Очень часто авторы алгоритмических задач делают ход конём: они берут задачу с простыми формулировками, заменяют их сложными и непонятными эквивалентами и выдают вам «сложную» задачу. В этом посте мы разберём пример одной такой задачи и обсудим пару полезных для её решения приёмов. Задача будет про палиндром.
Продолжение под катом.
Палиндромом называется строка, которая одинаково читается как слева направо, так и справа налево. Например, слово «АТАТА» — это палиндром, а вот слово «АЙАЙАЙ» — нет.
Пример палиндрома из латинских слов: он составлен таким образом, что в каком бы направлении вы ни начали читать текст, получится одно и то же
Известный кинематографический палиндром — название вышедшего в 2020 году фильма «Довод» (англ. «Tenet»). Русская адаптация в каком-то плане уникальна, потому что у нас нашлась подходящая альтернатива слову «tenet», которая тоже является палиндромом. На многих других языках (в том числе славянских) название фильма оставили как есть. Например, на украинском это «ТЕНЕТ» (Википедия).
Итак, задача. Подготовьтесь морально.
Вот несколько примеров нечётных палиндромов: «ATATA», «KKKKKKKK», «ABA», «ZO».
Рассмотрим подробнее первую строку — АТАТА. Выпишем все её подстроки нечётной длины:
В слове ZO нет подстрок нечётной длины больше чем в одну букву. И «Z», и «O» — палиндромы, поэтому «ZO» — нечётный палиндром.
Пусть нам дана строка ABCDEF, и мы можем заменить не более одного символа (K=1), чтобы сделать из неё нечётный палиндром. Оптимальным решением было бы, например, заменить первую букву на C, тогда мы получили бы CBCDEF, где длина наибольшей подстроки, являющейся нечётным палиндромом, была бы равна трём (это CBC).
С тем же успехом мы могли бы прийти к варианту ABCFEF.
А вот если изначально у нас была строка ZXXXZ, и опять можно изменить не более одного символа, то надо заменить средний, так как ZXX и XXZ не являются палиндромами. В итоге мы получим ZXZXZ.
Теперь заметим кое-что в рассмотренных примерах. Все нечётные палиндромы имеют схожую структуру: в них чередуются буквы (или все буквы одинаковые). И это действительно единственная форма, которую имеет нечётный палиндром. Почему это так?
Посмотрим ещё раз на определение: нечётным палиндромом будем называть такую строку, у которой все подстроки нечётной длины являются палиндромами. Если все подстроки нечётной длины являются палиндромами, то и все подстроки длины 3 являются палиндромами. Отсюда сразу же следует, что на чётных позициях не может быть двух различных букв, то же самое верно для нечётных.
На рисунке выше показано, как получается чередующаяся структура строки. Одинаковым цветом выделены одинаковые символы. Сначала посмотрим на палиндром длины 3, который начинается в самом первом символе исходной строки. Тогда 1 и 3 символ можно пометить зеленым. Про 2-й символ пока ничего непонятно. Сдвинем палиндром на единицу вправо, получим, что 2 и 4 символы можно покрасить в один цвет. Так, сдвигаясь каждый раз на единицу, мы получим, что все символы на нечётных позициях зелёные, а на чётных — синие. Более строго можно доказать этот факт с помощью метода математической индукции, например.
Теперь, когда мы поняли, что надо искать, вернёмся непосредственно к задаче. Для краткости будем называть подстроки, которые являются нечётными палиндромами, хорошими. Надо изменить не более K символов так, чтобы максимизировать длину хорошей подстроки в последовательности.
Сперва разберёмся, как сделать из произвольной подстроки хорошую. Надо заменить на один и тот же символ все элементы на чётных позициях и отдельно заменить на нечётных.
Чтобы сделать как можно меньше замен, стоит выбрать в качестве единого символа самый частый среди тех, что стоят на чётных или нечётных позициях. Найти самый частый символ можно с помощью словаря (хеш-мапа, хеш-таблицы) отдельно для чётных и нечётных позиций. Алфавит в текущей задаче ограничен 26 символами, поэтому счётчик будет занимать константное количество дополнительной памяти.
Пройдёмся один раз по строке и добавим единицу в ячейку нужного словаря по текущему символу. Далее найдём в каждом словаре самый частый символ (если символов с максимальным числом вхождений несколько, то можно выбрать любой). Именно на этот символ надо заменить все элементы на чётных или нечётных позициях.
Теперь попробуем сделать как можно более длинную хорошую подстроку, которая начинается строго в символе с номером L. Указатель R будет отмечать ту позицию, до которой мы сумели расширить хорошую подстроку. Будем шагать указателем R вправо, начиная от позиции L. На каждом шаге будем учитывать в счётчике символов для чётных и нечётных позиций очередной символ. Прежде чем передвинуть R на шаг вправо, проверим по счётчикам, что сделать подстроку с L до R хорошей можно не более чем за K операций.
Если применить описанные действия независимо для всех L от 0 до n – 1, где n — длина исходной строки, а затем найти наиболее длинную найденную хорошую подстроку, то мы решим задачу. Однако временная сложность данного решения составит O(n^2), так как для каждой позиции L мы сделаем в худшем случае примерно n – L шагов при передвижении R.
Мы можем ускорить это решение с помощью техники двух указателей. Не будем обнулять счётчики и сбрасывать позицию R после того, как максимально отошли вправо от L. Переиспользуем текущую информацию при переходе от L к L+1. Для этого надо убрать из счётчиков элемент на позиции L — и всё. Затем можно продолжать делать проверки и отодвигать R вправо до тех пор, пока не исчерпаются K операций изменения элементов.
На рисунке выше показан ход указателей L и R, K=2. Подчёркнутые символы будут изменены при соответствующих L и R
Оценим сложность новой версии алгоритма. Указатель R суммарно сделает не более n шагов вправо, указатель L — тоже. Передвижение указателя сопровождается обновлением счётчиков и проверкой числа изменений для получения хорошей подстроки — эти действия выполняются за константное время, O(1). Таким образом мы получаем сложность O(n).
Мы выпутались из этой задачи, теперь можно запутываться в какую-нибудь другую.
Подробнее про метод двух указателей и про другие интересные приёмы мы рассказываем на курсе «Алгоритмы и структуры данных». Если вам интересна эта тема, приглашаю на наш курс.
Продолжение под катом.
Что такое палиндром
Палиндромом называется строка, которая одинаково читается как слева направо, так и справа налево. Например, слово «АТАТА» — это палиндром, а вот слово «АЙАЙАЙ» — нет.
Пример палиндрома из латинских слов: он составлен таким образом, что в каком бы направлении вы ни начали читать текст, получится одно и то же
Известный кинематографический палиндром — название вышедшего в 2020 году фильма «Довод» (англ. «Tenet»). Русская адаптация в каком-то плане уникальна, потому что у нас нашлась подходящая альтернатива слову «tenet», которая тоже является палиндромом. На многих других языках (в том числе славянских) название фильма оставили как есть. Например, на украинском это «ТЕНЕТ» (Википедия).
Постановка задачи
Итак, задача. Подготовьтесь морально.
Нечётным палиндромом будем называть такую строку, у которой все подстроки нечётной длины являются палиндромами. Суть задачи в том, чтобы в данной строке заменить не более K символов так, чтобы максимизировать длину самой длинной подстроки, которая является нечётным палиндромом.Всё, клубок запутался. Начнём распутывать.
Вот несколько примеров нечётных палиндромов: «ATATA», «KKKKKKKK», «ABA», «ZO».
Рассмотрим подробнее первую строку — АТАТА. Выпишем все её подстроки нечётной длины:
- A, T, A, T, A — однобуквенное слово всегда палиндром
- ATA, TAT, ATA — очевидно, палиндромы
- ATATA — тоже
В слове ZO нет подстрок нечётной длины больше чем в одну букву. И «Z», и «O» — палиндромы, поэтому «ZO» — нечётный палиндром.
Пусть нам дана строка ABCDEF, и мы можем заменить не более одного символа (K=1), чтобы сделать из неё нечётный палиндром. Оптимальным решением было бы, например, заменить первую букву на C, тогда мы получили бы CBCDEF, где длина наибольшей подстроки, являющейся нечётным палиндромом, была бы равна трём (это CBC).
С тем же успехом мы могли бы прийти к варианту ABCFEF.
А вот если изначально у нас была строка ZXXXZ, и опять можно изменить не более одного символа, то надо заменить средний, так как ZXX и XXZ не являются палиндромами. В итоге мы получим ZXZXZ.
Структура нечётного палиндрома
Теперь заметим кое-что в рассмотренных примерах. Все нечётные палиндромы имеют схожую структуру: в них чередуются буквы (или все буквы одинаковые). И это действительно единственная форма, которую имеет нечётный палиндром. Почему это так?
Посмотрим ещё раз на определение: нечётным палиндромом будем называть такую строку, у которой все подстроки нечётной длины являются палиндромами. Если все подстроки нечётной длины являются палиндромами, то и все подстроки длины 3 являются палиндромами. Отсюда сразу же следует, что на чётных позициях не может быть двух различных букв, то же самое верно для нечётных.
На рисунке выше показано, как получается чередующаяся структура строки. Одинаковым цветом выделены одинаковые символы. Сначала посмотрим на палиндром длины 3, который начинается в самом первом символе исходной строки. Тогда 1 и 3 символ можно пометить зеленым. Про 2-й символ пока ничего непонятно. Сдвинем палиндром на единицу вправо, получим, что 2 и 4 символы можно покрасить в один цвет. Так, сдвигаясь каждый раз на единицу, мы получим, что все символы на нечётных позициях зелёные, а на чётных — синие. Более строго можно доказать этот факт с помощью метода математической индукции, например.
Теперь, когда мы поняли, что надо искать, вернёмся непосредственно к задаче. Для краткости будем называть подстроки, которые являются нечётными палиндромами, хорошими. Надо изменить не более K символов так, чтобы максимизировать длину хорошей подстроки в последовательности.
Сперва разберёмся, как сделать из произвольной подстроки хорошую. Надо заменить на один и тот же символ все элементы на чётных позициях и отдельно заменить на нечётных.
Чтобы сделать как можно меньше замен, стоит выбрать в качестве единого символа самый частый среди тех, что стоят на чётных или нечётных позициях. Найти самый частый символ можно с помощью словаря (хеш-мапа, хеш-таблицы) отдельно для чётных и нечётных позиций. Алфавит в текущей задаче ограничен 26 символами, поэтому счётчик будет занимать константное количество дополнительной памяти.
Пройдёмся один раз по строке и добавим единицу в ячейку нужного словаря по текущему символу. Далее найдём в каждом словаре самый частый символ (если символов с максимальным числом вхождений несколько, то можно выбрать любой). Именно на этот символ надо заменить все элементы на чётных или нечётных позициях.
Наивное решение
Теперь попробуем сделать как можно более длинную хорошую подстроку, которая начинается строго в символе с номером L. Указатель R будет отмечать ту позицию, до которой мы сумели расширить хорошую подстроку. Будем шагать указателем R вправо, начиная от позиции L. На каждом шаге будем учитывать в счётчике символов для чётных и нечётных позиций очередной символ. Прежде чем передвинуть R на шаг вправо, проверим по счётчикам, что сделать подстроку с L до R хорошей можно не более чем за K операций.
Если применить описанные действия независимо для всех L от 0 до n – 1, где n — длина исходной строки, а затем найти наиболее длинную найденную хорошую подстроку, то мы решим задачу. Однако временная сложность данного решения составит O(n^2), так как для каждой позиции L мы сделаем в худшем случае примерно n – L шагов при передвижении R.
Улучшаем асимптотику решения
Мы можем ускорить это решение с помощью техники двух указателей. Не будем обнулять счётчики и сбрасывать позицию R после того, как максимально отошли вправо от L. Переиспользуем текущую информацию при переходе от L к L+1. Для этого надо убрать из счётчиков элемент на позиции L — и всё. Затем можно продолжать делать проверки и отодвигать R вправо до тех пор, пока не исчерпаются K операций изменения элементов.
На рисунке выше показан ход указателей L и R, K=2. Подчёркнутые символы будут изменены при соответствующих L и R
Оценим сложность новой версии алгоритма. Указатель R суммарно сделает не более n шагов вправо, указатель L — тоже. Передвижение указателя сопровождается обновлением счётчиков и проверкой числа изменений для получения хорошей подстроки — эти действия выполняются за константное время, O(1). Таким образом мы получаем сложность O(n).
Мы выпутались из этой задачи, теперь можно запутываться в какую-нибудь другую.
Подробнее про метод двух указателей и про другие интересные приёмы мы рассказываем на курсе «Алгоритмы и структуры данных». Если вам интересна эта тема, приглашаю на наш курс.