие кванты (или их отсутствие). А много синхронно существующих раздельных (различимых) квантов - это пространственная решётка. Собственно по качеству "пространства" эти кванты и различимы.

- это флуктуирующая фаза. Сходная логика, но наоборот: поскольку фаза одна и та же, то несколько раз её можно взять только в разных местах. Это некая "спутанность" (не уверен, что в понимании квантмеха), которая тоже определяет синхронно существующие разные узлы - пространственную решётку. Поскольку узлы разные, речь идёт о пространстве. Но это пространство флуктуирует, чем даёт нам отрицание, вычет, отсюда минус: .

Обобщая, можем отметить, что пространство сочетает в себе два свойства - утверждать что-то и ограничивать . В сумме, это - качество задания правил, т.е., управления, как и ожидалось для четвёртой фазы развития явления счётности. Иными словами, если время и информация подчиняются определённым правилам, то пространство способно собой задавать новые правила - через топологию и логику (в широком смысле слова), как её свёртку.

Но что такое ?
- это кванты энергии, - их флуктуации (и, по совместительству, направление), - фаза (по совместительству - выбор конца вектора).
На основе сказанного выше, - это связь с другими синхронизированными квантами. Иными словами, это место нашего флуктуирующего кванта энергии, которое определяет, с какими соседями он синхронизирован. Таким параметром в математике является "координата". Если мы отбросим "общий план", в котором у нас есть оси, то обнаружим, что элементарная координата - это не что иное, как задание соседей. А будет ли это задание декартовым, или иным, зависит от правил пространства.

Далёкая от математики и физики, но близкая к естественному восприятию метафора задания правил через координаты соседей - это ёлочная гирлянда с бегущим огнём, сложенная в коробку на хранение. Внешне она выглядит как каша из проводов и лампочек, но если в ней откопать вилку и подключить, то огонёк побежит строго по проводу, нарушая все якобы пространственные закономерности параллелепипеда коробки. Потому что таково правило, установленное внутренней конструкцией и это задаёт совершенно иное пространство.

В этом ракурсе мы могли бы попытаться сказать, что и , и , и тоже являются пространственными координатами, но это не совсем корректно. Дело в том, что структура пространства, как мы увидели, достаточно сложна для того, чтобы быть способной отобразить эти три параметра в виде координат, на координатное пространство. Но, по отношению к полновесной сложности пространственной координаты, эти "координаты" будут вырождены, т.е., будут иметь запрет на ряд операций и некоторые обязательные правила обращения с ними. Поэтому считать их координатами было бы когнитивным искажением, снижающим нашу интеллектуальную способность увидеть более глубокие математические закономерности. Принятие во внимание обстоятельства "не-координатности" частей кватерниона усложнило бы математику, но возможно, было бы способно редуцировать сложность некоторых вычислений, и, попутно, структурировать теорию категорий.

Это пространство пространств, иными словами, это совокупность всех возможных состояний и сочетаний энергии во всех допустимых пространствах. По закону сохранения энергии, если квант есть, то в одном из этих пространств мы его найдём, а больше чем их есть - не найдём нигде. Поэтому перед нами - скаляр. Но, поскольку, в общем случае, далеко не факт, что эта совокупность тотальна, т.е. не факт, что в каждой точке сплошного "математического" пространства в реальности может существовать энергия, это будет снова вычет. Но, если время давало вычет по присутствию, фаза давала вычет по (одновременному) существованию, то пространство даёт вычет по совместимости (сочетаемости). И это будет

Дробность четвертого рода - дробность сочетаемости, дробность степеней свободы.

Примером дробности четвёртого рода может быть дробность фрактального пространства и уже знакомая нам гирлянда в коробке из примера выше.

Заключение
Казалось бы, мы здесь смешали математику и физику, немного приправив её метафизикой. Но сегодня все науки стремятся к конвергенции. Математика, как наиболее абстрактная из них, держится особняком дольше всех, входя в другие науки, но не впуская их в себя. Однако, в жизни динамических процессов существуют явления, которые носят тотальный характер: проявившись у одной части, быстро распространяются и на все остальные. Поэтому и математика, неизбежно, подвергнется "вторжению" других естественных наук. Быть может, предложенный материал и не станет таким полноценным вторжением, но, рано, или поздно, так, или иначе, это произойдёт. И, с высокой вероятностью - именно в этом направлении, просто кто-то скажет примерно то же самое ещё более абстрактным математическим языком.

P.S.
Если посмотреть в изложенном ракурсе на физику, то инерционное движение начинает выглядеть функцией пространства, а не произволом объекта, в него "помещённого". Это логично в т.ч. и потому, что если пространство не примет (т.е., структуры вмещения не будут соответствовать параметрам объекта, то и объекта в пространстве не появится и ничто никуда не полетит).

P.S.2
То, что для и бессмысленны умножение и деление, означает, что всегда, когда мы считаем возможным умножить, или поделить число, мы имеем дело со скрытым добавлением компонентоd или , которых явно не учитываем в формуле, но которые ответственны за формирование умножимых и делимых структур.

P.S.3
То, что и подчиняются умножению и делению означает, что для них более рациональным было бы представление не при помощи натурального ряда, а при помощи ряда простых, делающего разложение на множители элементарной операцией.

P.S.4
Комментарии P.S.2-3 могут быть, на первый взгляд, довольно странными для математики, но не более странными, чем появление самих комплексных чисел. Они настолько же противоестественны, как и противоестественен был корень из -1. На самом деле, речь идёт всего лишь о том, что мы в каждом компоненте имеем дело с некими "рядами", подчиняющимися разным законам и ограничениям, а любое реальное число является связкой четырёх таких рядов.

P.S.5
Если тезисы верны, то является не полной, а упрощающей концепцией. В том смысле, что для времени, т.е., флуктуации это вырожденный случай, поскольку флуктуация флуктуации достигается равно и сложением и несуществующим для неё умножением. И когда мы действительно берём корень, то речь идёт о , или о . Т.е., работая с комплексным , мы будем на деле чаще работать с или , причём, не задумываясь о различении этих случаев.

Это, опять же, не должно нас смущать, потому что математика пока что вообще не работает с временем: время, т.е., разделение на "было" и "стало" в математике кодируется функцией, а действующий аппарат математической записи, предложенный некогда Готлобом Фреге, использует функции в качестве "скелета" формулы и не предполагает возможности их попадания в разряд аргументов (их отличие от аргументов является принципиальным требованием математической логики). Поэтому данный аппарат не способен породить механику вычисления функций (кроме специально сконструированных, т.е., вырожденных случаев). Иными словами, мы не можем создать формулу, например, для расчёта шахматного хода. Интегралы и дифференциалы тоже не в счёт, поскольку являются проекцией (отображением) времени на числовое пространство с иными качествами и мы при этом многое безвозвратно теряем.

P.S.6
На основе [2] и [3], предложил бы обратить внимание на то, что число, по видимому, имеет одновременно все четыре компонента, которые дают ему разные свойства. И мы эти свойства видим, но разбивку их по компонентам не рефлексируем:

• Энергия выполняет роль делителя: она квантованая и не делится, но всё присоединённое поделит на себя.

• Время суммирует: оно накопительным итогом вмещает в себя всё происходящее.

• Информация выполняет роль множителя, представляя собой в определённом смысле совокупность действий деления (в том смысле, в котором делится клетка) и последующего сложения того, что поделилось. Как результат, информация не уникальна, копируема и "проблема" цифрового пиратства - это прямое отражение данного качества.

• Пространство выполняет роль вычитания: выделенное пространство вычитается из общего. Граница вычитает возможности и из того, что находится внутри пространства и из того, что снаружи. Важно здесь то, что все четыре компонента континуума - не "объекты", а "субъекты", у них есть не только признаки, но и роли. И именно эти роли заслуживают сегодня внимания.

P.S.7
Не стоит, конечно, забывать, что мы оттолкнулись от предположения, что "мнимая единица кодирует направление" и дальше потянули сову на глобус. Но если сова налезла (или всё ещё может быть заштопана), то новая модель числа должна выглядеть как соединение "частиц"-компонентов, отвечающих за деление, сложение, умножение и вычитание. Наличие этих компонентов у числа будет определять его делимость, сложимость и т.д. На самом деле му уже так поступаем в математике, только не разделяем эти качества и работаем числом, как с целым. Если же мы увидим его разделённость, то увидим и новые, обусловленные ей закономерности чисел.

А сами числа станут не одинаковы своим "порядком сложности", потому что их компоненты будут не обязательно элементарны. Но это я опять забегаю немного вперёд.

На этом пока всё.

[1] Физический смысл комплексных чисел, https://aftershock.news/?q=node/1513318, абра.
[2] Наука складности / Дмитрий Леонидович Черняк, Андрей Александрович Бойцов. — [б. м.] : Издательские решения, 2021. — 246 с. ISBN 978-5-0055-2437-9.
[3] Всё есть процесс : Наука складности — 2 / Д. Л. Черняк, А. А. Бойцов, А. А. Алексеев. — [б. м.] : Издательские решения, 2024. — 226 с. ISBN 978-5-0062-6889-0.