Фрактальная размерность: что это и как вычислить / Комментарии / Хабр

samsergey 13 дек 2024 в 22:34

К сожалению, поставил отрицательную оценку, хотя делаю это крайне редко. Ох! В статье, начиная с первого предложения, столько неточностей и ошибок, что даже не знаю, стоит ли их перечислять. Приведу только самые очевидные:

Хаусдорфова размерность, о которой идёт речь в статье, не характеризует ни "сложности" ни "количества параметров, необходимых для описания объекта". Проверочные вопросы: Что сложнее описать математически — вашу одномерную подпись или кривую Коха? Точка треугольника Серпинского имеет полторы координаты?
Определения и примеры, приведённые в первом разделе, относятся к топологической размерности пространств, а не объектов, вложенных в эти пространства. Это принципиально разные понятия.
Фрактальность и самоподобие разные вещи. Облака, береговые линии, странные аттракторы или канторовы множества, будучи фрактальными могут не обладать слабым самоподобием или не обладать им вовсе. Фрактальным называется объект, имеющий нецелую размерность Хаусдорфа (или Минковского или иных аналогов). Самоподобным — объект демонстрирующий идентичность формы на различных масштабах. Размерность самоподобных фрактальных объектов можно вычислить аналитически, в противном случае, только оценить и то, в разных диапазонах масштаба, размерность, скорее всего, будет разной.
Снежинка Коха не является самоафинной, а вот треугольник Серпинского, как раз является.
"Итоговая линия становится все более сложной, ее длина увеличивается с каждым шагом, но фрактальная размерность остается фиксированной и равна 1,2619." Пока не достигнут предельный объект, "снежинка" остаётся, одномерной ломаной линией, что видно на первых шагах итерации.
Приведённый график зависимости от размеров количества квадратов, покрывающих треугольник Серпинского, не показывает никакой корреляции.
...

Увы, тема фракталов превратилась в "звезду" поп-математики, благодаря красивым картинкам, которые относительно просто получить на компьютере. Многим почему-то кажется, что это простая тема для рассуждений. Но математика, которая за ними стоит, проще от этого не становится, и рассуждения о размерности требуют не только точности, но и чёткой мотивации и ответов на базовые вопросы: Зачем нужна такая характеристика? Что нового в картине мира она нам даëт? Можно ли размерность считать объективной числовой характеристикой объекта, не зависящей от способа вычисления?