Комментарии 209
эхх! всего на 16 лет опоздать!
У меня из подобного, по школьной физике до сих пор непосчитанная задачка про «составить формулу в общем виде — сколько нужно затратить работы, чтобы повернуть на 180 градусов вокруг своего центра массы пирамиду, которая погружена своей вершиной в воду до центра масс). Так и храню черновик с чертежами, надо будет скормить какой-нить математике или матлабу :)
У меня из подобного, по школьной физике до сих пор непосчитанная задачка про «составить формулу в общем виде — сколько нужно затратить работы, чтобы повернуть на 180 градусов вокруг своего центра массы пирамиду, которая погружена своей вершиной в воду до центра масс). Так и храню черновик с чертежами, надо будет скормить какой-нить математике или матлабу :)
Вокруг какой оси повернуть? Если вокруг вертикальной — то зависит от скорости вращения.
Без воды, очевидно, 0. С водой тоже 0, как видно из неполного условия задачи. Но обосновать немогу (
Бак воды с кораблём и бак воды без корабля весят одинаково. Водоизмещение пирамиды не зависит от угла её наклона. Соответственно, центр тяжести не должен сместься.
Из рисунка выше видно, что слева и справа площади закрашенных фигур равны, а значит и незакрашенные площади слева и справа тоже равны.
Почему-то мне не никак видно равенство площадей.
Попробуйте так. Мы взяли два одинаковых квадрата: левый и правый. И вырезали из каждого по 4 одинаковых прямоугольных треугольника двумя разными способами. Из левого вот так, а из правого иначе. А теперь посмотрим чему равны площади оставшихся (белых) фигур.
Теперь понятно, спасибо.
Один из вариантов: надо обозначить сторону большого квадрата как a+b, с одной стороны представить его площадь как сумму квадрата гипотенузы и четырёх площадей треугольника, а с другой стороны как квадрат его стороны
Главное что бы не получилось как здесь:
До сих пор не могу понят, в чем тут подвох. Не подскажете?
У большого треугольника катеты 5 и 13 — числа взаимно простые. Значит, на верхнем рисунке все разрезы никак не могут проходить ровно по границам клеточек. Например, красный треугольник — если считать, что большой катет ровно 8, то малый будет 5/13×8 = 40/13 ≈ 3,077.
Так вот за счёт небольших перекрываний вдоль стыков на нижнем рисунке площадь одной клеточки экономится.
Так вот за счёт небольших перекрываний вдоль стыков на нижнем рисунке площадь одной клеточки экономится.
:) Вот не надо только про невозможность прохождения по границам клеточек. На рисунке всё абсолютно правильно!
Просто нужно пояснить, что БОЛЬШОй треугольник (8х13) — вовсе не треугольник, а четырёхугольник! И во втором случае он более выпуклый, чем в первом.
Визуально это становится понятным, если наложить на треугольник 8х3 сверху треугольник 5х2 — у треугольника 8х3 угол более острый.
Просто нужно пояснить, что БОЛЬШОй треугольник (8х13) — вовсе не треугольник, а четырёхугольник! И во втором случае он более выпуклый, чем в первом.
Визуально это становится понятным, если наложить на треугольник 8х3 сверху треугольник 5х2 — у треугольника 8х3 угол более острый.
До сих пор не могу понят, в чем тут подвох. Не подскажете?
Красный и синий треугольники не подобны, а следовательно гипотенуза большого треугольника на самом деле не гипотенуза, и вообще не прямая.
А из интересного про подвохи и объяснения — прекрасное видео про парадокс Банаха-Тарского
У меня сразу только ассоциация с длиной n-мерного вектора, заданного координатами, появилась. Что интересно, идея обобщения на гиперплощади граней пирамиды даже никогда не появлялась, потому что уже было в голове «обобщение теоремы Пифагора на n-мерное пространство».
Теоре́ма де Гуа — одно из обобщений теоремы Пифагора на старшие размерности.
В 1783 году теорема была представлена Парижской академии наук.
ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_де_Гуа
В 1783 году теорема была представлена Парижской академии наук.
ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_де_Гуа
Обалдеть! :) Благодарю!
Интересно, американцы в курсе, что теорема была за два века до них или считают себя младшими братьями Пифагора?))
Если порыться еще в интернете, то выясняется, что эту теорему еще много кто доказывал и думал, что впервые :)
Вы про опубликованное в 1996 году доказательство? Хоть в нём и не упоминается теорема де Гуа, и приводится отдельно её доказательство, сама публикация посвящена обобщению теоремы Пифагора на n-мерное пространство (количество ортогональных векторов), т.е. шире теоремы де Гуа, являющейся частным случаем обобщения при n=3.
В новосибе нет математических школ/кружков?
Ну так и какая связь с теоремой Ферма?
Ах да. Из статьи непонятно. Никакой очевидной связи я не нашел. Кто знает, может быть она в действительности есть.
Точно нет связи.
Вы (ну и автор) прям натолкнули на мысль, а есть ли геометрические объекты, соответствующие парам чисел при больших степенях! (например, a^3 + b^3 = c^3)
Только потом вспомнил, что таких пар нет.
Правда, тройки наверняка есть. Или хотя бы четвёрки. Уж не кроется ли геометрический смысл теоремы Ферма в геометрии высших измерений?
Только потом вспомнил, что таких пар нет.
Правда, тройки наверняка есть. Или хотя бы четвёрки. Уж не кроется ли геометрический смысл теоремы Ферма в геометрии высших измерений?
Конечно, можно вводить «расстояния» не квадратичной формой, а с помощью высших степеней. Но из этого, в любом случае, никак не воспоследует наличие или отсутствие целочисленных решений соответствующих уравнений. Так же, как из теоремы Пифагора никак не следует наличие или отсутствие целочисленных решений a^2+b^2=c^3.
Смотрите, о чём я.
На самом деле маловероятно, что вся та орава ферматистов об этом не подумала, но а вдруг? Да и потом, просто интересно порассуждать на эту тему. А геометрические решения обычно самые наглядные (если не выше 3д) — например, экстремум глазами найти проще на графике (с нужным масштабом и всем остальным), чем аналитически.
a^2 + b^2 = c^2 — решения существуют. Каждому решению соответствует треугольник с некими характеристиками.
a^3 + b^3 = c^3 — не существует. Что если каждому решению соответствует некая геометрическая фигура, невозможная в евклидовом 2д? И из-за её невозможности и решений нет. Причём, вероятно, она тоже должна быть прямоугольной, как и треугольник.
А попробуем так:
a^3 + b^3 + с^3 = d^3 — решения есть, и каждому соответствует пирамидка в 3д. С некими характеристиками.
a^4 + b^4 + c^4 = d^4 — есть ли решения? А у a^n + b^n + c^n = d^n для n >= 5? Связаны ли с ними какие-нибудь фигуры? Что если там тоже появляются невозможные фигуры, и обобщение теоремы Ферма на большее количество слагаемых?
Вот как-то вот так.
На самом деле маловероятно, что вся та орава ферматистов об этом не подумала, но а вдруг? Да и потом, просто интересно порассуждать на эту тему. А геометрические решения обычно самые наглядные (если не выше 3д) — например, экстремум глазами найти проще на графике (с нужным масштабом и всем остальным), чем аналитически.
a^2 + b^2 = c^2 — решения существуют. Каждому решению соответствует треугольник с некими характеристиками.
a^3 + b^3 = c^3 — не существует. Что если каждому решению соответствует некая геометрическая фигура, невозможная в евклидовом 2д? И из-за её невозможности и решений нет. Причём, вероятно, она тоже должна быть прямоугольной, как и треугольник.
А попробуем так:
a^3 + b^3 + с^3 = d^3 — решения есть, и каждому соответствует пирамидка в 3д. С некими характеристиками.
a^4 + b^4 + c^4 = d^4 — есть ли решения? А у a^n + b^n + c^n = d^n для n >= 5? Связаны ли с ними какие-нибудь фигуры? Что если там тоже появляются невозможные фигуры, и обобщение теоремы Ферма на большее количество слагаемых?
Вот как-то вот так.
Теорема Ферма, что для любого натурального числа n>2 уравнение:
a^n+b^n=c^n
не имеет решений в целых ненулевых числах a,b,c.
судя по всему у этой теоремы д.б. расширение типа
x(1)^n+x(2)^n+...x(m)^n = X^n
где m — метрика пространства
с тем же самым ограничением для n>2
видимо это д.б. как-то связано с каким-то из фундаментальных свойств m-мерного пространства.
связь безусловно есть. по-крайней мере теорема ферма утверждает, что в двумерном пространстве нет возможности создать еще одну теорему Пифагора с каким-то иным доказательством и свойствами.
возможно это свойство пифагоричности пространства?
: о)
Некая связь есть.
Теорема утверждает, что для любого натурального числа n>2 уравнение:
a^n + b^n = c^nне имеет решений в целых ненулевых числах a,b,c.
Что можно перефразировать так: Теорема Пифагора работает только для фигур в двухмерном пространстве. В трехмерном (и больше) пространстве куб (четвёртая степень и т.п) двух "граней" не даст куб (четвёртую степень и т.п.) "основания".
В целом доказательство от Техасского университета про то, как связать квадраты граней и квадрат основания почти что является доказательством Великой Теоремы Ферма от противного. Потому что для большего количества измерений нужно увеличивать количество граней, а не степень для каждой грани.
