Комментарии 36
К рисунку с грабельками хотелось бы еще добавить "Пуассоновские" - с редкими зубьями :)
В эту тему к грабелькам такие ёлочки есть. MC&HNY!
Закон больших грабель или граблей :-)
У Гарднера хорошо написано про это
Математические головоломки и развлечения
Такой вопрос. Какая будет вероятность того, что один игрок, например, Олег, будет вести в счёте в два раза на каком-то определенном ходе игры? Не будет ли эта вероятность такой же как ничья? Или будет менее вероятной? Я так понимаю, что эта вероятность будет так же уменьшаться со временем, потому что в начале чтобы вести в два раза нужно, чтобы было одно поражение и два выигрыша, потом 2-4, 3-6, 4-8 и так далее. И на каждое поражение нужно два выигрыша. Хотя чувствую, что это тоже контринтуитивный пример)
P.S. тут, наверное, опечатка: Разорение игрока при нечестной монет
У Нассима Талеба - трейдера и писателя ("Чёрный лебедь", "Антихрупкость") самая первая книга называется "Одураченные случайностью", и основной её тезис: люди эволюционно не приспособлены к адекватному восприятию случайностей и вероятностей (и поэтому требуется дисциплина мышления чтобы не впадать в иллюзии и не наступать на грабли).
Благодарю за статью и примеры!
И Вам спасибо! Я думал я один такой, а оказывается-то, что нет.
Да. Это дефект человеческого мышления.
Там, где для интуитивного понимания вещей вроде основ математики, геометрии и физики у человека в голове есть хоть какой-то врождённый базис, для теорвера нет абсолютно ничего. Отчего привыкшие опираться на такое полуврождённое интуитивное понимание люди ловят в этом поле грабли прям одна за другой.
Собственно, на том и живут всяческие лотереи, казино, ставки и прочие "налоги на непонимание теорвера".
Замечание для тех, кто добавляет к фразу типа “реальная монета, она не идеальная, не симметричная, а значит и результат отличается от теоретического…” да, результат отличается от теоретического, но не меняется метод и смысл решения. И кстати, для получения максимально близкого результата к результату идеальной монеты, монета должна быть неидеальной.
Мы в университете на парах то ли теорвера, то ли исследования операций проводили опыт по бросанию монеток одного номинала всем составом группы: результат получался у всех разный - стиль бросания влиял гораздо больше, чем физические характеристики монеты. Однако, даже для 15 человек средний результат был где-то между 40/60 и 50/50, точно не помню.
На мой взгляд, самое поучительное в этом опыте сравнить персональные результаты с общим результатом для всей группы. Как правило (!) общий результат будет лучше к "идеальному". Можно даже усилить эксперимент и предложить части (притом любой по величине) врать о результате, главное чтобы люди не сговаривались и говорили количество орлов и решек. Даже в этом случае результат при увеличении игроков будет приближаться к "идеальному". Не хватит группы, кидайте потоком!
Так вот в этой модели среднее значение удаления точки от нуля будет - ноль, а разброс значений, т.е. дисперсия будет равна число бросков .
не бъется с общепринятым определением дисперсии
две монеты одинаковыми сторонами вверх
ООО, ООР, ОРО, ОРР
Вроде получается возможны только OOO или OPP по условию задачи ?
Да, Вы правы. Дописал в статью. Вероятность 1*1/2+1/3*1/2=2/3. Все равно одинаковые стороны разные))
Сначала вероятность вытащить орла была 1/2.
Добавили монету с орлом, после этого вероятность вытащить орла 2/3.
Но почему вы дальше делаете какой-то странный вывод?
По-моему тут всё максимально ожидаемо.
