Вы когда-нибудь задумывались, почему в компьютерных играх объекты иногда проваливаются сквозь текстуры? Или почему финансовые модели так сложны, когда пытаются предсказать курс акций, который кажется то плавным, то скачущим? В основе этих, казалось бы, разных проблем лежит одна и та же фундаментальная идея, над которой бились величайшие умы человечества более двух тысяч лет.

Идея непрерывности.

Это не просто заумный термин из учебников. Это история о том, как мы пытались соединить мир счётных, отдельных предметов с миром плавного, неделимого движения. Это история о схватке с бесконечностью. Я хочу рассказать её так, как мне не рассказывали в университете: без кванторов и дельт, через парадоксы и гениальные озарения, и при этом без малейшей потери математической строгости. Мы пройдём путь от Аристотеля до создателей матанализа и увидим, как одна красивая идея сформировала наш мир.

Также вы сегодня, возможно, впервые узнаете о том, что победа формализации анализа по Коши вместо альтернативной по Гейне является самой главной причиной того, что понятия и идеи математического анализа остаются непонятными для основной массы студентов. От наглядного и понятного языка, предложенного Гейне, для которого совершенно не нужно использовать эпсилоны и дельты, в учебнике осталось только определение предела по Гейне — и то только потому. что некоторые теоремы без него никак не доказать. Но что еще интереснее — определение предела по Коши вообще не нужно для доказательств!

Прочитав эту статью, вы сможете без особых усилий предельно ясно осознать примерно половину первого семестра университетского курса математического анализа, причем, возможно, даже глубже, чем многие лекторы по математическому анализу.

Приготовьтесь к разоблачению, возможно, самого крупного обмана в современном высшем образовании. Суть его проста: по своей природе математический анализ — это наглядная геометрия, но её маскируют под абстрактную алгебру. В результате этого фокуса простой и ясный предмет становится тёмным лесом даже для многих лекторов.

Коллектив ученых из Московского физико-технического института (МФТИ) разработал и теоретически обосновал два новых подхода к решению одной из фундаментальных проблем машинного обучения: определению достаточного размера выборки. Их работа, опубликованная в Computational Management Science, предлагает измерять, насколько «уверенность» модели в своих параметрах меняется при добавлении или удалении всего одного элемента данных, используя для этого два различных математических инструмента. 

Ученые из МФТИ, Всероссийского НИИ автоматики им. Н.Л. Духова (ВНИИА) и Института теоретической и прикладной электродинамики РАН (ИТПЭ РАН) разработали теоретическую модель, демонстрирующую неожиданную роль теплового шума в поведении сложных квантовых систем. Их исследование, опубликованное в журнале Physical Review A, показывает, что шум, обычно ухудшающий свойства системы, способен вызывать спонтанные переходы между состояниями с различной симметрией в специально спроектированной оптомеханической системе. Это открытие не только меняет взгляд на роль тепловых шумов  в физике, но и демонстрирует новые возможности в изучении кинетики фазовых переходов, связанных с нарушением так называемой PT-симметрии.

Ученые из МФТИ и Национального исследовательского центра «Курчатовский институт» разработали теорию, позволяющую с беспрецедентной точностью описывать поведение сложных многоатомных молекул в сверхсильных электрических полях. Их работа, опубликованная в журнале Physical Review A, дает возможность создания новых методов для изучения структуры молекул, включая биомолекулы, и даже для различения их «зеркальных» форм, что критически важно для фармацевтики.

Коллектив ученых из МФТИ и МГУ провел важное исследование фундаментальных законов природы, значительно расширив возможности одного из самых перспективных инструментов для исследования М-теории – гипотетической «теории всего». Они обобщили математический метод, известный как три-векторные деформации, на полные, без каких-либо упрощений, уравнения 11-мерной супергравитации в рамках Исключительной Теории Поля. Результатом стали явные «рецепты» того, как можно систематически изменять (или «деформировать») геометрию и поля любого известного 11-мерного пространства-времени, чтобы получить новые, ранее неизвестные решения, подчиняющиеся тем же элегантным алгебраическим условиям, что и в более простых случаях. Эта работа, опубликованная в The European Physical Journal C, открывает новые перспективы в понимании структуры М-теории и ее связи с квантовой теорией поля через голографический принцип.

