Задачи и разборы экзамена ШАД. Часть первая — разогрев

[Janycz]

Задача 1. Я считаю, что можно слегка попроще. a) Из первого предела следует f(x) = 2x + o(x), при x -> 0. Тогда, поскольку ln(1 + 3x) = 3x + o(x), при x -> 0, то подставив эти выражения в предел, который требуется найти, получим что он равен 3/2. b) Можно сказать, что f(x) ~ 2sin(x), при x -> 0. Тогда предел при x -> 0 отношения ln(1 + 3x)/f(x) равен пределу при x -> 0 отношения ln(1 + 3x)/(2sin(x)). Отсюда также получаем ответ на задачу: 3/2.

[st-fedotov]

Да, конечно, вы правы, можно написать и более короткие решения, но на экзамене важно, чтобы все промежуточные шаги были прописаны. Так, в решении (а) на экзамене нужно было бы ещё объяснить, почему f(x) = 2x + o(x) — это совсем просто, но всё же это важный шаг решения, без него полного балла мы бы не поставили. Что касается решения (б), оно потенциально опасно, потому что не позволяет проверяющему понять, правда ли решающий понимает, почему в данной ситуации можно заменить f(x) на 2sin(x) под знаком предела, или искренне заблуждается, и задача в итоге может быть не засчитана.

[Janycz]

(a) Слишком просто, не тот способ, поэтому полного балла не дадим. Как же это знакомо. Я считаю, что если тут кому-то не очевидно, почему f(x) = 2x + o(x), то зачем он вообще учил анализ. (б) Необходимо исходить из того, что решающий понимает, почему в данной ситуации можно заменить f(x) на 2sin(x) под знаком предела. Иначе если полагать, что решающий искренне заблуждается, то опять же, зачем (и как) он учил анализ (и что он вообще знает). Таковых надо отчислять. Просто это настолько очевидные вещи, что КАК вообще можно этого не понимать и требовать пояснения.

[Arastas]

Альтернативное решение для третей задачи. Пусть x[i] это количество красных шаров после i-ой итераци, а N — общее число шаров (константа). Очевидно, x[0]=n. На i-ой итерации шанс вытащить красный шар это x[i]/N, а чёрный — (N-x[i])/N. При красном шаре x[i+1]=x[i], а при чёрном x[i+1]=x[i]+1. Получаем (я опускаю тут корректную запись матожидания, так как latex в комментариях не работает)
x[i+1] = x[i] + (N-x[i])/N = (N-1)/N x[i] + 1.

То есть мы получили итеративную формулу, и дальше просто надо найти общую формулу для i-го члена. Это просто. Пусть a=(N-1)/N, тогда x[i+1] = ax[i]+1. Получаем
x[0] = n, x[1] = an+1, x[2] = a^2n+a+1, x[3] = a^3n+a^2+a+1,
и так далее. Получаем сумму k членов геометрической прогрессии с показателем a плюс na^k. Отсюда после простых преобразований:
x[i] = N-(N-n)*a^k,
что очевидно совпадает с вашей формулой.