примерно так, с некоторым издевательством над дробями:
1/1+1/2=2/3
Здесь нет издевательства над дробями. Издевательства здесь вообще нет. Здесь есть ошибка в рассуждениях, притом - моя. Вот я получил вероятность вытащить орла в 2/3. Ок. Какой комбинации из трех монет при условии что одна монета точно орел эта вероятность соответствует? Получается только два орла и решка, но один орел наш, значит были орел и решка. А клали орла к двум одинаковым монетам. В чем я не прав? Я знаю, что я не прав, но я не знаю в чем.))
А, вот оно. Это ошибка интерпретации. То, что вероятность вытащить из монеток орла будет 2/3 - не означает, что из монеток 2 лежат орлом и одна решкой. Она соответствовала бы с дополнительным условием "во всех экспериментах набор монет одинаковый", но это как раз не так.
Перефразируя - "На обед у рабочих была капуста с рисом, у руководства - мясо, а в среднем все ели голубцы".
@d_ilyich Комбинации правильно считать или воспринимая все перестановки уникальными, или все перестановки неуникальными. Если неуникальными, то у нас есть всего 2 комбинации - ООО и ОРР. Если уникальными - то шесть ООО, ООО, ООО, ОРР, РОР, РРО. А вы попытались ООО считать неуникальными, а РРО - уникальными, отчего и получили противоречие.
Я попробую Вас понять, но не быстро. Для начала я хочу вот, что понять: если я кладу перед Вами две монеты и говорю Вам, что вероятность вытащить орла - 1/2. Вы можете сказать что они лежат разными сторонами или нужно еще какое-то дополнительное условие?
По-поводу замечания для d_ilyich - вот это точно, полностью поддерживаю.
Если я перед вами положу две коробки, в одну из которых надо засунуть руку, и скажу что с вероятностью 1/2 вы наткнётесь на змею, то это не значит что я положил змею только в одну.
Может, говоря о вероятностях, я сообщал о том что кидал монетки чтобы положить или не положить в коробку змею. А потом - положил по змее в обе.
Надеюсь змея ядовитая и значит испытание будет всего одно. Тут ведь, что важно, - в какой момент Вы сообщаете о вероятности в 1/2. Если ДО бросков, - это одно, а если ПОСЛЕ бросков - это другое. До бросков - вероятность вытащить змею для меня 1/2, а после бросков, когда Вы положили в обе коробке по змее, она для меня становится 1, а Вы говоря мне про вероятность в 1/2 говорите мне не о моей вероятности вытащить змею, а о Вашей вероятности разместить змей. Но доказать Вы мне это не сможете, так как опыт будет всего один. ))
Если я бросаю монетку, но накрываю её рукой, то по-вашему я уже не должен говорить вам что вероятность орла 1/2. Вы считаете, если я заговорю о вероятностях, то я должен сообщать о том какой результат увидел. Вообще же это разные характеристики, и я могу сообщать первую и после броска, а мнение что должен говорить вторую - это ваш расчёт на мою ответственность в том чтобы менять в нужные моменты понимание о какой вероятности сообщать. Они просто не одно и то же.
И если вернуться к двум коробкам, то обстоятельство, что змеи положены по монетке, а значит, с вероятностью 1/2, не означает, что вы выбираете между пустой и полной. Возможно, вы выбираете между двумя змеями. А значит, сможете ли вы сыграть в эту игру ещё раз кто-то уже выбрал за вас.
Вы правильно понимаете причину "парадокса", я не спорю о ней. Вы не корректно описали ее. Когда Вы уже бросили монетки и положили двух змей, Вы не можете сказать мне, что в этом случае "моя вероятность вытащить змею - 1/2". Вы должны сказать - "размещение змей в этих коробках получено случайным способом с вероятностью 1/2". В этом и разгадка задачки, что по сообщенной вероятности не возможно однозначно определить способ, а значит и результат размещения.
Что-то я не понял. Речь о вероятности наткнуться рукой на змею или о вероятности, что змея находится в коробке? Если 2-й вариант, то заранее положив змей в обе коробки и сказав о вероятности 1/2, вы солжёте. Разве не так? А если вы изначально положите змею только в одну коробку, скажете о вероятности 1/2, а потом незаметно подложите змею и в другую, то вы тем самым измените условия "эксперимента". Т.е. подопытный примет условия одного "эксперимента", а по факту будет участвовать в другом.
