Формула, соединяющая е и пи

Факториал натурального числа определяется так: . Например, - число со 157 цифрами. равно числу способов переставить элементов между собой. Для оценки используют формулу Стирлинга:

Обратим внимание, что эта формула содержит числа и и возникла из очень простой модели с перестановками.

Посмотрим, как она работает, на примерах

Возьмём среднее арифметическое первых натуральных чисел. Легко видеть (геометрически и алгебраически), что , середина отрезка натурального ряда . Как ведёт себя среднее геометрическое первых натуральных чисел? С помощью формулы Стирлинга легко установить:

Что довольно намного меньше . Попробуйте понять как ведёт себя среднее гармоническое первых натуральных чисел. Кстати, среднее геометрическое произведения случайных чисел, выбранных независимо и равномерно на отрезке также стремится к числу с ростом числа множителей.

Рассмотрим следующую вероятностную задачу. Пусть у нас есть симметричных монет. Подкинем их все. С какой вероятностью орлов выпадет столько же, сколько и решек?
Эта вероятность равна . При больших можно применить формулу Стирлинга и получить

Это значит, что такая вероятность при броске 40 монет будет примерно вдвое меньше, чем при броске 10 монет.

Также это даёт нам способ вычислить число в домашних условиях (если у вас есть достаточно большое количество монет): возьмём 100 монет и повторим наш эксперимент 10000 раз. Посчитаем, в скольких экспериментах орлов выпало столько же, сколько и решек.
Пусть это число равно .
Тогда из сказанного выше вытекает:

Остаётся вопрос о точности такого приближения. Но это совсем другая история, связанная с центральной предельной теоремой.

Пишите в комментариях какие вы знаете применения формулы Стирлинга.

Авторы:

• Лыков Александр, научный сотрудник мехмата МГУ, академический руководитель ШАД Хелпера

• Михаил Михеенко, студент пятого курса мехмата МГУ, куратор ШАД Хелпера.