этот момент был самым ярким и самым запоминающимся. Я испытал полную гамму чувств, эмоций, переживаний первооткрывателя
Вот это классное ощущение и есть доказательство того, что наука и самообразование могут приносить физическое удовольствие. Помню подобный эпизод из школы. Когда нам учительница предложила пари: мы решаем задачу «из университета» и она нам ставит пятерку за верный ответ. Причем пятерка была, с ее слов, приравнена к оценке за контрольную.
Класс на эти пару дней преобразился, мало кто бегал на перемене, почти все думали над задачей. Даже те, кто не очень любил геометрию или был «двоечником».
Ко мне решение пришло утром, почти во сне, записал его и бегом побежал в школу. М — мотивация. Занятно, что решений было несколько, на уроке мы их разобрали и это был хороший опыт. Жаль единичный.
Но у вас неправильная формулировка.
- На рисунке пирамида трехгранная.
(Египетские пирамиды четырехгранные) - Не один из углов должен быть прямой, а именно верхний — для пирамиды "на боку" как на рисунке, теорема не выполняется.
Возьму на себя смелость альтернативной формулировки: "у трехгранной пирамиды, у которой в одной из вершин грани сходятся под прямым углом, сумма квадратов площадей этих граней равна квадрату площади оставшейся грани"
Там все верно. Просто не хотел перегружать чертеж значками прямых углов. В тексте все написано. Вершина пирамиды лежит в начале координат. Боковые ребра пирамиды располагаются вдоль координатных осей. Трехгранные пирамиды — это сленг так как у минимальной пирамиды 4 грани. Я решил придерживаться официальной терминологии. Поэтому называл пирамиды четырехгранными.
Теперь можете на неевклидовы геометрии обобщать
Отличная статья!
Теорема Пифагора, конечно, легко доказывается, но то, что в a, b, c можно подставить натуральные числа теорема же не доказывает. Для меня до сих пор остается загадкой почему существуют такие тройки и почему их так много (начиная с самых малых). Если бы такие тройки существовали из каких-то огромных чисел типа 7978^2 + 24791874^2 = 7226746^2, то это было бы не удивительно, поскольку можно было бы сослаться на совпадение. Даже не было бы удивительным, если бы не существовало бы ни одного набора натуральных чисел, для которых a^2 + b^2 = c^2
Может кто-нибудь знает теорему по этому вопросу?
Теорема Пифагора, конечно, легко доказывается, но то, что в a, b, c можно подставить натуральные числа теорема же не доказывает. Для меня до сих пор остается загадкой почему существуют такие тройки и почему их так много (начиная с самых малых). Если бы такие тройки существовали из каких-то огромных чисел типа 7978^2 + 24791874^2 = 7226746^2, то это было бы не удивительно, поскольку можно было бы сослаться на совпадение. Даже не было бы удивительным, если бы не существовало бы ни одного набора натуральных чисел, для которых a^2 + b^2 = c^2
Может кто-нибудь знает теорему по этому вопросу?
Достаточно одной натуральной тройки, чтобы их стало бесконечно много.
Любая примитивная пифагорова тройка (x,y,z), где x — нечётно, а y — чётно, однозначно представляется в виде (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2) для некоторых натуральных взаимно простых чисел m>n разной чётности.
Примитивные пифагоровы тройки
Примитивные пифагоровы тройки
Вот здесь очень хорошая визуализация https://www.youtube.com/watch?v=QJYmyhnaaek.
Ну вот смотрите, есть тройка (3, 4, 5). Давайте возьмём этот треугольник и пропорционально увеличим в 2 раза. А углы-то те же. И оп! — новая тройка (6, 8, 10).
Давайте увеличим в n раз — а вот и троечка (3n, 4n, 5n). Таким образом, таких треугольников как минимум столько же, сколько и действительных чисел.
Давайте увеличим в n раз — а вот и троечка (3n, 4n, 5n). Таким образом, таких треугольников как минимум столько же, сколько и действительных чисел.
Поправка: треугольников столько же, сколько натуральных чисел. Действительных всё же побольше.
Скорее натуральных, мощность NxNxN такая же, что и N, а пифагоровы тройки являются подмножеством этого множества :)
Допустим, у Вас есть 1 монета 10 рублей, одна 5 рублей и одна 1 рубль. Какова вероятность, что Вы сможете набрать 15 рублей? А 16? А 17? В первых двух случаях Вы сможете набрать, а в третьем нет. Тут нет чего-то удивительного.
С квадратами также. Допустим, Вы собираете a² + b² + c² = d² и хотите собрать 81 из ровно 3 чисел. Но чисел на выбор у Вас достаточно много: это и 1, и 4, и 9, и 16, и 25, и 36, и 49, и 64. Суммарно 8 чисел. Из них можно собрать:
14, 21, 26, 29, 30, 35, 38, 41, 42, 45, 46, 49, 50, 53, 54, 56, 59, 61, 62, 65, 66, 69, 70, 74, 75, 77, 78, 81, 83, 84, 86, 89, 90, 93, 94, 98, 101, 104, 105, 109, 110, 114, 116, 117, 122, 125, 129, 138, 149 — суммарно 49 чисел. Т. е. из 150 чисел мы можем собрать треть, поэтому такие «совпадения» неудивительны. Если выйти за пределы восьмёрки, то из 150 чисел соберётся 70 — это почти половина.
Из комбинаций двух квадратов тоже можно собрать много чисел:
5, 10, 13, 17, 20, 25, 26, 29, 34, 37, 40, 41, 45, 50, 52, 53, 58, 61, 65, 68, 73, 74, 80, 82, 85, 89, 90, 97, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 122, 125, 130, 136, 137, 145, 146, 148, 149, 153, 157, 160, 164, 169, 170, 173, 178, 180, 181, 185, 193, 194, 197, 200 и т. д.
Если собирать a² + b², то:
Из 1000 первых чисел собираются 293 числа (29%). Среди них собираются 11 квадратов из 31 (35%).
Из 10000 чисел — 2649 (26%). 52 квадрата из 100 (52%).
Из 100 тыс чисел — 23760 (24%). 220 квадратов из 316 (70%).
Из 1 млн чисел — 215594 (22%). 881 квадрат из 1000 (88%).
Если собирать a² + b² + c², то:
Из 1000 первых чисел собираются 728 чисел (73%). Среди них собираются 19 квадратов из 31 (61%).
Из 10000 чисел — 8166 (82%). 82 квадрата из 100 (82%).
Из 100 тыс чисел — 83102 (83%). 294 квадрата из 316 (93%).
Из 1 млн чисел — 833039 (83%). 973 квадрата из 1000 (97%).
С квадратами также. Допустим, Вы собираете a² + b² + c² = d² и хотите собрать 81 из ровно 3 чисел. Но чисел на выбор у Вас достаточно много: это и 1, и 4, и 9, и 16, и 25, и 36, и 49, и 64. Суммарно 8 чисел. Из них можно собрать:
14, 21, 26, 29, 30, 35, 38, 41, 42, 45, 46, 49, 50, 53, 54, 56, 59, 61, 62, 65, 66, 69, 70, 74, 75, 77, 78, 81, 83, 84, 86, 89, 90, 93, 94, 98, 101, 104, 105, 109, 110, 114, 116, 117, 122, 125, 129, 138, 149 — суммарно 49 чисел. Т. е. из 150 чисел мы можем собрать треть, поэтому такие «совпадения» неудивительны. Если выйти за пределы восьмёрки, то из 150 чисел соберётся 70 — это почти половина.
Из комбинаций двух квадратов тоже можно собрать много чисел:
5, 10, 13, 17, 20, 25, 26, 29, 34, 37, 40, 41, 45, 50, 52, 53, 58, 61, 65, 68, 73, 74, 80, 82, 85, 89, 90, 97, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 122, 125, 130, 136, 137, 145, 146, 148, 149, 153, 157, 160, 164, 169, 170, 173, 178, 180, 181, 185, 193, 194, 197, 200 и т. д.
Если собирать a² + b², то:
Из 1000 первых чисел собираются 293 числа (29%). Среди них собираются 11 квадратов из 31 (35%).
Из 10000 чисел — 2649 (26%). 52 квадрата из 100 (52%).
Из 100 тыс чисел — 23760 (24%). 220 квадратов из 316 (70%).
Из 1 млн чисел — 215594 (22%). 881 квадрат из 1000 (88%).
Если собирать a² + b² + c², то:
Из 1000 первых чисел собираются 728 чисел (73%). Среди них собираются 19 квадратов из 31 (61%).
Из 10000 чисел — 8166 (82%). 82 квадрата из 100 (82%).
Из 100 тыс чисел — 83102 (83%). 294 квадрата из 316 (93%).
Из 1 млн чисел — 833039 (83%). 973 квадрата из 1000 (97%).
Упс, это всё было для случая, когда длины сторон должны быть разными. Исправляю коммент (а заодно и ошибку в вычислении a² + b²):
[…]
С квадратами также. Допустим, Вы собираете a² + b² + c² = d² и хотите собрать 81 ровно из 3 чисел. Но чисел на выбор у Вас достаточно много: это и 1, и 4, и 9, и 16, и 25, и 36, и 49, и 64. Суммарно 8 чисел. Из них можно собрать:
3, 6, 9, 11, 12, 14, 17, 18, 19, 21, 22, 24, 26, 27, 29, 30, 33, 34, 35, 36, 38, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 53, 54, 56, 57, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 81, 82, 83, 84, 86, 88, 89, 90, 93, 94, 96, 97, 98, 99, 101, 102, 104, 105, 107, 108, 109, 110, 114, 116, 117, 121, 122, 123, 125, 129, 132, 134, 136, 137, 138, 144, 147, 149 — суммарно 89 чисел. Т. е. из 150 чисел мы можем собрать больше половины, поэтому такие «совпадения» неудивительны. Если выйти за пределы восьмёрки, то из 150 чисел соберётся 105 — это 70%.
Из комбинаций двух квадратов тоже можно собрать много чисел:
2, 5, 8, 10, 13, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 37, 40, 41, 45, 50, 52, 53, 58, 61, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 82, 85, 89, 90, 97, 98, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 122, 125, 128, 130, 136, 137, 145, 146, 148, 149, 153, 157, 160, 162, 164, 169, 170, 173, 178, 180, 181, 185, 193, 194, 197, 200 и т. д.
Если собирать a² + b², то:
Из 1000 первых чисел собираются 309 чисел (31%). Среди них собираются 10 квадратов из 31 (32%).
Из 10000 чисел — 2691 (27%). 42 квадрата из 100 (42%).
Из 100 тыс чисел — 23874 (24%). 162 квадрата из 316 (51%).
Из 1 млн чисел — 215908 (22%). 567 квадратов из 1000 (57%).
Если собирать a² + b² + c², то:
Из 1000 первых чисел собираются 800 чисел (80%). Среди них собираются 23 квадрата из 31 (74%).
Из 10000 чисел — 8283 (83%). 88 квадратов из 100 (88%).
Из 100 тыс чисел — 83268 (83%). 301 квадрат из 316 (95%).
Из 1 млн чисел — 833251 (83%). 982 квадрата из 1000 (98%).
[…]
С квадратами также. Допустим, Вы собираете a² + b² + c² = d² и хотите собрать 81 ровно из 3 чисел. Но чисел на выбор у Вас достаточно много: это и 1, и 4, и 9, и 16, и 25, и 36, и 49, и 64. Суммарно 8 чисел. Из них можно собрать:
3, 6, 9, 11, 12, 14, 17, 18, 19, 21, 22, 24, 26, 27, 29, 30, 33, 34, 35, 36, 38, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 53, 54, 56, 57, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 81, 82, 83, 84, 86, 88, 89, 90, 93, 94, 96, 97, 98, 99, 101, 102, 104, 105, 107, 108, 109, 110, 114, 116, 117, 121, 122, 123, 125, 129, 132, 134, 136, 137, 138, 144, 147, 149 — суммарно 89 чисел. Т. е. из 150 чисел мы можем собрать больше половины, поэтому такие «совпадения» неудивительны. Если выйти за пределы восьмёрки, то из 150 чисел соберётся 105 — это 70%.
Из комбинаций двух квадратов тоже можно собрать много чисел:
2, 5, 8, 10, 13, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 37, 40, 41, 45, 50, 52, 53, 58, 61, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 82, 85, 89, 90, 97, 98, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 122, 125, 128, 130, 136, 137, 145, 146, 148, 149, 153, 157, 160, 162, 164, 169, 170, 173, 178, 180, 181, 185, 193, 194, 197, 200 и т. д.
Если собирать a² + b², то:
Из 1000 первых чисел собираются 309 чисел (31%). Среди них собираются 10 квадратов из 31 (32%).
Из 10000 чисел — 2691 (27%). 42 квадрата из 100 (42%).
Из 100 тыс чисел — 23874 (24%). 162 квадрата из 316 (51%).
Из 1 млн чисел — 215908 (22%). 567 квадратов из 1000 (57%).
Если собирать a² + b² + c², то:
Из 1000 первых чисел собираются 800 чисел (80%). Среди них собираются 23 квадрата из 31 (74%).
Из 10000 чисел — 8283 (83%). 88 квадратов из 100 (88%).
Из 100 тыс чисел — 83268 (83%). 301 квадрат из 316 (95%).
Из 1 млн чисел — 833251 (83%). 982 квадрата из 1000 (98%).
Любопытно!
А чего тройки то? Четверки же: https://ru.wikipedia.org/wiki/Пифагорова_четвёрка
Про целочисленный прямоугольный параллелепипед есть нерешенная проблема: https://ru.wikipedia.org/wiki/Совершенный_кубоид
Примерно похожее чувство я испытал в школе, в классе 7-ом, когда, как мне тогда казалось, я открыл "свойство" (или формулу) нахождения диагонали у куба. Просто одну сторону умножить на корень из 3. И совсем скоро я расстроился, многие об этом давно знали.
Спасибо, автор, разделяю Ваши чувства и ощущения ;-)
Это следствие из теоремы Пифагора :)
Я тоже что-то открывал, но уже не помню, что. Потом оказалось, что это очень простое следствие из свойств умножения и сложения.
Я тоже что-то открывал, но уже не помню, что. Потом оказалось, что это очень простое следствие из свойств умножения и сложения.
У меня товарищ по универу много физических эффектов предсказал. Правда потом мы их на лекциях проходили через пару недель. Например, он догадался, что должен существовать эффект Холла.
Диагональ прямоугольного многогранника находится абсолютно по той же формуле, что и формула в статье: корень из (a² + b² + c²). Аналогично для объекта любой размерности — это легко вычисляется по стандартной теореме Пифигора. Вначале я даже было подумал, что статья будет об этом.
Вы ещё молоды, можно понять. Я в университете в дипломной работе придумал по сути новый способ доказательства для определенного класса задач. Так и написал в дипломной — новый способ… Научный (к слову гениальный учёный), который и предложил идею, посоветовал быть поскромнее. Фразу эту убрал .) У нас не особо принято хвастаться в науч. сфере, я так понял что хорошим тоном считается, когда вашу работу хорошо приняли другие учёные.
Это ведь не научная работа, а популярная статья. Я согласен, что теорема простая и ничего особенного тут нет. И теорему я не присваивал. В статье все написано. Прочитайте. Если не принято хвастаться, то зачем же вы сами сейчас хвастаетесь, уважаемый ученый?
Вот странно. Вы же ВУЗ по физмат специальности заканчивали? Описанное в посте — это упрощённый частный случай связи между поверхностными интегралами первого и второго рода, а это с незапамятных времён проходится на втором курсе матана.
В жизни, все оказалось гораздо проще и прозаичнее. Я опоздал… Но на сколько! Всего-то навсего 18 лет! Под страшными продолжительными пытками и не с первого раза Гугл признался мне, что эта теорема была опубликована в 1996 году!
Слишком простая теорема — было бы странно, если бы ее только в 1996 году доказали. У меня в школе тоже были подобные "теоремы", хорошо что почти никому о них не рассказывал — сейчас стыдился бы.
Очень круто…
Но на первом курсе матана была формула для сферы в трехмерных координатах
x^2+y^2+z^2=R^2, где R — радиус сферы.
Аналогичным образом ищется большая диагональ параллелепипеда.
Давайте проблематику поднимем на более высокий уровень, и совершим несложное открытие:
Представим, что R — это число Грэмма, насколько многомерным должно быть пространство, чтобы выполнялось приведенное выше выражение?
С этой пирамидой, у которой при одной вершине угол прямой, был курьёз на подготовительных курсах в университет. Уже более 20 лет назад. Задача была в том, чтобы найти объём, зная длину ребра при прямом угле. Все три ребра одинаковы. Решение оказалось банальным, но никто из абитуриентов его не нашёл. До сих пор помню как пример нестандартного мышления
А чего нестандартного? У любой пирамиды объем разве не треть площади основания на высоту?
А нестандартного то, что этот самый прямой угол находился вверху и чтобы понять, что одно из его ребёр является высотой, нужно пирамиду перевернуть на боковую грань. До этого мы, 17-летние абитуриенты, не додумались.
a^3/2 ?
Мне эта теорема была известна как Фаульхабера. Я в школе в рамках научной работы обобщал её для случая произвольного тетраэдра(когда имеем произвольные, а не прямые углы напротив основания). По сути, это был трёхмерный аналог теоремы косинусов, которая при α = 90° вырождается в теорему Пифагора.
геометрическое доказательство того, что можно раскрывать скобки?
У меня получилась вот такая формула:
Чтобы её получить, я использовал теорему косинусов, формулу Герона, тригонометрические тождества и, да, много раз раскрывал скобки.
Извините, перепутал комментарии.
Предназначалось для lordn.
прикольно, а я только сейчас увидел в геометрическом доказательстве т.Пифагора доказательство выражения
(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2
кто-нить раньше его уже видел?
: о)
Обычный учебник по геометрии за 10-11 класс, за авторством Л.С.Атанасяна, страница 66, там она названа пространственной теоремой Пифагора.
Автору респект!
Однако, в вашей интерпретации остаётся совершенно не понятно почему бывают целочисленные четвёрки? Сколько их? И можно ли их как-то описать?
В случае египетских треугольников на все эти вопросы можно дать изящный ответ:
1) Прежде всего переформулируем задачу: мы ищем целые числа a,b,c, т.ч
(a/c)^2+(b/c)^2=1
Иными словами мы ищем рациональные числа x=a/c, y=b/c, т.ч x^2+y^2=1
2) Такие числа — это просто точки на единичной окружности с рациональными координатами
3) Последнее наблюдение (имеющее геометрическую интерпретацию) состоит в том что на окружности можно ввести «рациональную параметризацию»
x=(t^2-1)/(t^2+1), y=(-2t)/(t^2+1), легко проверить что x^2+y^2=1
4) Теперь ясно что любое рациональное число t даёт вам египетский треугольник, более того не сложно доказать что таким способом получаются все египетские треугольники.
Это доказательсто из книжки В.И.Арнольда «геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов», возможно вам, как любопытному человеку она будет интересна.
Соответственно вопрос, можно ли что-то подобное сделать для «египетских четверок», и может ли в этой задаче помочь ваша геометрическая идея.
Эта задача может оказаться весьма нетривиальной и (если помечтать ) связанной и с алгебраической геометрией и с Ферма.
Удачи!
Однако, в вашей интерпретации остаётся совершенно не понятно почему бывают целочисленные четвёрки? Сколько их? И можно ли их как-то описать?
В случае египетских треугольников на все эти вопросы можно дать изящный ответ:
1) Прежде всего переформулируем задачу: мы ищем целые числа a,b,c, т.ч
(a/c)^2+(b/c)^2=1
Иными словами мы ищем рациональные числа x=a/c, y=b/c, т.ч x^2+y^2=1
2) Такие числа — это просто точки на единичной окружности с рациональными координатами
3) Последнее наблюдение (имеющее геометрическую интерпретацию) состоит в том что на окружности можно ввести «рациональную параметризацию»
x=(t^2-1)/(t^2+1), y=(-2t)/(t^2+1), легко проверить что x^2+y^2=1
4) Теперь ясно что любое рациональное число t даёт вам египетский треугольник, более того не сложно доказать что таким способом получаются все египетские треугольники.
Это доказательсто из книжки В.И.Арнольда «геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов», возможно вам, как любопытному человеку она будет интересна.
Соответственно вопрос, можно ли что-то подобное сделать для «египетских четверок», и может ли в этой задаче помочь ваша геометрическая идея.
Эта задача может оказаться весьма нетривиальной и (если помечтать ) связанной и с алгебраической геометрией и с Ферма.
Удачи!
Для полноты изложения хорошо бы привести значения $a,b,c$ (длины векторов, образующих пирамиду) дающие какой-нибудь набор из «загадочных четверок». Возможен ли случай натуральных $a,b,c$?
Исключительно изобретательное доказательство теоремы Пифагора!
Храм Науки и Техники в Северной Корее
vk.com/album-36928352_248393172
Храм Науки и Техники в Северной Корее
vk.com/album-36928352_248393172
Наглядная демонстрация, а не доказательство.
Чтобы понятна была разница — квадрат 8×8 можно разрезать на кусочки и сложить из них прямоугольник 5×13. Но это не доказательство, что 8×8 = 5×13.
Чтобы понятна была разница — квадрат 8×8 можно разрезать на кусочки и сложить из них прямоугольник 5×13. Но это не доказательство, что 8×8 = 5×13.
Нет, так сделать нельзя, тут треугольки на первой картинке и четырехугольки на второй имеют разную площадь. У треугольников она 12, а у четырехугольков 12,5.
Не сложатся. Угол наклона разный: 2/5 у серых, 3/8 у оранжевых.
Я, по-вашему, зелёный от оранжевого 64 от 65 отличить не могу? Конечно, идеально математически не сложатся, останутся щели. Но не очень большие, если резать из бумаги — так вообще можно лист слегка растянуть, и будет незаметно.
Речь о том, что физическая демонстрация не может доказать математическое утверждение, может только навести на мысль.
Речь о том, что физическая демонстрация не может доказать математическое утверждение, может только навести на мысль.
В примере из статьи мы ничего не вычисляли. Горизонтальный размер b получен из исходного определения большого квадрата. Этот рисунок без проблем можно преобразовать в математические формулы и получить то же самое. Просто рисунок читается быстрее, чем скучные формулы.
Вы посмотрите, на что я отвечал исходно.
К рисункам в статье ноль претензий. Я про то, что правильно называть не доказательством, а демонстрацией:
К рисункам в статье ноль претензий. Я про то, что правильно называть не доказательством, а демонстрацией:
Нет, это не демонстрация, а именно доказательство. Там всё обозначается буквами и обозначениями, поэтому даже если Вы что-то искривите или отмасштабируете, ничего не изменится.
Мы берём квадрат стороной (a + b) — его площадь (a + b)². Площадь внутренних треугольников — a * b / 2. Треугольников 4 штуки. Значит площадь оставшейся части ровно (a + b)² – (a * b / 2) * 4 = a² + 2ab + b² + 2ab = a² + b². Здесь нет никаких «но» — площадь ровно a² + b², причём нам даже не понадобилась вторая картинка.
Но нельзя сказать, что вторая картинка тоже не доказывает — все преобразования, которые были сделаны, строго математические. Например, когда известно, что у нас есть два одинаковых прямоугольных треугольника, то точно известно, что из них можно составить прямоугольник с такими же сторонами, причём когда одна сторона этого прямоугольника равна a, и прямоугольник вложен в квадрат со стороной (a + b), то оставшаяся часть справа — это b. Если высота прямоугольника b, то площадь оставшейся части справа будет равно b (которое мы получили ранее), умноженное на b, что равно b². Именно это и показано на картинке.
Далее раз высота b, а прямоугольник вписан в квадрат стороной (a + b), то оставшаяся высота сверху — a (а ширина a + b). Когда мы убираем такой же прямоугольник с любой из сторон, останется ширина a. Площадь такой оставшейся части будет равна a² (что также показано на картинке). Суммарная площадь оставшихся частей — a² + b² (что и в итоге доказано картинкой).
В Вашем же примере всё наоборот. Во-первых, если чуть поменять форму или размеры фигур, то Ваш пример тут же сваливается (что и происходит). А вот визуальную форму во второй картинке в статье можно менять сколько угодно, т. к. объекты всё-равно описаны математически, и результат a² + b² от этого не изменится. Во-вторых, Вы не только переместили фигуры, но и изменили их форму.
Мы берём квадрат стороной (a + b) — его площадь (a + b)². Площадь внутренних треугольников — a * b / 2. Треугольников 4 штуки. Значит площадь оставшейся части ровно (a + b)² – (a * b / 2) * 4 = a² + 2ab + b² + 2ab = a² + b². Здесь нет никаких «но» — площадь ровно a² + b², причём нам даже не понадобилась вторая картинка.
Но нельзя сказать, что вторая картинка тоже не доказывает — все преобразования, которые были сделаны, строго математические. Например, когда известно, что у нас есть два одинаковых прямоугольных треугольника, то точно известно, что из них можно составить прямоугольник с такими же сторонами, причём когда одна сторона этого прямоугольника равна a, и прямоугольник вложен в квадрат со стороной (a + b), то оставшаяся часть справа — это b. Если высота прямоугольника b, то площадь оставшейся части справа будет равно b (которое мы получили ранее), умноженное на b, что равно b². Именно это и показано на картинке.
Далее раз высота b, а прямоугольник вписан в квадрат стороной (a + b), то оставшаяся высота сверху — a (а ширина a + b). Когда мы убираем такой же прямоугольник с любой из сторон, останется ширина a. Площадь такой оставшейся части будет равна a² (что также показано на картинке). Суммарная площадь оставшихся частей — a² + b² (что и в итоге доказано картинкой).
В Вашем же примере всё наоборот. Во-первых, если чуть поменять форму или размеры фигур, то Ваш пример тут же сваливается (что и происходит). А вот визуальную форму во второй картинке в статье можно менять сколько угодно, т. к. объекты всё-равно описаны математически, и результат a² + b² от этого не изменится. Во-вторых, Вы не только переместили фигуры, но и изменили их форму.
Плохой пример. Неправильное геометрическое доказательство сравниваете с физическим.
Физическое «доказательство» не надёжнее геометрического. Может вкрасться малая ошибка, незаметная при принятом способе измерения.
Геометрическое «доказательство» показывает пример ошибки, невидимой на глаз, но обнаружимой математически.
Геометрическое «доказательство» показывает пример ошибки, невидимой на глаз, но обнаружимой математически.
Я и говорю сравнивает ненадежное физическое доказательство с геометрическим вообще не доказательством. Геометрические доказательства надежны и ничем не хуже арифметических. А приведенный пример вообще не доказательство, так как содержит ошибку. Всё равно что написать 2+2=2-0.5+2+0.5=2+0.5+2+0.5= 5 и сказать что это доказательство.
Вы, видимо, не уловили мысль. То, что Вы называете «физическим доказательством» — на самом деле тоже демонстрация, которая не доказывает утверждение, а подтверждает его с некоторой вероятностью.
Это вы не уловили мысль. Вам показывают наглядную демонстрацию которая очевидно не точна и просто демонстрирует закон, но не доказывает (хотя и является правильной демонстрацией). И говорят вот посмотрите на совершенно неверное очевидно неправильное геометрическое псевдодоказательство. И как бы намекают что это две равнозначные ошибки. Нет это совершенно разные примеры.
