Быстрый и простой алгоритм требующий модификации
Среди методов решения задачи коммивояжёра метод ближайшего соседа привлекает простотой алгоритма. Метод ближайшего соседа в исходной формулировке заключается в нахождении замкнутой кривой минимальной длины, соединяющей заданный набор точек на плоскости [1]. Моё внимание привлекла наиболее распространённая реализация данного алгоритма в пакете Mathcad, размещённая в сети на ресурсе [2]. Сама реализация не совсем удобна, например, нельзя вывести матрицу расстояний между пунктами или проанализировать альтернативные маршруты.
На ресурсе [2] приведена следующая вполне справедливая критика данного метода. «Маршрут не оптимальный (не самый короткий) и сильно зависит от выбора первого города. Фактически не решена задача коммивояжера, а найдена одна гамильтонова цепь графа». Там же предложен путь некоторого усовершенствования метода ближайшего соседа. «Следующий возможный шаг оптимизации — «развязывание петель» (ликвидация перекрестий). Другое решение — перебор всех городов (вершин графа) в качестве начала маршрута и выбор наикратчайшего из всех маршрутов». Однако реализация последнего предложения не приведена. Учитывая все перечисленные обстоятельства, я решил реализовать приведенный алгоритм на Python и при этом предусмотреть возможность выбора начального пункта по критерию минимальной длины маршрута.
Код программы с генерацией случайных значений координат пунктов
#!/usr/bin/env python
#coding=utf8
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from numpy import exp,sqrt
n=50;m=100;ib=3;way=[];a=0
X=np.random.uniform(a,m,n)
Y=np.random.uniform(a,m,n)
#X=[10, 10, 100,100 ,30, 20, 20, 50, 50, 85, 85, 75, 35, 25, 30, 47, 50]
#Y=[5, 85, 0,90,50, 55,50,75 ,25,50,20,80,25,70,10,50,100]
#n=len(X)
M = np.zeros([n,n]) # Шаблон матрицы относительных расстояний между пунктами
for i in np.arange(0,n,1):
for j in np.arange(0,n,1):
if i!=j:
M[i,j]=sqrt((X[i]-X[j])**2+(Y[i]-Y[j])**2)# Заполнение матрицы
else:
M[i,j]=float('inf')#Заполнение главной диагонали матрицы
way.append(ib)
for i in np.arange(1,n,1):
s=[]
for j in np.arange(0,n,1):
s.append(M[way[i-1],j])
way.append(s.index(min(s)))# Индексы пунктов ближайших городов соседей
for j in np.arange(0,i,1):
M[way[i],way[j]]=float('inf')
M[way[i],way[j]]=float('inf')
S=sum([sqrt((X[way[i]]-X[way[i+1]])**2+(Y[way[i]]-Y[way[i+1]])**2) for i in np.arange(0,n-1,1)])+ sqrt((X[way[n-1]]-X[way[0]])**2+(Y[way[n-1]]-Y[way[0]])**2)
plt.title('Общий путь-%s.Номер города-%i.Всего городов -%i.\n Координаты X,Y случайные числа от %i до %i'%(round(S,3),ib,n,a,m), size=14)
X1=[X[way[i]] for i in np.arange(0,n,1)]
Y1=[Y[way[i]] for i in np.arange(0,n,1)]
plt.plot(X1, Y1, color='r', linestyle=' ', marker='o')
plt.plot(X1, Y1, color='b', linewidth=1)
X2=[X[way[n-1]],X[way[0]]]
Y2=[Y[way[n-1]],Y[way[0]]]
plt.plot(X2, Y2, color='g', linewidth=2, linestyle='-', label='Путь от последнего \n к первому городу')
plt.legend(loc='best')
plt.grid(True)
plt.show()
В результате работы программы получим.
Недостатки метода видны на графике, о чём свидетельствуют петли. Реализации алгоритма на Python имеет больше возможностей, чем в Mathcad. Например, можно вывести матрицу расстояний между пунктами на печать. Например, для n=4, получим:
[[ inf 43.91676312 48.07577298 22.15545245]
[43.91676312 inf 54.31419355 21.7749088 ]
[48.07577298 54.31419355 inf 46.92141965]
[ 22.15545245 21.7749088 46.92141965 inf]]Для работы алгоритма на главной диагонали матрицы числовые значения устанавливают равными бесконечности.
От случайных координат пунктов перейдем к заданным. Данные возьмём на ресурсе [2]. Для работы программы в режиме заданных координат в приведенном листинге уберём комментарии со следующих строк.
X=[10, 10, 100,100 ,30, 20, 20, 50, 50, 85, 85, 75, 35, 25, 30, 47, 50]
Y=[5, 85, 0,90,50, 55,50,75 ,25,50,20,80,25,70,10,50,100]
n=len(X)
В результате роботы программы получим.
Из приведенного графика видно, что траектории перемещения коммивояжёра пересекаться.
Сравнение реализаций алгоритма
Для сравнения результатов работы моей программы с программой на ресурсе [2], установим на ресурсе те же параметры, с той лишь разницей, что у меня нумерация пунктов(городов) начинается с 0, а на ресурсе с 1. Тогда номер города на ресурсе n=11, получим:
Длина маршрута 564, 516 и расположение пунктов полностью совпадают.
Усовершенствование алгоритма ближайшего соседа
Теперь можно модифицировать мою программу по критерию минимальной длины маршрута.
Код программы для определения начального пункта из условия минимальной длины маррута(модифицированный алгоритм).
#!/usr/bin/env python
#codi
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from numpy import exp,sqrt
n=50;m=100;way=[];a=0
X=np.random.uniform(a,m,n)
Y=np.random.uniform(a,m,n)
X=[10, 10, 100,100 ,30, 20, 20, 50, 50, 85, 85, 75, 35, 25, 30, 47, 50]
Y=[5, 85, 0,90,50, 55,50,75 ,25,50,20,80,25,70,10,50,100]
n=len(X)
RS=[];RW=[];RIB=[]
s=[]
for ib in np.arange(0,n,1):
M = np.zeros([n,n])
for i in np.arange(0,n,1):
for j in np.arange(0,n,1):
if i!=j:
M[i,j]=sqrt((X[i]-X[j])**2+(Y[i]-Y[j])**2)
else:
M[i,j]=float('inf')
way=[]
way.append(ib)
for i in np.arange(1,n,1):
s=[]
for j in np.arange(0,n,1):
s.append(M[way[i-1],j])
way.append(s.index(min(s)))
for j in np.arange(0,i,1):
M[way[i],way[j]]=float('inf')
M[way[i],way[j]]=float('inf')
S=sum([sqrt((X[way[i]]-X[way[i+1]])**2+(Y[way[i]]-Y[way[i+1]])**2) for i in np.arange(0,n-1,1)])+ sqrt((X[way[n-1]]-X[way[0]])**2+(Y[way[n-1]]-Y[way[0]])**2)
RS.append(S)
RW.append(way)
RIB.append(ib)
S=min(RS)
way=RW[RS.index(min(RS))]
ib=RIB[RS.index(min(RS))]
X1=[X[way[i]] for i in np.arange(0,n,1)]
Y1=[Y[way[i]] for i in np.arange(0,n,1)]
plt.title('Общий путь-%s.Номер города-%i.Всего городов -%i.\n Координаты X,Y заданы'%(round(S,3),ib,n), size=14)
plt.plot(X1, Y1, color='r', linestyle=' ', marker='o')
plt.plot(X1, Y1, color='b', linewidth=1)
X2=[X[way[n-1]],X[way[0]]]
Y2=[Y[way[n-1]],Y[way[0]]]
plt.plot(X2, Y2, color='g', linewidth=2, linestyle='-', label='Путь от последнего \n к первому городу')
plt.legend(loc='best')
plt.grid(True)
plt.show()
Z=sqrt((X[way[n-1]]-X[way[0]])**2+(Y[way[n-1]]-Y[way[0]])**2)
Y3=[sqrt((X[way[i+1]]-X[way[i]])**2+(Y[way[i+1]]-Y[way[i]])**2) for i in np.arange(0,n-1,1)]
X3=[i for i in np.arange(0,n-1,1)]
plt.title('Пути от города к городу')
plt.plot(X3, Y3, color='b', linestyle=' ', marker='o')
plt.plot(X3, Y3, color='r', linewidth=1, linestyle='-', label='Без учёта замыкающего пути - %s'%str(round(Z,3)))
plt.legend(loc='best')
plt.grid(True)
plt.show ()
Результат работы программы.
