ЧАСТЬ II .
Краткие пояснения к ЧАСТИ II работы. Пример проектирования и последующего анализа функционирования спутниковой системы «ИРИДИУМ» гражданской сотовой связи через ИСЗ, покрывающей 100% поверхности планеты Земля, дает повод задуматься об ошибках и просчетах владельцев и проектировщиков.
Орбитальная часть системы задумана из 77 ИСЗ, что равно числу электронов химического элемента Иридий, обращающихся подобно спутникам вокруг атомного ядра. Система была введена в строй 01.11.1998 г., но уже 13.8.1999 г. компания начала процедуру банкротства. Желаемого эффекта работы системы достичь не удавалось, а причиной банкротства была названа «сложность привлечения абонентов». Сервис был вновь запущен в 2001г. компанией Iridium Satellite LLC, которая приобрела 6 миллиардную собственность всего за 25 миллионов.
В настоящее время система образована из 66 ИСЗ на 11 круговых орбитах с высотой Н≈780 км, движущихся со скоростью 27000 км/час. Период обращения ИСЗ Т ≈100m, время пребывания ИСЗ над горизонтом точки стояния пользователя ≈10m. Наземные станции (всего 4 шт) расположены: Темпе, Аризона; Уахиава, Гавайи – принадлежат Агентству защиты информационных систем Министерства обороны США; Авеццано, Италия. Вопросы информационной безопасности и криптографической защиты информационных потоков – прерогатива Агентства.
К числу причин прошлых неудач проекта следует отнести слабую проработку проекта в направлении моделирования процессов функционирования системы в целом. Такой прогноз и оценивание эффективности весьма затратная часть любого проекта такого рода и владельцы, по-видимому, не были готовы проводить такие исследования. Понятно, что реальное функционирование системы для владельцев представилось несколько неожиданным. Обратим внимание на характеристику – время пребывания ИСЗ над горизонтом точки стояния пользователя ≈10m. Во-первых, не каждый ИСЗ ведет себя над горизонтом владельца телефона таким образом (часть ИСЗ, не успев взойти над горизонтом уже заходит), во-вторых, в подобной ситуации резко усложняется коммутация (сообщений, каналов, пакетов), отсюда громоздкость и высокая стоимость спутниковых телефонов и прочего оборудования.
Для получения качественного прогноза и объективной картины поведения системы требуется моделирование основных процессов работы системы в целом, а для этого необходимы качественные модели функционирования подсистем, агрегатов, узлов и отдельных элементов. Проектировщики системы, по-видимому, не располагали не только финансами, временем, но и добротными моделями. Одна весьма существенная для качественного прогноза и успешности предстоящего функционирования модель рассматривается в настоящей работе.
Известные автору публикации содержат прототипы моделей (в которых приводится конечный результат без детального рассмотрения вывода его получения), подобные рассматриваемым в работе автора, но содержат грубые ошибки, на что и обращается внимание читателей.
В настоящей работе приводится подробный вывод аналитического выражения для закона распределения случайной величины смешанного типа. Среди известных классических вероятностных законов этого закона нет, поэтому работа содержит элемент новизны, а перечень законов пополняется еще одним новым. В предшествующей работе автора (Часть I) устанавливается эквивалентность двух случайных явлений. Первое ℬ – попадание ИСЗ в МЗО ИП при одном обороте спутника вокруг Земли и второе – факт принадлежности долготы восходящего узла орбиты ИСЗ одному из интервалов попадания на земном экваторе в произвольный момент времени в пределах этого оборота. Дополнительно к этому (в Части I) приводится обоснование использования (при определении вероятности первого события) равномерного закона распределения долготы восходящего узла орбиты ИСЗ.
Математическая сторона задачи сводится к получению общего выражения для вероятности случайного события ℬ в виде суммы двух интегралов от плотности распределения случайной переменной, которая описывается равномерным законом распределения. Пределы интегрирования при этом необходимо определять путем решения сферических треугольников на сфере, полученных в результате «прорисовки» ситуации положения границы МЗО и пограничного положения (касания) трасс ИСЗ с этой границей. Другими словами, рассматривается и берется за основу модели геометрическая картина «замороженного» совместного движения ИСЗ и измерительного пункта вместе с Землей.
