Ограниченность преобразования Фурье или почему стоит доверять своему слуху

[thatmadness]

Да, я делала преобразования над искусственными сигналами, чтобы показать, что и в идеальном случае не все гладко.

Согласна, что очень многое зависит от того, как именно исполнялось проиведение, я вскользь упомянула об этом в конце статьи. Моя же цель заключалась в том, чтобы показать, что уже на этапе дискретизации сигнала существует вероятность ошибки.

[diakin]

Если исходный «аккорд» представляет собой сумму незатухающих «чистых синусоид» (по форме) и в выборке укладывается целое число периодов всех (каждой) составляющих аккорд «синусоид», то возможно произвести прямое и обратное преобразование Фурье и восстановить исходный сигнал без искажений.

[encyclopedist]

dt = 0.001;
T = 1;
t=0:dt:T;

Зачем же вы пытаетесь сигнал с частотой 3440 Гц дискретизовать с частотй 1000 Гц? Конечно ничего не получится.

[encyclopedist]

FFT также работает с комплексными числами и отличается тем, что размер самого преобразования обязательно является степенью двойки,

— это неправда. Можно и степень тройки, и любая комбинация небольших простых множителей.

[thatmadness]

Согласна, допустила значимую ошибку. Конечно же по теореме Котельникова здесь точность совершенно не гарантируется.

Попробовала запустить тот же код, поменяв значение параметра dt на 0.0001. График получился следующий:



Не похоже, что это сдвиг по фазе.

[saluev]

И в первом, и в этом варианте выглядит так, будто новый сигнал — зеркальное отражение исходного. Не знаю, на каком языке вы пишете, но вы уверены, что вам нужно fft(x, -1), а не что-то вроде ifft(x)? Дело в том, что дважды применённое прямое преобразование — это в точности разворот вектора.

[encyclopedist]

Действительно, если почитать документацию (автор использует Scilab), то там про второй параметр написано:

sign
an integer. with possible values 1 or -1. Select direct or inverse transform. The default value is -1 (direct transform).

Так что действительно, автор дважды применила прямое преобразование.

[koldyr]

обычный синус имеет ограниченный спектр, неограничен по времени.
прекрасно представляется гармониическим рядом из одного слагаемого.
при этом балуясь с ффт, если не понимать математики этого процесса, можно получать весьма неожиданные результаты.
рекомендую ознакомление с полной формулировкой теоремы Котельникова.

[diakin]

Вот результаты работы программы — график исходного сигнала, спектр и восстановленный сигнал — обратное преобразование Фурье.
Можно увидеть, что сигнал полностью восстанавливается.
Сигнал задается как сумма трех гармоник
xdata(i) = 16 * COS(th * 30) 'amp & Hz
xdata(i) = xdata(i) + 6 * COS(th * 6) 'amp & Hz
xdata(i) = xdata(i) + 4 * SIN(th * 14) 'amp & Hz