Я сейчас изучаю курс "Симуляция и управление в робототехнике" дистанционный, от института ИИ МГУ (в рамках программы Aimasters, вот описание этого курса Симуляция и управление в робототехнике ). Мне пообещали зачесть вместо одной из домашек научпоп материал по уравнению Ляпунова. У нас на лекции было примерно так, как тут, только я гораздо подробнее раскрыл.
Ну а про разложение Шура и алгоритм QR - я сам эти вещи давно преподаю студентам.
Эрмитова матрица частный случай нормальной матрицы (там важно то как раз, что при разложении Шура получается диагональная, а класс нормальных матриц в точности совпадает с классом матриц, для которых форма Шура диагональная), так что для нее псевдоспектр - это маленькие круги возле собственных значений. А в случае ненормальной матрицы да, может быть всё гораздо хуже, разумеется.
Статья написана по типичному плану лекции по теме "уравнение Ляпунова". Зачем нужно, откуда взялось, 2 случая (дискретный и непрерывный) и как его решать.
В английской Википедии то же самое, но без объяснений и слишком не подробно
Материал английской страницы написан так, что его очень сложно понять, если уже не знаешь, что это такое, так как слишком кратко. Я же здесь сделал подробно, также добавил примеров и много иллюстраций с кодом.
Я сейчас учусь в Aimasters, у нас было 3-часовое занятие на тему уравнения Ляпунова, например, на курсе робототехники, там в точности такой же план изложения.
Нужно спроектировать управление, оценить область притяжения (устойчивости) для нелинейной системы, оценить робастность - как минимум.
Кроме того. если матрица A зависит от времени, то метод собственных чисел вообще не является критерием. Например, Re(k) могут быть < 0 в любой момент времени, но при этом система может быть неустойчивой. А уравнение Ляпунова в этом случае работает.
Я думаю так и сделаю в итоге.
Уже было всё месяц назад. GitHub - kefir8888/smrai2025 вот тут материалы курса (он еще не закончен, 10 недель учебных было, будет еще штуки 4).
LQR примерно так и вводили еще на третьей лекции smrai2025/lectures/03_lqr/notes_lqr.pdf at main · kefir8888/smrai2025 · GitHub
Я сейчас изучаю курс "Симуляция и управление в робототехнике" дистанционный, от института ИИ МГУ (в рамках программы Aimasters, вот описание этого курса Симуляция и управление в робототехнике ). Мне пообещали зачесть вместо одной из домашек научпоп материал по уравнению Ляпунова. У нас на лекции было примерно так, как тут, только я гораздо подробнее раскрыл.
Ну а про разложение Шура и алгоритм QR - я сам эти вещи давно преподаю студентам.
Это вступительная часть, до самой статьи. Меня тут просили такое сделать, и здесь в комментариях, и в телеграмме.
А для википедии надо как-то иначе переписать.
Так написано почему, в самом начале. Так описывается абсолютно любая динамическая система в механике Ньютона.
Ну можно дописать, да.
Ну, например
Сделаем небольшое возмущение
Тогда
Если для нормальной матрицы псевдоспектр
- это просто кружочки радиуса порядка 
вокруг собственных чисел, то для нашей матрицы
псевдоспектр уровня
- это круг радиуса 
.
Для
радиус будет 0.01. Круг в 100 раз больше возмущения!
Я там дал ссылку на сайт своего курса https://toomanydigits.online/Block3/Sem2/1.html#id10 .
У меня там это описано
Эрмитова матрица частный случай нормальной матрицы (там важно то как раз, что при разложении Шура получается диагональная, а класс нормальных матриц в точности совпадает с классом матриц, для которых форма Шура диагональная), так что для нее псевдоспектр - это маленькие круги возле собственных значений. А в случае ненормальной матрицы да, может быть всё гораздо хуже, разумеется.
Статья написана по типичному плану лекции по теме "уравнение Ляпунова". Зачем нужно, откуда взялось, 2 случая (дискретный и непрерывный) и как его решать.
В английской Википедии то же самое, но без объяснений и слишком не подробно
https://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_equation
Материал английской страницы написан так, что его очень сложно понять, если уже не знаешь, что это такое, так как слишком кратко. Я же здесь сделал подробно, также добавил примеров и много иллюстраций с кодом.
Я сейчас учусь в Aimasters, у нас было 3-часовое занятие на тему уравнения Ляпунова, например, на курсе робототехники, там в точности такой же план изложения.
"Не сказано о проблеме численного нахождения собственных значений для неэрмитовых матриц. "
Для алгоритма Шура разницы тут нет, эрмитовая она или нет.
Тут и написан общий случай, фактически (для эрмитовой разложение Шура дает диагональную матрицу, а не верхне-треугольную).
А можете дать ссылку на алгоритм Булгакова и Годунова? Загуглить такое не получается. В учебниках это тоже отсутствует.
Спасибо! Видимо, так и сделаю.
Так это в статье уже было. Функция V через матрицу P выбиралась.
Гиперссылки внутри Википедии то набросаю. Пока нужно с контентом разобраться.
Для этого нужно функцию V считать по полной системе, беря ее на основе квадратичной формы, построенной на основе линеаризованной.
Я сейчас составляю вводный кусок с физикой, там покажу тогда этот пример сразу.
Допишу это в статью тоже ночью сегодня.
Или, например, допустим собственные числа чисто мнимые, тогда метод собственных чисел для исходной нелинейной системы вообще ничего не гарантирует.
Нужно спроектировать управление, оценить область притяжения (устойчивости) для нелинейной системы, оценить робастность - как минимум.
Кроме того. если матрица A зависит от времени, то метод собственных чисел вообще не является критерием. Например, Re(k) могут быть < 0 в любой момент времени, но при этом система может быть неустойчивой. А уравнение Ляпунова в этом случае работает.
В начале тогда допишу, как получается система
. из линеаризации конкретной физической системы.
Ну я думаю это излишне, а для понимания статьи устойчивость достаточно понимать приблизительно. Это скорее просто в тему систем линейных диффуров.