Комментарии 27
параллельные прямые
Почему вы все время пишете параллельные прямые? Почему не параллельные линии? Чем объясняется такая зацикленность на одном виде линий? Чем кривая принципиально отличается от прямой, когда речь идет о параллельности?
О том, что такое прямые, написано подробнее во второй части, про сферу. Принципиальное отличие - в том, что прямая минимизирует расстояние, а просто кривая - нет. Такой подход работает в евклидовой геометрии и совпадает с интуитивным понятием прямой, и так же расширяется на другие геометрии.
Принципиальное отличие - в том, что прямая минимизирует расстояние, а просто кривая - нет.
На поверхности сферы - нет. Вы об этом сами написали - на поверхности сферы самой короткой линией, соединяющей две точки, будет дуга, а не прямая.
О том, что такое прямые, написано подробнее во второй части, про сферу.
Нет, не написано. Вы там подменяете понятия.
Вы не дали определение "прямой". Не обозначили ее математический смысл.
Вы зациклились на вопросе - "есть ли на сфере параллельные прямые". Как будто это главный вопрос в геометрии. Если это значимый вопрос в геометрии Лобачевского, то расскажите тогда историю ее возникновения, чтобы читателю было понятно ваше исключительное внимание к "прямым" и их "параллельности". Иначе выглядит как будто вы отвлекаете внимание, и подбрасываете ложную терминологию.
Есть теория параллельных линий.
Есть такие свойства геометрии Лобачевского:
"Линия равных расстояний от прямой есть не прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой или гиперциклом."
"Предел бесконечно растущих окружностей есть не прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью или орициклом."
Вы линию на границе пересечения объемного объекта с плоскостью (сечение) называете прямой, независимо от ее формы. Из каких правил математики вы при этом исходите?
Если геометрия Лобачевского предлагает называть кривые прямыми, то объясните зачем это нужно.
Кривые отличаются от прямых тем, что длину таких линий нельзя определить просто через арифметическую разность координат точек. Нужно применять функцию определяющую искривление (например sin)).
на поверхности сферы самой короткой линией, соединяющей две точки, будет дуга, а не прямая.
На поверхности сферы обычной евклидовой прямой и не может лежать, такая прямая только коснется сферы. Именно на сфере, а не в объемлющем пространстве, ищется геодезическая, минимизирующая расстояние между точками
Нет, не написано.
Из второй части кусочек текста: "На евклидовой плоскости понятие прямой интуитивно - это неограниченная линия со следующим свойством: если на прямой выбрать две точки A и B и начать проводить различные кривые 
так, что обе точки будут лежать на них, то среди всех таких кривых прямая имеет наименьшую длину". Это определяющее свойство, потому что прямые (в обычном смысле) могут лежать в евклидовом пространстве, а на поверхности они в общем случае не лежат.
Вы не дали определение "прямой"
Во второй части я сослался на то как написано в википедии: "Пряма́я — одно из фундаментальных понятий евклидовой геометрии. При систематическом изложении геометрии прямые линии обычно принимаются за одно из исходных (неопределяемых) понятий". Википедия ссылается на книгу Coxeter, H.S.M (1969), Introduction to Geometry. Скриншот 4-ой страницы из этой книги, где вводятся прямые аксиоматически:
Пятый постулат обрезался, но он и не нужен сейчас. Если взять прямую в евклидовом пространстве - она удовлетворяет первой и второй аксиоме. Геодезические удовлетворяют первой аксиоме. Иногда удовлетворяют второй - на сфере не удовлетворяют, а на плоскости Лобачевского удовлетворяют.
В геометрии Лобачевского геодезические это буквально прямые. Потому что они удовлетворяют аксиомам прямых.
Геодезические обобщают понятие прямых на не-евклидовы пространства - это их полный аналог. Вот что написано в википедии про это: "в римановой геометрии роль прямых играют геодезические линии".
Вот из статьи про геодезические, тоже на википедии: "Геодези́ческая (также геодезическая ли́ния) — кривая определённого типа, обобщение понятия «прямая» для искривлённых пространств."
Если это значимый вопрос в геометрии Лобачевского, то расскажите тогда историю ее возникновения, чтобы читателю было понятно ваше исключительное внимание к "прямым" и их "параллельности"
Спасибо большое за совет, как лучше писать текст статьи. В текущем небольшом цикле я принял решение, что последовательность должна быть другой - через анализ насущных поверхностей (сферы), с переходам к более сложным - псевдосфере и другим моделям.
