Прочитав статью «Динамическая система Лоренца и вычислительный эксперимент», проверил расчеты с помощью аналитически-численного метода [1].
Результаты расчета на фазовой плоскости z(x):
И y(x):
Кажется, что кривые замкнуты, но давайте рассмотрим результат поподробнее.
Взяв параметры для расчета из статьи «Динамическая система Лоренца и вычислительный эксперимент»:
Предначальные условия, параметры динамической системы, точность математических операций — 180 знаков после запятой, точность по степенному ряду 1e-9, получим следующий результат в точке t = 6.827:
Значения производных:
Несложно видеть, что результаты расчетов несколько отличаются от изложенных в статье.
Кроме того, если подставить результат из статьи (найденные приближенные значения решений) в исходную систему уравнений, то получим значения производных также отличающихся от указанных в статье:
Отмечу, что повышение точности расчетов (количество учитываемых знаков после запятой и точность по степенному ряду) приводит лишь к сужению области, содержащей точные решения. Например, при задании точности 1e-55, область в точке t = 6.827 сужается до
.
Далее, я решил продолжить расчет до точки t = 12.827 и рассмотреть график результатов расчета на фазовых плоскостях z(x):
И y(x):
На графиках четко видно что кривые не замкнуты. Если быть еще точнее, они и на первых графиках не замкнуты, просто масштаб, в котором отображены фазовые траектории, не позволяет увидет точку разомкнутости.
Таким образом, нельзя говорить ни о каком возвращении траектории в окрестность начальной точки — об этом говорится в статье. А делать выводы на основе расчетов необходимо всегда с оглядкой на погрешность вычислений (как методическую так и вычислительную).
Литература:
1. Бычков Ю., Щербаков С. Аналитически-численный метод расчета динамических систем. — Санкт-Петербург: Энергоатомиздат,2001.
Результаты расчета на фазовой плоскости z(x):
И y(x):
Кажется, что кривые замкнуты, но давайте рассмотрим результат поподробнее.
Кратко об используемом методе расчета
Аналитически-численный метод принадлежит к самостартующим непрерывным методам переменного порядка с адаптивной процедурой выбора шага и с контролем уровней предельных абсолютных локальной и полной погрешностей расчёта.
Применяется для решения обыкновенных нелинейных неавтономных нестационарных интегродифференциальных уравнений, описывающих динамические модели систем при детерминированных воздействиях.
При расчете регулярная составляющая искомого решения представляется в форме ряда Тейлора.
Результатом применения аналитически-численного метода при решении систем ОДУ, описывающих модель динамической системы, являются не только приближенные решения но и области, гарантированно содержащие точные решения.
То есть, кроме самого численного значения приближенного решения в результате получаются и верхние оценки предельной полной погрешности расчета на каждом шаге расчета:
где
— приближенное решение (i-я фазовая координата);
— неизвестное точное решение;
— верхняя оценка предельной полной погрешности расчета приближенного решения;
Применяется для решения обыкновенных нелинейных неавтономных нестационарных интегродифференциальных уравнений, описывающих динамические модели систем при детерминированных воздействиях.
При расчете регулярная составляющая искомого решения представляется в форме ряда Тейлора.
Результатом применения аналитически-численного метода при решении систем ОДУ, описывающих модель динамической системы, являются не только приближенные решения но и области, гарантированно содержащие точные решения.
То есть, кроме самого численного значения приближенного решения в результате получаются и верхние оценки предельной полной погрешности расчета на каждом шаге расчета:
где
— приближенное решение (i-я фазовая координата);
— неизвестное точное решение;
— верхняя оценка предельной полной погрешности расчета приближенного решения;Взяв параметры для расчета из статьи «Динамическая система Лоренца и вычислительный эксперимент»:
Предначальные условия, параметры динамической системы, точность математических операций — 180 знаков после запятой, точность по степенному ряду 1e-9, получим следующий результат в точке t = 6.827:
Значения производных:
Несложно видеть, что результаты расчетов несколько отличаются от изложенных в статье.
Кроме того, если подставить результат из статьи (найденные приближенные значения решений) в исходную систему уравнений, то получим значения производных также отличающихся от указанных в статье:
Отмечу, что повышение точности расчетов (количество учитываемых знаков после запятой и точность по степенному ряду) приводит лишь к сужению области, содержащей точные решения. Например, при задании точности 1e-55, область в точке t = 6.827 сужается до
.Далее, я решил продолжить расчет до точки t = 12.827 и рассмотреть график результатов расчета на фазовых плоскостях z(x):
И y(x):
На графиках четко видно что кривые не замкнуты. Если быть еще точнее, они и на первых графиках не замкнуты, просто масштаб, в котором отображены фазовые траектории, не позволяет увидет точку разомкнутости.
Таким образом, нельзя говорить ни о каком возвращении траектории в окрестность начальной точки — об этом говорится в статье. А делать выводы на основе расчетов необходимо всегда с оглядкой на погрешность вычислений (как методическую так и вычислительную).
Литература:
1. Бычков Ю., Щербаков С. Аналитически-численный метод расчета динамических систем. — Санкт-Петербург: Энергоатомиздат,2001.