Вывод вероятностного закона распределения длительности сеанса информационного обмена
Сформулированные допущения модели обеспечивают в итоге получение аналитического выражения для вероятности наступления случайного события ℬ, как функции трех детерминированных и одной случайной переменных. Будем определять вероятностный закон в форме Fт(т) — функции распределения случайной величины тс – длины хорды граничной окружности L сегмента — зоны. Для удобства и упрощения преобразуем интервал изменения значений тс в единичный.
Преобразование к единичному интервалу выполняется нормированием возможных значений тс по тmax, т.е. т = тс / тmax. Таким образом, нормированная переменная изменяется в интервале [0, 1 ]. Следовательно, каждому значению длины хорды т однозначно соответствует некоторое значение углового расстояния ζc.
Рисунок 1 — Геометрия сегмента МЗО и хорды, равной отрезку трассы случайного витка
Очевидно, значения этой хорды тс лежат в интервале [0, тmax ], где тmax – значение длины хорды при условии, что плоскость П(i, λ) проходит через центр сегмента. Длина тс хорды при случайном сечении сегмента плоскостью П(i, λ) тем больше, чем ближе к центру сегмента проходит плоскость, т.е.
где ζc — текущее значение углового расстояния от плоскости П до центра сегмента ( ему соответствует линейное расстояние r) и т = t – текущее значение длины хорды сегмента.
Анализ поведения случайной величины т показывает, что она относится к величинам смешанного типа. В области ее возможных значений существует множество дискретных значений тд, вероятность принятия которых случайной величиной т отличается от нуля, т.е. Р(т = тд) > 0. В множестве таких точек случайная величина тс ведет себя как дискретная переменная, в остальных точках допустимого множества значений поведение случайной величины тс описывается как поведение непрерывной случайной величины. Вероятность принять любое значение из такого множества равна нулю Р(т = тн) = 0.
В нашем случае множество {тд} дискретных значений образовано единственной точкой тд = {0}. Действительно, вероятность того, что ИСЗ не пройдет через область зоны обслуживания ИП, на некотором случайном витке отлична от нуля.
Из прямоугольного сферического треугольника (рис. 1 ) можно записатьζ = arccos(cosζc/ cos т ζc) . Хорда на сфере длины т является касательной к границе уменьшенного сегмента с углом раствора ζ, определяемым выражением для ζ в зависимости от значения т.
Если теперь некоторым образом указывать длину хорды и определять вероятность того, что значение т окажется меньше тзад, то тем самым будет определена функция распределения т.
В теории вероятностей известно, что сумма вероятностей противоположных несовместных событий, образующих полную группу, всегда равна единице, т.е.
Р (т <тзад) + P(т ≥тзад) = 1. Fт(т) = Р (т <тзад) = 1 — P(т ≥тзад).
В рассматриваемой ситуации как раз имеем такой случай. ИСЗ либо проходит через зону, либо нет.
Формула полученная ранее (Здесь) позволяет определить вероятность попадания плоскости орбиты П(i,λ) в сегмент некоторого радиуса ζc, с другой стороны, формулаζ = arccos(cosζc/ cos т ζc) при заданном т определяет радиус сегмента ζ. Следовательно, для сегмента радиуса ζc можно определить по тзад радиус концентрического ему сегмента ζ, соответствующего некоторому тзад. Отсюда можно определить вероятность попадания в этот внутренний сегмент. В результате видим, что случайное значение длины хорды сегмента радиуса ζc в этом случае будет не меньше тзад, т. е. тзад ≤ т;, а вероятность попадания плоскости П(i,λ) во внутренний сегмент будет равна вероятности выполнения последнего неравенства P( тзад ≤ т). Вероятность противоположного события как раз и описывает закон распределения в интегральной форме.
Выражение (аналитическое) для найденного закона распределения вероятностей (форма Fт(т) функции распределения) имеет графическое представление в следующем виде (Рис. 2). Ниже на рисунке 2 приводятся графики Fт(т), полученные для разных углов наклонения плоскостей орбит с фиксированной высотой h полета и фиксированного положения и характеристик ИП.