Есть теория параллельных линий.
Я не разбираюсь в этой теории, по этому не пишу про нее. Если напишите - будет здорово! Про эквидистанты и орицикл - это замечательно, что они существуют, и что у них есть конкретный вид в геометрии Лобачевского.
Вы линию на границе пересечения объемного объекта с плоскостью (сечение) называете прямой, независимо от ее формы.
При пересечении сферы и плосскости, в которой лежит точка (0, 0, 0) получается геодезическая. С псевдосферой тоже практически так же. Вывод уравнений и их решение есть в книгах по дифференциальной геометрии - я находил в книге Иванова и Тужилина, в книге Фоменко. А геодезическая это обобщение понятия прямой.
Кривые отличаются от прямых тем, что длину таких линий нельзя определить просто через арифметическую разность координат точек.
Ну это просто не верно. Можно рассмотреть кривую и ввести на ней параметр или координату 
, а потом перейти к на натуральной параметризации 
, то её длина от точки 
до точки 
будет равна как раз 
. Натуральную параметризацию можно ввести для всех регулярных кривых. Подробнее об этом написано в первой главе книги "Лекции по классической дифференциальной геометрии А.О.Иванов, А.А.Тужилин" , издание 2017 года.
Вот из статьи про геодезические, тоже на википедии: "Геодези́ческая (также геодезическая ли́ния) — кривая определённого типа, обобщение понятия «прямая» для искривлённых пространств."
Геодезическая - это не прямая. Поэтому так и называется. Не надо смешивать разные математические объекты и искажать терминологию. Это совсем не способствует пониманию.
Можно рассмотреть кривую и ввести на ней параметр или координату t, а потом перейти к на натуральной параметризации
Конечно можно. Можно линеаризацию выполнить, можно параметризацию, можно стат-анализ провести. Но это уже не будет простым арифметическим действием.
Посмотрите функцию прямой. Сравните ее с функцией геодезической. Это разные объекты.
При пересечении сферы и плосскости, в которой лежит точка (0, 0, 0) получается геодезическая. С псевдосферой тоже практически так же.
Как вы получаете линии на псевдосфере. Для этого вы используете секущую поверхность. Форма линий задается секущей поверхностью. То что вы выбрали в качестве поверхности плоскость, определило форму линий. Если выбрать в качестве секущей поверхности другую сферу, линии получатся другими. Без секущей плоскости вы не можете получить эти линии. И эти линии в равной степени на псевдосфере и на секущей плоскости. То есть сфера и секущая плоскость равноправны.
Когда вы "поворачиваете" секущую плоскость, вы получаете несколько линий, которые лежат в разных плоскостях. Линии которые вы называете параллельными, лежат в разных плоскостях. И здесь вам следует объяснить ваш трюк - как вы линии лежащие в разных плоскостях переносите в одну.
В геометрии Лобачевского геодезические это буквально прямые.
Есть классические источники, которые просто и лаконично объясняют что такое "прямые" в геометрии Лобачевского.
Геодезическая - это не прямая.
Зависит. Геодезическая это обобщение прямой. Геодезические в евклидовом пространстве - это прямые. Геодезические в гиперболическом пространстве тоже прямые. На сфере геодезические не прямые, но они самые близкие к кривым, которые можно было бы назвать прямыми.
Являются ли, строго говоря, геодезические прямыми? Нет, но они их обобщают. Каждая прямая - это геодезическая.
Цитата из прошлого комментария:
Кривые отличаются от прямых тем, что длину таких линий нельзя определить просто через арифметическую разность координат точек.
Есть кривые, для которых так можно определить длину. Кривая 
, длина 
. Арифметическое действие. Пример такой кривой - окружность 
, длина окружности от 
до 
равна 
. Окружность не является прямой, в общем случае. Замена параметризации не меняет кривую как геометрическое место точек, не меняет её длину, не меняет касательные векторы к кривой. Переход к натуральной параметризации это тоже замена параметризации. По этому предложенное определение, или способ различия прямых и кривых, неверные. Про стат-анализ кривой - никогда не слышал о таком.
Как вы получаете линии на псевдосфере. Для этого вы используете секущую поверхность.