Одна из фундаментальных проблем при создании эффективных моделей машинного обучения – определение необходимого и достаточного количества данных для их обучения. Слишком мало данных – модель будет неточной, слишком много – неоправданные затраты времени и ресурсов на сбор и обработку информации. 

Коллектив ученых из Московского физико-технического института предложил два новых метода для решения этой задачи, основанных на анализе функции правдоподобия с использованием техники бутстрэпа.  Работа опубликована в журнале Computational Mathematics and Mathematical Physics.

Российские исследователи из МФТИ, МИСИС и Российского квантового центра предложили новое семейство кодов квантовой коррекции ошибок, отличающихся низкими ресурсными затратами и специально адаптированных для кольцевой архитектуры квантовых процессоров, в частности, на основе сверхпроводниковых кубитов. Кроме того, они разработали и продемонстрировали эффективность инновационного декодера на основе нейронных сетей для исправления ошибок в этих кодах. Работа опубликована в журнале Physical Review A.

Привет всем!

За последний год я написал много научпоп статей и постов в разных местах по теме ИИ, и поэтому мне удалось стать финалистом премии RuCode в номинации «ИИ Гуру».

Победа в финале определяется народным голосованием в ВК https://vk.com/poll-44001716_1060469820 . Прошу за меня проголосовать, а в этой статье расскажу о том, что за тексты я написал в течение года (я Игорь Воронцов).

Хотя мои тексты распространились широко по интернету, все их можно найти в двух местах - в паблике "Ежик в матане", в котором я являюсь одним из администраторов последние несколько лет (то есть почти с его основания), и в журнале "За науку".

Ниже ссылки на основные мои релизы и посты, связанные с ИИ.

Исследователи из МФТИ впервые систематически изучили, как изменяется и стабилизируется процесс обучения нейронных сетей по мере добавления новых данных. Их работа, сочетающая теоретический анализ и обширные эксперименты, показывает, что так называемый «ландшафт функции потерь» нейросети сходится к определенной форме при увеличении размера выборки, что имеет важные последствия для понимания глубинного обучения и разработки методов определения необходимого объема данных. Исследование опубликовано в Doklady Mathematics.

Российские ученые из ФИЦ проблем химической физики и медицинской химии РАН и МФТИ с коллегами разработали и детально исследовали новый метод прецизионного управления магнитными свойствами тонкопленочных структур, имеющих решающее значение для современных технологий магнитной записи, сенсоров и перспективных устройств спинтроники. Результаты работы опубликованы в Journal of Applied Physics.

Международный коллектив ученых представил результаты масштабного исследования блазара PKS 1614+051, находящегося на колоссальном расстоянии от нас — более 11 миллиардов световых лет. Излучение, который мы принимаем от этого источника сейчас, было испущено, когда Вселенной было всего около 10-15% от ее нынешнего возраста. Используя данные, собранные за беспрецедентно долгий период — с 1997 по 2024 год — на уникальных российских и зарубежных телескопах, исследователи смогли детально изучить его радио‑ и оптические свойства.

Ученые из МФТИ, Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау и Физико-технического института им. А. Ф.  Иоффе провели теоретическое исследование диффузии экситонов. Они рассмотрели это физическое явление в муаровых сверхрешетках переходных металлов.

Международный коллектив ученых разработал новый метод параметризации машинно-обучаемых межатомных потенциалов для моделирования магнитных материалов, значительно повышающий надежность и точность предсказаний их свойств. Ключевым элементом нового подхода стало использование так называемых «магнитных сил» при обучении моделей межатомных взаимодействий. Статья опубликована в Computational Materials Science.

Каждый, кто прошел через курс линейной алгебры или физики в универе, помнит этот странный дуализм. Нас учили, что у векторов есть целых ДВА вида произведения. Первое, скалярное, съедает два вектора и выдает число. Геометрически — это что-то про проекции и углы. Второе, векторное, тоже съедает два вектора и… внезапно выплевывает третий вектор, перпендикулярный первым двум. Причем работает этот фокус только в 3D и 7D.

