6 мар 2023 в 10:54

Решать как Виет! Новый метод решения кубических уравнений

Средний

Ожидает приглашения

В этой статье/обзоре мы рассмотрим решение кубического уравнения, которое ещё в 15-ом веке получил математик Франсуа Виет используя прямую подстановку вида $x=2acos(\phi)$ . Я же в этой статье использую так называемую -параметризацию из которой формула Виета следует напрямую, из неё следует не только она, но также и более известная формула Кардано и множество частных случаев решений.

Начнем с того с чего начал я когда получал все эти формулы. Рассмотрим, как обычно, уравнение такого вида:

Можно попробовать изменить корень на , тогда они хоть и не будут равны, но будут корнями одного и того же уравнения, а это нам и нужно. Далее раскроем кубы и квадраты используя бином Ньютона:

Видно как уходят 4 слагаемых, ведь это в точности исходное кубическое уравнение, а - его корень. Также можно избавиться от лишних просто сократив и положив $p\neq0$ :

Тут уже всё просто, имеется зависимость от . Отсюда легко получим следующее:

$x=-\frac{b}{3a}-\frac{p}{2}\pm\frac{\sqrt{4\bigtriangleup-3a^2p^2}}{6a}$ $\bigtriangleup=b^2-3ac$

Теперь уже это можно с уверенностью подставить в и после некоторых несложных алгебраических преобразований, которые мы здесь опустим, уравнение на запишется просто:

$(a^2p^3-\bigtriangleup p)^2=D$

где - это всего навсего дискриминант кубичсекого уравнения.

Интересно что если выписать для этого уравнения формулы Виета знакомые из школы то третья из них представляет собой ничто иное как частный случай при общего определения дискриминанта.

Итак, поскольку уравнение для кубическое, то к нему применимы те же выкладки что производились ранее, значит мы можем составить уравнение на для которого выполнено что есть корень уравнения $(a^2p^3-\bigtriangleup p)^2=D$ . Можно не писать квадратные уравнения для и , а просто найти дискриминант и дельту (символ треугольника $\bigtriangleup$ ) уже для уравнения на . Тогда получим следующее:

$(a^4q^3-3\bigtriangleup q)^2=D_*\equiv4a^2\bigtriangleup^3-27a^4D$

Но также полезно провести расчет привычным способом, поскольку из него следует один важный результат:

$a^2q^2+3a^2p^2+3a^2pq=\bigtriangleup$

Откуда с помощью всё той же формулы корней квадратного уравнения:

$q=3(-\frac{p}{2}\pm\frac{\sqrt{4\bigtriangleup-3a^2p^2}}{6a})$

Это в точности означает следующее:

где $y=x+\frac{b}{3a}$ . Этот результат важен и для некоторых приложений на тему кубичесикх уравнений.

Вы можете самостоятельно проверить следующее: если подставить формулу

$p=\frac{3\sqrt{D}}{\bigtriangleup-a^2q^2}$

в уравнение $(a^2p^3-\bigtriangleup p)^2=D$ , то получится тождество.

Используя его и тот факт что получим:

$9a^2y^2=\bigtriangleup-\frac{3\sqrt{D}}{p}$

Зная что $\sqrt{D}=a^2p^3-\bigtriangleup p$ , подставим его в уравнение:

$9a^2y^2=\frac{4\bigtriangleup p-3a^2p^3}{p}$ $3a^2p^2+9a^2y^2=4\bigtriangleup$

Последний результат как раз то что нужно чтобы доказать тригономтерическую формулу Виета. Осталось лишь воспользоваться знаниями из тригонометрии. Перепишем уравнение следующим образом:

$p=\frac{2}{a}\sqrt{\frac{\bigtriangleup}{3}}sin(\alpha)$ $y=\frac{2}{3a}\sqrt{\bigtriangleup}cos(\alpha)$

Теперь мы можем с легкостью найти нужный нам $\alpha,$ подставим два последних выражения в формулу $p=\frac{3\sqrt{D}}{\bigtriangleup-9a^2y^2}$ и после применения формулы понижения степени для синуса:

$sin(3\alpha)=-\frac{3a}{2\bigtriangleup}\sqrt{\frac{3D}{\bigtriangleup}}$

Откуда после применения обратной функции к синусу и учета того что угол $\alpha$ задан с точность до прибавления к нему числа кратному $2\pi$ мы узнаем численное значение угла:

$\alpha=-\frac{1}{3}arcsin(\frac{3a}{2\bigtriangleup}\sqrt{\frac{3D}{\bigtriangleup}})-\frac{2\pi k}{3}$

где , вообще говоря, любое целое число, но в этом случае все 3 корня получаться только если .

Зная $\alpha$ мы знаем и $y=x+\frac{b}{3a}$ a значит знаем и . Это и есть то что называют тригонометрической формулой Франсуа Виете для решения любого кубического уравнения у которого $\bigtriangleup\neq0$ .

Запишем явно формулу корней кубического уравнения которая у нас получилась в итоге:

$x=-\frac{b}{3a}+\frac{2\sqrt{\bigtriangleup}}{3a}cos(\frac{1}{3}arcsin(\frac{3a}{2\bigtriangleup}\sqrt{\frac{3D}{\bigtriangleup}})+\frac{2\pi k}{3})$

Поскольку -параметризацию можно мыслить себе чисто как геометрически инвариантную величину относительно сдвигов вдоль переменной $x\to x+h$ , и как просто расстояние между корнями, то этот способ анализа и изучения природы кубических уравнений кажется мне наиболее предпочтительным. Это настоящий геометрический иснтрумент представленный в виде формул. Его методы дают нам всё давно знакомое, но также дают и немного нового, над чем ещё предстоит поразмыслить.

Теги:

Хабы: