vmalino 19 мар 2017 в 11:27

Снова про Монти Холла или статистика как коллективная интуиция

6 мин

35K

Визуализация данных*

Комментарии 31

barker 19 мар 2017 в 13:07

О, Монти Холл снова… ждём в комментариях самоуверенных непониманцев математики)

robert_ayrapetyan 19 мар 2017 в 23:46

Набегут, потому что в данной задаче критична точность формулировки (см. «Другое поведение ведущего» в соотв. разделе википедии). Там далеко не всегда смена двери дает выигрыш.

EndUser 19 мар 2017 в 15:26

Как-то построил дерево всех вариантов:
Слой 1: где приз
Слой 2: что выбрал игрок в первый раз
Слой 3: какую дверь открыл ведущий
Слой 4: что выбрал игрок во второй раз
У меня получилось, что суммарное количество призов по веткам «игрок не меняет дверь» оказалось равным суммарному количеству призов по веткам «игрок меняет дверь».
Что-то я в этом парадоксе не понимаю…

zelenin 19 мар 2017 в 18:23

Ну и первое объяснение.
В первом раунде я с вероятностью 2/3 выбираю "дверь без приза" (таких дверей две из трех по условию задачи). После того как ведущий открывает одну "дверь без приза", передо мной остается две двери, одну из которых я выбрал, и она с вероятностью 2/3 "дверь без приза", и соответственно вторая, которая с вероятностью 2/3 "дверь с призом". Соответственно шансов выиграть при смене двери больше.

ProRunner 19 мар 2017 в 20:06

Самое простое объяснение парадокса — это увеличение дверей до 100 (1000 и т.д.), где после после вашего выбора открывают 98 дверей без приза и у вас остаётся две двери — выбранная вами изначально и ещё одна закрытая.

Какова вероятность того, что человек с первого раз верно угадал дверь?

ProRunner 19 мар 2017 в 20:01

Значит, что-то неправильно построили. Можете поискать 100500 топиков здесь же, где в комментариях 1001 способом объясняется, почему смена двери повышает шансы.

barker 20 мар 2017 в 07:56

Покажите дерево ваше?

EndUser 20 мар 2017 в 09:23

Это было несколько HDD назад…

Если заново рисовать, то примерно так:
https://app.mindmup.com/map/_free/5f6790a00d3511e783074174897cf52a

Итого:
с настойчивостью выигрышей — 6
с переменой выигрышей — 6
с настойчивостью проигрышей — 6
с переменой проигрышей — 6

Так что как бы не дёргался ведомый, настойчиво или переменчиво, на победу это тут не влияет.

Теперь по-другому.
Если игрок сразу угадал, то настойчивость не роялит — 6 выигрышей, 6 проигрышей
Если игрок сразу промахнулся, то настойчивость опять не роялит — 6 выигрышей, 6 проигрышей.

Как ни глянь, на толк от второго выбора не повлияло ни то, что он сначала угадал или промахнулся, ни то, что он настойчив или переменчив.

Deosis 20 мар 2017 в 11:50

Вот только вероятность сразу промахнуться выше.

kez 20 мар 2017 в 12:09

Вы исследовали общую вероятность (либо выигрывает, либо проигрывает, 1:1)

Интереснее посмотреть зависимость «с переменой» и отдельно «с настойчивостью»

EndUser 20 мар 2017 в 16:38

А вы на рисунке не смогли пальцем посчитать?
Я ровно это и написал выше.
Настойчивость — 6 выигрышей и 6 проигрышей.
Переменчивость — 6 выигрышей и 6 проигрышей.

kez 5 мая 2023 в 08:55

Посчитал перед тем как написать комментарий.

На диаграмме Вы неверно рассматриваете вариант, когда игрок изначально выбирает верную дверь.

Наример

Здесь "Ведущий оставил АБ" и "Ведущий оставил БВ" имеют один и тот же исход, нельзя делить эту ветку на два события, как у Вас.

barker 20 мар 2017 в 12:21

Спасибо что постарались нарисовать)
Хм, над графиком придётся подумать — что в нём не так. Вернее, понятно в целом что там не так — общая вероятность отвязана от предыдущего выбора (в комментариях к прошлой статье, которая про голубей, это много раз на примерах поясняли; ну то есть это как бы ты взял и забыл какая дверь была у тебя до этого и очнулся когда ведущий открыл свою дверь и перед тобой снова две неизвестные двери). Но как это на графике отразиться должно было, не соображу пока.

upd по сути надо расписать на каждой плашке просто удельную вероятность и посмотреть как перенесётся она в конечные плашки и потом уже суммировать*, у меня нет технической возможности пока просто.
* (т.к. вероятности этих плашек неравны, конечно, в этом главная суть парадокса)

EndUser 20 мар 2017 в 16:43

На этом сайте берёте и меняете текст — документ анонимный и открыт для редактирования.