Петель на графике нет, что свидетельствует об улучшении алгоритма.
Длина маршрута при начале движения из пункта с номером 4 меньше, чем при начале движения из других пунктов.
Длина маршрута - 458.662, при начале движения из пункта - 0
Длина маршрута - 463.194, при начале движения из пункта - 1
Длина маршрута - 560.726, при начале движения из пункта - 2
Длина маршрута - 567.48, при начале движения из пункта - 3
Длина маршрута - 457.504, при начале движения из пункта - 4
Длина маршрута - 465.714, при начале движения из пункта - 5
Длина маршрута - 471.672, при начале движения из пункта - 6
Длина маршрута - 460.445, при начале движения из пункта - 7
Длина маршрута - 533.461, при начале движения из пункта - 8
Длина маршрута - 532.326, при начале движения из пункта - 9
Длина маршрута- 564.516, при начале движения из пункта - 10
Длина маршрута - 565.702, при начале движения из пункта - 11
Длина маршрута - 535.539, при начале движения из пункта - 12
Длина маршрута - 463.194, при начале движения из пункта - 13
Длина маршрута - 458.662, при начале движения из пункта - 14
Длина маршрута - 457.504, при начале движения из пункта - 15
Длина маршрута- 508.045, при начале движения из пункта - 16
Зависимость длины маршрута от количества пунктов(городов)
Для этого вернёмся к генерации случайных значений координат. По результатам работы программы увеличивая количество пунктов до 1000 с шагов в 100 составим таблицу из двух строк, в одной длины маршрутов в другой количество пунктов в маршруте.
Аппроксимируем приведенные данные с помощью программы.
#!/usr/bin/env python
#coding=utf8
import matplotlib.pyplot as plt
def mnkLIN(x,y):
a=round((len(x)*sum([x[i]*y[i] for i in range(0,len(x))])-sum(x)*sum(y))/(len(x)*sum([x[i]**2 for i in range(0,len(x))])-sum(x)**2),3)
b=round((sum(y)-a*sum(x))/len(x) ,3)
y1=[round(a*w+b ,3) for w in x]
s=[round((y1[i]-y[i])**2,3) for i in range(0,len(x))]
sko=round((sum(s)/(len(x)-1))**0.5,3)
p=(sko*len(x)*100)/sum(y1)
plt.title('Аппроксимация методом наименьших \n квадратов Y=%s*x+%s с погрешностью -%i -проц.'%(str(a),str(b),int(p)), size=14)
plt.xlabel('Количество городов', size=14)
plt.ylabel('Длина маршрутов', size=14)
plt.plot(x, y, color='r', linestyle=' ', marker='o', label='Данные метода ближайшего соседа')
plt.plot(x, y1, color='b',linewidth=1, label='Аппроксимирующая прямая')
plt.legend(loc='best')
plt.grid(True)
plt.show()
y=[933.516, 1282.842, 1590.256, 1767.327 ,1949.975, 2212.668, 2433.955, 2491.954, 2549.579, 2748.672]
x=[100,200,300,400,500,600, 700,800, 900,1000]
mnkLIN(x,y)
Получим.
При использовании метода ближайшего соседа длина маршрута и число пунктов связаны линейной зависимостью в приведенном диапазоне. В работе [3] проведен анализ основных методов решения задачи коммивояжёра. По приведенным данным лучшие результаты показали алгоритм Литтла, генетический алгоритм и модификация алгоритма «иди в ближний». Что является дополнительным основанием для проведенного в данной статье анализа решения задачи коммивояжёра методом ближайшего соседа.
Выводы
Известно, что Python свободно распространяемый язык программирования. Реализации метода ближайшего соседа на Python в доступных мне источниках я не нашёл. Предложенная мною простая реализация метода безусловно далека от совершенства, но позволяет анализировать все этапы метода — создания матрицы расстояний между пунктами, поиск короткого маршрута, модификацию алгоритма, особенности графического отображения результатов поиска маршрута. Всё это важные факторы особенно в процессе обучения, когда специальные математические пакеты в силу понятных причин не доступны. Поэтому надеюсь, что мои тщедушные попытки обойтись без дорогостоящих математических пакетов хотя бы для отдельных задач будут способствовать не только рациональной организации обучения, но и популяризации языка программирования Python.
Спасибо всем, кто прочитает статью и, может быть, найдёт применение полученным результатам.
