Более гладкую, чем полином? Вы видимо имеете ввиду что-то типа "менее подверженную осцилляциям" или ещё какой умозрительный критерий. Полином - бесконечно гладкая функция.
Нет, проблемы не уменьшатся. Взамен одной проблемы вы получите десяток других.
Нет, мы не согласны, что феномен Рунге возникает из этого требования. Иначе он проявлялся бы для любого интерполяционного полинома, а не для полинома по равноотстоящим узлам. Полином по узлам Чебышева эффектом Рунге не страдает, при иных способах выбора опорных узлов этот эффект также теряет силу. Эффект Рунге в сущности отражает характерное поведение при неподходящем выборе семейства аппроксимирующих функций.
Нет, оно не "физически бессодержательно", что бы вы под этим не подразумевали.
Ни в каких случаях не надо записывать результат как 42.31, если прибор показал 42.3 и установленная методология измерений не требует внесения поправок на методическую погрешность. В метрологии записывается доверительный интервал. И если вы поставили задачу так, как сказали -- то я соболезную студенту, поскольку возможность или невозможность проводить аппроксимацию посредством интерполяции по точкам зависит от оценки погрешности этой самой интерполяции, а не от вашего "понимания", если только нет априорной информации об аппроксимируемой функции. Если величина погрешности измеряется микронами, а интервал между точками метрами, то влияние погрешности измерений обычно ничтожно (что, в прочем, нужно доказать для выбранной схемы аппроксимации). Количество проблем, где в контексте аппроксимации погрешностью можно пренебречь, неисчислимо. Мне ваши соображения понятны, но они исходят из того, что есть некоторые обоснованные априорные соображения о виде закона, который требуется восстановить на основании наблюдаемых данных. Иными словами, вы рассуждаете об интерполяции имея ввиду задачу регрессии. Это методически неверно.
Я уже указал, что ваша простая логика неверна и базируется на странном ощущении, как будто вам кто-то предлагает в каждой задаче, связанной с обработкой данных, заниматься интерполяцией. Не предлагают. И совсем не из-за наличия погрешностей - которые в выч мате есть и УЧИТЫВАЮТСЯ всегда. Из этого вы по какой-то неведомой причине делаете вывод о несостоятельности интерполяции как метода вообще. Сударь, свет не сходится клином на том, чтобы просто провести гладкую кривую через набор точек. Предположим, что вам нужно вычислить интегральную характеристику некоторой меняющейся во времени величины. Большинство методов численного интегрирования предполагают интерполяцию по соседним точкам и вычисление приближения к интегралу по полученным кусочным интерполянтам. При этом зная а) погрешность аппроксимации и б) погрешность положения точек интерполяции мы можем также оценить и точность приближенного значения интеграла, а также поведение ошибки при, например, большей частоте измерений. Естественно, если погрешность измерений велика, функция ведёт себя "нехорошо" и т.п., то такой подход теряет смысл -- как и зачастую сама постановка задачи. Или вам нужно сделать "пристрелку" на следующий временной шаг при интегрировании дифура. Тогда простой способ сделать это -- использовать уже посчитанные значения по предыдущим временным шагам для построения интерполяционного полинома и экстраполировать значение. И да, эти значения известны с погрешностью -- но это не проблема, если эта погрешность контролируема.
Аналогия крайне странная и натужная.
Мы не считаем такую аппроксимацию "оптимальной", такая постановка вопроса вообще бессодержательна вне контекста задачи. Интерполяция удобна тем, что она единственна и имеет конструктивные оценки ошибки. Если вы подумали, что где-то утверждалось, что интерполяционный подход в каком-то смысле "оптимален" - вам показалось.
Взамен я предлагаю не искать серебряную пулю, а подбирать инструмент исходя из постановки задачи, пользуясь всем богатым арсеналом методов и теорий современной вычислительной математики. Вы набросились на интерполяционные полиномы, так как считаете их негодным средством для решения известных вам задач. Вероятно, вы в этом правы. Но в статье и не обещалось добиться успеха именно с вашими задачами. Не спешите объявлять что-то бесполезным только потому, что лично вам польза кажется не очевидной.
Поясню мыль, которую вы не поняли. Ваше утверждение заключается в том, что требование функции строго пройти через указанные точки является слишком обременительным, а полученное решение с практической точки зрения непригодно. Уже говорил, что вы по какой-то загадочной причине видите в этой задаче только проблему восстановления функции по данным, причем использоваться должны непременно ВСЕ имеющиеся данные. В такой постановке подход и правда малосодержателен. И, как также говорилось -- никто так и не делает. Но и ВСЕ данные использовать НЕ обязательно. Можно отобрать небольшой "характерный" набор из имеющихся данных и построить по нему интерполяцию. И такая модель в определенных ситуациях будет иметь ряд преимуществ, и даже в некотором смысле "оптимальной". Соответствующий набор можно выбрать оптимальным способом из имеющихся данных, можно выбрать эвристически, а можно вообще поставить задачу определить с учетом имеющихся данных положение точек, дополнительное измерение значений восстанавливаемой функции в которых даст приближение наилучшего качества. Таким образом, утверждение о практической бесполезности интерполяции беспочвенно.
Ещё раз замечу (поскольку вы к этому постоянно апеллируете), что ни автор данного поста, ни я не призывали вас применять интерполяцию полиномами при непосредственной работе с массивами экспериментальных данных. Тем более странно слышать про "подпорки" Чебышева, так как узлы Чебышева нужны не для того, чтобы "прикрыть" Рунге, а для того, чтобы обеспечить минимум погрешности в задачах, тесно связанных с интерполяцией полиномами -- дифференцирование, интегрирование и т.п. Постановка задачи, приводящей к корням полиномов Чебышева, является типичной в том числе и в других, не связанных с интерполяцией, методах приближения функций. Неужели вам об этом неизвестно?
Пост я считаю не нужным, поскольку этот материал излагается в любом учебнике по численным методам, его знание является обязательным для доброй половины технических специальностей, а никакой оригинальной мысли мне в нём увидеть не удалось. Но вы попытались примерить инструмент к не предназначенной для него задаче -- и по этой причине забраковали инструмент. Это максимально далёкий от инженерного подход.
По поводу соотношения математики и практики скажу следующее. Обычно пренебрежительным отношением к математическому фундаменту грешат те, кто ими попросту не владеет и не умеет должным образом применять. Им же свойственно превозносить свой личный опыт и "понимание" проблемной области, которое на поверку оказывается не слишком глубоким. Мне отнюдь не "хочется обратного", в силу рода деятельности мне хорошо понятна ограниченность "чистых" абстракций, важность обоснованных, хотя и недостаточно строго формализованных теорий, а также разница между теоретически значимым результатом и практически значимым методом. Как и, вероятно, вы, я скорее предпочту грубую, но дающую результат инженерную методику эстетически безупречной, но не имеющей практической значимости, теории. Вот только это не является поводом такими теориями пренебрегать. Без знания математики, которая стоит за применяемыми к практическим задачам методами, мы в сущности будем лишь с ничем необоснованной уверенностью пробираться методом проб и ошибок, слепо надеясь на то, что инструмент и интуиция нас не подведут. И не будем способны увидеть грань, за которой наш "здравый смысл", "опыт" и "инженерное чутьё" сыграют с нами злую шутку. А в том, что они подведут, можно не сомневаться. Знание математики не является панацеей и не наделит вас сверхсилой решать практические задачи на раз -- уж не знаю, кто и когда стремился посеять в вас эти иллюзии, которые вы теперь хотите развеять в окружающих. Но вот незнание математики с гарантией сузит круг задач, которые вы способны качественно решить и при этом ответить за своё решение, до посредственного минимума. Поскольку мощнее математики в арсенале современного учёного и инженера инструментов нет.
P.S. Кстати, к вашему вопросу о внутренней противоречивости в формулировке задачи интерполяции применительно к экспериментальным данным. Никакого противоречия тут нет, а есть просто методичный подход к решению проблемы. Сначала исследуется вопрос приближения в предположении, что значения приближаемой функции в заданных точках известны точно. Это - допущение, оно вводится явным образом. Лагранж сотоварищи об этом в курсе. Такое исследование предполагает не только определение способа конструктивного построения приближения, но, что более важно, определение границ, в которых лежит ошибка приближения в неизвестных точках при разумных допущениях о свойствах интерполируемой функции. Без этого знания ваше приближение бесполезно. После того, как оценки получены, имеет смысл ставить вопрос о том, как ведёт себя ошибка при условии, что значения в опорных точках заданы с известной погрешностью. В том числе получает конструктивную постановку и вопрос, как оптимально выбрать значение в опорной точке из интервала, определяемого погрешностью, так, чтобы минимизировать ожидаемую ошибку приближения. Именно так до сих пор исследуется устойчивость численных методов, поскольку в них данные всегда заданы с погрешностью как минимум по причине конечной точности представления чисел в машинной арифметике.