Почему же? На демонстрационной установке можно показать всё, что захочется автору установки. Можно продемонстрировать закон, а можно — откровенный бред.
Чтобы установка правильно показала закон — её тоже нужно подгонять под результат и напильником дорабатывать.
О том и речь.
Чтобы установка правильно показала закон — её тоже нужно подгонять под результат и напильником дорабатывать.
О том и речь.
Вы судите два опыта (предположим, что я не нарисовал разрезание, а вырезал это всё из бумаги — надеюсь, вы поверите без доказательства, что это мне под силу), зная заранее истинность утверждений, которые они призваны демонстрировать. Поэтому демонстрацию теоремы Пифагора вы заранее воспринимаете благожелательно, а демонстрацию утверждения 64=65 — нет. Это правильно.
Но: если вы не знаете ничего об истинности утверждений заранее, вы должны сомневаться в обоих случаях.
Пример: в опыте с переливанием жидкости в большом квадрате остаётся пузырё воздуха. Шок, сенсация, теорема Пифагора опровергнута? Возможно. Но геометрия говорит обратное, так что это в установке что-то кривое.
Другой пример: учёные обнаружили нейтрино, двигающиеся быстрее скорости света. Эксперимент проводился максимально добросовестно, настолько точно и аккуратно, насколько возможно. Новая физика? Нет. Но в этом случае учёные сами поставили под вопрос свои результаты, перепроверили и нашли ошибку, которую допустили случайно, не по злому умыслу. А если бы решили не перепроверять — из-за одного подозрения всю физику переписывать?
Третий пример: в воде электроны могут двигаться быстрее света. Верно ли обобщение, что электроны могут двигаться быстрее света в любой среде, включая вакуум?
Но: если вы не знаете ничего об истинности утверждений заранее, вы должны сомневаться в обоих случаях.
Пример: в опыте с переливанием жидкости в большом квадрате остаётся пузырё воздуха. Шок, сенсация, теорема Пифагора опровергнута? Возможно. Но геометрия говорит обратное, так что это в установке что-то кривое.
Другой пример: учёные обнаружили нейтрино, двигающиеся быстрее скорости света. Эксперимент проводился максимально добросовестно, настолько точно и аккуратно, насколько возможно. Новая физика? Нет. Но в этом случае учёные сами поставили под вопрос свои результаты, перепроверили и нашли ошибку, которую допустили случайно, не по злому умыслу. А если бы решили не перепроверять — из-за одного подозрения всю физику переписывать?
Третий пример: в воде электроны могут двигаться быстрее света. Верно ли обобщение, что электроны могут двигаться быстрее света в любой среде, включая вакуум?
Там изображено не ненадёжное, а в корне неверное физическое доказательство. Потому что теорема Пифагора верна только в Евклидовом пространстве с нулевой кривизной. Фотография на инсталляции находится, по утверждениям постивших, в Северной Корее на планете Земля. Пространство-время вблизи планеты Земля заметно искривлено, что может быть измерено любыми пружинными весами, т.к. искривление пространства-времени проявляется в гравитации. Таким образом, в околоземном пространстве для прямоугольного треугольника не выполняется равенство a2+b2=c2. Введение в заблуждение подобными «доказательствами» только вносит сумятицу в неокрепшие детские умы и разрушающе действует даже на некоторых взрослых, поэтому должно быть запрещено под страхом высшей меры наказания.
Ну, это Вы хватили. Гравитация — гравитацией, а влияние кривизны околоземного пространства на теорему Пифагора можно обнаружить, наверно только лазерным измерением на очень большом треугольнике.
Проблема экспериментов в другом — в том, что нельзя гарантировать, что исключены все влияющие факторы. Поэтому эксперимент ничего не доказывает в математическом понимании этого слова, а только подтверждает с некоторой вероятностью.
Проблема экспериментов в другом — в том, что нельзя гарантировать, что исключены все влияющие факторы. Поэтому эксперимент ничего не доказывает в математическом понимании этого слова, а только подтверждает с некоторой вероятностью.
Я специально старался писать так, чтобы было понятно, что это уже абсурд.
Совершенно согласен, что для математических теорем нет правильных или неправильных экспериментальных доказательств, потому что никакой эксперимент в строгом математическом смысле доказательством быть не может. Правильность или неправильность пришивается, по сути, задним числом, когда теорема доказана строгим математическим способом.
Да, хорошая демонстрация для человека «с улицы» иногда может быть лучше в плане просвещения, чем попытки объяснить строгое доказательство. Но есть и обратная сторона — можно сделать «эксперимент», намеренно вводящий в заблуждение, типа проектов «вечных двигателей». И, объективно говоря, без бэкграунда у человека нет способа отличить добросовестную демонстрацию от жульничества. Из-за чего я и начал холивар «доказательство или нет», хотя какая бы, казалось, разница.
Совершенно согласен, что для математических теорем нет правильных или неправильных экспериментальных доказательств, потому что никакой эксперимент в строгом математическом смысле доказательством быть не может. Правильность или неправильность пришивается, по сути, задним числом, когда теорема доказана строгим математическим способом.
Да, хорошая демонстрация для человека «с улицы» иногда может быть лучше в плане просвещения, чем попытки объяснить строгое доказательство. Но есть и обратная сторона — можно сделать «эксперимент», намеренно вводящий в заблуждение, типа проектов «вечных двигателей». И, объективно говоря, без бэкграунда у человека нет способа отличить добросовестную демонстрацию от жульничества. Из-за чего я и начал холивар «доказательство или нет», хотя какая бы, казалось, разница.
Теперь я с Вами полностью согласен. Спасибо.
Вообще то, то что вы написали никак не показывает абсурдность физическим доказательством. Геометрические построения на бумаге являются ни чуть не менее строгими чем алгебраические. То что вы нарисовали очевидно не является доказательством 64 = 65 чисто по построению. Геометрические доказательства не являются физическими и строятся они не путем вырезания треугольников из бумаги.
Они строятся мысленным вырезанием треугольников. Какая разница?
Очевидно точно такая же разница когда вы мысленно суммируете ряд 1/(2^n) и взвешиваете кучки песка. Мысленное разрезание квадрата на треугольники для доказательства теоремы пифагора это точно такая же аналитическая операция как решение квадратного уравнения. А вырезание треугольников из квадрата 8х8 из бумаги что бы получился прямоугольник 5х13 это детская забава.
Так против чего Вы возражаете?
Вы показали, как продемонстрировать правильный закон.
Вам в ответ показали, как продемонстрировать неправильное утверждение.
Вы прицепились к форме демонстрации, а оно тут ни при чём. На установке с переливанием воды тоже может оказаться, что 64 равно 65 с погрешностью, необнаружимой визуально.
Вы показали, как продемонстрировать правильный закон.
Вам в ответ показали, как продемонстрировать неправильное утверждение.
Вы прицепились к форме демонстрации, а оно тут ни при чём. На установке с переливанием воды тоже может оказаться, что 64 равно 65 с погрешностью, необнаружимой визуально.
Вам продемонстрировали не неправильное утверждение, а заведомо ложное. Всё равно что бы вам продемонстрировали доказательство 2+2 = 5. Именно по построению видно что оно ложное.
То есть у вас есть три примера
1) Абсолютно правильное геометрическое доказательство теоремы пифагора.
2) Физическая демонстрация теоремы пифагора
3) Заведомо неправильно геометрическое построение для доказательства ложного утверждения. (Оно неправильно не потому что оно доказывает ложное утверждение, а потому что утверждает что при соединении трапеции и треугольника получится треугольник, что на самом деле не доказано и очевидно ложно).
Все три примера относятся к совершенно разным категориям.
То есть у вас есть три примера
1) Абсолютно правильное геометрическое доказательство теоремы пифагора.
2) Физическая демонстрация теоремы пифагора
3) Заведомо неправильно геометрическое построение для доказательства ложного утверждения. (Оно неправильно не потому что оно доказывает ложное утверждение, а потому что утверждает что при соединении трапеции и треугольника получится треугольник, что на самом деле не доказано и очевидно ложно).
Все три примера относятся к совершенно разным категориям.
Во-первых, где Вы видите
?
Во вторых, с чего Вы взяли, что
?
Абсолютно правильное геометрическое доказательство теоремы пифагора.
?
Во вторых, с чего Вы взяли, что
Все три примера относятся к совершенно разным категориям.
?
Это очевидно. Не ну вообще вы математику знаете?
Я, пока что вижу, что Вы не знаете ни математику, ни формальную логику.
А ещё верите, будто бывает что-то «очевидное».
Ответьте, пожалуйста, на мои вопросы. Оба.
А ещё верите, будто бывает что-то «очевидное».
Ответьте, пожалуйста, на мои вопросы. Оба.
1) что такое доказательство? Это цепочка логических рассуждений показывающая истинность некоторого утверждения (в данном случае теоремы Пифагора) при помощи аксиом и некоторых до этого доказанных утверждений.
2) Рассматриваем геометрическое доказательство теоремы Пифагора в статье. Оно строится на утверждениях:
а) Площадь квадрата равна площади составляющих её треугольников и квадратов.
б) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.
Разрезая квадрат двумя разными способами, а по нашим теоремам эти разрезания возможны и точны доказываем теорему Пифагора — это строгое математическое доказательство. И ответ на ваш первый вопрос.