(Хотя точнее оказывается, что редакция становится новым документом с совсем новым URL, и я не знаю как долго там могут храниться анонимные доки. Но это мелочи).

EndUser 20 мар 2017 в 16:52

Вероятности единичных плашек как раз все равны внутри своего уровня. Она станет разная, если посчитать типы плашек в пределах одного уровня (например, 50 плашек «синий» и 200 «чёрный» дадут 20% и 80% соответственно).

barker 20 мар 2017 в 21:19

Да у меня с устройства были проблемы с редактированием) Сейчас в общем лучше растром тоже решил нарисовать и пояснить (остальные заретушированные деревья ниже «Приз за Б» и «Приз за В» совершенно аналогичные, только буквы меняются):

Картинка

Вот смотрите, ваш график как раз прекрасно иллюстрирует объяснение парадокса. Ваша ошибка в том, что вы считаете только конечные точки, но вы не оцениваете относительную вероятность их наступления. Вы заметили же сами, что некоторые ветки делятся на две части в момент выбора ведущего, а некоторые нет? А делятся они у вас только в том случае, когда человек сразу выбрал правильную дверь, т.е. верхний прямоугольник (сразу выбрал правильную он с вероятностью 1/3, это очевидно всем). И ведущий открывает любую случайную, ни там ни там нет приза (начальная вероятность угадать от этого же не изменилась, это понятно). А в случае если игрок выбрал неправильную (Б — 1/3 + В — 1/3) ведущий тоже имеет две двери и две как бы ветки, НО он не может открыть одну, у него нет выбора и он открывает определённую. Но изначальная вероятность угадать (при первом выборе) тоже конечно от этого не изменилась.

В итоге вероятности 1/3 имеют весь каждый прямоугольник целиком, но не каждые ваши пары угадал — не угадал.

Другими словами: мы на картинке отчётливо видим, что ТОЛЬКО ЕСЛИ он сразу угадал (верхняя ветка), то стратегия «сменить дверь» приводит к проигрышу. В двух остальных случаях из трёх смена двери приводит к гарантированному выигрышу. Это происходит благодаря подсказке ведущего, который вынужден убрать НЕПРАВИЛЬНЫЙ выбор в этих двух случаях из трёх.

Итого ещё раз: имея стратегию «сменить дверь» в двух случаях из трёх, изначально равнозначных, мы получаем выигрыш. И только в одном случае из трёх мы проигрываем — если мы изначально угадали.

EndUser 21 мар 2017 в 08:02

Спасибо barker, zelenin!
До меня дошло в такой формулировке:
«В 66.7% случаев игрок в первый раз не угадает, поэтому в 66.7% случаев стратегия смены двери даст победу.
В 33.3% случаев игрок в первый раз угадает, поэтому в 33.3% случаев стратегия настоять на первой двери даст победу»
И Varim брутфорснул статистику к моменту.

barker 24 мар 2017 в 17:46

Приятно, когда собеседник дискутирует не ради спора, а ради истины)
(Извиняюсь за долгий ответ)

zelenin 20 мар 2017 в 17:46

правки к карте:

три ветви не имеют смысла, т.к. А, Б и В — это просто условные обозначения. Можно (и в дальнейших комментариях и буду) рассмотреть только первую ветвь (приз за А), а остальные ветви просто ее дублируют со сменой порядка букв.
т.к. вы в карте описали все возможные ветви, то вы свели результат к паре последних решений (либо сменит либо не сменит дверь). При таком подходе конечно будет 50/50, но ведь в этом и есть парадокс — большинство людей при расчете вероятности рассматривает только второй раунд выбора, не учитывая выбор первого раунда.
правильная версия карты https://app.mindmup.com/map/_free/51eacb900d7b11e7b5572126c8e936a2
как видим тут дерево делится на две ветви (выбор правильной двери и выбор неправильной двери), во втором раунде у нас те же 50/50 выиграть или проиграть, но (!) в верхней ветви мы при смене двери проигрываем (!), а в нижней ветви при смене двери выигрываем (!). Но шансов попасть в нижнюю ветвь у нас больше (2/3), а значит и вероятность при смене двери выиграть тоже 2/3.

magazovski 5 мая 2023 в 08:55

У вас исходы не равновероятностные. Настаивать надо, когда игрок выбрал правильную дверь (1/3), а менять когда неправильную (2/3). Ваша визуализация отлично это показывает.

