DmitryKryzhanovskiy 4 ноя 2022 в 19:36

Сферический БПЛА в воздухе

6 мин

12K

Блог компании SingularisАлгоритмы*ФизикаDIY или Сделай самТранспорт

Обычно, когда мы говорим о беспилотных летательных аппаратах (БПЛА) ^[1], на ум сразу приходит квадрокоптер (или другой представитель класса мультикоптеров, например, гекса- или октокоптер). Но строго говоря, беспилотник не обязательно должен быть мультикоптером – он может быть выполнен в виде любой механической схемы, которая ранее была разработана для пилотируемого полёта.

Например, это может быть летательный аппарат легче воздуха, то есть аэростат (воздушный шар) или дирижабль ^[2]. Данной статьёй мы открываем цикл публикаций, в котором расскажем в режиме «хроник лаборатории» о ходе нашего сайд-проекта по сборке БПЛА в виде стратостата ^[3]. Но прежде, чем что-то собирать, нужно хорошо разобраться в предмете, в его теоретической части. Поэтому мы решили начать с того, чтобы изучить динамику вертикального полёта воздушного шара.

Ничего принципиально нового, что бы не было известно до нас, мы на этом пути, конечно же, не открыли, но такой цели перед нами и не стояло. Сайд-проект, в первую очередь, делается ради интереса, для того, чтобы разработать и сконструировать что-то самим, а не только читать о чужих достижениях. В настоящей статье мы постарались изложить доступным языком основы динамики вертикального полёта аэростата, учитывая те сложности и ошибки, с которыми столкнулись сами при изучении материала.

1. Какие силы действуют на воздушный шар

Динамика полёта воздушного шара – вещь непростая и довольно капризная, так как приходится учитывать поведение ветра, которое не очень-то предсказуемо по своей природе. Именно поэтому, чтобы не утонуть на первых же шагах в чрезмерных сложностях, мы решили упростить задачу и ограничиться рассмотрением только вертикального полёта, то есть взлёта, набора высоты, снижения и посадки.

Для начала давайте разберёмся, какие силы действуют на аэростат и почему он вообще летает (а в более общей постановке вопроса – почему он изменяет свою высоту, то поднимаясь вверх, то опускаясь вниз).

Вертикальный полёт аэростата определяется тремя силами: силой тяжести, архимедовой силой и силой сопротивления воздуха.

1.1. Сила тяжести

Обозначим за«сухую» массу аэростата (гондола, пустая оболочка, стропы), а за– массу газа в оболочке, которая, в свою очередь, зависит от плотности газа в оболочке $\rho_Г$ и её объёмакак $m_Г=\rho_ГV$ . Отсюда полная масса аэростата

$m=M+m_Г=M+\rho_ГV.\qquad(1)$

Сила тяжести, действующая на аэростат,

$F_Т\downarrow=gm=gM+g\rho_ГV\qquad(2)$

и направлена всегда вниз.

1.2. Архимедова сила

Архимедова сила

$F_А\uparrow=g\rho V\qquad(3)$

направлена всегда вверх, и именно она заставляет аэростат подниматься. Поэтому эту силу ещё называют подъёмной. $\rho$ здесь – плотность внешнего воздуха (атмосферы, в которой летит наш воздушный шар), а, как мы уже говорили выше, – объём оболочки, наполненной газом легче воздуха. Строго говоря, для архимедовой силы в качестве объёманужно брать объём всего аэростата, включая и гондолу. Но поскольку её объём существенно меньше объёма оболочки, будем для упрощения расчётов рассматривать только объём «собственно шара».

На самом деле (как видно, например, на фотографии), оболочка аэростата не является строго сферической, и иногда отклонение её формы от сферы может быть значительным. Однако мы примем допущение о сферичности оболочки для упрощения расчётов, и вот почему:

во многих случаях форма оболочки не сильно отличается от сферической;
допущение о сферичности оболочки значительно упрощает расчёты, связанные с силой лобового сопротивления и присоединённой массой (см. ниже). В противном случае, если мы решим не делать никаких допущений, касающихся геометрии аэростата, нам придётся прибегнуть к полноценному арсеналу CFD, что слишком далеко выходит за рамки нашей задачи.