Я вас как раз понял прекрасно, а вот вы меня не особо. Я отнюдь не предлагал вам СТРОИТЬ бесконечное множество интерполяционных полиномов вместо единственного. Не то, чтобы так вообще никогда не делалось, но речь в данном случае вообще не об этом. Моё замечание относилось только к тому, что источник проблем не в требовании выполнения условия интерполяции, то есть точного соответствия значений аппроксимирующей функции значениям аппроксимируемой в заданном множестве точек. Погрешности в данных тут вообще не при чём.
Далее, ссылаться на то, что "я ж практик" не стоит. Я тоже практик. Вот только опыт показывает, что практик, не владеющий и не понимающий теорию - это практик плохой. Не сочтите это за упрёк, это просто замечание к аргументации.
Ваше утверждение, что отказ от условия интерполяции делает задачу тривиальной, мягко говоря, не соответствует действительности. На самом деле в точности наоборот, поскольку содержательная часть задачи аппроксимации как раз и состоит в том, чтобы не просто построить некоторое приближение, но дать объяснение почему аппроксимацию следует искать именно в этом семействе функций, почему аппроксимация отклоняется от данных, почему эти отклонения мы имеем наглость считать допустимыми и почему из всех кривых с аналогичной мерой отклонений мы выбираем именно эту конкретную кривую. Формализовав понятие оптимума мы эту задачу не решим, поскольку это порождает океан дополнительных вопросов: достижим ли глобальный или хотя бы локальный оптимум, насколько он устойчив, насколько велик разброс "оптимальных" аппроксимаций и т.д. и т.п.
Ваше стремление взять "наиболее простую" аппроксимацию, "надёжно" описывающую данные, тоже приводит к нетривиальным проблемам. Почему мы, скажем, считаем параболу "сложнее", чем прямая? (На всякий случай, просто сказать про количество свободных параметров недостаточно). Что "сложнее", экспонента или гармоника? На эту тему есть целые разработанные теории, например, на основе принципа минимальной длины описания, и конкретные практические критерии -- например, критерий Акаике. Но тут всегда возникают дополнительные соображения и допущения о характере данных и выстраиваемой модели, которые нужно ЗНАТЬ, а не опираться на чуйку. Иначе вашему результату грош цена, даже если он случайно окажется правильным.
Внимание, которое уделяется вопросу интерполяции полиномами - это не "дань традиции", а необходимая часть теоретической подготовки для любого, кто хотя бы боком имеет дело с вычислительной математикой (в том числе с численной аппроксимацией). Поскольку а) такая интерполяция лежит в основе большинства классических численных методов, б) она наиболее полно изучена и в) на её примере можно проиллюстрировать массу проблем, характерных для решаемых в выч. мате задач вообще. Эффект Рунге, например, служит иллюстрацией того, что последовательность интерполяций совершенно не обязана сходиться к "истинной" функции при бесконечном увеличении количества доступных данных, даже если эти данные абсолютно точны. Это - нетривиальный и неинтуитивный результат. И похожие эффекты имеют место не только в случае полиномов. Никто в здравом уме не станет предлагать вам строить интерполяционный полином 100500й степени для зашумлённых данных. В курсах выч. мата как раз обоснованно рассказывается почему так делать не стоит (и когда стоит - тоже).
Ваш следующий тезис опять же ошибочен. Во-первых, никакой "сверхподгонки" тут нет. Например, если выбрать в качестве критерия качества минимизацию суммарных абсолютных отклонений от наблюдаемых данных, то оптимальное решение ТОЧНО пройдёт через определенное подмножество данных. То есть в сущности будет решена именно задача интерполяции по "опорному" набору данных. Такой критерий имеет большую практическую ценность, чем, например, МНК -- как минимум потому, что существенно сокращает объем вычислений, получаемая задача существенно лучше обусловлена, а получаемое решение менее чувствительно к выбросам в данных. Во-вторых -- а с чего вы решили, что а) оптимум в вашей задаче достижим практически (например, градиентным спуском) и что он единственен? Вы вполне можете получить (и почти наверняка будете получать) "оптимальные" в смысле выбранного критерия решения, которые не будут иметь практической ценности. Либо получить несколько возможных "оптимальных", удовлетворяющих вашему критерию останова, результатов, которые будут качественно отличаться друг от друга. И вас моментально спросят -- а почему вы утверждаете, что такой аппроксимацией можно пользоваться в практическом плане? Такие утверждения как раз и требуют знаний конкретной математики, а не "очевидных" практических критериев, которыми вы пользуетесь исходя из собственного удобства.
Резюмирую. Никаким корнем зла и вообще никаким злом условие интерполяции не является. Естественно, в том случае, если применять соответствующий инструментарий грамотно, с пониманием того, что и для чего вы делаете. Ваше предложение не снимает проблему, а заменяет её на порядок более сложной, которая исследуется даже не в рамках отдельной теории, а в рамках целых научных направлений. Не стоит опираться на свои "практические" соображения в таких вопросах, так как практика без теории слепа, а к вопросам численного анализа без уверенного знания теории вообще подходить на пушечный выстрел нельзя.
Ваше замечание верно, но не относится к рассмотренной проблеме. Даже если допустить, что интерполируемые данные содержат погрешность и рассматривать не единственный интерполирующий полином, а всё их возможное множество, построенное по всем допустимым с учётом погрешности измерений данным, то каждый из них будет подвержен эффекту Рунге. Как правильно отметил автор, рост погрешности обусловлен не значениями интерполируемой функции в выбранных точках, а расположением этих точек и поведением высших производнвх функции, погрешность исходных данных тут глубоко вторична.
В чём была цель написания статьи? Это ведь стандартная тема, которая обязательно рассматривается в курсе по численным методам или выч. мат-ке, представлена в практически любом учебнике и имеет скорее теоретическую ценность в контексте анализа сходимости интерполяций. На практике интерполяция полиномами высоких порядков практически не используется.
Ликбез? Или заметка, к которой планируется делать отсылки?
Ну, козырять цитатами из умных книжек по разработке горазд сейчас любой с парой тысяч на кармане и умением совершать покупки на Озоне. Я за свою практику таких "рецептов успешной разработки" наслушался. Причём не редко от людей, которые слыхом не слыхивали про бинарные деревья и хэштаблицы и начинают блеять, когда заводишь разговор о том, какую конкретно типовую проблему конкретно этот чудо-рецент призван был решить и какое она имеет отношение к конкретно нашим палестинам.
"Уровень абстракции" - приятный уху программиста термин. Но тут всё проще. Образованного специалиста в любой области и отличает способность взглянуть на решаемую проблему комплексно. Зачастую заглядывая при этом за рамки предложенных регламентов и ТЗ - причём даже непроизвольно. Даже не в силу особого ума, у него просто асоциативный ряд априори больше.
Но стоит признать, что автор отчасти прав. Я (и вы, думаю, тоже) по-старинке понимаю под программистом именно специалиста по составлению и реализации алгоритмов для решения прикладных вычислительных задач в определённой области. В то время как по должности программист часто - тот, кто заставляет компьютер выдавать удовлетворяющий заказчика результат. Неважно какими средствами. Продолжая (бестолковый) пример с водопроводчиком, задача программиста - хоть скотчем и жвачкой склеить трубы, лишь бы их при заказчике не пробило и он принял работу. Лопнут под нагрузкой из-за того, что не было "технологического инженера", пояснившего бы за закон Пуазейля - так нужно же было оформить соглашение о поддержке. Если цель заработать денег, а не сделать дело - это удачный подход с большими шансами на успех.
По вашему описанию проект больше пострадал от отсутствия грамотной проработки предметной области и проектных ошибок, нежели от незнания алгоритмов исполнителями. Автор скорее указывает на то, что программист зачастую выступает в роле транслятора пожеланий менеджера или заказчика в исполняемый код. В такой схеме места для реальной инженерной работы действительно практически не остаётся, и польза от "ворлдскиллов" и правда превышает профит с фундаментальных знаний. Но это только в ближней перспективе. А потом все ошибки проектирования, "временные" решения, дыры в алгоритмах из тысяч условий под каждый найденный тестированием "частный случай" начнут обваливать проект прямо на головы вот таких вот умников, для которых "алгоритмы не важны".
То есть в очередной раз предлагается рассматривать программиста как рабочую единицу, задействованную в выпуске на прилавок алгоритмосодержащего продукта с заданными потребительскими свойствами. Ок. Мысль не нова, приводимые аргументы, аналогии и выводы далеки от того, чтобы претендовать на оригинальность.
Вот только почему-то общеинженерные методики и практики плохо приживаются в разработке ПО. Может всё-таки эта область несколько отличается, в связи с чем все подобного толка аналогии оказываются притянутыми за уши? И по странному стечению обстоятельств организации, практикующие серьёзное отношение к компетентности своих разработчиков в такой скучной и, безусловно, малопрактичной области знаний, как построение и анализ алгоритмов, вдолгую оказываются более преспособленными к изменениям стеков технологий. А руководители отделов, получив совсем немного опыта в подборе кадров, чуть ли не хором говорят, что наличие знаний алгоритмов должно входить в список обязательных требований к соискателю. Хотя бы потому, что за ними код по прошествии некоторого времени переписывать не придётся.
Не особо понятно, в подкрепление какого тезиса приведены указанные работы. Что Ньютон молодец, рассмотревший некоторые задачи, которые в последствие всплыли в рамках достаточно современных научных теорий? Это вроде как и не оспаривалось. Более того, пример Ньютона в данном отношении далеко не уникален. История науки завалена результатами, которые предвосхищали будущее развитие научных представлений, причём получены эти результаты зачастую в совершенно ином контексте. Это происходило в XVIII в, происходит и в наше время. Совсем недавно знакомый рассказывал, что они буквально случайно обнаружили очень близкие к полученным ими результаты в работе середины прошлого века. По наноматериалам, хотя, казалось бы, какие в то время наноматериалы. Важным моментом в данном случае является не только сам результат, но и то, как он встроен в современную научную картину мира. Работы Ньютона в данном случае выделяет только то, что этот без сомнений выдающийся учёный одновременно имеет беспрецедентную степень известности, благодаря которой его работы изучаются с особым пристрастием.
Бывает. А ещё бывает полезным опыт игры в рулетку, водное поло, принятие стимулирующих веществ или баловство на музыкальном инструменте. На возникновение плодотворной идеи может оказать влияние хоть прочтение научной монографии, хоть исторического труда, хоть философского трактата, хоть сказа о Средиземье. А также вечерняя прогулка с милой дамой или созерцание отражения крыльев бабочки на поверхности озера. Я также не исключаю, что изучение трудов классиков может привести к более глубокому пониманию какой-то концепции и рождению нового научного знания. Но и оснований для подобных предположений о существовании хоть сколько-нибудь устойчивой зависимости между этими событиями не вижу - иначе наиболее выдающийся вклад в науку делали бы историки науки. В подобной форме снобизма меня обвинить сложно, поскольку как раз мне зачастую интересно проследить эволюцию представлений о том предмете, с которым приходится работать. Лично я считаю это чрезвычайно полезным. Но обобщать не рискну, поскольку в достаточном количестве знаком с весьма успешными исследователями, для которых подобное занятие никакого интереса не представляет.
Ввести таким образом в заблуждение можно только тех, кому в принципе история науки, да и сама наука, до лампочки. Уже поверхностно знакомые с темой граждане прекрасно понимают, что подобная обывательская логика тут не работает, а развитие науки не протекает линейно. С точкой зрения, что до XIX века ученые вообще и математики в частности ничего не знали и не умели не встречался ни разу. Скорее уж с такой, что до Ньютона никакой значимой науки вообще не было.
Поясняю. Изложение интегрирования у Ньютона по-существу геометрическое, оно действительно обобщает идею Аристотеля, избавляя её от конкретного способа построения разбиения и оставляя только существенный момент о возможности устремления размера всех элементов разбиения к нулю. По факту Ньютон в своих рассуждениях не выходил за рамки гладких функций. Безусловным вкладом Ньютона также является то, что им в явном виде сформулирована связь между дифференциальным исчислением и интегрированием. Эта точка зрения - интегрирование через нахождение первообразной - была в известной степени доведена до завершения Эйлером и в течение долгого времени оставалась доминирующей. Существенным же пробелом в подходе, указанном Ньютоном, является неявное требование непрерывности, ограниченности, а в некоторых случаях и гладкости интегрируемого выражения. То есть Ньютон рассматривая интегральные суммы каждый раз неявно предполагает, что в каждой конкретно рассматриваемой им задаче существует предел этих сумм и все проводимые им построения сохраняют смысл. Что, строго говоря, необходимо в таком случае каждый раз доказывать отдельно. А что предлагается делать, например, если интегрируемая кривая на заданном промежутке не является ограниченной или терпит разрыв? Это существенный момент, поскольку он нарушает представление об интеграле как о "сумме дифференциалов" и приводит к необходимости более скурпулезного использования термина "интегрирование" во избежание ошибок в построениях. Идея построения предела интегральных сумм является общим местом для всех ранних теорий интегрирования - поскольку она естественна. Ньютон здесь разве что подвёл под неё достаточно прочный (по меркам своего времени) математический базис. В этом отношении его вклад в развитие данного понятия вряд ли можно считать выдающимся. Во всяком случае, на фоне выявления связи между интегрированием и дифференцированием. Пределы интегральных сумм выписывались в явном виде и Эйлером, и Пуассоном, и Бернулли, и очень многими другими, без ссылок на Ньютона. Не думаю, что из желания его принизить - в других вопросах его упоминанием не брезговали. Скорее как раз потому, что рассуждения аналогичные ньютоновским в данном вопросе представляются достаточно тривиальными и легко могли быть воспроизведены в том числе теми, кто с работами Ньютона знаком не был. Вопрос в конкретном указании условий существования предела интегральных сумм, без которого невозможно построение хоть сколь-нибудь общей теории. Это можно сделать, как в более ранних определениях - например, в определении интеграла Коши, - через явное указание класса функций, для которых вводится понятие интеграла. Отличие определения Римана в том, что не операция интегрирования вводится для определенного класса функций, а, напротив, определяется класс интегрируемых (в смысле Римана!) функций через явное указание условия: для каждого \epsilon > 0 найдётся такое число \delta > 0, что для любого разбиения P отрезка [a, b], такого, что \lambda(P) < \delta, выполняется |I - \sum f(\xi_i) \Delta x_i| < \epsilon где \lambda(P) -- максимальная из длин отрезков разбиения.
Этот класс функций включает в себя, в частности, класс непрерывных функций, для которых теорию интегрирования построил Коши. Но не ограничивается им.
Поскольку во многих практических случаях нам достаточно ограничиться именно классом интегрируемых в смысле Римана функций, то мы и используем именно римановское определение интеграла. Хотя могли бы и определением Коши во многих случаях ограничиться. Или вообще исходить из построения интегральной суммы и доказать существование предела конкретно в интересующем нас случае. Вопрос целесообразности, не более. Строгость, которая до звона в ушах, появилась не от того, что математикам было нечем себя занять, а из соображений практической целесообразности. Конкретное определение Римана более практично, чем основанное на геометрических соображениях определение Ньютона. И говорить, что в определении Римана не содержится ничего нового по сравнению с определением (которого, кстати, в явном виде дано и не было) Ньютона - это как говорить, что отснятый и смонтированный фильм ничем концептуально не отличается от своей раскадровки.
Ещё раз сформулирую свою мысль, чтобы не было разночтений. Интеграл носит имя Римана не потому, что Риман предложил какую-то чрезвычайно оригинальную формулировку или идею. Этого не было. Неформально все понимали понятие определенного интеграла более-менее одинаково ещё до того, как вообще были введены термины "определенный интеграл" и "пределы интегрирования". Необходимость же более формального подхода к определению вызвана строго практической необходимостью получения строго доказуемых результатов. Интеграл так назван потому, что при изложении анализа и в практических приложений используется именно то формальное! определение, которое было дано конкретно Риманом. И те результаты, которые следуют из этого формального определения. Лично мне кажется, что с практической точки зрения такой подход к выбору названий более оправдан. Когда я вижу в работе, например, упоминание какой-нибудь теоремы Васичкина, я обычно рассчитываю, что заглянув в соответствующую работу Васичкина я увижу именно ту формулировку, которую имел ввиду сославшийся на теорему автор. А не работу, где впроброс высказывалась идея, которая в последствие привело к использованной формулировке. Я конечно утрирую, но надеюсь, что посыл понятен. Хотя, опять же, я не утверждаю, что во всех случаях можно и нужно придерживаться именно этого принципа.
Не соглашусь, это зависит от ситуации. Введение подходящего понятийного аппарата бывает важнее, чем доказательство даже очень значимой теоремы в рамках уже разработанной теории. Хотя оценка «важности» всегда очень субъективна. Насколько могу судить, сам факт того, что Великая теорема Ферма получила наконец строгое доказательство, не послужил основой для значимого развития теории. Хотя принципиальную важность доказательства отрицать бессмысленно.
Про «множество доказательств» конкретной теоремы речи не было, в том числе Ферма. Я указываю только на то, что формулировка утверждения и его доказательство нередко могут выступать в качестве самостоятельных семантических единиц. Следовательно, именоваться они могут также раздельно. Могут, а не должны. Если доказательство достаточно оригинально или имеет самостоятельную, выходящую за рамки исходного утверждения ценность, то ему может быть дано самостоятельное название.
Я не выдвигал никаких концепций по именованию чего бы то ни было. Напротив, я утверждаю, что именование не следует и не может следовать какой-либо строгой концепции, в том числе основанной на некой абсолютной идеи авторства оригинальности. Не вижу никакого смысла в поиске чего-то похожего на «историческую справедливость» в этом вопросе, ровна как и в борьбе за оную. С позиции практического применения именование, например, определения мне видится вполне корректным, если именно оно сформулировано тем, чьё имя носит именно в той форме, которую применяющий данный термин автор использует в своей работе. Или формулировка автора не привносит ничего нового (ни концептуально, ни формально) в оригинальное определение. Использование термина «интеграл Римана» это не реверанс в сторону исторических заслуг Римана, это всего лишь неформальное соглашение, избавляющее от необходимости уточнять то определение интеграла, которое вы используете в своём изложении. А если вы напишите «интеграл Ньютона», то обязательно найдётся зануда типа меня, который попросит вас остановиться и уточнить, что конкретно вы имеете ввиду.
Короче, вещи называются так, как называются, и свои названия они получают в силу различных обстоятельств. Подводить под эти процессы искусственные концепции считаю нецелесообразным. Лично я не возражал бы против термина «интеграл Ньютона», поскольку и правда бывает затруднительно объяснить почему формула Ньютона-Лейбница, а сам интеграл Римана - логика подсказывает, что вроде как введение понятия должно хронологически предшествовать формулировке каких-либо утверждения относительно него. Однако история, в том числе науки, не так линейна.
Если вы намекаете на лысенковщину, то это совсем не такой простой вопрос про то, как недалёкая советская власть в угоду политической конъюнктуре гнобила настоящую науку.
У нас теорема Котельникова, на западе Найквиста. Могу назвать кучу схожих или полностью эквивалентных результатов, полученных независимо в разных странах и, соответственно, маркированных разными именами. Это не политический вопрос. По крайней мере чаще всего.
Не замечал в советской литературе ни возвышенного, ни уничижительного тенденциозного отношения к Ньютону или какому-либо иному учёному. Да и в наши дни тоже. Вы точно не выдаёте частное за общее?
К философам - да, случается. К политическим деятелям тем паче. Но по отношению к учёным встречалась только критика, местами ожесточённая, но обусловленная исключительно отношением конкретного автора.
По тому же, почему проблемы Гильберта остаются проблемами Гильберта. Доказательство принадлежит Уайлсу. Формулировка теоремы - Ферма. Теорему обычно называют по имени того, кто сформулировал, а не доказал. Иначе на каждое оригинальное доказательство теорему заново именовать бы пришлось, что уже безумие.
Я не в курсе того, был ли знаком Риман с трудами непосредственно Ньютона. У меня вовсе нет ничего похожего на абсолютную уверенность в этом вопросе - труды Ньютона и Архимеда имеют значение скорее историческое, нежели прикладное. Что-то полезное с точки зрения математического знания в них найти сложно. Лично у меня Ньютон и Евклид стоят на одной полке с Марксом и Витгенштейном.
Но это не имеет принципиального значения.
Мысль давать имена определениям, теоремам, законам и т.д. на основании первенства идеи привлекательна, но идеалистична. От какого момента мы будем отсчитывать идею? Можно авторство идеи отдавать хоть Ньютону, хоть Торричелли, хоть Архимеду, хоть Демокриту, хоть безымянным египтянам, пользовавшимся подобной техникой 4000 лет назад. Как справедливо отмечал В.И.Гливенко, интеграл является выражением различных способов измерения величин. То есть идея интегрирования и интеграла настолько естественна, что вообще представляется бессмысленным искать её первооткрывателя.
Нет, изложение Ньютона отнюдь не полно и не полноценно. На ограниченность подобного подхода указывали и Лагранж, и Лежандр, и Эйлер, и Гаусс, и многие-многие-многие. Им не казалось, что рамочная схема изложена полностью. Определение интеграла вводилось многократно, и все несколько отличались и друг от друга, и от "ньютоновского". Понятие интеграла имеет богатую историю развития, и с именем Римана его связывают только по той причине, что именно Риман дал то определение интеграла, которое используется в классическом анализе в его современном изложении. Оно формально не эквивалентно ни понятию, использованному Ньютоном, ни Эйлерову, ни определению Коши - который также разработал формальную теорию конкретно определённого интеграла, в явном виде определив множество интегрируемых функций.
В анализе вводится конкретное определение "интегрирование в смысле Римана". И в современной практике, если не сказано иное, видя знак интеграла с указанными пределами мы принимаем по-умолчанию, что это именно римановский интеграл, а не какой-то другой. Этим определением не исчерпывается понятие интеграла вообще. Ещё Колмогоров отмечал, что по-видемому нельзя создать сколь-нибудь общую теорию интегрирования Просто Риман дал такое определение, которое во многом оказалось удовлетворительным в практическом плане. Так что название оправдано.
Что касается незаслуженной славы Римана, то в "Началах" Ньютона (удачно оказались на полке) понятие интеграла изложено неформально. Это не упрёк Ньютону. Но вы наверняка помните, что начиная со второй половины XIX века имела место существенная формализация математического знания. Имя в определении имеет целью не столько отдать дань уважения автору идеи, сколько указать откуда что-то излагающий гражданин взял определение, теорему или результат. Так что не вижу в этом ничего, что можно было бы вменить Риману в вину. Было бы странно действуя в рамках формальной теории ссылаться на неформальное определение - даже если все понимают их концептуальную тождественность.
Пассаж про патриотическую компоненту не понял. Копаться в исторической справедливости дело вообще малоперспективное. По моим ощущениям, вопрос названий связан не с тем, кому принадлежит право первооткрывателя, а с тем, благодаря чьим работам определенный результат стал известным. Или с тем, кого в качестве первооткрывателя назвал тот, кто сделал некий результат известным.
Не вижу большого смысла в излишне формальном подходе к термину "современный". Тут имеется ввиду только то, что в работе Пуанкаре впервые теория асимптотических рядов изложена последовательно и достаточно полно, чтобы её классифицировать как самостоятельную область математического знания. По этой причине в работах по данному направлению употребляется, например, термин "асимптотический в смысле Пуанкаре". И да, вполне возможно если будет достигнут более высокий уровень строгости или произойдёт нетривиальное обобщение, то будут говорить об теории асимптотических разложений кого-то другого. Не вижу в этом криминала. Также Колмогорова, совсем не безосновательно, часто упоминают как создателя современной теории вероятности - несмотря на то, что вероятность и статистика в целом сформировались как отдельная математическая дисциплина задолго до выхода в свет его работ.
Тем не менее, метод известен именно как "метод Фурье", потому что ему принадлежит как системное изложение теории тригонометрических рядов, так и применение её к задачам математической физики. Чего не было сделано ни Эйлером, ни Бернулли, ни другими учёными, применявших разложение по тригонометрическому базису в своих работах. Аналогично, системное изложение теории асимптотических разложений начата в диссертации Стильтьеса (Stieltjes Th., Ann. de l'Ec, Norm. Sup. (3) 3, 201-258, 1886) и работе Пуанкаре (Poincare H., Acta Math, 8, 295-344, 1886). Хотя отдельные результаты по данному направлению были получены ранее Эйлером, Лапласом, Лежандром, - и их вклад ни в коей мере не предлагается умалить, - современную теорию асимптотических рядов отсчитывают именно от Пуанкаре. Также как дифференциальное исчисление мы отсчитываем от Ньютона и Лейбница, хотя отдельными его элементами пользовались задолго до этих прекрасных парней.
Здесь скорее более уместен вопрос о приписывании О-нотации именно Бахману и Ландау. В их упоминаемых как первоисточники трудах данная нотация используется как уже определённая. Но утверждать не стану, так как не владею немецким и не могу в необходимой степени воспринять материал. Пусть это останется на совести специалистов по асимптотическому анализу, которые дают соответствующие ссылки и используют именно такое наименование для данной нотации.
По моему скромному опыту каждый раз, когда менеджеры хотят оптимизировать работу, фантазии хватает на тупой "тимбилдинг" - "мы все одна команда/семья", "делаем общее дело", "каждый заинтересован в увеличении качества/продаж", "вы все профессионалы и мы вас ценим" - и на усиление мер контроля. Первое работает только с неопытными, да и то временно и не особо. Второе вообще работает только в минус, если только в вашей конторе текучка кадров не норма. Повторюсь, просто потому, что никакой личной заинтересованности в результате чаще всего нет, а первоначальный энтузиазм быстро проходит. Люди работают ради зарплаты - и всё. Это факт. Исключения минимальны. Более того, даже если вы как-то свяжете доход с прибылью - это даст только кратковременные плоды, поскольку после первоначальной эйфории несправедливость в распределении доходов будет ощущаться ещё сильнее - "всю работу делаю я, а основную прибыль получают они, которые вообще ничего не делают".
Но про ваши результаты послушать было бы интересно.
Вы наверное неправильно поняли последнюю фразу. Наше сознание таково, каково бытие. Индивиду проще приспособиться под объективную реальность, чем прикладывать усилия для того, чтобы изменить реальность под свою идею.
Вокруг вас много реальных примеров, когда упорный труд, чёткая организация и личный профессионализм становятся основой успеха? Вроде всё несколько иначе, вы сами об этом пишите. И при этом вы ждёте, что определенными сдвигами в кадровой политике и управлении отдельной организации или даже целой отрасли можно добиться слома общественной парадигмы?
У меня тоже были такие мысли. Это наивный идеализм.
Более гладкую, чем полином? Вы видимо имеете ввиду что-то типа "менее подверженную осцилляциям" или ещё какой умозрительный критерий. Полином - бесконечно гладкая функция.
Нет, проблемы не уменьшатся. Взамен одной проблемы вы получите десяток других.
Нет, мы не согласны, что феномен Рунге возникает из этого требования. Иначе он проявлялся бы для любого интерполяционного полинома, а не для полинома по равноотстоящим узлам. Полином по узлам Чебышева эффектом Рунге не страдает, при иных способах выбора опорных узлов этот эффект также теряет силу. Эффект Рунге в сущности отражает характерное поведение при неподходящем выборе семейства аппроксимирующих функций.
Нет, оно не "физически бессодержательно", что бы вы под этим не подразумевали.
Ни в каких случаях не надо записывать результат как 42.31, если прибор показал 42.3 и установленная методология измерений не требует внесения поправок на методическую погрешность. В метрологии записывается доверительный интервал. И если вы поставили задачу так, как сказали -- то я соболезную студенту, поскольку возможность или невозможность проводить аппроксимацию посредством интерполяции по точкам зависит от оценки погрешности этой самой интерполяции, а не от вашего "понимания", если только нет априорной информации об аппроксимируемой функции. Если величина погрешности измеряется микронами, а интервал между точками метрами, то влияние погрешности измерений обычно ничтожно (что, в прочем, нужно доказать для выбранной схемы аппроксимации). Количество проблем, где в контексте аппроксимации погрешностью можно пренебречь, неисчислимо. Мне ваши соображения понятны, но они исходят из того, что есть некоторые обоснованные априорные соображения о виде закона, который требуется восстановить на основании наблюдаемых данных. Иными словами, вы рассуждаете об интерполяции имея ввиду задачу регрессии. Это методически неверно.
Я уже указал, что ваша простая логика неверна и базируется на странном ощущении, как будто вам кто-то предлагает в каждой задаче, связанной с обработкой данных, заниматься интерполяцией. Не предлагают. И совсем не из-за наличия погрешностей - которые в выч мате есть и УЧИТЫВАЮТСЯ всегда. Из этого вы по какой-то неведомой причине делаете вывод о несостоятельности интерполяции как метода вообще. Сударь, свет не сходится клином на том, чтобы просто провести гладкую кривую через набор точек. Предположим, что вам нужно вычислить интегральную характеристику некоторой меняющейся во времени величины. Большинство методов численного интегрирования предполагают интерполяцию по соседним точкам и вычисление приближения к интегралу по полученным кусочным интерполянтам. При этом зная а) погрешность аппроксимации и б) погрешность положения точек интерполяции мы можем также оценить и точность приближенного значения интеграла, а также поведение ошибки при, например, большей частоте измерений. Естественно, если погрешность измерений велика, функция ведёт себя "нехорошо" и т.п., то такой подход теряет смысл -- как и зачастую сама постановка задачи. Или вам нужно сделать "пристрелку" на следующий временной шаг при интегрировании дифура. Тогда простой способ сделать это -- использовать уже посчитанные значения по предыдущим временным шагам для построения интерполяционного полинома и экстраполировать значение. И да, эти значения известны с погрешностью -- но это не проблема, если эта погрешность контролируема.
Аналогия крайне странная и натужная.
Мы не считаем такую аппроксимацию "оптимальной", такая постановка вопроса вообще бессодержательна вне контекста задачи. Интерполяция удобна тем, что она единственна и имеет конструктивные оценки ошибки. Если вы подумали, что где-то утверждалось, что интерполяционный подход в каком-то смысле "оптимален" - вам показалось.
Взамен я предлагаю не искать серебряную пулю, а подбирать инструмент исходя из постановки задачи, пользуясь всем богатым арсеналом методов и теорий современной вычислительной математики. Вы набросились на интерполяционные полиномы, так как считаете их негодным средством для решения известных вам задач. Вероятно, вы в этом правы. Но в статье и не обещалось добиться успеха именно с вашими задачами. Не спешите объявлять что-то бесполезным только потому, что лично вам польза кажется не очевидной.
Поясню мыль, которую вы не поняли. Ваше утверждение заключается в том, что требование функции строго пройти через указанные точки является слишком обременительным, а полученное решение с практической точки зрения непригодно. Уже говорил, что вы по какой-то загадочной причине видите в этой задаче только проблему восстановления функции по данным, причем использоваться должны непременно ВСЕ имеющиеся данные. В такой постановке подход и правда малосодержателен. И, как также говорилось -- никто так и не делает. Но и ВСЕ данные использовать НЕ обязательно. Можно отобрать небольшой "характерный" набор из имеющихся данных и построить по нему интерполяцию. И такая модель в определенных ситуациях будет иметь ряд преимуществ, и даже в некотором смысле "оптимальной". Соответствующий набор можно выбрать оптимальным способом из имеющихся данных, можно выбрать эвристически, а можно вообще поставить задачу определить с учетом имеющихся данных положение точек, дополнительное измерение значений восстанавливаемой функции в которых даст приближение наилучшего качества. Таким образом, утверждение о практической бесполезности интерполяции беспочвенно.
Ещё раз замечу (поскольку вы к этому постоянно апеллируете), что ни автор данного поста, ни я не призывали вас применять интерполяцию полиномами при непосредственной работе с массивами экспериментальных данных. Тем более странно слышать про "подпорки" Чебышева, так как узлы Чебышева нужны не для того, чтобы "прикрыть" Рунге, а для того, чтобы обеспечить минимум погрешности в задачах, тесно связанных с интерполяцией полиномами -- дифференцирование, интегрирование и т.п. Постановка задачи, приводящей к корням полиномов Чебышева, является типичной в том числе и в других, не связанных с интерполяцией, методах приближения функций. Неужели вам об этом неизвестно?
Пост я считаю не нужным, поскольку этот материал излагается в любом учебнике по численным методам, его знание является обязательным для доброй половины технических специальностей, а никакой оригинальной мысли мне в нём увидеть не удалось. Но вы попытались примерить инструмент к не предназначенной для него задаче -- и по этой причине забраковали инструмент. Это максимально далёкий от инженерного подход.
По поводу соотношения математики и практики скажу следующее. Обычно пренебрежительным отношением к математическому фундаменту грешат те, кто ими попросту не владеет и не умеет должным образом применять. Им же свойственно превозносить свой личный опыт и "понимание" проблемной области, которое на поверку оказывается не слишком глубоким. Мне отнюдь не "хочется обратного", в силу рода деятельности мне хорошо понятна ограниченность "чистых" абстракций, важность обоснованных, хотя и недостаточно строго формализованных теорий, а также разница между теоретически значимым результатом и практически значимым методом. Как и, вероятно, вы, я скорее предпочту грубую, но дающую результат инженерную методику эстетически безупречной, но не имеющей практической значимости, теории. Вот только это не является поводом такими теориями пренебрегать. Без знания математики, которая стоит за применяемыми к практическим задачам методами, мы в сущности будем лишь с ничем необоснованной уверенностью пробираться методом проб и ошибок, слепо надеясь на то, что инструмент и интуиция нас не подведут. И не будем способны увидеть грань, за которой наш "здравый смысл", "опыт" и "инженерное чутьё" сыграют с нами злую шутку. А в том, что они подведут, можно не сомневаться. Знание математики не является панацеей и не наделит вас сверхсилой решать практические задачи на раз -- уж не знаю, кто и когда стремился посеять в вас эти иллюзии, которые вы теперь хотите развеять в окружающих. Но вот незнание математики с гарантией сузит круг задач, которые вы способны качественно решить и при этом ответить за своё решение, до посредственного минимума. Поскольку мощнее математики в арсенале современного учёного и инженера инструментов нет.
P.S. Кстати, к вашему вопросу о внутренней противоречивости в формулировке задачи интерполяции применительно к экспериментальным данным. Никакого противоречия тут нет, а есть просто методичный подход к решению проблемы. Сначала исследуется вопрос приближения в предположении, что значения приближаемой функции в заданных точках известны точно. Это - допущение, оно вводится явным образом. Лагранж сотоварищи об этом в курсе. Такое исследование предполагает не только определение способа конструктивного построения приближения, но, что более важно, определение границ, в которых лежит ошибка приближения в неизвестных точках при разумных допущениях о свойствах интерполируемой функции. Без этого знания ваше приближение бесполезно. После того, как оценки получены, имеет смысл ставить вопрос о том, как ведёт себя ошибка при условии, что значения в опорных точках заданы с известной погрешностью. В том числе получает конструктивную постановку и вопрос, как оптимально выбрать значение в опорной точке из интервала, определяемого погрешностью, так, чтобы минимизировать ожидаемую ошибку приближения. Именно так до сих пор исследуется устойчивость численных методов, поскольку в них данные всегда заданы с погрешностью как минимум по причине конечной точности представления чисел в машинной арифметике.
Я вас как раз понял прекрасно, а вот вы меня не особо. Я отнюдь не предлагал вам СТРОИТЬ бесконечное множество интерполяционных полиномов вместо единственного. Не то, чтобы так вообще никогда не делалось, но речь в данном случае вообще не об этом. Моё замечание относилось только к тому, что источник проблем не в требовании выполнения условия интерполяции, то есть точного соответствия значений аппроксимирующей функции значениям аппроксимируемой в заданном множестве точек. Погрешности в данных тут вообще не при чём.
Далее, ссылаться на то, что "я ж практик" не стоит. Я тоже практик. Вот только опыт показывает, что практик, не владеющий и не понимающий теорию - это практик плохой. Не сочтите это за упрёк, это просто замечание к аргументации.
Ваше утверждение, что отказ от условия интерполяции делает задачу тривиальной, мягко говоря, не соответствует действительности. На самом деле в точности наоборот, поскольку содержательная часть задачи аппроксимации как раз и состоит в том, чтобы не просто построить некоторое приближение, но дать объяснение почему аппроксимацию следует искать именно в этом семействе функций, почему аппроксимация отклоняется от данных, почему эти отклонения мы имеем наглость считать допустимыми и почему из всех кривых с аналогичной мерой отклонений мы выбираем именно эту конкретную кривую. Формализовав понятие оптимума мы эту задачу не решим, поскольку это порождает океан дополнительных вопросов: достижим ли глобальный или хотя бы локальный оптимум, насколько он устойчив, насколько велик разброс "оптимальных" аппроксимаций и т.д. и т.п.
Ваше стремление взять "наиболее простую" аппроксимацию, "надёжно" описывающую данные, тоже приводит к нетривиальным проблемам. Почему мы, скажем, считаем параболу "сложнее", чем прямая? (На всякий случай, просто сказать про количество свободных параметров недостаточно). Что "сложнее", экспонента или гармоника? На эту тему есть целые разработанные теории, например, на основе принципа минимальной длины описания, и конкретные практические критерии -- например, критерий Акаике. Но тут всегда возникают дополнительные соображения и допущения о характере данных и выстраиваемой модели, которые нужно ЗНАТЬ, а не опираться на чуйку. Иначе вашему результату грош цена, даже если он случайно окажется правильным.
Внимание, которое уделяется вопросу интерполяции полиномами - это не "дань традиции", а необходимая часть теоретической подготовки для любого, кто хотя бы боком имеет дело с вычислительной математикой (в том числе с численной аппроксимацией). Поскольку а) такая интерполяция лежит в основе большинства классических численных методов, б) она наиболее полно изучена и в) на её примере можно проиллюстрировать массу проблем, характерных для решаемых в выч. мате задач вообще. Эффект Рунге, например, служит иллюстрацией того, что последовательность интерполяций совершенно не обязана сходиться к "истинной" функции при бесконечном увеличении количества доступных данных, даже если эти данные абсолютно точны. Это - нетривиальный и неинтуитивный результат. И похожие эффекты имеют место не только в случае полиномов. Никто в здравом уме не станет предлагать вам строить интерполяционный полином 100500й степени для зашумлённых данных. В курсах выч. мата как раз обоснованно рассказывается почему так делать не стоит (и когда стоит - тоже).
Ваш следующий тезис опять же ошибочен. Во-первых, никакой "сверхподгонки" тут нет. Например, если выбрать в качестве критерия качества минимизацию суммарных абсолютных отклонений от наблюдаемых данных, то оптимальное решение ТОЧНО пройдёт через определенное подмножество данных. То есть в сущности будет решена именно задача интерполяции по "опорному" набору данных. Такой критерий имеет большую практическую ценность, чем, например, МНК -- как минимум потому, что существенно сокращает объем вычислений, получаемая задача существенно лучше обусловлена, а получаемое решение менее чувствительно к выбросам в данных. Во-вторых -- а с чего вы решили, что а) оптимум в вашей задаче достижим практически (например, градиентным спуском) и что он единственен? Вы вполне можете получить (и почти наверняка будете получать) "оптимальные" в смысле выбранного критерия решения, которые не будут иметь практической ценности. Либо получить несколько возможных "оптимальных", удовлетворяющих вашему критерию останова, результатов, которые будут качественно отличаться друг от друга. И вас моментально спросят -- а почему вы утверждаете, что такой аппроксимацией можно пользоваться в практическом плане? Такие утверждения как раз и требуют знаний конкретной математики, а не "очевидных" практических критериев, которыми вы пользуетесь исходя из собственного удобства.
Резюмирую. Никаким корнем зла и вообще никаким злом условие интерполяции не является. Естественно, в том случае, если применять соответствующий инструментарий грамотно, с пониманием того, что и для чего вы делаете. Ваше предложение не снимает проблему, а заменяет её на порядок более сложной, которая исследуется даже не в рамках отдельной теории, а в рамках целых научных направлений. Не стоит опираться на свои "практические" соображения в таких вопросах, так как практика без теории слепа, а к вопросам численного анализа без уверенного знания теории вообще подходить на пушечный выстрел нельзя.
Ваше замечание верно, но не относится к рассмотренной проблеме. Даже если допустить, что интерполируемые данные содержат погрешность и рассматривать не единственный интерполирующий полином, а всё их возможное множество, построенное по всем допустимым с учётом погрешности измерений данным, то каждый из них будет подвержен эффекту Рунге. Как правильно отметил автор, рост погрешности обусловлен не значениями интерполируемой функции в выбранных точках, а расположением этих точек и поведением высших производнвх функции, погрешность исходных данных тут глубоко вторична.
В чём была цель написания статьи? Это ведь стандартная тема, которая обязательно рассматривается в курсе по численным методам или выч. мат-ке, представлена в практически любом учебнике и имеет скорее теоретическую ценность в контексте анализа сходимости интерполяций. На практике интерполяция полиномами высоких порядков практически не используется.
Ликбез? Или заметка, к которой планируется делать отсылки?
Ну, козырять цитатами из умных книжек по разработке горазд сейчас любой с парой тысяч на кармане и умением совершать покупки на Озоне. Я за свою практику таких "рецептов успешной разработки" наслушался. Причём не редко от людей, которые слыхом не слыхивали про бинарные деревья и хэштаблицы и начинают блеять, когда заводишь разговор о том, какую конкретно типовую проблему конкретно этот чудо-рецент призван был решить и какое она имеет отношение к конкретно нашим палестинам.
"Уровень абстракции" - приятный уху программиста термин. Но тут всё проще. Образованного специалиста в любой области и отличает способность взглянуть на решаемую проблему комплексно. Зачастую заглядывая при этом за рамки предложенных регламентов и ТЗ - причём даже непроизвольно. Даже не в силу особого ума, у него просто асоциативный ряд априори больше.
Но стоит признать, что автор отчасти прав. Я (и вы, думаю, тоже) по-старинке понимаю под программистом именно специалиста по составлению и реализации алгоритмов для решения прикладных вычислительных задач в определённой области. В то время как по должности программист часто - тот, кто заставляет компьютер выдавать удовлетворяющий заказчика результат. Неважно какими средствами. Продолжая (бестолковый) пример с водопроводчиком, задача программиста - хоть скотчем и жвачкой склеить трубы, лишь бы их при заказчике не пробило и он принял работу. Лопнут под нагрузкой из-за того, что не было "технологического инженера", пояснившего бы за закон Пуазейля - так нужно же было оформить соглашение о поддержке. Если цель заработать денег, а не сделать дело - это удачный подход с большими шансами на успех.
По вашему описанию проект больше пострадал от отсутствия грамотной проработки предметной области и проектных ошибок, нежели от незнания алгоритмов исполнителями. Автор скорее указывает на то, что программист зачастую выступает в роле транслятора пожеланий менеджера или заказчика в исполняемый код. В такой схеме места для реальной инженерной работы действительно практически не остаётся, и польза от "ворлдскиллов" и правда превышает профит с фундаментальных знаний. Но это только в ближней перспективе. А потом все ошибки проектирования, "временные" решения, дыры в алгоритмах из тысяч условий под каждый найденный тестированием "частный случай" начнут обваливать проект прямо на головы вот таких вот умников, для которых "алгоритмы не важны".
То есть в очередной раз предлагается рассматривать программиста как рабочую единицу, задействованную в выпуске на прилавок алгоритмосодержащего продукта с заданными потребительскими свойствами. Ок. Мысль не нова, приводимые аргументы, аналогии и выводы далеки от того, чтобы претендовать на оригинальность.
Вот только почему-то общеинженерные методики и практики плохо приживаются в разработке ПО. Может всё-таки эта область несколько отличается, в связи с чем все подобного толка аналогии оказываются притянутыми за уши? И по странному стечению обстоятельств организации, практикующие серьёзное отношение к компетентности своих разработчиков в такой скучной и, безусловно, малопрактичной области знаний, как построение и анализ алгоритмов, вдолгую оказываются более преспособленными к изменениям стеков технологий. А руководители отделов, получив совсем немного опыта в подборе кадров, чуть ли не хором говорят, что наличие знаний алгоритмов должно входить в список обязательных требований к соискателю. Хотя бы потому, что за ними код по прошествии некоторого времени переписывать не придётся.
Но ваша точка зрения имеет право на жизнь.
Не особо понятно, в подкрепление какого тезиса приведены указанные работы. Что Ньютон молодец, рассмотревший некоторые задачи, которые в последствие всплыли в рамках достаточно современных научных теорий? Это вроде как и не оспаривалось. Более того, пример Ньютона в данном отношении далеко не уникален. История науки завалена результатами, которые предвосхищали будущее развитие научных представлений, причём получены эти результаты зачастую в совершенно ином контексте. Это происходило в XVIII в, происходит и в наше время. Совсем недавно знакомый рассказывал, что они буквально случайно обнаружили очень близкие к полученным ими результаты в работе середины прошлого века. По наноматериалам, хотя, казалось бы, какие в то время наноматериалы. Важным моментом в данном случае является не только сам результат, но и то, как он встроен в современную научную картину мира. Работы Ньютона в данном случае выделяет только то, что этот без сомнений выдающийся учёный одновременно имеет беспрецедентную степень известности, благодаря которой его работы изучаются с особым пристрастием.
Бывает. А ещё бывает полезным опыт игры в рулетку, водное поло, принятие стимулирующих веществ или баловство на музыкальном инструменте. На возникновение плодотворной идеи может оказать влияние хоть прочтение научной монографии, хоть исторического труда, хоть философского трактата, хоть сказа о Средиземье. А также вечерняя прогулка с милой дамой или созерцание отражения крыльев бабочки на поверхности озера. Я также не исключаю, что изучение трудов классиков может привести к более глубокому пониманию какой-то концепции и рождению нового научного знания. Но и оснований для подобных предположений о существовании хоть сколько-нибудь устойчивой зависимости между этими событиями не вижу - иначе наиболее выдающийся вклад в науку делали бы историки науки. В подобной форме снобизма меня обвинить сложно, поскольку как раз мне зачастую интересно проследить эволюцию представлений о том предмете, с которым приходится работать. Лично я считаю это чрезвычайно полезным. Но обобщать не рискну, поскольку в достаточном количестве знаком с весьма успешными исследователями, для которых подобное занятие никакого интереса не представляет.
Ввести таким образом в заблуждение можно только тех, кому в принципе история науки, да и сама наука, до лампочки. Уже поверхностно знакомые с темой граждане прекрасно понимают, что подобная обывательская логика тут не работает, а развитие науки не протекает линейно. С точкой зрения, что до XIX века ученые вообще и математики в частности ничего не знали и не умели не встречался ни разу. Скорее уж с такой, что до Ньютона никакой значимой науки вообще не было.
Поясняю.
Изложение интегрирования у Ньютона по-существу геометрическое, оно действительно обобщает идею Аристотеля, избавляя её от конкретного способа построения разбиения и оставляя только существенный момент о возможности устремления размера всех элементов разбиения к нулю. По факту Ньютон в своих рассуждениях не выходил за рамки гладких функций. Безусловным вкладом Ньютона также является то, что им в явном виде сформулирована связь между дифференциальным исчислением и интегрированием. Эта точка зрения - интегрирование через нахождение первообразной - была в известной степени доведена до завершения Эйлером и в течение долгого времени оставалась доминирующей.
Существенным же пробелом в подходе, указанном Ньютоном, является неявное требование непрерывности, ограниченности, а в некоторых случаях и гладкости интегрируемого выражения. То есть Ньютон рассматривая интегральные суммы каждый раз неявно предполагает, что в каждой конкретно рассматриваемой им задаче существует предел этих сумм и все проводимые им построения сохраняют смысл. Что, строго говоря, необходимо в таком случае каждый раз доказывать отдельно. А что предлагается делать, например, если интегрируемая кривая на заданном промежутке не является ограниченной или терпит разрыв? Это существенный момент, поскольку он нарушает представление об интеграле как о "сумме дифференциалов" и приводит к необходимости более скурпулезного использования термина "интегрирование" во избежание ошибок в построениях.
Идея построения предела интегральных сумм является общим местом для всех ранних теорий интегрирования - поскольку она естественна. Ньютон здесь разве что подвёл под неё достаточно прочный (по меркам своего времени) математический базис. В этом отношении его вклад в развитие данного понятия вряд ли можно считать выдающимся. Во всяком случае, на фоне выявления связи между интегрированием и дифференцированием. Пределы интегральных сумм выписывались в явном виде и Эйлером, и Пуассоном, и Бернулли, и очень многими другими, без ссылок на Ньютона. Не думаю, что из желания его принизить - в других вопросах его упоминанием не брезговали. Скорее как раз потому, что рассуждения аналогичные ньютоновским в данном вопросе представляются достаточно тривиальными и легко могли быть воспроизведены в том числе теми, кто с работами Ньютона знаком не был. Вопрос в конкретном указании условий существования предела интегральных сумм, без которого невозможно построение хоть сколь-нибудь общей теории. Это можно сделать, как в более ранних определениях - например, в определении интеграла Коши, - через явное указание класса функций, для которых вводится понятие интеграла. Отличие определения Римана в том, что не операция интегрирования вводится для определенного класса функций, а, напротив, определяется класс интегрируемых (в смысле Римана!) функций через явное указание условия: для каждого \epsilon > 0 найдётся такое число \delta > 0, что для любого разбиения P отрезка [a, b], такого, что \lambda(P) < \delta, выполняется
|I - \sum f(\xi_i) \Delta x_i| < \epsilon
где \lambda(P) -- максимальная из длин отрезков разбиения.
Этот класс функций включает в себя, в частности, класс непрерывных функций, для которых теорию интегрирования построил Коши. Но не ограничивается им.
Поскольку во многих практических случаях нам достаточно ограничиться именно классом интегрируемых в смысле Римана функций, то мы и используем именно римановское определение интеграла. Хотя могли бы и определением Коши во многих случаях ограничиться. Или вообще исходить из построения интегральной суммы и доказать существование предела конкретно в интересующем нас случае. Вопрос целесообразности, не более. Строгость, которая до звона в ушах, появилась не от того, что математикам было нечем себя занять, а из соображений практической целесообразности. Конкретное определение Римана более практично, чем основанное на геометрических соображениях определение Ньютона. И говорить, что в определении Римана не содержится ничего нового по сравнению с определением (которого, кстати, в явном виде дано и не было) Ньютона - это как говорить, что отснятый и смонтированный фильм ничем концептуально не отличается от своей раскадровки.
Ещё раз сформулирую свою мысль, чтобы не было разночтений. Интеграл носит имя Римана не потому, что Риман предложил какую-то чрезвычайно оригинальную формулировку или идею. Этого не было. Неформально все понимали понятие определенного интеграла более-менее одинаково ещё до того, как вообще были введены термины "определенный интеграл" и "пределы интегрирования". Необходимость же более формального подхода к определению вызвана строго практической необходимостью получения строго доказуемых результатов. Интеграл так назван потому, что при изложении анализа и в практических приложений используется именно то формальное! определение, которое было дано конкретно Риманом. И те результаты, которые следуют из этого формального определения. Лично мне кажется, что с практической точки зрения такой подход к выбору названий более оправдан. Когда я вижу в работе, например, упоминание какой-нибудь теоремы Васичкина, я обычно рассчитываю, что заглянув в соответствующую работу Васичкина я увижу именно ту формулировку, которую имел ввиду сославшийся на теорему автор. А не работу, где впроброс высказывалась идея, которая в последствие привело к использованной формулировке. Я конечно утрирую, но надеюсь, что посыл понятен.
Хотя, опять же, я не утверждаю, что во всех случаях можно и нужно придерживаться именно этого принципа.
Не соглашусь, это зависит от ситуации. Введение подходящего понятийного аппарата бывает важнее, чем доказательство даже очень значимой теоремы в рамках уже разработанной теории. Хотя оценка «важности» всегда очень субъективна. Насколько могу судить, сам факт того, что Великая теорема Ферма получила наконец строгое доказательство, не послужил основой для значимого развития теории. Хотя принципиальную важность доказательства отрицать бессмысленно.
Про «множество доказательств» конкретной теоремы речи не было, в том числе Ферма. Я указываю только на то, что формулировка утверждения и его доказательство нередко могут выступать в качестве самостоятельных семантических единиц. Следовательно, именоваться они могут также раздельно. Могут, а не должны. Если доказательство достаточно оригинально или имеет самостоятельную, выходящую за рамки исходного утверждения ценность, то ему может быть дано самостоятельное название.
Я не выдвигал никаких концепций по именованию чего бы то ни было. Напротив, я утверждаю, что именование не следует и не может следовать какой-либо строгой концепции, в том числе основанной на некой абсолютной идеи авторства оригинальности. Не вижу никакого смысла в поиске чего-то похожего на «историческую справедливость» в этом вопросе, ровна как и в борьбе за оную. С позиции практического применения именование, например, определения мне видится вполне корректным, если именно оно сформулировано тем, чьё имя носит именно в той форме, которую применяющий данный термин автор использует в своей работе. Или формулировка автора не привносит ничего нового (ни концептуально, ни формально) в оригинальное определение. Использование термина «интеграл Римана» это не реверанс в сторону исторических заслуг Римана, это всего лишь неформальное соглашение, избавляющее от необходимости уточнять то определение интеграла, которое вы используете в своём изложении. А если вы напишите «интеграл Ньютона», то обязательно найдётся зануда типа меня, который попросит вас остановиться и уточнить, что конкретно вы имеете ввиду.
