Комментарии 45
Здорово.
Уже забыл курс философии, но что там было про то, что, Бэкон, что ли работал над методами познания и сформулировал понятия о фальсифицируемости гипотез и правила вывода одних истинных утверждений из других. Могу путать, давно было.
Так вот получается, что некоторые истины недостижимы с помощью таких методов.
Кто-то может тут увидеть идею веры и недоказуемость существования Бога.
Очень заманчивая грамматическая неоднозначность в подписи к картинке. Но, к сожалению, нет, премию Гёделя учредили гораздо позже.
…правдивые утверждения, не имеющие доказательства.
Какие у нас основания считать утверждение правдивым, если оно не имеет доказательства?
Потому что это элементарно доказывается используя более мощные логические системы, чем те, что рассматривал Гёдель. Фактически его теорема доказывает, что любая бинарная логика не полна. Подробнее тут:
Гениально!
Когда этот лектор стал классифицировать фразу "это недоказуемая истина", он накосячил в рассуждениях. Стоит ли дальше развивать теорию, если в базис закралась ошибка?
Так и в чём ошибка?
"this is unprovable true' = this is unprovable & this is true.
допустим, оно ложно.
this is true ложно.
Поэтому вся конъюнкция тоже ложна, и поэтому ложно = ложно, противоречия нет.
А лектор считает, что противоречие есть.
Он перепутал конъюнкцию и эквивалентность.
А ещё, Гёдель говорил, что недоказуемые истины возникают в системах, начиная с определённого уровня сложности - с арифметики Пеано.
Исчисление высказываний - достаточно простая система, и к ней теорема Гёделя неприменима.
Поэтому рисовать диаграммы и упражняться с парадоксом лжеца - конечно, можно, но это просто не относится к делу.
Если я не ошибаюсь, любое утверждение про натуральные числа, для которого нет доказательства (т.е нет процедуры вывода его истинности) -- является истинным. Потому что для ложного существует контрпример числа, на котором оно становится ложным. А предъявление контрпримера - есть доказательство, которого, по предположению, не должно существовать.
К сожалению, с этими парадоксами все только становится запутанным. Классический пример, предположим мы не смогли найти доказательство теоремы Ферма, но в то же время, мы проверили очень много чисел. Теорема Ферма будет правдивой, если таких чисел никогда не найдется, но в то же время у нее может не быть доказательства.
В Аксиоматике есть инструмент - это аксиомы из которых выводятся утверждения, например о целых числах, в то же время числа можно использовать как модель и на них проверять "правдивость". Тут конечно, же влазит правило исключенного 3-го и разные штуки, что если мы доказали существование, но не можем найти такие числа, то по сути мы не доказали еще и т.д.
Но суть такова, что не важно сколько аксиом мы будем добавлять, всегда будут теоремы Правдивые, но не Доказуемые.
Все это тогда можно распространить и на программирование. Каков бы не был программист профи, всё одно он накосячит... Или так. В любом коде есть ошибки.
Для программирования из подобного больше подходит теорема Райса. Так что каким-бы крутым и ai не становился copilot, будет нужен человек.
Мне одному кажется, что теорема Гёделя несколько проще, чем эти два острова?
Смальян? Смаллиан жи... Задача из его шедевра "Как же называется эта книга?"
Задача-то глубже. Человек из задачи может быть псевдианцем, хотя бы потому, что не является Куртом - он начал обман с этапа знакомства)
Ну вы еще на рассказчика все свалите ;)
Всё ещё интереснее, потому что эта задача на самом деле не математическая.
Кто делает записи в Книге? Кто такой Курт и что он делает на острове? Не он ли делает эти записи? И действительно ли там два племени, а не одно? А записи Курт делает по каким-то своим правилам, например, за взятку? Но без ошибок. И не в сговоре ли автор задачи с этим Куртом?
Ув. Вячеслав, Вам как автору переводов вероятно не все равно, что именно переводить, в данном случае Вы сделали перевод автора детских книжек - Alex Bellos, его самая популярная книга "Futebol: The Brazilian Way of Life", про жизнь Pelé, Ronaldo и пр.
Конечно от Alex Bellos не стоило ожидать понимания теоремы Геделя, но Вы насколько знаю окончили физтех, и должны знать что теорем Геделя о полноте две, и относятся они к аксиоматическому определению арифметики, или формальной системе включающей арифметику, первая теорема говорит что в такой системе всегда можно написать утверждение никак не вытекающее из аксиом, а вторая теорема о неполноте говорит что для такой системы само утверждение о непротиворечивости ее аксиоматики также невыводимо из аксиом.