Абсолютно неправильно. На псевдосфере ищутся геодезические - это осталось за кадром, потому что вывод их уравнений громоздкий и требует дополнительной работы. Если все же вывод уравнений геодезических интересен - предлагаю разобраться самостоятельно.
Решение уравнений геодезических дает в результате кривые, которые можно получить как пересечения поверхности псевдосферы с плоскостью. Секущая плоскость просто удобна для иллюстрации, и она не определяет геодезическую. Ещё раз напишу: геодезическую определяют уравнения, а их решение - это пересечение плосксотей с поверхностью, в случае сферы и псевдосферы.
Геодезические по определению лежат на поверхности, на плоскости Лобачевского они по по аксиомам являются прямыми, поэтому, конечно, можно судить о их параллельности.
И здесь вам следует объяснить ваш трюк
Снова большое спасибо за совет.
Есть классические источники
В комментарии не указаны ни название книги, ни авторы, ни страница. Просто картинка, скриншот страницы.
Можно ввести модель геометрии Лобачевского как на скриншоте - это хороший способ. Цель цикла в другом - в наглядном и плавном пути от привычной геометрии, к геометрии Лобачевского. Упор в этом пути сделан на длины и расстояния. Такой же путь к геометрии Лобачевского проходится в книгах по дифференциальной геометрии, на которые я ссылался. Он отличается от постулированного и существенно полагается на средства и результаты дифф. геометрии. В моем цикле я постарался дать больше понятных объяснений, не усложняя их, а также добавил графики и анимации, и некоторые объяснения, которых в этих книгах нет.
Для пути к геометрии Лобачевского через постулирование "что такое прямые", действительно, достаточно предъявить модель Клейна или модель Пуанкаре или любую другую модель и на этом закончить.
Возвращаясь к предложеному способу разделения кривых от прямых, напишу, что на скриншоте не указана метрика модели ни в каком виде. Расстояния и углы в этой модели искажены, они не евклидовы, и существенно зависят от точки (или траекории), в которой их считают. В этой модели прямые от кривых по свойству "Кривые отличаются от прямых тем, что длину таких линий нельзя определить просто через арифметическую разность координат точек" не различить.
В комментарии не указаны ни название книги, ни авторы, ни страница. Просто картинка, скриншот страницы.
Это "Математический Энциклопедический словарь". Издательство "Советская Энциклопедия". 1988 год
Являются ли, строго говоря, геодезические прямыми? Нет, но они их обобщают. Каждая прямая - это геодезическая.
Тем более нужно использовать "геодезическая", а не "прямая", раз уж именно "геодезическая" является обобщением.
Для каждой формы поверхности есть своя форма линии, соединяющая две точки и имеющая при этом минимальную длину. "Прямая" - для плоскости, "дуга круга(большого)" - для идеальной сферы, "геодезическая" - для всех сфероидов. Использовать вместо термина "геодезическая" термин "прямая" неправильно, и это лишь запутывает читателя. Для передачи сути можно использовать "линия кратчайшего пути". Но эта линия не прямая.
Есть кривые, для которых так можно определить длину. Кривая gamma(t), длина l(gamma)(t_0, t_1) = t_1 - t_0. Арифметическое действие.
В эти формулы можно прямо подставить координаты точек, и получить результат? Если нет, то это уже не будет простое арифметическое действие над исходными координатами точек.
Есть строгое соответствие между геометрическим и алгебраическим смыслом математического объекта. "Прямая" соответствует линейному уравнению (членами которого являются числа, а не функции). Абсолютно строго, и здесь не может быть никаких трактовок. Кривым соответствуют другие уравнения.
Снова большое спасибо за совет.
Это просто фидбэк от читателя. Можете игнорировать, можете учитывать.
это лишь запутывает читателя
Очень жаль что вы запутались :(
Тем более нужно использовать "геодезическая", а не "прямая", раз уж именно "геодезическая" является обобщением.
В цикле это синонимы, кроме двух частей про сферу. В этих частях я разберусь позже и дополню текст, что это не совсем прямые, в привычном понимании.
В эти формулы можно прямо подставить координаты точек, и получить результат?
Да, можно. В формулах буквально разность координат точек на кривой.
"Прямая" соответствует линейному уравнению (членами которого являются числа, а не функции). Абсолютно строго, и здесь не может быть никаких трактовок. Кривым соответствуют другие уравнения.
Это ошибочный текст. Прямая определяется аксиомами. Вводится система аксиом, и те объекты, которые им удовлетворяют - будут прямыми.
Почему на псевдосфере есть прямые? Потому что они удовлетворяют аксиомам. И такие прямые не описываются линейными уравнениями. Точно так же и в других моделях есть прямые, уравнения которых не будут линейными.
В моделях Пуанкаре - прямые это окружности. В моделях полосы, полусферы, модели Гана - прямые тоже не задаются линейными уравнениями. Линейные уравнения задают прямую только в модели Клейна. В этой модели, однако, не выполняется свойство с длиной через координаты точек на плоскости, потому что в ней другая метрика.
Есть строгое соответствие между геометрическим и алгебраическим смыслом математического объекта. "Прямая" соответствует линейному уравнению (членами которого являются числа, а не функции). Абсолютно строго, и здесь не может быть никаких трактовок. Кривым соответствуют другие уравнения.
Это неверно даже на обычной евклидовой плоскости. В полярных координатах не существует линейного уравнения, которое описывало бы хотя бы одну прямую.
Это неверно даже на обычной евклидовой плоскости. В полярных координатах не существует линейного уравнения, которое описывало бы хотя бы одну прямую.
Вы привели цитату полностью, но при этом отвечаете на часть вырванную из контекста.
Прямой соответствует линейное уравнение, а кривым соответствуют другие уравнения. Смысл в том, что дуга и прямая описываются разными уравнениями. Это разные математические объекты, и поэтому они никак не могут быть синонимами.
На плоскости есть прямая и дуга. Они описаны разными уравнениями. Это два разных объекта. Это не синонимы.
Теперь перейдем к кругу. На нем есть прямые - это хорды. И есть дуги - части окружности. Это по прежнему разные объекты, и по прежнему не синонимы.
Применительно к шару и сфере - прямыми могут быть только хорды. Для линий на поверхности сферы придуманы свои названия. Этой терминологии необходимо придерживаться.
Вы привели цитату полностью, но при этом отвечаете на часть вырванную из контекста.
Чтобы показать ложность утверждения достаточно показать ложность любой его части. Контекст тут совершенно не важен.
Прямой соответствует линейное уравнение, а кривым соответствуют другие уравнения.
См. комментарий, на который вы вроде как отвечаете.
Смысл в том, что дуга и прямая описываются разными уравнениями.
Смысл в том, что алгебра, описывающая любую линию - не важно, прямая она или кривая - может измениться не то, что от смены пространства, в котором линия содержится, но даже от смены системы координат. Нельзя называть прямые на гиперболической плоскости непрямыми только на том основании, что они описываются нелинейными уравнениями.
Прямая - это любой объект, который соответствует определению прямой. Определение прямой вам уже кидали выше в обсуждении.
Любая терминология, противоречащая принятым аксиомам, неправомочна. Здесь мы обсуждаем сферическую и гиперболическую геометрии, у которых есть совершенно конкретные системы аксиом, с ними всегда можно ознакомиться в соответствующих источниках. Евклидовы прямые не соответствуют ни той системе, ни другой, мы их не обсуждаем.
Смысл в том, что алгебра, описывающая любую линию - не важно, прямая она или кривая - может измениться не то, что от смены пространства, в котором линия содержится, но даже от смены системы координат.
Уравнения могут измениться, но они не станут одинаковыми для разных объектов.
Множество уравнений соответствующих прямой не совпадает со множеством уравнений соответствующих дуге. Из этого следует, что это разные объекты, и поэтому нельзя использовать "прямая" в качестве синонима для дуги ни при каких условиях.
Рассмотрим для начала плоскость и декартову систему координат. Мы точно знаем что в этих условиях есть прямая, а что есть дуга. И мы видим что уравнения для прямой и для дуги отличаются. Далее сменим систему координат на полярную. Мы по прежнему видим что уравнения для прямой и уравнения для дуги отличаются друг от друга. И это различие будет сохраняться в других пространствах и системах координат.
Это было в контексте обсуждения того, что "прямая" неправомерно используется как синоним для дуги большого круга.