Итак, пусть оболочка аэростата представляет собой шар радиусом. Тогда объём оболочки $V=4/3\,\pi r^3$ . В дальнейшем нам понадобится также площадь поперечного сечения шара (круга радиусом) $S=\pi r^2$ . Используя это выражение мы можем записать $V=4/3\,Sr$ , откуда архимедова сила

$F_А\uparrow=g\rho V=\frac{4}{3}\pi g\rho r^3=\frac{4}{3}g\rho Sr.\qquad(4)$

1.3. Сила сопротивления воздуха

Сила сопротивления воздуха

$F_С\downarrow\uparrow=\frac{c\rho Sv^2}{2}\qquad(5)$

направлена против движения аэростата, то есть вниз при взлёте и наборе высоты, и вверх при снижении и посадке.

здесь – характерная площадь лобового сопротивления, в нашем случае площадь поперечного сечения шара (круга радиусом), которую мы уже рассмотрели выше. (Обратите ещё раз внимание:– площадь поперечного сечения шара, а не его поверхности).
– безразмерный коэффициент сопротивления формы, который для шара равен [W1].
$\rho$ – по-прежнему плотность внешнего воздуха (атмосферы), то есть среды, в которой осуществляется полёт и которая оказывает сопротивление.
– вертикальная скорость шара ^[4].

1.4. Присоединённая масса

Отсюда второй закон Ньютона для шара в векторном виде будет выглядеть следующим образом:

$\vec{a}(m+\mu)=\vec{F_Т}+\vec{F_А}+\vec{F_С},\qquad(6)$

где $\vec{a}$ – ускорение воздушного шара,– его масса (см. (1)), а $\mu$ – присоединённая масса. Что это такое?

Дело в том, что когда объект двигается ускоренно в среде (жидкости или газе), он должен сообщить своё ускорение некоторому объёму этой среды, чтобы перед объектом не образовывалось уплотнений, а за объектом разряжений [С1]. Выглядит это так, как будто бы к объекту «присоединяется» дополнительная масса, двигающаяся вместе с ним и равная

$\mu=k\rho V,\qquad(7)$

где коэффициентзависит от формы объекта и направления движения относительно его осей инерции. Для сферы, и тогда мы можем записать, что

$\mu=\frac{\rho V}{2}=\frac{2}{3}\pi \rho r^3=\frac{2}{3}\rho Sr,\qquad(8)$ $m+\mu=M+\rho_ГV+\frac{\rho V}{2}=M+\left(\rho_Г+\frac{\rho}{2}\right)V.\qquad(9)$

2. Как рассчитать ускорение воздушного шара

Прежде, чем переходить к алгебраической записи второго закона Ньютона для аэростата, договоримся, что положительное направление осибудет направлено вверх. Таким образом, скоростьшара положительна, если он набирает высоту (летит вверх), и отрицательна, если он снижается (летит вниз). Ускорение свободного падениясоответственно, будет отрицательным; ускорение, вызванное архимедовой силой – положительным; а ускорение, вызванное силой сопротивления воздуха, будет иметь знак, противоположный знаку скорости.

Теперь запишем компоненты уравнения (6) в алгебраическом виде:

$a(m+\mu)=a\left(M+m_Г+\frac{\rho V}{2}\right)\qquad(10а)$ $F_Т=-gM-gm_Г\qquad(10б)$

(так как сила тяжести всегда направлена вниз)

$F_А=g\rho V\qquad(10в)$ $F_С=\mp\frac{c\rho Sv^2}{2}\qquad(10г)$

Знак $\mp$ здесь показывает, что сила сопротивления воздуханаправлена вниз при подъёме шара и вверх при его спуске.

Правомерно также задать следующий вопрос: а стоит ли вообще учитывать силу сопротивления воздуха? Насколько значительный вклад она вносит в суммарное ускорение аэростата? Забегая вперёд, скажем, что да – стоит. Результаты численного моделирования, которые мы приведём в следующей статье, демонстрируют, что ускорение, создаваемое силой сопротивление воздуха, по порядку составляет $0.1\ldots1$ от общего ускорения воздушного шара.

Выпишем теперь полное уравнение:

$a\left(M+m_Г+\frac{\rho V}{2}\right)=-gM-gm_Г+g\rho V\mp\frac{c\rho Sv^2}{2},\qquad(11)$

разделим его на $M+m_Г+\frac{\rho V}{2}$ и получим

$a=\frac{-gM-gm_Г+g\rho V\mp\frac{c\rho Sv^2}{2}}{M+m_Г+\frac{\rho V}{2}}=-g+\frac{3g\rho V\mp c\rho Sv^2}{2\left(M+m_Г+\frac{\rho V}{2}\right)}.\qquad(12)$

Теперь немного «поколдуем» с формулой (12), чтобы сделать её проще и удобнее для вычислений. Во-первых, обратим внимание на то, что в числителе у нас есть общий множитель у обоих слагаемых – плотность $\rho$ . Во-вторых, так как $V=4/3\,Sr$ , . Учитывая вышесказанное, имеем

$3g\rho V\mp c\rho Sv^2=3g\rho V\mp3\rho V\frac{cv^2}{4r}=3\rho V\left(g\mp\frac{cv^2}{4r}\right),\qquad(13)$ $a=-g+\frac{3\rho V}{M+m_Г+\frac{\rho V}{2}}\cdot\left(\frac{g}{2}\mp\frac{cv^2}{8r}\right).\qquad(14)$

В некоторых источниках встречается понятие приведённой плотности

$\rho_П=\frac{M+m_Г+\frac{\rho V}{2}}{V},\qquad(15)$

которая показывает, какая бы плотность была у аэростата, если бы вся его масса (гондола, оболочка, газ в оболочке) и присоединённая масса были размещены внутри самой оболочки. Используя приведённую плотность, формулу (14) можно переписать в виде

$a=-g+\frac{3\rho}{\rho_П}\cdot\left(\frac{g}{2}\mp\frac{cv^2}{8r}\right).\qquad(16)$

Итак, мы получили уравнение, ради которого все вышеприведённые математические выкладки и затевались. Оно описывает зависимость ускорения аэростата от других кинематических характеристик (скорости), параметров конструкции аэростата (массы и объёма, «замаскированных» под приведённую плотность и радиус оболочки) и параметров внешней среды (плотности воздуха и ускорения свободного падения).

Такие величины, как ускорение свободного падения, плотность воздуха $\rho$ , объём оболочки аэростатаи его скоростьне являются постоянными.и $\rho$ убывают по мере набора высоты. Уменьшение плотности воздуха в высоких слоях атмосферы приводит к уменьшению его давления, что, как следствие, приводит к увеличению объёма оболочки аэростата. Наконец, скорость аэростата изменяется всегда, когда ускорение $a\neq0$ . Таким образом, уравнение (16) описывает именно мгновенное ускорение аэростата в данный момент времени.

В следующей статье мы расскажем о том, как решать это уравнение, чтобы получить значения высоты полёта, скорости и ускорения аэростата для заданных моментов времени, учитывая «непостоянство» плотности внешнего воздуха и других величин.

UPD. В статью добавлен учёт присоединённой массы, а также сакцентировано внимание на том, что уравнения (14) и (16) описывают мгновенное ускорение. Авторы благодарят @encyclopedistи @sshikovза полезные комментарии.

Примечания

^[1] Далее термины «беспилотный летательный аппарат», «беспилотник», «дрон» и сокращение БПЛА мы будем употреблять как синонимы.

^[2] Основное отличие аэростата от дирижабля с точки зрения механики состоит в том, что дирижабль оснащён силовой установкой и может управляемо перемещаться в заданном направлении в горизонтальной плоскости, в то время как перемещения аэростата в горизонтальной плоскости носят неуправляемый характер, он летит туда, куда дует ветер.

^[3] Хотя в конечном счёте проект будет посвящён сборке стратостата, начнём мы с обычного аэростата. Основное отличие между ними состоит в том, что аэростат предназначен для полётов в тропосфере (то есть на высотах до 11 км), а стратостат – в более высоких слоях атмосферы. Очень низкое атмосферное давление в высоких слоях накладывает на стратостаты дополнительные требования по прочности конструкции. Но уравнения динамики вертикального полёта аэростата и стратостата одинаковы, поэтому дальше, в целях упрощения изложения, мы везде будем использовать термин «аэростат» как более общий (стратостаты являются подклассом аэростатов) или же синонимичный ему термин «воздушный шар».

^[4] В дальнейшем, когда мы будем говорить о скорости аэростата и его ускорении, мы будем иметь ввиду именно вертикальные скорость и ускорение.

Ссылки

[W1] Коэффициент сопротивления формы – https://ru.wikipedia.org/wiki/Коэффициент_сопротивления_формы

[С1] Стасенко А. Л. Физические основы полёта. – М.: Бюро Квантум, 2005. – 256 с. (Библиотечка «Квант». Вып. 91. Приложение к журналу «Квант» №6/2005).

Теги:

Хабы: