Хилель Фарстенберг, 84 лет, и Григорий Маргулис, 74 лет, профессора на пенсии, разделили математический эквивалент нобелевской премии
Хилель Фарстенберг
Двое математиков, продемонстрировавших, как недооценённое ответвление области исследований можно применить для решения важных задач, разделили между собой абелевскую премию этого года — математический эквивалент нобелевской премии.
Её получили Хилель Фарстенберг, 84 лет, из Еврейского университета в Иерусалиме, и Григорий Маргулис, 74 лет, советский и американский математик из Йельского университета. Оба – профессора на пенсии.
Премия, вручаемая Норвежской академией наук и литературы, была назначена «за новаторский подход использования методов из теории вероятностей и динамики в теории групп, теории чисел и комбинаторике».
Фарстенберг и Маргулис разделят денежную премию в 7,5 млн норвежских крон, или около $700 000.
Григорий Маргулис
За математику не вручают нобелевские премия, и несколько десятилетий самой престижной наградой в этой области была филдсовская премия, медали за которую выдавали небольшими группами каждые четыре года наиболее выдающимся математикам в возрасте до 40 лет.
Абелевская премия, названная в честь Нильса Хенрика Абеля, норвежского математика, больше похожа на нобелевскую. С 2003 года её ежегодно вручают, чтобы подчеркнуть важные прорывы в математике. Среди прежних лауреатов — Эндрю Уайлс, доказавший Великую теорему Ферма, и работающий в Оксфордском университете; Джон Ф. Нэш-мл., чью биографию экранизировали в фильме «Игры разума»; Карен Уленбек, почётный профессор в Техасском университете в Остине, в прошлом году ставшая первой женщиной, получившей эту премию.
В этом году лауреатами абелевской премии стали пионеры новых идей и техник.
Франсуа Лабурье, математик из Университета Лазурного Берега во Франции, заседавший в комитете премии, сказал, что большая часть математиков XX века не слишком жаловала теорию вероятностей, находившуюся в самом низу математической иерархии, под теорией чисел, алгеброй и дифференциальной геометрией.
«Теория вероятностей была лишь прикладной математикой», — сказал Лабурье. Но Фарстенберг и Маргулис нашли способы показать, как методы вероятности могут решать абстрактные задачи.
«В то время это было воистину революционным, — сказал Лабурье. – Они стали одними из первых, показав, что вероятностные методы лежат в самом центре математики. Теперь это практически очевидно».
Фарстенберг сказал, что ему позвонили по телефону в понедельник вечером, чтобы объявить о награде. «Я плохо слышал то, что говорили по телефону, — сказал он нам во время телефонного интервью. – Я услышал слова „норвежская академия“ и „премия“, и подумал: Они что, говорят про абелевскую премию? В это было сложно поверить. Я позвал к телефону жену. И так оно и было».
Маргулис сказал, что ему тоже позвонили в понедельник. «Конечно же, я был очень рад и горд, — сказал он. – Это великая честь».
Вот пример того, как случайность можно использовать в теоретической математике.
Представьте себе, как некий пьяница неуверенно передвигается по комнате, отталкиваясь от стен. Отметив, как часто он проходит по определённой точке на полу, можно сделать вывод о форме и размере комнаты. Общая идея об использовании траектории объекта для получения информация о пространстве, в котором он движется, называется эргодической теорией.
Фарстенберг использовал такой подход в докторской диссертации в Принстонском университете, для изучения вопроса о том, может ли полная история измерений последовательности чисел дать полезные сведения о том, что будет с ней дальше. «Можно ли точно сказать, что будет дальше, или можно ли, по крайней мере, говорить о вероятности того, что будет далее?» – сказал он.
Фарстенберг показал, что динамическая система, периодические снимки которой воспроизводят последовательность чисел, может дать подобный прогноз.