apachik 5 мая 2023 в 08:55

>> Если заново рисовать, то примерно так:
>> https://app.mindmup.com/map/_free/5f6790a00d3511e783074174897cf52a
вы там правильно нарисовали пространство событий, но неправильно посчитали вероятности.
Смотрите:
путь к узлу «старт» -> «приз за А» -> «игрок выбрал А» -> «ведущий оставил АБ» имеет вероятность 1/3 * 1/3 * 1/2 А путь к узлу «старт» -> «приз за А» -> «игрок выбрал Б» -> «ведущий оставил АБ» имеет вероятность 1/3 * 1/3 — в два раза выше!

У вас в по путях через «игрок выбрал» содержится больше ветвлений (ибо ведущий может оставить как АБ, так и АВ), в итоге получившиеся листья — последние узлы будут входить с меньшим весом нежели листья от путей через «игрок Б» и «игрок выбрал В» — там нет ветвления в момент выбора ведущего — все однозначно

Linder666 20 мар 2017 в 13:37

Вспомните анекдот про блондинку: «Какова вероятность того, что вы на улице встретите динозавра? Блондинка отвечает: 50/50. Почему? Ну либо встречу, либо не встречу».
Все равно эту задача сводится к одному выбору: игроку все равно покажут дверь без выигрыша. Поэтому задача сводится к выбору, за какой из двух дверей остался выигрыш? И вероятность все равно стремится к 0,5. Да, как написали до меня, если увеличить количество дверей до 100, 100 и т.д. то выбор очевиден, попасть сразу в верный вариант крайне маловероятно, но в варианте с 3 дверьми все равно итог сводится к варианту с 2 дверьми(какая, однако, тавтология)

EndUser 20 мар 2017 в 17:17

С изначальной сотней дверей тоже сводится к двум. Фокус в чём-то другом.

andyudol 23 мар 2017 в 16:11

Фокус в том, что надо вовремя переходить от статистике к логике. После того, как одно из событий «приз за дверью» произошло, открывание/закрывание дверей на его вероятность уже не влияет Поэтому вероятность, что приз не за выбранной дверью, а за другой не зависит от того, открыта ли одна из этих дверей, и равна 2/3.

alexeykuzmin0 20 мар 2017 в 15:10

Но и системе 1 большое количество испытаний позволяет принимать правильные решения.

Вообще-то, не всегда. Статья уже была здесь на эту тему: https://habrahabr.ru/post/313452/ В том числе там сказано, что немного людей за 30 дней заметили закономерность, сильно меньше, чем число голубей, заметивших закономерность за те же 30 дней.

Varim 20 мар 2017 в 19:32

циклов 1000000
случайно переключился раз: 499840
случайно не переключился раз 500160
Удачных случайных переключений 334295
Удачных случайных не пеерключений 167353
Удачно настойчиво удержался от смены 332898
Удачно настойчиво менял дверь 667102

C# code, console application

using System;

namespace MontyHallProblem
{
    class Doors
    {
        private readonly Random _hasPrizeRandom = new Random();
        private readonly Random _openedByMontyHallRandom = new Random();
        public int NumberOfDoorWhichHasPrize { get; private set; }
        public int NumberOfDoorWhichChosenByPlayer { get; set; }
        public int NumberOfDoorWhichOpenedByMontyHall { get; private set; }

        public void Init()
        {
            NumberOfDoorWhichHasPrize = _hasPrizeRandom.Next(1, 4); // 1 - 3
        }

        public void MontyHallOpens()
        {
            int randomShift = _openedByMontyHallRandom.Next(1, 3); // offset 1 or 2
            if (NumberOfDoorWhichHasPrize == NumberOfDoorWhichChosenByPlayer)
            {
                NumberOfDoorWhichOpenedByMontyHall = (NumberOfDoorWhichHasPrize + randomShift + 2) % 3 + 1;
                //1 2 3
                //2 2 1
                //3 2 2
                
                //1 1 2
                //2 1 3
                //3 1 1            
            }
            else
            {
                NumberOfDoorWhichOpenedByMontyHall = 6 - NumberOfDoorWhichHasPrize - NumberOfDoorWhichChosenByPlayer; // room 1+2+3 = 6
                //1 2 3 = 6
                //1 3 2

