WhiteBlackGoose 25 сен 2019 в 11:57

Играемся с комплексными числами

3 мин

12K

Привет!

Очередной очерк. На этот раз поиграемся с комплексными числами, с формулами и их визуализацией.

Идея

Комплексное число — это некоторое расширение вещественного числа, по сути вектор, для которого определено целое множество аксиом. Любое комплексное (а значит и вещественное) число можно записать в виде $inline$ , где a — вещественная часть, b — мнимая, i — корень уравнения $x^{2}=-1$ . Для него определено много операций, которые определены для вещественного числа, к примеру, $inline$ . Интересно, что если проделывать различные операции с ними, возводить в степень, умножать и т. д. а затем брать $inline$ (вещественную часть) для оси Ox, а $inline$ (мнимую часть) для оси Oy, можно получать забавные картинки.

Кстати все следующие формулы я сам придумал.

Функция визуализации

Рутина. Функция, которая по данной итеративной функции рисует все на поле:

import random
import numpy as np
def vis(A, f, step=1.0, c=None):
    x = []
    y = []
    for B in np.arange(0, A, step):
        v = f(A, B)
        x.append(v.real)
        y.append(v.imag)
    plt.figure(figsize=[8, 8])
    mxabs = max([i[0] ** 2 + i[1] ** 2 for i in zip(x, y)]) ** 0.5
    x = np.array(x) / mxabs
    y = np.array(y) / mxabs
    if c is None:
        plt.scatter(x, y)
    else:
        plt.scatter(x, y, color=[c(x[i], y[i]) for i in range(len(x))])
    plt.show()

Все наши функции зависят от двух параметров A и B. Причем по B мы итерируемся внутри vis(), а A — глобальный параметр функции.

Функция «Завитушки»

$f(A, B) = Bsin(B)*e^{iBcos(A)}$

Ее объявление в python:

def func_1(A, B):
    return math.sin(B) * B * math.e ** (1j * (B * math.cos(A)))

И запустим

A = 121.5
vis(A, func_1, step=0.1)

И результат для A=121.5:

И для A=221.5:

Заметьте, эти числа вовсе не следуют из расчета какого-нибудь определенного интеграла на гладком многообразии и других умных бессмысленных в этом контексте слов. Это действительно рандомные числа, и существует еще ровно бесконечность разных A, в результате которых получается красота.

Надо покрасить

Объявим функцию цвета (такую функцию, которая по координатам возвращает tuple из трех чисел):

def sigm(x):  # Эта функция позволяет нормализировать все что угодно от 0 до 1
    return (1 / (1 + 1.2 ** (-x*50)) - 0.5) * 2

color_1 = lambda x, y: (0.2, sigm(x ** 2 + y ** 2) / 1.4, 1 - sigm(x ** 2 + y ** 2))
color_2 = lambda x, y: (sigm(x ** 2 + y ** 2), 0.5, 0.5)

Выберем рандомный параметр A, пусть будет 149:

vis(149, func_1, step=0.1, c=color_1)

Функция «Гуси»

Гуси описываются так:

$f(A, B) = cos(B)sin(B) * B * e^{iBcos(A)}$

Объявление на python:

def func_2(A, B):
    return math.cos(B) * math.sin(B) * B * math.e ** (1j * (B * math.cos(A)))

Ее результат для A=106:

Функция «Фокачча»

$f(A, B) = cos(B(A + 1)) * e^{iBcos(A)}$

def func_3(A, B):
    return math.cos((A + 1) * B) * math.e ** (1j * (B * math.cos(A)))

vis(246, func_3, step=0.1, c=color_2)

vis(246, func_3, step=0.1, c=color_2)

Функция «Без названия»

$f(A, B) = Bsin(A + B) * e^{iBsin(A)}$

color_3 = lambda x, y: (0.5, 0.5, sigm(x ** 2 + y ** 2))
vis(162, func_4, step=0.1, c=color_3)

vis(179, func_4, step=0.1, c=color_3)

Формула красоты

$f(A, B) = cos(B(A+1))^{\frac{3}{2}} * e^{iBcos(A)}$

def func_5(A, B):
    return math.cos((A + 1) * B) ** 1.5 * math.e ** (1j * (B * math.cos(A)))

color_4 = lambda x, y: (sigm(x ** 2 + y ** 2) / 2, 0.5, 1 - sigm(x ** 2 + y ** 2))
vis(345, func_5, step=0.1, c=color_4)

vis(350, func_5, step=0.1, c=color_4)

Пока все.

Весь код


import numpy as np
import random
import matplotlib.pyplot as plt
import math

def vis(A, f, step=1.0, c=None):
    x = []
    y = []
    for B in np.arange(0, A, step):
        v = f(A, B)
        x.append(v.real)
        y.append(v.imag)
    plt.figure(figsize=[7, 7])
    mxabs = max([i[0] ** 2 + i[1] ** 2 for i in zip(x, y)]) ** 0.5
    x = np.array(x) / mxabs
    y = np.array(y) / mxabs
    if c is None:
        plt.scatter(x, y)
    else:
        plt.scatter(x, y, color=[c(x[i], y[i]) for i in range(len(x))])
    plt.show()

def func_1(A, B):
    return math.sin(B) * B * math.e ** (1j * (B * math.cos(A)))

def func_2(A, B):
    return math.cos(B) * math.sin(B) * B * math.e ** (1j * (B * math.cos(A)))

def func_3(A, B):
    return math.cos((A + 1) * B) * math.e ** (1j * (B * math.cos(A)))

def func_4(A, B):
    return math.sin(A + B) * B * math.e ** (1j * B * math.sin(A))

def func_5(A, B):
    return math.cos((A + 1) * B) ** 1.5 * math.e ** (1j * (B * math.cos(A)))

def sigm(x):
    return (1 / (1 + 1.2 ** (-x*50)) - 0.5) * 2

color_1 = lambda x, y: (0.2, sigm(x ** 2 + y ** 2) / 1.4, 1 - sigm(x ** 2 + y ** 2))
color_2 = lambda x, y: (sigm(x ** 2 + y ** 2), 0.5, 0.5)
color_3 = lambda x, y: (0.5, 0.5, sigm(x ** 2 + y ** 2))
color_4 = lambda x, y: (sigm(x ** 2 + y ** 2) / 2, 0.5, 1 - sigm(x ** 2 + y ** 2))
colors = [color_1, color_2, color_3, color_4]
funcs = [func_1, func_2, func_3, func_4, func_5]
while True:
    col = random.choice(colors)
    func = random.choice(funcs)
    vis(random.random() * 200 + 100, func, step=0.1, c=col)
    if input() == "exit":
        break

Еще скриншоты