Много лет спустя Фарстенберг использовал схожий подход для альтернативного доказательства теоремы касательно чисел, которую уже доказал другой математик, Эндре Семереди. В достаточно большом подмножестве целых чисел – которое математики описывают, как множество с положительной плотностью – можно найти арифметические прогрессии произвольной длины (последовательности чисел вроде 3, 7, 11, 15 – где цифры отстоят друг от друга на одинаковых расстояниях).
Однако доказательство Семереди было длинным и сложным.
«Фарстенберг дал прекрасное краткое доказательство», — сказал Теренс Тао, математик из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе.
В 2004 году Тао и Бен Грин, математики из оксфордского университета, сославшись на работу Фарстенберга, и используя эргодическую теорию, доказали другую важную теорему: что последовательности произвольной длины также существуют и среди простых чисел – таких целых чисел, которые делятся только на 1 и на себя.
Некоторые из примечательных работ Маргулиса, другого лауреата абелевской премии, имеют отношение к связным сетям, похожим на интернет, где компьютеры постоянно отправляют сообщения друг другу. Для достижения наибольшей скорости коммуникаций нужно было бы связать каждую пару компьютеров напрямую. Однако это потребовало бы использования огромного количества кабеля, выходящего за практически разумные рамки.
«Это такие сети, которые вы пытаетесь спроектировать так, чтобы они с одной стороны, были как можно более разреженными, — сказал Питер Сарнак, математик Института передовых исследований в Принстоне, — а с другой стороны, у них было бы такое свойство, что вы можете достаточно быстро пройти из одной точки в другую по короткому пути».
Маргулис первым описал пошаговую процедуру создания подобных сетей, известных, как экспандеры.
Маргулис при помощи эргодической теории переформулировал задачу, однако часто такой подход не облегчает их решения. Сарнак сказал, что если бы к нему пришёл студент, и показал первые шаги из тех, что сделал Маргулис, он сказал бы ему: «И что? Чего ты добился? Ты просто её переформулировал, и теперь она выглядит ещё сложнее».
Однако эргодическая теория помогла раскрыть универсальную истину, позволив Маргулису быстро продвинуться в решении задач, ранее считавшихся слишком неподатливыми. «Он с нуля дошёл до решения всего за пару статей, и сделал это удивительно оригинально», — сказал Сарнак.
Экспандеры имеют практическое применение не только в проектировании компьютерных сетей, но и в таких приложениях, как алгоритмы коррекции ошибок, генераторы случайных чисел и криптография.
Фарстенберг родился в Берлине в 1935 году. Его еврейская семья смогла выехать из Германии незадолго до начала Второй мировой войны, и добралась до США, устроившись в Нью-Йорке в квартале Манхэттена Вашингтон-Хайтс. Ещё будучи студентом в Иешива-университете, он уже публиковал научные работы.
Защитив докторскую в Принстоне, он год преподавал там, а потом перешёл в Массачусетский технологический институт, чтобы затем устроиться в Миннесотский университет. В 1965 году он перешёл в Еврейский университет в Иерусалиме, где работал до самой пенсии в 2003.
Григорий Александрович Маргулис родился в Москве в 1946 году, и защитил докторскую в МГУ в 1970. Он получил филдсовскую премию в 1978 году, в возрасте всего 32 лет, однако его не выпустили из СССР на церемонию вручения премии, проходившую в Хельсинки, Финляндия.
Будучи евреем, он не смог устроиться на работу в какой-либо из престижных институтов. Он работал в институте проблем передачи информации имени А. А. Харкевича, однако его практические решения привели его к открытиям, связанным с экспандерами.
«Я каким-то образом оказался в нужном месте в нужное время, — сказал Маргулис. – Если бы я туда не попал, то я, вероятно, и не занялся бы этим вопросом».
В 1980-х он смог поездить по университетам в других странах, и в 1991 устроился в Йельском университете.
Церемонию вручения абелевской премии, которую планировалось провести в Осло 19 мая 2020 года, временно отложили из-за пандемии коронавируса.