Возьмем сферу, цилиндр (прямой цилиндр с круглым основанием), и плоскость. Совершенно явно можно различить прямую и окружность, и по форме и по уравнениям. На сфере нет прямых. Совершенно явно экватор сферы не является прямой, а является окружностью, хотя и соответствует "признаку кратчайшего пути". Если нужно обозначить "признак кратчайшего пути", как свойство экватора сферы, то нужно использовать термин "геодезическая".
Если же использовать термин "прямая" как признак "кратчайшего пути", то на цилиндре обнаружится три "прямых" разной формы, с разными уравнениями. Это разрушает строгость терминологии.
Нельзя называть прямые на гиперболической плоскости непрямыми только на том основании, что они описываются нелинейными уравнениями.
Речь шла не об этом. Я объяснил контекст. Линейное уравнение было упомянуто лишь как пример, чтобы сравнить его с уравнением дуги в одних и тех же условиях.
Можно ли найти общее сходство между уравнениями прямой в разных системах координат и в разных пространствах, и можно ли по уравнению определить описывает ли оно прямую - это совсем другой вопрос.
Любая терминология, противоречащая принятым аксиомам, неправомочна.
Аксиома это всего лишь некое утверждение, которое нельзя доказать. Аксиомы не задают терминологию. Аксиома сама формулируется в утвержденных терминах. Грубо говоря, не может быть аксиомы в соответствии с которой треугольник это квадрат.
Прямая - это любой объект, который соответствует определению прямой. Определение прямой вам уже кидали выше в обсуждении.
Были упомянуты некоторые признаки. Точного и полного определения дано не было.
В общем, Фоменко в своих лекциях написал, что на сфере тоже прямые. Он отлично разбирается в геометрии, по этому я оставлю текст в частях про сферу без изменений.
В общем, Фоменко в своих лекциях написал, что на сфере тоже прямые.
"Прямые" в кавычках.
Тема лекции - "Примеры геометрий". В ней описывается принцип построения разных геометрий - "способ задать геометрию". Даются примеры разных геометрий. Сопоставляются базовые объекты разных геометрий.
Исходно есть классическая геометрия на плоскости. Новая геометрия строится на тех же принципах на которых построена классическая геометрия на плоскости - определяем базовые объекты, обозначаем свойства базовых объектов, формируем набор утверждений описывающий взаимодействие базовых объектов.
В классической геометрии в качестве базовых объектов выступают точка и прямая.
Прямых на сфере нет. Вместо прямых, в качестве базового объекта при задании геометрии на сфере S2, используется экватор сферы. Вместо точки используется пара диаметрально противоположных точек. Экватор сферы в геометрии на сфере S2, аналогичен по своей роли прямой на плоскости. То есть он является базовым объектом в геометрии на сфере S2, так же как прямая является базовым объектом в геометрии на плоскости.
Смотрите формулировку в пункте 3. Обратите внимание на кавычки, и условность применения дуг в качестве "прямых". Раз уж вы копируете методику преподавания Фоменко, то вам тоже следует делать акцент на условности применения слова "прямая".
"Прямая" упоминается исключительно для объяснения принципа построения разных геометрий, исходя из того что геометрия на плоскости ученикам уже знакома.
В пункте 3 условности никакой нет. Прямые в круге Пуанкаре, на псевдосфере и на любой другой модели геометрии Лобачевского - прямые в обычном смысле. По аксиомам.
Я уже несколько раз пояснил почему, сослался на источники. Читайте, разбирайтесь.
По аксиомам.
Аксиомы вторичны по отношению к объектам. Сначала выбираются объекты, а затем описываются их свойства и отношения между объектами, в том числе с помощью аксиом. Сначала берется прямая как наблюдаемый объект, затем создаются аксиомы связанные с ней, как выражение наблюдаемых свойств. Только в такой последовательности. Прямая определяется после точки. Прямая получается элементарным линейным приращением. Вращением прямой получается окружность, вращением окружности получается сфера. Все логично и строго последовательно.
На сфере нет прямых. Потому что сфера получена вращением кривой. На цилиндрической поверхности есть прямые (параллельные оси вращения). Потому что цилиндр получается вращением прямоугольника (фигуры с прямыми сторонами). Тоже все очень просто.
на псевдосфере и на любой другой модели геометрии Лобачевского - прямые в обычном смысле.
Псевдосфера получена вращением трактрисы - кривой. Для таких поверхностей вместо "прямой" применяется термин "геодезическая". Это не "прямые в обычном смысле".