                //2 1 3
                //2 3 1
                
                //3 2 1
                //3 1 2 
            }
        }
    }

    class Player
    {
        private readonly Random _choiceRandom = new Random();
        private readonly Random _randomStickOrSwitch = new Random();

        int _countRandomStickOrSwitch;
        int _countRandomMustSwitch;
        int _countRandomMustNotSwitch;
        int _sumRandomStickOrSwitchWhenNoSwitch;
        int _sumRandomStickOrSwitchWhenYesSwitch;
        int _sumStick;
        int _sumSwitch;

        public void Choice(Doors doors)
        {
            doors.NumberOfDoorWhichChosenByPlayer = _choiceRandom.Next(1, 4);
        }

        public void CalculateRandomStickOrSwitch(Doors doors)
        {
            bool mustRandomSwitch = _randomStickOrSwitch.Next(0, 2) == 1; // 0 or 1

            _countRandomStickOrSwitch++;
            if (mustRandomSwitch)
            {
                _countRandomMustSwitch++;

                if (doors.NumberOfDoorWhichChosenByPlayer != doors.NumberOfDoorWhichHasPrize)
                {
                    _sumRandomStickOrSwitchWhenYesSwitch++;
                }
            }
            else
            {
                _countRandomMustNotSwitch++;

                if (doors.NumberOfDoorWhichChosenByPlayer == doors.NumberOfDoorWhichHasPrize)
                {
                    _sumRandomStickOrSwitchWhenNoSwitch++;
                }
            }
        }

        public void CalculateStick(Doors doors)
        {
            if (doors.NumberOfDoorWhichChosenByPlayer == doors.NumberOfDoorWhichHasPrize)
            {
                _sumStick++;
            }
        }

        public void CalculateSwitch(Doors doors)
        {
            if (doors.NumberOfDoorWhichChosenByPlayer != doors.NumberOfDoorWhichHasPrize)
            {
                _sumSwitch++;
            }
        }

        public void PrintResult()
        {
            Console.WriteLine($"циклов {_countRandomStickOrSwitch}");
            Console.WriteLine($"случайно переключился раз: {_countRandomMustSwitch}");
            Console.WriteLine($"случайно не переключился раз {_countRandomMustNotSwitch}");
            Console.WriteLine($"Удачных случайных переключений {_sumRandomStickOrSwitchWhenYesSwitch}");
            Console.WriteLine($"Удачных случайных не пеерключений {_sumRandomStickOrSwitchWhenNoSwitch}");
            Console.WriteLine($"Удачно настойчиво удержался от смены {_sumStick}");
            Console.WriteLine($"Удачно настойчиво менял дверь {_sumSwitch}");
        }
    }

    class Program
    {
        static void Main()
        {
            Player player = new Player();
            for (int i = 0; i < 1_000_000; i++)
            {
                Doors doors = new Doors();
                doors.Init();
                
                player.Choice(doors);
                doors.MontyHallOpens();

                player.CalculateRandomStickOrSwitch(doors);
                player.CalculateStick(doors);
                player.CalculateSwitch(doors);

                if (i % 100_000 == 0)
                {
                    Console.WriteLine(i);
                }
            }

            player.PrintResult();
        }
    }
}

Wesha 21 мар 2017 в 02:56

Если вы меняете выбор двери после действий ведущего И если изначально выбрали проигрышную дверь, то вы выигрываете (и наоборот). А шанс изначально выбрать проигрышную дверь — 2/3.

А хохма, которую мало кто осознаёт — в том, что ведущий своими действиями изменяет ситуацию, передавая вам один бит информации — открывая дверь, он передаёт вам информацию о том, что "за конкретно этой дверью приза нет".

andyudol 23 мар 2017 в 16:22

«А шанс изначально выбрать проигрышную дверь — 2/3». Почему? Вероятность угадать, где приз равна произведению вероятности, что игрок выберет одну из дверей, на вероятность, что приз за этой дверью. Вторая из них по условию равна 1/3. Следовательно, если произведение равно 2/3, то первая из них равна 2/9. Ниоткуда не следует, что игрок выбирает дверь именно с этой вероятностью.

Wesha 24 мар 2017 в 00:02

Вероятность угадать, где приз равна произведению вероятности, что игрок выберет одну из дверей, на вероятность, что приз за этой дверью.

"Ладно, раз не хотите по-плохому — помните: по-хорошему будет хуже."

Если Вы стали разбирать условные вероятности ("если приз за дверью Х И игрок выбрал дверь Y"), то их просуммировать нужно для всех случаев, а Вы это забыли сделать. Что ожидаемо приводит к тому, что я с самого начала написал.

Если объяснять на пальцах, то мы имеем 9 равновероятных ситуаций (в предположении, что игрок подбрасывает трёхстороннюю монетку):