Рисунок 2 — Графики функции распределения случайной величины времени пребывания ИСЗ в зоне обслуживания измерительного пункта
Располагая приведенными результатами, исследователь получает возможность формировать стохастическую модель функционирования спутниковой системы и исследовать информационные потоки, включая вопросы информационной безопасности, начиная от открытия/закрытия борта, где используется цифровая подпись, шифрования/расшифрования сообщений и т.п. функций.
Краткие пояснения к ЧАСТИ II работы. Пример проектирования и последующего анализа функционирования спутниковой системы «ИРИДИУМ» гражданской сотовой связи через ИСЗ, покрывающей 100% поверхности планеты Земля, дает повод задуматься об ошибках и просчетах владельцев и проектировщиков.
Орбитальная часть системы задумана из 77 ИСЗ, что равно числу электронов химического элемента Иридий, обращающихся подобно спутникам вокруг атомного ядра. Система была введена в строй 01.11.1998 г., но уже 13.8.1999 г. компания начала процедуру банкротства. Желаемого эффекта работы системы достичь не удавалось, а причиной банкротства была названа «сложность привлечения абонентов». Сервис был вновь запущен в 2001г. компанией Iridium Satellite LLC, которая приобрела 6 миллиардную собственность всего за 25 миллионов.
В настоящее время система образована из 66 ИСЗ на 11 круговых орбитах с высотой Н≈780 км, движущихся со скоростью 27000 км/час. Период обращения ИСЗ Т ≈100m, время пребывания ИСЗ над горизонтом точки стояния пользователя ≈10m. Наземные станции (всего 4 шт) расположены: Темпе, Аризона; Уахиава, Гавайи – принадлежат Агентству защиты информационных систем Министерства обороны США; Авеццано, Италия. Вопросы информационной безопасности и криптографической защиты информационных потоков – прерогатива Агентства.
К числу причин прошлых неудач проекта следует отнести слабую проработку проекта в направлении моделирования процессов функционирования системы в целом. Такой прогноз и оценивание эффективности весьма затратная часть любого проекта такого рода и владельцы, по-видимому, не были готовы проводить такие исследования. Понятно, что реальное функционирование системы для владельцев представилось несколько неожиданным. Обратим внимание на характеристику – время пребывания ИСЗ над горизонтом точки стояния пользователя ≈10m. Во-первых, не каждый ИСЗ ведет себя над горизонтом владельца телефона таким образом (часть ИСЗ, не успев взойти над горизонтом уже заходит), во-вторых, в подобной ситуации резко усложняется коммутация (сообщений, каналов, пакетов), отсюда громоздкость и высокая стоимость спутниковых телефонов и прочего оборудования.
Для получения качественного прогноза и объективной картины поведения системы требуется моделирование основных процессов работы системы в целом, а для этого необходимы качественные модели функционирования подсистем, агрегатов, узлов и отдельных элементов. Проектировщики системы, по-видимому, не располагали не только финансами, временем, но и добротными моделями. Одна весьма существенная для качественного прогноза и успешности предстоящего функционирования модель рассматривается в настоящей работе.
Известные автору публикации содержат прототипы моделей (в которых приводится конечный результат без детального рассмотрения вывода его получения), подобные рассматриваемым в работе автора, но содержат грубые ошибки, на что и обращается внимание читателей.
В настоящей работе приводится подробный вывод аналитического выражения для закона распределения случайной величины смешанного типа. Среди известных классических вероятностных законов этого закона нет, поэтому работа содержит элемент новизны, а перечень законов пополняется еще одним новым. В предшествующей работе автора (Часть I) устанавливается эквивалентность двух случайных явлений. Первое ℬ – попадание ИСЗ в МЗО ИП при одном обороте спутника вокруг Земли и второе – факт принадлежности долготы восходящего узла орбиты ИСЗ одному из интервалов попадания на земном экваторе в произвольный момент времени в пределах этого оборота. Дополнительно к этому (в Части I) приводится обоснование использования (при определении вероятности первого события) равномерного закона распределения долготы восходящего узла орбиты ИСЗ.