Я уже несколько раз пояснил почему, сослался на источники. Читайте, разбирайтесь.
Рассмотрите цилиндрическую поверхность. На ней три вида линий соответствуют "кратчайшему пути" соединяющему две точки - прямая, окружность и спираль, в зависимости от расположения выбранных пар точек. Нельзя считать что все эти линии "прямые", лишь по признаку "кратчайшего пути".
Только в такой последовательности.
Последовательность с ошибкой.
Прямая получается элементарным линейным приращением.
Это тоже неверно.
Все логично и строго последовательно.
Но только не в ваших комментариях. В них много ошибок, в них написаны выдуманные свойства и выдуманные определения, которые просто неверные.
Нельзя считать что все эти линии "прямые", лишь по признаку "кратчайшего пути".
В цикле рассмотрены специальные поверхности, которые являются моделями геометрии Лобачевского. На них - можно. Кратчайший путь очень важен, но прямые в геометрии Лобачевского определяются не только по кратчайшему пути.
Есть строгое соответствие между геометрическим и алгебраическим смыслом математического объекта. "Прямая" соответствует линейному уравнению
Почитайте про криволинейные системы координат и вообще про замены переменных. Это материал матанов первого курса. А вообще мой Вам совет, прежде чем вступать в дискуссию, изучите хотя бы по минимуму матчасть.
Есть теория параллельных линий.
Очень не советую. Вот ссылка если хотите (да простит меня любимый хабр за ссылки на не совсем легальные ресурсы :))) https://rutracker.org/forum/viewtopic.php?t=3023140 . Для общего развития почитать разумеется стоит, более того весьма рекомендую. Но чтобы быстро ввести в курс дела - вряд ли. Мне кажется (весь цикл до конца ещё не прочитал), автор придерживается золотой середины. Лично у меня сейчас проблема, как объяснить всё это интересующемуся семикласснику. С оригинальных работ Лобачевского я бы начинать не стал.
Пожалуйста, продолжайте рассказывать про геометрию Лобачевского дальше - несмотря на небольшое количество просмотров вашей статьи. Мне понравился ваш стиль изложения. Но желательно еще более подробный рассказ - пусть это даже выльется в несколько дополнительных статей. Спасибо.
Спасибо большое! На очереди две статьи - разные модели, проекции, их свойства. И финал с неожиданной концовкой.
Про степень подробности - пишите фидбек, что именно нужно подробнее, задавайте вопросы если что-то не понятно, я отвечу в комментариях.
я кстати и про расслоение Хопфа хотел написать, может когда-то в будущем :)
Забавно... Я тут высказал в комменте про сферу мысль рассмотреть сферу мнимого радиуса. Но думал что это приведет к необходимости рассматривать полноценное комплексное пространство. Не ожидал что можно обойтись просто псевдоэвклидовым. Ко мне сейчас внук пристает с подобными вопросами. А я никак не могу придумать, как ему это объяснить на уровне доступном семикласснику. Не скажу что Вы полностью решили мою проблему, но безусловно сильно облегчили.
А вообще очень хотелось бы и в дальнейшем читать Ваши статьи по математике. Я старый человек, к тому же сильно испорченный довольно формальным математическим образованием (привет Колмогорову, чтоб на том свете быть ему в отделении префекционистов. Где слегка неровными рядами стоят слегка щербатые котлы). А теперь у меня проблема, как разговаривать на интересные темы с семиклассником, на его уровне восприятия (сильно более высокого чем у обычных школьников, но всё-таки далеко даже не 3-й курс мехмата). Про геометрию Лобачевского я уже почти поверил, что смогу объяснить.
Спасибо. Есть пара интересных тем, про которые я хочу написать. Может быть напишу, если найду мотивацию и время.
Каждая часть из этого цикла требует много времени: в начале созревает идея, о чем написать, на что расставить акценты. Возникают вопросы, в которых приходится разбираться. На визуализации тоже уходит много времени, и иногда идеи получаются спонтанно. Написание текста тоже занимает много времени. И на каждую часть уходит в итоге по несколько часов.
Если вам понравился цикл - делитесь им и рассказывайте, это даст дополнительную мотивацию на написание новых статей.
Путь к геометрии Лобачевского 4: псевдосфера