3) Что такое физическая демонстрация теоремы Пифагора.
а) Так как теорема Пифагора верна то объемы сосудов будут практически одинаковы (зависит от точности производства сосудов с некоторой погрешностью)
б) Так как существует погрешность производства и измерений данная демонстрация не может являться доказательством. Но она демонстрирует точную теорему.
4) Рассматриваем пример разрезания квадрата 8х8
а) Производим точный разрез квадрата на показаные фигуры.
б) Производим разрезку прямоугольника 5х13, вторым способом.
с) Пытаемся доказать что фигуры с обоих разрезов равны.
д) Не можем это доказать так как они очевидно не равны, для этого нам надо доказать, что соединяемые углы трапеций и треугольников смежные, но мы это не доказали, (потому что они собственно в сумме не дают 180 градусов)
Таким образом мы приходим к выводу что перед нами некорректное геометрическое доказательство, не основанное на логических рассуждениях и теоремах.
5) Получаем три примера:
а) Корректное математическое доказательство теоремы Пифагора.
б) Физическая демонстрация теоемы Пифагора.
в) Некорректное математическое доказательство равенства площади прямоугольника и квадрата.
Очевидно что это три разных категории. Что отвечает на ваш второй вопрос. Вы уверены что знаете что такое математика и формальная логика? Вы даже не потрудились обосновать логически свое утверждение что это все одно и тоже.
2) Рассматриваем геометрическое доказательство теоремы Пифагора в статье. Оно строится на утверждениях:
а) Площадь квадрата равна площади составляющих её треугольников и квадратов.
б) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.
Разрезая квадрат двумя разными способами, а по нашим теоремам эти разрезания возможны и точны доказываем теорему Пифагора — это строгое математическое доказательство. И ответ на ваш первый вопрос.
3) Что такое физическая демонстрация теоремы Пифагора.
а) Так как теорема Пифагора верна то объемы сосудов будут практически одинаковы (зависит от точности производства сосудов с некоторой погрешностью)
б) Так как существует погрешность производства и измерений данная демонстрация не может являться доказательством. Но она демонстрирует точную теорему.
4) Рассматриваем пример разрезания квадрата 8х8
а) Производим точный разрез квадрата на показаные фигуры.
б) Производим разрезку прямоугольника 5х13, вторым способом.
с) Пытаемся доказать что фигуры с обоих разрезов равны.
д) Не можем это доказать так как они очевидно не равны, для этого нам надо доказать, что соединяемые углы трапеций и треугольников смежные, но мы это не доказали, (потому что они собственно в сумме не дают 180 градусов)
Таким образом мы приходим к выводу что перед нами некорректное геометрическое доказательство, не основанное на логических рассуждениях и теоремах.
5) Получаем три примера:
а) Корректное математическое доказательство теоремы Пифагора.
б) Физическая демонстрация теоемы Пифагора.
в) Некорректное математическое доказательство равенства площади прямоугольника и квадрата.
Очевидно что это три разных категории. Что отвечает на ваш второй вопрос. Вы уверены что знаете что такое математика и формальная логика? Вы даже не потрудились обосновать логически свое утверждение что это все одно и тоже.
1) согласен.
2) это доказательство не геометрическое, а логическое. Ещё конкретнее: Вы использовали дедуктивную логику.
3) согласен
4) Вы аналитически доказали неверность равенства указанных прямоугольников. Согласен.
5)
а) Корректное математическое доказательство теоремы Пифагора.
б) Физическая демонстрация теоемы Пифагора.
в) геометрическая демонстрация приблизительного равенства площадей двух треугольников.
Очевидно, что б и в относятся к одному классу.
2) это доказательство не геометрическое, а логическое. Ещё конкретнее: Вы использовали дедуктивную логику.
3) согласен
4) Вы аналитически доказали неверность равенства указанных прямоугольников. Согласен.
5)
а) Корректное математическое доказательство теоремы Пифагора.
б) Физическая демонстрация теоемы Пифагора.
в) геометрическая демонстрация приблизительного равенства площадей двух треугольников.
Очевидно, что б и в относятся к одному классу.
Вы считаете геометрию (напомню это раздел математики) детскими рисунками? Это доказательство использует геометрические построения, а логические умозаключения это неотъемлемая часть любого доказательства. Поэтому такое доказательство называется геометрическим. Логическое доказательство это доказательство использующее математическую логику.
в — это не приблизительное равенство площадей двух треугольников. Более того там вообще во втором построении нет треугольников. Это ошибочное геометрическое доказательство (примерно из серии доказательств вычисляющих квадратные корни из двух сторон равенства которое математически некорректно)
Именно поэтому это три различных примера.
в — это не приблизительное равенство площадей двух треугольников. Более того там вообще во втором построении нет треугольников. Это ошибочное геометрическое доказательство (примерно из серии доказательств вычисляющих квадратные корни из двух сторон равенства которое математически некорректно)
Именно поэтому это три различных примера.
Вы считаете геометрию (напомню это раздел математики) детскими рисунками?
Геометрические построения не являются необходимой частью этого доказательства. Вы, кстати не сделали ни одного, только описали их словами, однако я всё понял.
в — это не приблизительное равенство площадей двух треугольников.
Да, я оговорился, не треугольников, а прямоугольников.
Это ошибочное геометрическое доказательство
Там нет никакого доказательства, только геометрическая демонстрация. То же самое можно было бы показать на переливающейся воде — ничего бы по сути не изменилось.
Что значит не являются частью доказательства? А что по вашему доказывает в этом примере? Что значит нету? Там именно доказывается равенство 64=65 путем разрезки квадрата и складывания (некорректного) прямоугольника 5х13. Хватит извиваться и нести чушь. Это даже не смешно.
Там именно доказывается равенство
Не доказывается, а демонстрируется.
Хватит извиваться и нести чушь.
Хватит упорствовать в своём бреде. Это становится невыносимо.
Так, дайте определение терминам демонстрация и доказательство и покажите что точное геометрическое построение в этом примере является демонстрацией, а не доказательством. До этого вы не привели ни одного логического рассуждения и не одной расшифровки терминов вами употребляемых, и обвиняете других в незнании математики.
Доказательство в математике это последовательность логических операций, преобразующая доказываемое утверждение к базовым аксиомам.
Определение моё, но по смыслу совпадающее с тем, что мы наблюдаем у Евклида.
Вы определитесь, с чем Вы работаете. Либо у Вас основа — геометрическое построение, точное настолько, насколько тверда рука чертившего, либо — набор утверждений относительно свойств геометрической фигуры, а построение служит только для иллюстрации.
Определение моё, но по смыслу совпадающее с тем, что мы наблюдаем у Евклида.
точное геометрическое построение
Вы определитесь, с чем Вы работаете. Либо у Вас основа — геометрическое построение, точное настолько, насколько тверда рука чертившего, либо — набор утверждений относительно свойств геометрической фигуры, а построение служит только для иллюстрации.
Теперь определение демонстрации и доказательство того что данный пример не является доказательством, а является демонстрацией.
Опишите «данный пример».
Либо у Вас основа — геометрическое построение, точное настолько, насколько тверда рука чертившего, либо — набор утверждений относительно свойств геометрической фигуры, а построение служит только для иллюстрации.
Я так понимаю ни давать определения, ни логически что либо доказывать вы не собираетесь? И это человек который обвиняет других в незнании математики и логики. Всё понятно.
Я так понимаю, что Вы уже сами забыли, о чём спорили, и решили слиться под благовидным предлогом?
Я отлично помню, а вот вы все увиливаете и юлите. Очевидно не собираясь подкреплять свои аргументы какой либо логикой. Заодно обвиняя меня в вашем же поведении, демагогия во всей её красе.
Моя позиция тверда: продемонстрировать можно всё, что угодно. В этом отношении складывание треугольников в прямоугольники ничем не отличается от переливания воды.
А Вы упорно не хотите проанализировать то, что называете «геометрическим доказательством». Более того, даже лично изложив его словами без единого построения, всё равно упорствуете в том, что оно геометрическое. Феноменально.
А Вы упорно не хотите проанализировать то, что называете «геометрическим доказательством». Более того, даже лично изложив его словами без единого построения, всё равно упорствуете в том, что оно геометрическое. Феноменально.
Ну единственное что вы демонстрируете это свою глупость.
Что значит проанализировать, то что называю «геометрическим доказательством»? Проанализировать можно само доказательство. А что вы хотите проанализировать?
И я нигде не доказывал его без построения.
Это единственно место которое вы бы могли назвать доказательством без построения (что только показывает ваше незнание математики). И оно не может доказать теорему так как в нём не указан способ разрезания квадратов (так как они указаны на геометрическом построении).
А мою просьбу указать что вы подразумеваете под демонстрацией вы уже упорно игнорируете уже в третий раз, так как видимо не имеете об этом никакого соображения.
Что значит проанализировать, то что называю «геометрическим доказательством»? Проанализировать можно само доказательство. А что вы хотите проанализировать?
И я нигде не доказывал его без построения.
2) Рассматриваем геометрическое доказательство теоремы Пифагора в статье. Оно строится на утверждениях:
а) Площадь квадрата равна площади составляющих её треугольников и квадратов.
б) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.