@yurixi мне кажется просто не очень удачно сформулировал правильную мысль. Если на столе лежит монета орлом вверх, то я, подходя к столу увижу орла с вероятностью 1. Но это мне ничего не скажет о способе каким получился этот орел. Может он всегда так лежит и я раз за разом буду видеть только орла. А может ее случайно бросают и я буду видеть то орлов, то решек. Подойдя много раз, в ЭТОМ эксперименте я смогу определить способ каким получается орел, а в других экспериментах даже подходя много раз и определив вероятность появления орла, я не смогу определить способ его получения. Например, для двух монет, даже вытаскивая орла из коробки с вероятностью 1/2, я не смогу определить бросают ли их каждый раз или они лежат разными сторонами постоянно.
Я это больше не для Вас написал, а для других читающих.
Всегда был тугодумом, поэтому всё-таки спрошу.
O + OO | O + PP
O + O + O | P + O + P
OO + O | PP + O
Это теоретически 6 разных комбинаций, а физически -- только 4: ООО, ОРР, РОР, РРО. Тогда, согласно приведённой формуле, общая вероятность: 1×1/4 +1/3×1/4 +1/3×1/4 + 1/3×1/4 = 1/2. Если я неправ, укажите на ошибку, пожалуйста (ошибка в ДНК не считается☺)
Не-не-не... отмазка на тугодума не принимается, я сам такой же)) Нужно все-таки следовать логике, даже если она ведет нас в тупик. Если Вы написали 6 комбинаций, то уж не отступайте от этого. Почему Вы называете их теоретическими, их можно выложить на столе, очень даже практические комбинации. И Ваш расчет вероятности для них правильный. ИМХО. Это я не смог дроби правильно сложить, так что по тугодомию я Вас сделал)).
Физически мы можем выложить только 4 уникальные комбинации: ООО, ОРР, РОР, РРО.
Количество уникальных комбинаций зависит от различимости монет и различимости мест куда вы их кладете. Это обычно обговаривается дополнительно. В этом "парадоксе" это не важно, приняв разные варианты различимости мы получим разные формулы подсчета вероятностей. В правильных подсчетах вероятность будет 2/3.
Хорошо написал mk2 в комменте выше.
Что выпадет раньше ОО или ОР
Если интересно подробнее, то у меня была статья на эту тему. Матожидание количества бросков равно 
, где 
- это префикс функция для искомой строки, а Z - размер алфавита. Поэтому для строки "ОООО" - матожидание 2^4+2^3+2^2+2, а для "ОООР" - просто 2^4.
Интуитивно это можно объяснить тем, что в бесконечной строке количество вхождений каждой строки в среднем будет одинаково. Но строку "OOOO" можно компактно вложить в другую такую же (например "ООООО" - это 2 таких вхождения на расстоянии 1). Поэтому будет сколько-то очень близких вхождений. А вот сроку "ОООР" в нее же никак не вложить. Поскольку нас интересует только количество символов до полного написания строки с нуля, то эти короткие отрезки с вложениями не считаются. А вот оставшиеся вхождения, раз среднее расстояние не меняется, должны быть расставлены дальше друг от друга.
Спасибо, интересно конечно, посмотрю подробнее Вашу статью. Для одной последовательности я пользовался просто рекуррентной формулой, это просто и наглядно. Для сравнения двух последовательностей использовал алгоритм John Horton Conway. Прелесть алгоритма в том, что не понятно как он работает.)))
Мне не очень нравится объяснение "вложенности" последовательностей, по причине, что мы можем прерывать эксперимент сразу после появления одной из сравниваемых последовательностей. В этом случае, никакой бесконечной строки не будет, а время появления тем не менее будет различаться.
Публикации
Закон больших чисел и закон больших грабель