Всегда казалось, что это какой-то математический «костыль».

Почему так сложно? Почему два разных продукта для разных задач? Почему один зависит от косинуса, а другой от синуса?

Что, если я скажу вам, что это действительно «костыли»? Что существует единое, универсальное и элегантное геометрическое произведение, которое включает в себя оба этих случая (и многое другое), и которое основано на одной-единственной, кристально ясной идее. Идее, которая меняет взгляд на саму суть математики.

Эта статья — приглашение в мир Геометрической Алгебры. Мы собираемся переизобрести умножение.

Коллектив ученых из МФТИ , ИТМО и их коллега из Китая провели глубокое теоретическое и численное исследование, проливающее свет на фундаментальные аспекты взаимодействия света с конечными структурами нанометрового масштаба. Эта работа позволяет лучше понять переход от свойств одиночных наночастиц к сложным оптическим явлениям в протяженных метаматериалах.

Все мы слышали, что квантовую механику «никто не понимает», как однажды заметил Фейнман. Нас с самого начала просят смириться с вещами, которые противоречат интуиции: частицы — это волны вероятности, их состояние описывается загадочными комплексными числами, а ещё у них есть неоткуда взявшийся «спин».

А что, если я скажу, что большая часть этой «магии» — не свойство природы, а артефакт математического языка, который мы выбрали для её описания? Что, если существует другой язык, в котором мнимая единица i — это не абстракция, а реальная плоскость, фаза — это обычное вращение, а спин появляется сам собой из базовых принципов геометрии?

Я попробовал вывести из математики геометрической алгебры известную нам обычную квантовую механику. Все получилось!

В прошлой статье я вывел уравнения Максвелла в пространстве Минковского. Получилось гораздо проще все и короче, чем у Ландау, где куда более сложный вывод растянулся на множество параграфов и делался через принцип наименьшего действия.

Но еще большее упрощение всех выкладок получается, если выводить общую теорию относительности. Новое геометрическое уравнение ОТО сразу включает в себя не только уравнения Эйнштейна, но также еще и сразу второе тождество Бьянки из курса дифференциальной геометрии, часто используемое в ОТО. Вот оно:

Здесь далее проделан его элементарный вывод.

В прошлой статье я вывел уравнения Максвелла в 3D, даже не пользуясь никаким пространством Минковского, исключительно в евклидовом пространстве. И они естественным образом в той же форме писались в многомерном евклидовом пространстве. Также рекомендую прочесть соседнюю статью для введения в тему.

Любопытно, что их можно ввести аналогично в пространстве Минковского и они будут эквивалентны моим. Также им эквивалентна кватернионная форма, но она является не более чем искусственной подгонкой векторов поля под кватернионы. Покажу теперь естественную формулировку в пространстве Минковского без кватернионов.

Международный коллектив ученых, объединивший опыт в области радиоастрономии и физики плазмы, представил результаты исследования квазара NRAO 530. Использовав объединенные возможности нескольких интерферометрических сетей, исследователи смогли «заглянуть» в самое сердце этого активного галактического ядра и обнаружить там рекордно сильное магнитное поле, а также сложные динамические процессы, управляющие истечением вещества в виде релятивистского джета.

Коллектив российских ученых из Физического института имени П. Н. Лебедева РАН и МФТИ провел детальное исследование электромагнитных излучений, сопровождающих развитие протяженных атмосферных разрядов, инициированных в лабораторных условиях. Впервые была составлена подробная хронологическая карта генерации различных видов излучений, включая высокочастотное (ВЧ-, ~10–100 МГц), сверхвысокочастотное (СВЧ-, ~1–6 ГГц), рентгеновское (фотоны с энергиями от 5 кэВ до 1 МэВ), а также оптические излучения в ближнем инфракрасном (700–1100 нм) и ближнем ультрафиолетовом (300–400 нм) диапазонах. Результаты исследований позволили лучше понять механизмы генерации излучений в протяженных высоковольтных разрядах, их временные корреляции, а также определить локальные источники излучений.