Разрезая квадрат двумя разными способами, а по нашим теоремам эти разрезания возможны и точны доказываем теорему Пифагора — это строгое математическое доказательство. И ответ на ваш первый вопрос.
Это единственно место которое вы бы могли назвать доказательством без построения (что только показывает ваше незнание математики). И оно не может доказать теорему так как в нём не указан способ разрезания квадратов (так как они указаны на геометрическом построении).
А мою просьбу указать что вы подразумеваете под демонстрацией вы уже упорно игнорируете уже в третий раз, так как видимо не имеете об этом никакого соображения.
5) Получаем три примера:
а) Корректное математическое доказательство теоремы Пифагора.
б) Физическая демонстрация теоремы Пифагора.
в) Некорректное математическое доказательство равенства площади прямоугольника и квадрата.
Для справки: в случае в) я предлагаю изготовить квадрат 8×8 из реального материала и разрезать, как показано на рисунке, затем переложить куски, как показано на втором рисунке.
Именно для того, чтобы это было не некорректным математическим доказательством, а вводящей в заблуждение физической демонстрацией.
При рассмотрении такой демонстрации возможны две интерпретации (предполагая, что формулы для площади прямоугольников нам неизвестны):
1) Площади квадрата и прямоугольника равны, а небольшие щели после перекладывания — это погрешность разрезания.
2) Площади квадрата и прямоугольника не равны, и щели это демонстрируют.
И в этом случае варианты б) и в) становятся равнозначными в плане того, что это физические демонстрации математических утверждений, истинность которых, в конечном итоге, устанавливается только путём логических рассуждений. О чём Zenitchik и я и толкуем.
Но в отличии от физической демонстрации у вас нарисованный квадрат который очевидно представляет геометрическое построение и легко анализируется.
Указанное построение легко анализируется потому, что у нас есть априорная информация о его размерах.
Если бы Вам было необходимо измерять стороны фигуры с помощью измерительного инструмента — анализировать его было бы не просто.
Если бы Вам было необходимо измерять стороны фигуры с помощью измерительного инструмента — анализировать его было бы не просто.
Если бы не было информации о размерах, то это построение разрезание и складывание вообще не имело бы смысла.
С чего Вы это взяли? Вон, квадратики с переливающейся водой — имеют.
Квадратики с водой демонстрируют теорему Пифагора. А что показывает разрезание одного ничем не примечательного четырехугольника и складывание из него другого ничем не примечательного другого четырехугольника? Может правда хватит нести чушь?
А что показывает разрезание одного ничем не примечательного четырехугольника и складывание из него другого ничем не примечательного другого четырехугольника?
Что их площади примерно равны. Ни больше, ни меньше.
А Вы — юлите. До сих пор ни Вы, ни ваши оппоненты про важность демонстрируемого утверждения не писали. Теперь Вы решили написать. Значит, без привлечения этого фактора Ваша позиция не подтверждается.
А какой смысл нам показывать примерно равенство двух ничем не примечательных прямоугольников? Да что то можно разрезать и сложить их этого нечто похожее на прямоугольник, а что это по вашему демонстрирует?
И что нам даёт равенство двух ничем не примечательных прямоугольников? Они даже ни какому классу не принадлежат просто два прямоугольника равной площади. Зачем нам показывать что они равны? Вот в доказательстве теоремы Пифагора равенство квадратов доказывает теорему. В примере с квадратом 8х8 и прямоугольником 5х13 пытаемся неправильно доказать что они равны. А что даёт нам разрезание неизвестно какого прямоугольника и собирание из него неизвестно какого другого прямоугольника?
Мало того что математику не знаете так еще и демагогией занимаетесь. Сначала обсуждаете точные прямоугольники с известными сторонами и вдруг они волшебно у вас превращаются в просто произвольные.
И что нам даёт равенство двух ничем не примечательных прямоугольников? Они даже ни какому классу не принадлежат просто два прямоугольника равной площади. Зачем нам показывать что они равны? Вот в доказательстве теоремы Пифагора равенство квадратов доказывает теорему. В примере с квадратом 8х8 и прямоугольником 5х13 пытаемся неправильно доказать что они равны. А что даёт нам разрезание неизвестно какого прямоугольника и собирание из него неизвестно какого другого прямоугольника?
Мало того что математику не знаете так еще и демагогией занимаетесь. Сначала обсуждаете точные прямоугольники с известными сторонами и вдруг они волшебно у вас превращаются в просто произвольные.
А какое имеет значение примечательность прямоугольников в вопросе различения демонстрации и доказательства?
А какое значение имеет непримечательность прямоугольников в классификации 3 примеров со строго определенными прямоугольниками? Это вы должны доказать что вышеприведенное неправильное доказательство равенства 64=65 это демонстрация, а не доказательство. Перевод темы это кстати ещё один из приемов демагогии. Может хватит?
А примечательность прямоугольников в вышепоказанном доказательстве 64=65 дает нам во первых попытку доказать 64=65, во вторых способ указать на ошибки в доказательстве. Если же вместо строго определенных прямоугольников 8х8 и 5х13 мы возьмем просто прямоугольники и разрежем, то это продемонстрирует нам их примерное равенство, но ни докажет, ни опровергнет и не даст нам возможности узнать является ли их площадь точно равной. Именно по этому данный пример является доказательством, а не демонстрацией.
Квадрат 8×8 можно нельзя разрезать на кусочки и сложить из них прямоугольник 5×13. Останется щель площадью 1 кв. мера вдоль кажущейся прямой диагонали прямоугольника. Эта щель дает прирост площади от 64 кв. мер до 65 кв. мер. Точное описание парадокса здесь.
А в указанном примере с перетекающей жидкостью сумма площадей квадратов, построенных на катетах, точно соответствует квадрату, построенному на гипотенузе — жидкость либо несжимаема, либо в ней нет разрывов.
А в указанном примере с перетекающей жидкостью сумма площадей квадратов, построенных на катетах, точно соответствует квадрату, построенному на гипотенузе — жидкость либо несжимаема, либо в ней нет разрывов.
Sorry, ссылка с ошибкой. Правильная здесь.
В принципе, открытых щелей в углах всех квадратов уже достаточно, чтобы они были не квадратами в математическом смысле. А уже там щели дают 1/65 площади или одну стотысячную — с точки зрения чистой математики не важно.
А так — хорошая, годная демонстрация. Понять её для многих проще, чем математическое доказательство. Но доказательством её это не делает.
А так — хорошая, годная демонстрация. Понять её для многих проще, чем математическое доказательство. Но доказательством её это не делает.
Мы де Гуа не знаем — это минус, но Пифагора помним — это плюс.
Почему на Geektimes нет хаба «Математика»? Может быть, нужно его создать?
Автору респект и уважуха. Лет двадцать назад тоже до данного решения (алгебраического) додумался. Но претендовать на премию Филдса не стал. Премия Филдса — аналог Нобелевской премии, только для математиков. Правда, возлагал надежды на другую свою разработку: формулу-определение для производных дробного порядка. Когда рассказывал про эти производные, то почти все однокурсники по университету смеялись: это как же получается — дробная производная от константы не равна нулю?
Однажды, один преподователь института посоветовал порыться в математической энциклопедии. И, горе мне! Нашёл в ней некоего немца (фамилию забыл), который это придумал раньше меня лет на 300! Правда, формула-определение у него была другая — мне совершенно не понятная: через интеграл с кружочком. Вот такие дела.
Однажды, один преподователь института посоветовал порыться в математической энциклопедии. И, горе мне! Нашёл в ней некоего немца (фамилию забыл), который это придумал раньше меня лет на 300! Правда, формула-определение у него была другая — мне совершенно не понятная: через интеграл с кружочком. Вот такие дела.
А у вас какая была формула?
Когда рассказывал про эти производные, то почти все однокурсники по университету смеялись: это как же получается — дробная производная от константы не равна нулю?
Тоже о таком задумывался, однако через некоторое время нашел материал по таким производным.
Нашёл в ней некоего немца (фамилию забыл), который это придумал раньше меня лет на 300! Правда, формула-определение у него была другая — мне совершенно не понятная: через интеграл с кружочком.
Вот статья в википедии, которая описывает и производные и интегралы и другие вещи дробного порядка: https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_calculus
Правда, возлагал надежды на другую свою разработку: формулу-определение для производных дробного порядка.
Вычисляется с использованием гамма-функции: Fractional derivative of a basic power function.
Если Вы спрашиваете об определении производных дробного порядка, то выдать вот так сразу не могу. Не потому, что я жадный, а потому что подзабыл. Помню, что можно было вычислить сразу производную третьего порядка, например. Правда, от простой функции — степенной. В общих чертах, примерно, так: предел, дробь, в числителе — конечный полином с биномиальными коэффициентами. Для дробных порядков нужно воспользоваться бесконечным рядом, который получается из формулы бинома Ньютона с дробным показателем. Вместо биномиальных коэффициентов я использовал дроби из Гамма-функций.
Если кому то будет интересно, то за недели две смогу восстановить формульно и с примерами.
Если кому то будет интересно, то за недели две смогу восстановить формульно и с примерами.
Майор милиции Саня :-)
В возрасте шести лет я открыл закон отражения света «угол падения равен углу отражения». На сколько лет я опоздал, если родился в 1981?