Короче, вещи называются так, как называются, и свои названия они получают в силу различных обстоятельств. Подводить под эти процессы искусственные концепции считаю нецелесообразным. Лично я не возражал бы против термина «интеграл Ньютона», поскольку и правда бывает затруднительно объяснить почему формула Ньютона-Лейбница, а сам интеграл Римана - логика подсказывает, что вроде как введение понятия должно хронологически предшествовать формулировке каких-либо утверждения относительно него. Однако история, в том числе науки, не так линейна.
Если вы намекаете на лысенковщину, то это совсем не такой простой вопрос про то, как недалёкая советская власть в угоду политической конъюнктуре гнобила настоящую науку.
У нас теорема Котельникова, на западе Найквиста. Могу назвать кучу схожих или полностью эквивалентных результатов, полученных независимо в разных странах и, соответственно, маркированных разными именами. Это не политический вопрос. По крайней мере чаще всего.
Не замечал в советской литературе ни возвышенного, ни уничижительного тенденциозного отношения к Ньютону или какому-либо иному учёному. Да и в наши дни тоже. Вы точно не выдаёте частное за общее?
К философам - да, случается. К политическим деятелям тем паче. Но по отношению к учёным встречалась только критика, местами ожесточённая, но обусловленная исключительно отношением конкретного автора.
По тому же, почему проблемы Гильберта остаются проблемами Гильберта. Доказательство принадлежит Уайлсу. Формулировка теоремы - Ферма. Теорему обычно называют по имени того, кто сформулировал, а не доказал. Иначе на каждое оригинальное доказательство теорему заново именовать бы пришлось, что уже безумие.
Я не в курсе того, был ли знаком Риман с трудами непосредственно Ньютона. У меня вовсе нет ничего похожего на абсолютную уверенность в этом вопросе - труды Ньютона и Архимеда имеют значение скорее историческое, нежели прикладное. Что-то полезное с точки зрения математического знания в них найти сложно. Лично у меня Ньютон и Евклид стоят на одной полке с Марксом и Витгенштейном.
Но это не имеет принципиального значения.
Мысль давать имена определениям, теоремам, законам и т.д. на основании первенства идеи привлекательна, но идеалистична. От какого момента мы будем отсчитывать идею? Можно авторство идеи отдавать хоть Ньютону, хоть Торричелли, хоть Архимеду, хоть Демокриту, хоть безымянным египтянам, пользовавшимся подобной техникой 4000 лет назад. Как справедливо отмечал В.И.Гливенко, интеграл является выражением различных способов измерения величин. То есть идея интегрирования и интеграла настолько естественна, что вообще представляется бессмысленным искать её первооткрывателя.
Нет, изложение Ньютона отнюдь не полно и не полноценно. На ограниченность подобного подхода указывали и Лагранж, и Лежандр, и Эйлер, и Гаусс, и многие-многие-многие. Им не казалось, что рамочная схема изложена полностью. Определение интеграла вводилось многократно, и все несколько отличались и друг от друга, и от "ньютоновского". Понятие интеграла имеет богатую историю развития, и с именем Римана его связывают только по той причине, что именно Риман дал то определение интеграла, которое используется в классическом анализе в его современном изложении. Оно формально не эквивалентно ни понятию, использованному Ньютоном, ни Эйлерову, ни определению Коши - который также разработал формальную теорию конкретно определённого интеграла, в явном виде определив множество интегрируемых функций.
В анализе вводится конкретное определение "интегрирование в смысле Римана". И в современной практике, если не сказано иное, видя знак интеграла с указанными пределами мы принимаем по-умолчанию, что это именно римановский интеграл, а не какой-то другой. Этим определением не исчерпывается понятие интеграла вообще. Ещё Колмогоров отмечал, что по-видемому нельзя создать сколь-нибудь общую теорию интегрирования Просто Риман дал такое определение, которое во многом оказалось удовлетворительным в практическом плане. Так что название оправдано.
Что касается незаслуженной славы Римана, то в "Началах" Ньютона (удачно оказались на полке) понятие интеграла изложено неформально. Это не упрёк Ньютону. Но вы наверняка помните, что начиная со второй половины XIX века имела место существенная формализация математического знания. Имя в определении имеет целью не столько отдать дань уважения автору идеи, сколько указать откуда что-то излагающий гражданин взял определение, теорему или результат. Так что не вижу в этом ничего, что можно было бы вменить Риману в вину. Было бы странно действуя в рамках формальной теории ссылаться на неформальное определение - даже если все понимают их концептуальную тождественность.
Пассаж про патриотическую компоненту не понял. Копаться в исторической справедливости дело вообще малоперспективное. По моим ощущениям, вопрос названий связан не с тем, кому принадлежит право первооткрывателя, а с тем, благодаря чьим работам определенный результат стал известным. Или с тем, кого в качестве первооткрывателя назвал тот, кто сделал некий результат известным.
Не вижу большого смысла в излишне формальном подходе к термину "современный". Тут имеется ввиду только то, что в работе Пуанкаре впервые теория асимптотических рядов изложена последовательно и достаточно полно, чтобы её классифицировать как самостоятельную область математического знания. По этой причине в работах по данному направлению употребляется, например, термин "асимптотический в смысле Пуанкаре". И да, вполне возможно если будет достигнут более высокий уровень строгости или произойдёт нетривиальное обобщение, то будут говорить об теории асимптотических разложений кого-то другого. Не вижу в этом криминала. Также Колмогорова, совсем не безосновательно, часто упоминают как создателя современной теории вероятности - несмотря на то, что вероятность и статистика в целом сформировались как отдельная математическая дисциплина задолго до выхода в свет его работ.
Тем не менее, метод известен именно как "метод Фурье", потому что ему принадлежит как системное изложение теории тригонометрических рядов, так и применение её к задачам математической физики. Чего не было сделано ни Эйлером, ни Бернулли, ни другими учёными, применявших разложение по тригонометрическому базису в своих работах. Аналогично, системное изложение теории асимптотических разложений начата в диссертации Стильтьеса (Stieltjes Th., Ann. de l'Ec, Norm. Sup. (3) 3, 201-258, 1886) и работе Пуанкаре (Poincare H., Acta Math, 8, 295-344, 1886). Хотя отдельные результаты по данному направлению были получены ранее Эйлером, Лапласом, Лежандром, - и их вклад ни в коей мере не предлагается умалить, - современную теорию асимптотических рядов отсчитывают именно от Пуанкаре. Также как дифференциальное исчисление мы отсчитываем от Ньютона и Лейбница, хотя отдельными его элементами пользовались задолго до этих прекрасных парней.
Здесь скорее более уместен вопрос о приписывании О-нотации именно Бахману и Ландау. В их упоминаемых как первоисточники трудах данная нотация используется как уже определённая. Но утверждать не стану, так как не владею немецким и не могу в необходимой степени воспринять материал. Пусть это останется на совести специалистов по асимптотическому анализу, которые дают соответствующие ссылки и используют именно такое наименование для данной нотации.
Надеюсь, потом поделитесь результатом.
По моему скромному опыту каждый раз, когда менеджеры хотят оптимизировать работу, фантазии хватает на тупой "тимбилдинг" - "мы все одна команда/семья", "делаем общее дело", "каждый заинтересован в увеличении качества/продаж", "вы все профессионалы и мы вас ценим" - и на усиление мер контроля. Первое работает только с неопытными, да и то временно и не особо. Второе вообще работает только в минус, если только в вашей конторе текучка кадров не норма. Повторюсь, просто потому, что никакой личной заинтересованности в результате чаще всего нет, а первоначальный энтузиазм быстро проходит. Люди работают ради зарплаты - и всё. Это факт. Исключения минимальны. Более того, даже если вы как-то свяжете доход с прибылью - это даст только кратковременные плоды, поскольку после первоначальной эйфории несправедливость в распределении доходов будет ощущаться ещё сильнее - "всю работу делаю я, а основную прибыль получают они, которые вообще ничего не делают".
Но про ваши результаты послушать было бы интересно.
То есть вы ждёте, что придёт герой и всё исправит. Как - нет идей, но способ точно есть.
Вы наверное неправильно поняли последнюю фразу. Наше сознание таково, каково бытие. Индивиду проще приспособиться под объективную реальность, чем прикладывать усилия для того, чтобы изменить реальность под свою идею.
Вокруг вас много реальных примеров, когда упорный труд, чёткая организация и личный профессионализм становятся основой успеха? Вроде всё несколько иначе, вы сами об этом пишите. И при этом вы ждёте, что определенными сдвигами в кадровой политике и управлении отдельной организации или даже целой отрасли можно добиться слома общественной парадигмы?
У меня тоже были такие мысли. Это наивный идеализм.