Математическая сторона задачи сводится к получению общего выражения для вероятности случайного события ℬ в виде суммы двух интегралов от плотности распределения случайной переменной, которая описывается равномерным законом распределения. Пределы интегрирования при этом необходимо определять путем решения сферических треугольников на сфере, полученных в результате «прорисовки» ситуации положения границы МЗО и пограничного положения (касания) трасс ИСЗ с этой границей. Другими словами, рассматривается и берется за основу модели геометрическая картина «замороженного» совместного движения ИСЗ и измерительного пункта вместе с Землей.
Вывод вероятностного закона распределения длительности сеанса информационного обмена
Сформулированные допущения модели обеспечивают в итоге получение аналитического выражения для вероятности наступления случайного события ℬ, как функции трех детерминированных и одной случайной переменных. Будем определять вероятностный закон в форме Fт(т) — функции распределения случайной величины тс – длины хорды граничной окружности L сегмента — зоны. Для удобства и упрощения преобразуем интервал изменения значений тс в единичный.
Преобразование к единичному интервалу выполняется нормированием возможных значений тс по тmax, т.е. т = тс / тmax. Таким образом, нормированная переменная изменяется в интервале [0, 1 ]. Следовательно, каждому значению длины хорды т однозначно соответствует некоторое значение углового расстояния ζc.
Рисунок 1 — Геометрия сегмента МЗО и хорды, равной отрезку трассы случайного витка
Очевидно, значения этой хорды тс лежат в интервале [0, тmax ], где тmax – значение длины хорды при условии, что плоскость П(i, λ) проходит через центр сегмента. Длина тс хорды при случайном сечении сегмента плоскостью П(i, λ) тем больше, чем ближе к центру сегмента проходит плоскость, т.е.
где ζc — текущее значение углового расстояния от плоскости П до центра сегмента ( ему соответствует линейное расстояние r) и т = t – текущее значение длины хорды сегмента.
Анализ поведения случайной величины т показывает, что она относится к величинам смешанного типа. В области ее возможных значений существует множество дискретных значений тд, вероятность принятия которых случайной величиной т отличается от нуля, т.е. Р(т = тд) > 0. В множестве таких точек случайная величина тс ведет себя как дискретная переменная, в остальных точках допустимого множества значений поведение случайной величины тс описывается как поведение непрерывной случайной величины. Вероятность принять любое значение из такого множества равна нулю Р(т = тн) = 0.
В нашем случае множество {тд} дискретных значений образовано единственной точкой тд = {0}. Действительно, вероятность того, что ИСЗ не пройдет через область зоны обслуживания ИП, на некотором случайном витке отлична от нуля.
Из прямоугольного сферического треугольника (рис. 1 ) можно записать
Если теперь некоторым образом указывать длину хорды и определять вероятность того, что значение т окажется меньше тзад, то тем самым будет определена функция распределения т.
В теории вероятностей известно, что сумма вероятностей противоположных несовместных событий, образующих полную группу, всегда равна единице, т.е.
Р (т <тзад) + P(т ≥тзад) = 1. Fт(т) = Р (т <тзад) = 1 — P(т ≥тзад).
В рассматриваемой ситуации как раз имеем такой случай. ИСЗ либо проходит через зону, либо нет.
Формула полученная ранее (Здесь) позволяет определить вероятность попадания плоскости орбиты П(i,λ) в сегмент некоторого радиуса ζc, с другой стороны, формула
Выражение (аналитическое) для найденного закона распределения вероятностей (форма Fт(т) функции распределения) имеет графическое представление в следующем виде (Рис. 2). Ниже на рисунке 2 приводятся графики Fт(т), полученные для разных углов наклонения плоскостей орбит с фиксированной высотой h полета и фиксированного положения и характеристик ИП.
Рисунок 2 — Графики функции распределения случайной величины времени пребывания ИСЗ в зоне обслуживания измерительного пункта
Располагая приведенными результатами, исследователь получает возможность формировать стохастическую модель функционирования спутниковой системы и исследовать информационные потоки, включая вопросы информационной безопасности, начиная от открытия/закрытия борта, где используется цифровая подпись, шифрования/расшифрования сообщений и т.п. функций.