Нам в школе в 5 классе преподавательница математики дала задание решить задачу. Для ее решения необходимо было составить уравнение, а уравнения мы к тому времени не проходили. И вот, когда отец объяснил мне суть уравнений, что-то во мне щелкнуло — считаю, что благодаря этому моменту я в будущем стал программистом )
Рад за вас, желаю дальнейших открытий и озарений!
Рад за вас, желаю дальнейших открытий и озарений!
В опросе маловато вариантов. Я, допустим, эту теорему впервые увидел классе в пятом или в шестом, в толстенной энциклопедии для детей, которую мне подарили за победу в олимпиаде. Ни в школьной, ни в университетской программе её не встречал.
В школе прочитал про египетский треугольник, что:
3^2+4^2=5^2
Увидел что для степени 3:
3^3+4^3+5^3=6^3 (это так)
Обрадовался, думал что и для всех степеней это работает. Потом проверил для степени 4 — обломился и понял что просто случайно так совпало для 3, для остальных чисел не работает.
3^2+4^2=5^2
Увидел что для степени 3:
3^3+4^3+5^3=6^3 (это так)
Обрадовался, думал что и для всех степеней это работает. Потом проверил для степени 4 — обломился и понял что просто случайно так совпало для 3, для остальных чисел не работает.
Может и не случайно это. Кто знает…
Попробуйте придумать тело с такими свойствами. Кубы — это объемы. Получается, три каких-то объема равны какому-то четвертому. Просто у человеков не хватает воображения, чтобы думать в размерностях больших, чем 3. А вдруг там какой-то еще аналог теоремы Пифагора есть?
12+42+82=92Вот тут меня цепляет не равенство суммы квадратов, а то, что на выходе в квадрат возводится простое число (не во всех случаях, но первый случай сам по себе интересен — 1, 4 и 8 — степень двойки и на выходе получается 34.). Есть что почитать на эту тему?
22+32+62=72
32+42+122=132
42+52+202=212
62+132+182=232
Во 2, 3 и 4 примере — первые два возводимые в квадрат числа являются произведением для третьего, что тоже подозрительно.
В 5 примере такого нет, поскольку второе число — простое. Но если из него вычесть 10, то получим 6*3=18. Но, возможно, я просто на ограниченной выборке ищу какие-то закономерности, которых нет на достаточно большом множестве таких четвёрок.
21 — тоже не простое, так что, вероятно, это обманка.
Зато мне сразу бросилось в глаза другое (если посмотреть чуть дальше, чем вы описали):
2^2+3^2+6^2=7^2
3^2+4^2+12^2=13^2
4^2+5^2+20^2=21^2
Т.е. видно, что
n^2 + (n+1)^2 + (n(n+1))^2 = (n(n+1)+1)^2
Сразу же проверил
5^2+6^2+30^2=31^2
15^2+16^2+240^2=241^2
Ура, я первооткрыватель!
Это очень круто! С радостью открытия ничто не сравнится :) А можно вопрос: вы написали, что занимаетесь исследованиями. Чем конкретно и где? У меня сейчас в жизни стоит мучительный вопрос между наукой и программированием, пытаюсь определиться
Ответил в личку
Странно звучит разделение — наука или программирование. Почти в любой науке программирование полезно, часто практически необходимо. И это далеко не только всякие одноразовые скрипты, достаточно большие проекты тоже встречаются.
Да, думаю над компромиссами в том числе. Но нужно определяться, на что делать упор: либо я занимаюсь наукой (что в данный момент для меня вообще никак с программированием не связано), либо ухожу в чистое программирование. Пока что совмещаю: учусь фронтенду и занимаюсь остальным. Но в сутках 24 часа и меня на всё еле хватает
Автору (и читателям) наверняка будет интересно посмотреть парочку захватывающих видео, сразу все станет прозрачно, очевидно и красиво.
www.youtube.com/watch?v=G3BhQx1Y5E0
www.youtube.com/watch?v=pHRr3axkrmw
Главное, не пугаться страшных слов, их совсем немного
www.youtube.com/watch?v=G3BhQx1Y5E0
www.youtube.com/watch?v=pHRr3axkrmw
Главное, не пугаться страшных слов, их совсем немного
Так как опрос идёт после вашего упоминания теоремы де Гуа, то не могли бы вы уточнить:
>Знали ли вы эту теорему до прочтения статьи?
под словом «эту» вы имеете ввиду теорему Пифагора или де Гуа?
>Знали ли вы эту теорему до прочтения статьи?
под словом «эту» вы имеете ввиду теорему Пифагора или де Гуа?
Помню в начале девяностых, когда учился в Донецком Университете на физическом факультете, с товарищем поигрались с формулой Паули и пришли к неожиданному результату. Для объяснения решили обратиться к профессору Мамолуй Юлии Александровне. Она нас поздравила с изобретением «велосипеда» (поперечный эффект Доплера) и произнесла обнадёживающие слова: «Не стоит расстраиваться из-за очередного велосипеда, главное, что Вы думаете в нужном направлении!»
3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3
Уж простите, но почему то вспомнилось
www.youtube.com/watch?v=_GptmtLIh5A
ЗЫ: а как размещать видео в комментариях?
www.youtube.com/watch?v=_GptmtLIh5A
ЗЫ: а как размещать видео в комментариях?
Кхе… 4-ех мерное пространство-время? :)
Уважаемый автор, если вам интересно «взорвать себе мозг», то попробуйте конформные отображения из ТФКП. Свертки и развертки различных пространств и подпространств с заданной метрикой из функционального анализа. Когда вы это осилите в голове, то почитайте книгу «Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени» (Клейна). Она точно вскружит вам голову.
А так, задача, приведенная вами, тянет лишь на задачу со звездочкой из учебника Погорелова.
А так, задача, приведенная вами, тянет лишь на задачу со звездочкой из учебника Погорелова.
Не говорите мне что мне делать, и я не буду говорить вам куда вам нужно идти :)
Всем добра!
Всем добра!
Присмотритесь к задачам в учебнике Погорелова за 11 класс. Вы там много интересного найдете по стереометрии, там тоже много можно обобщить… Вам будет точно интересно.
А вы, можно поинтересоваться, чем сами занимаетесь?
можете почитать мою публикацию на хабре. вот ссылка habrahabr.ru/post/316332 (но там нудно и сильно много. это методичка).
Но вы зря отказываетесь почитать «Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени» (Клейна). Вы дотошный раз так долго вам не давала покоя данная теорема. А у Клейна при прочтении как раз такая дотошность и требуется. Начните читать и перед вами откроется крайне интересный мир прикладной математики и ее проблем.
В ТФКП (это на много легче) вам будут интересны конформные отображения и вообще работа с комплексными переменными.
Вот яркий пример: начертите параболу у=х*х и прямую у=к*х в декартовой системе. Теперь проводите вертикальные прямые и вы увидите, что одной точке прямой соответствует строго одна точка параболы, то есть можно составить функцию (функционал), устанавливающий взаимно однозначное соответствие между прямой и параболой. Легко? Да. Перейдем дальше.
Возьмите ось «х»-теперь это ваша прямая и нарисуйте окружность с центром в начале координат (или чтобы прямая была касательной к окружности снизу). Возьмите верхнюю точку окружности (и только ее!!! для упрощения) и любую точку на прямой. Получите 2 точки. Соедините их другой прямой. И снова вы увидите, что можно сделать так чтобы каждой точке окружности соответствовала строго одна точка прямой. (такую функцию можно составить с помощью комплексных переменных).
А теперь интрига.
Для точки +бесконечность и -бесконечность на прямой будет соответствовать только одна (верхняя точка окружности). То есть прямая (в ТФКП) — окружность с бесконечным радиусом.
Преобразование 1/z в ТФКП выворачивает единичную окружность наизнанку. То есть что-то конечное и понятное становится бескрайним.
Но вы зря отказываетесь почитать «Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени» (Клейна). Вы дотошный раз так долго вам не давала покоя данная теорема. А у Клейна при прочтении как раз такая дотошность и требуется. Начните читать и перед вами откроется крайне интересный мир прикладной математики и ее проблем.
В ТФКП (это на много легче) вам будут интересны конформные отображения и вообще работа с комплексными переменными.
Вот яркий пример: начертите параболу у=х*х и прямую у=к*х в декартовой системе. Теперь проводите вертикальные прямые и вы увидите, что одной точке прямой соответствует строго одна точка параболы, то есть можно составить функцию (функционал), устанавливающий взаимно однозначное соответствие между прямой и параболой. Легко? Да. Перейдем дальше.
Возьмите ось «х»-теперь это ваша прямая и нарисуйте окружность с центром в начале координат (или чтобы прямая была касательной к окружности снизу). Возьмите верхнюю точку окружности (и только ее!!! для упрощения) и любую точку на прямой. Получите 2 точки. Соедините их другой прямой. И снова вы увидите, что можно сделать так чтобы каждой точке окружности соответствовала строго одна точка прямой. (такую функцию можно составить с помощью комплексных переменных).
А теперь интрига.
Для точки +бесконечность и -бесконечность на прямой будет соответствовать только одна (верхняя точка окружности). То есть прямая (в ТФКП) — окружность с бесконечным радиусом.
Преобразование 1/z в ТФКП выворачивает единичную окружность наизнанку. То есть что-то конечное и понятное становится бескрайним.
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Публикации
Малоизвестное обобщение теоремы Пифагора