Кривизна — внутренняя характеристика поверхности. Т.е. нет, для двумерного жителя прямая не останется прямой.
Простейший пример — мы смогли бы обнаружить, что Земля не плоская, даже не умея поднимать голову, а путешествуя и наблюдая только поверхность.
Георгов разных до него на свете было много,
Но помнят люди одного — четвертого Георга.
А что о нем дошло до нас, что знаем про него-то?
Сопровождал он как-то раз поэта Вальтер Скотта.
Нет, не следует, выше уже приведен пример (и непрерывность тут неважна — все интересные свойства остаются при прибавлении к распределению равномерного на отрезке [-10^-100; 10^-100] распределения, а сумма уже получится непрерывной).
В такой формулировке задача корректна (есть неизвестное распределение; можно его обрезать по отрезку; нужно, чтобы сумма с вероятностью 90% попала в фиксированный отрезок). Проблема в том, что для некоторых распределений такого отрезка может и вообще не существовать.
В этой задаче есть непонятный термин «максимально допустимое отклонение».
1. Показали — из каких предположений?
Логика — это про то, как выводить одни формальные утверждения из других. Вы пока что очень не хотите указывать никаких формальных посылок (чтобы из них можно было выводить следствия).
Ну возьмите то же самое распределение, и размажьте вероятности с точек на отрезки длины 10^-10. Получится непрерывное распределение, с теми же особенностями.
Интеграл для характеристической функции берущийся, он получается вида (e^{ita} — e^{itb}) / t = (cos(ta) — cos(tb)) / t + i * (sin(ta) — sin(tb)) / t. Что совсем непохоже на получающееся у вас.
Это при условии, что масса конфеты распределена нормально.
(и это получается дисперсия, а не «максимально допустимое отклонение», которое вообще непонятно что такое)
Если формальная задача некорректна, то ответ 42 на нее ничуть не хуже любого другого.
Если мы предположили, что сумма распределена нормально (условие на математический объект), и что случайные величины распределены одинаково и независимо (опять же, условие на математический объект), то из этого уже строго выводится, что слагаемые распределены нормально.
Зачем вообще вводить предположения о функции распределения суммы? Для использования ЦПТ нам в любом случае нужны условия на распределения конфет. Кажется гораздо более разумным при формализации сделать предположения о распределении массы конфет, а дальше уже аккуратно проверять условия ЦПТ, оценивать скорость сходимости, сравнивать распределение суммы с нормальным распределением и т.д.
Пуанкаре как-то заметил с сарказмом, что все верят в универсальность нормального распределения: физики верят, потому что думают, что математики доказали его логическую необходимость, а математики верят, так как считают, что физики проверили это лабораторными экспериментами.
Как минимум, в формулировке ЦПТ нет слова «можно».
Да, функциональное уравнение f^12 = g (g — хар. функция нормального распределения) имеет бесконечно много решений. Но оно имеет только 12 непрерывных решений (т.к. g не обращается в 0), и только одно из них является хар. функцией какого-либо распределения, т.к. хар. функция в нуле должна обращаться в единицу.
Пусть масса коробки — нормально распределенная случайная величина. Пусть массы конфет это одинаковые независимые в совокупности абсолютно непрерывные случайные величины
Если масса коробки — это сумма масс конфет (не вчитывался, но кажется имеется в виду именно это), то из этих предположений уже следует, что массы конфет — это нормально распределенные с. в. (так как их характеристические функции — это корень из характеристической функции массы коробки).
Тогда нужно четко прописывать, какие предположения мы делаем о реальных объектах. И следить, чтобы эти предположения не конфликтовали друг с другом.
И желательно в качестве предположений брать непосредственно то, что эмпирически обосновано. Например, что массы конфет распределены независимо, одинаково и их распределение удовлетворяет каким-то свойствам. Из этого можно дальше что-то выводить теоретически.
Постулировать что-то сразу про сумму распределений, конечно, тоже можно (формальному аппарату можно скармливать любые входные данные), но это как минимум странно.
Извините, в реальной жизни не бывает нормального распределения. Нормальное распределение бывает в *формализации*. А если формальная формулировка некорректна, то можно строго доказать, что ответ — 42.
Нет, не дает. Скорость сходимости может разная. Если 3й момент конечен, то скорость сходимости не хуже, чем 1/sqrt(n) (что вообще говоря достаточно медленно). Если 3й момент бесконечен, то может быть и медленнее.
В то же время, сумма независимых распределений заведомо распределена нормально, так что, если масса конфеты распределена нормально — достаточно взять дисперсию, при которой 95% квантиль нормального распределения равен 7, поделить ее на число конфет и получить допустимую дисперсию массы конфеты.
Правда, не очень понятно, что такое «максимальное отклонение массы конфеты». Если масса конфеты с вероятностью 1 не превосходит какой-то константы C — то где тут вообще нормальное распределение?
Простейший пример — мы смогли бы обнаружить, что Земля не плоская, даже не умея поднимать голову, а путешествуя и наблюдая только поверхность.
В такой формулировке задача корректна (есть неизвестное распределение; можно его обрезать по отрезку; нужно, чтобы сумма с вероятностью 90% попала в фиксированный отрезок). Проблема в том, что для некоторых распределений такого отрезка может и вообще не существовать.
(я не синус с косинусом перепутал, я мнимую единицу вместе с (a-b) в знаменателе потерял)
1. Показали — из каких предположений?
Логика — это про то, как выводить одни формальные утверждения из других. Вы пока что очень не хотите указывать никаких формальных посылок (чтобы из них можно было выводить следствия).
(и это получается дисперсия, а не «максимально допустимое отклонение», которое вообще непонятно что такое)
Если мы предположили, что сумма распределена нормально (условие на математический объект), и что случайные величины распределены одинаково и независимо (опять же, условие на математический объект), то из этого уже строго выводится, что слагаемые распределены нормально.
Зачем вообще вводить предположения о функции распределения суммы? Для использования ЦПТ нам в любом случае нужны условия на распределения конфет. Кажется гораздо более разумным при формализации сделать предположения о распределении массы конфет, а дальше уже аккуратно проверять условия ЦПТ, оценивать скорость сходимости, сравнивать распределение суммы с нормальным распределением и т.д.
Да, функциональное уравнение f^12 = g (g — хар. функция нормального распределения) имеет бесконечно много решений. Но оно имеет только 12 непрерывных решений (т.к. g не обращается в 0), и только одно из них является хар. функцией какого-либо распределения, т.к. хар. функция в нуле должна обращаться в единицу.
Если масса коробки — это сумма масс конфет (не вчитывался, но кажется имеется в виду именно это), то из этих предположений уже следует, что массы конфет — это нормально распределенные с. в. (так как их характеристические функции — это корень из характеристической функции массы коробки).
И желательно в качестве предположений брать непосредственно то, что эмпирически обосновано. Например, что массы конфет распределены независимо, одинаково и их распределение удовлетворяет каким-то свойствам. Из этого можно дальше что-то выводить теоретически.
Постулировать что-то сразу про сумму распределений, конечно, тоже можно (формальному аппарату можно скармливать любые входные данные), но это как минимум странно.
Более того, если мы ограничиваем руками массу конфеты, то сумма конечного числа таких масс никак не может иметь нормальное распределение.
Как распределены по массе сами конфеты — важно. Не надо пихать ЦПТ туда, где ей не место.
В то же время, сумма независимых распределений заведомо распределена нормально, так что, если масса конфеты распределена нормально — достаточно взять дисперсию, при которой 95% квантиль нормального распределения равен 7, поделить ее на число конфет и получить допустимую дисперсию массы конфеты.
Правда, не очень понятно, что такое «максимальное отклонение массы конфеты». Если масса конфеты с вероятностью 1 не превосходит какой-то константы C — то где тут вообще нормальное распределение?
256 нейронов, 2 слоя, 3.3мб обучающая выборка