Результат важный и интересный, но остальное типа "утверждение шокировало математическую общественность, в которой до того преобладал неистребимый оптимизм, касающийся мощи и всеобъемлющей природы математики" - больше подходит для детских книжек, на которых собственно Alex Bellos зарабатывает себе на жизнь, как он сам выражается: "I write and I talk. Usually about mathematics, puzzles, football or Brazil".
Мир математики похож на остров Если без Дневника. У математики нет прямого доступа к истине, из-за чего и появляются правдивые утверждения, не имеющие доказательства.Любые формы познания страдают этим в той или иной степени, включая эмпирический. Впрочем, если не согласны с этим найдите решение задачи без привлечения книги)
Да вот кажется, что Вячеславу всё равно, что переводить. :(
Не очень понял часть 2. статьи.
Если убрать из задачи вариант что Курт может не быть ни алетейцем, ни псевдианцем, то разве доказанный факт того, что он не псевдианец не дает неопровержимого доказательства, что он алетеец?
Да. Мы, видимо, получаем противоречие, и описанной ситуации произойти не могло.
Он не может быть алетейцем, потому что алетейцы не врут.
Всей правды мы не узнаем.
это точно + к теоремам Геделя о полноте данная логическая головоломка отношения не имеет, хотя бы потому что теоремы Геделя применимы к аксиоматике арифметики (или ее расширений), а здесь просто хитрости или двусмысленности в описании детской задачи, арифметика с ее аксиомами осталась за бортом, Гёдель здесь ни при чём
Есть Курт алетеец, записан в книге. Есть чужеземец Курт (может врать и говорить правду). Так что решение в статье не корректно даже близко.
На мой дилетантский взгляд, в таких задачах часто встречается подвох, в виде изменения "граничных условий":
на острове кто-то сжигает Дневник.... а где сказано, что его можно сжечь? а если он высечен на скале??
известная задача о проведении непрерывной ломаной через 9 точек (3 ряда, 3 столбика) - имеет решение только при выходе звеньев ломаной за "пределы границ" точек, т.е. как бы создаётся новая точка
да даже случай фрекен Бок: " Вы перестали пить коньяк по утрам?" ))) подразумевает, что пила...
Выдержит ли теория Гёделя проверку с жёстко задаными граничными (начальными) условиями ?
даже случай фрекен Бок: " Вы перестали пить коньяк по утрам?" ))) подразумевает, что пила
Нет. Ответ "да" - значит что пила, но перестала. Ответ "нет" не значит ничего (не пила и не пьёт, пила и продолжает, не пила но начала пить - этот ответ может значить что угодно). Это неоднозначность живого человеческого языка.
Допустим мы спросили у Буратино: "У тебя в кармане 5 сольдо?". Ответ "да" - значит у него в кармане ровно 5 сольдо, не 0, не 4, и не 666.
Допустим мы спросили у Буратино: "У тебя в кармане есть 5 сольдо?". Ответ "да" может значить что угодно - и 5, и 55, и 555.
Но мы же обсуждаем метематическую логику. Есть высказывание А=" ф.Бок перестала пить ". Тогда отрицание, НЕ (А)= " ф.Бок НЕ ПЕРЕСТАЛА пить". А неоднозначность = расширение первоначально не оговореных / не корректно оговоренных условий.
У Буратино тогда нужно спрашивать "есть ли у тебя в кармане сумма ровно в 5 сольдо"
Фрекен Бок может быть в 4 состояниях: пила но перестала, пила и продолжает пить, не пила и не пьёт, не пила но начала пить. Инверсия сюда не натягивается. Так же как и на Буратино с его 5 сольдо. Если А == "у Буратино есть 5 сольдо", то НЕ (А) может означать что угодно.
Неправильное использование математики не делает математику неправильной.
Я бы не рассматривал Фрекен Бок как конечный автомат. ))
Вы объединяете несколько элементарных = однозначных высказывания: А=="пила раньше", В== "пьёт сейчас", С=="будет пить". А Карлсон, когда спрашивал, ставил вопрос однозначно "перестала / не перестала".
А условие точно правильно поставлено? По идее, при условии "Допустим, наш исследователь стал первым человеком, ступившим на остров, и не родившимся там. Тогда все остальные люди там будут либо алетейцами, либо псевдианцами. Также допустим, что когда Курт делает своё заявление, кто-либо сжёг Дневник (для того, чтобы избежать противоречий, упомянутых в пункте 1)." , фраза "у вас никогда не будет неопровержимых доказательств того, что я алетеец" вообще не может быть произнесена на острове...
Публикации
Занимательная задачка по мотивам теоремы Гёделя о неполноте